Завдання 350 Подайте у вигляді многочлена добуток:
| а) (1 + y)(1 + x) = 1 + x + y + xy б) (x + 1)(a + 1) = ax + x + a + 1 в) (x – 1)(n + 1) = xn + x – n – 1 |
г) (2 + a)(c + 1) = ac + a + 2c + 2 ґ) (3 – y)(5 + c) = 15 + 3c – 5y – cy д) (2 – a)(c + 1) = 2c + 2 – ac – a |
Завдання 351
Розкрийте дужки у виразі:
а) (x + 1)(x + 1) = x² + x + x + 1 = x² + 2x + 1
б) (1 – y)(1 – y) = 1 – y – y + y² = y² – 2y + 1
в) (a + c)(a – c) = a² – c²
Завдання 352
Якому з многочленів тотожно дорівнює добуток (а + 2)(а + 3)?
(а + 2)(а + 3) = а² + 3а + 2а + 6 = а² + 5а + 6 (Г)
Завдання 353
Яке з чисел є коренем рівняння
(х – 1)(х + 2) – х² = 0
х² + 2х – х – 2 – х² = 0
х – 2 = 0
х = 2 (Б)
Завдання 354
Перемнож многочлени.
а) (a + b)(m – n) = am – an + bm – bn
б) (x – y)(x + y) = x² – y²
в) (2a – 1)(a – 2) = 2a² – 4a – a + 2 = 2a² – 5a + 2
г) (c + ax)(a + x) = ac + cx + a²x + ax²
ґ) (1 – c)(1 + c²) = 1 + c² – c – c3
д) (–a + 1)(2a – 3) = –2a² + 3a + 2a – 3 = –2a² + 5a – 3
Завдання 355
Перемнож многочлени.
а) (x – 2)(2x + 3) = 2x² + 3x – 4x – 6 = 2x² – x – 6
б) (3y + 5)(2y – 6) = 6y² – 18y + 10y – 30 = 6y² – 8y – 30
в) (7 – c)(c + 2) = 7c + 14 – c² – 2c = –c² + 5c + 14
Завдання 356
Подайте у вигляді многочлена
а) (a – b)(c + d) = ac + ad – bc – bd
б) (x – 2)(x – 3) = x² – 3x – 2x + 6 = x² – 5x + 6
в) (2x – 3)(a – b) = 2ax – 2bx – 3a + 3b
г) (2a – 3c)(a + 5c) = 2a² + 10ac – 3ac – 15c² = 2a² + 7ac – 15c²
ґ) (a² – b)(a – b²) = a3 – a²b² – ab + b3
д) (1 – 2xz)(1 + 2xz) = 1 – 4x²z²
е) (x² – x + 1)(x + 1) = x3 + x² – x² – x + x + 1 = x3 + 1
є) (c – q)(1 – c – q) = c – c² – cq – q + cq + q² = c – c² – q + q²
Завдання 357
Подайте у вигляді многочлена
а) (2x + 3)(3x – 2) = 6x² – 4x + 9x – 6 = 6x² + 5x – 6
б) (5a – 4)(3a – 2) = 15a² – 10a – 12a + 8 = 15a² – 22a + 8
в) (7c – 1)(5 – 6c) = 35c – 42c² – 5 + 6c = –42c² + 41c – 5
г) (–2n + 3)(3n – 2) = –6n² + 4n + 9n – 6 = –6n² + 13n – 6
ґ) (a² + b)(a² + b) = a4 + 2a²b + b²
д) (–2 + c)(–3 + c) = c² – 5c + 6
е) (p – 1)(p² + p + 1) = p3 + p² + p – p² – p – 1 = p3 – 1
є) (x – 2)(x² – 5x + 2) = x3 – 5x² + 2x – 2x² + 10x – 4 = x3 – 7x² + 12x – 4
Завдання 358
Один з гравців / одна з гравчинь записує двочлен, другий/друга — ще один двочлен, третій/третя має їх перемножити. Потім поміняйтеся ролями.
(a – 2)(a4 + 1) = a5 + a – 2a4 – 2 = a5 – 2a4 + a – 2
Завдання 359
Установи відповідність між виразами, заданими умовами (1–3), та тотожно рівними їм виразами (А–Д). Установіть відповідність:
1. (а – с)(а + с) = а² + ас – ас – с² = a² – с²
2. (а + с)(а + с) = а² + ас + ас + с² = а² + 2ас + с²
3. (а + с)(а² – ас + с²) = а3 – а²с + ас² + а²с – ас² + с3 = а3 + с3
Відповідь: 1 – Г; 2 – В; 3 – Д.
Завдання 360
а) (x – 1)(x + 2) – x(x + 1) = x² + 2x – x – 2 – x² – x = –2
б) (1 + a)(a² – a) + a(1 + a²) = a² – a + a3 – a² + a + a3 = 2a3
в) (a + 2)(a – 5) + 3(a – 1) = a² – 5a + 2a – 10 + 3a – 3 = a² – 13
г) (n – 2)(n – 2) + 4(n – 1) = n² – 4n + 4 + 4n – 4 = n²
ґ) (x – 4)(3x + 5) + 3x(7 – x) + 20 = 3x² + 5x – 12x – 20 + 21x – 3x² + 20 = 14x
д) (a + b)(a – b) – (a – 2b)(a + 2b) = a² – b² – (a² – 4b²) = 3b²
Завдання 361
а) (a + 1)(a – 3) + 2a(1 – a) = a² – 3a + a – 3 + 2a – 2a² = –a² – 3
б) (3a + b)(a – b) – (3a² – b²) = 3a² – 3ab + ab – b² – 3a² + b² = –2ab
в) (3x + 1)(x – 6) + (2 – 3x)(x – 5) = 3x² – 18x + x – 6 + 2x – 10 – 3x² + 15x = –16
г) (x – y)(x + 7) – (y + x)(x + 7) + 14y = x² + 7x – xy – 7y – x² – 7x – xy – 7y + 14y = –2xy
Завдання 362
Спрости вираз і знайди його значення.
а) (a + 2)(a – 3) + (a + 6)(a – 4) – 2a² = a² – a – 6 + a² + 2a – 24 – 2a² = a – 30
Якщо а = 6, то 6 – 30 = –24
б) (2x + 3)(x – 1) – (x – 3)(x + 4) = 2x² + x – 3 – x² – x + 12 = x² + 9
Якщо х = –3, то (–3)² + 9 = 9 + 9 = 18
в) (a + b)(a – b) + b² = a² – b² + b² = a²
Якщо а = 0,6 i b = 0,237, то 0,6²= 0,36
г) –x² + y4 + xy + (x – y²)(x + y²) = –x² + y4 + xy + x² – y4 = xy
Якщо х = 5 і у = –7, то 5 • (–7) = –35
Завдання 363
а) (a – 3)(a – 5) + (a + 1)(a + 7) = a² – 8a + 15 + a² + 8a + 7 = 2a² + 22
Якщо а = –2, то 2(–2)² + 22 = 8 + 22 = 30
б) (x – 4)(2x + 5) – (1 + 2x)(x + 3) = 2x² + 5x – 8x – 20 – x – 3 – 2x² – 6x = –10x – 23
Якщо х = –3,3 і у = –7, то –10 • 3,3 – 23 = 33 – 23 = 10
Завдання 364
Find the value of the expression.
а) (x + y)(x + y) – (x² – y²) = x² + 2xy + y² – x² + y² = 2xy + 2y²
if x = 0,2 and y = 5, then 2 • 5 • 0,2 + 2 • 5² = 2 + 50 = 52
б) (a² – b)(a² + b) – a4 = a4 – b² – a4 = –b²
if b = 0,2 and a = 3,27, then –(0,2)² = –0,04
Завдання 365
|
а) (a + b)² = a² + 2ab + b² в) (2a – x)² = 4a² – 4ax + x² |
б) (x – y)² = x² – 2xy + y² г) (3a + 2)² = 9a² + 12a + 4 |
Завдання 366
|
а) (x + y)² = x² + 2xy + y² в) (3x + y)² = 9x² + 6xy + y² |
б) (a – c)² = a² – 2ac + c² г) (2a – 3)² = 4a² – 12a + 9 |
Завдання 367
|
а) (x – 1)(x – 3) = x² – 5 x² – 4x + 3 = x² – 5 –4x + 3 = –5 –4x = –8 x = 2 |
б) (y + 2)(y – 5) – y(y – 1) = 2 y² – 3y – 10 – y² + y = 2 –2y – 10 = 2 –2y = 12 y = –6 |
|
в) (2x + 1)(x – 5) = 2(x² + 11) 2x² – 9x – 5 = 2x² + 22 –9x – 5 = 22 –9x = 27 x = –3 |
г) 3z(z – 2) – 9 = (1 – z)(1 – 3z) 3z² – 6z – 9 = 1 – 4z + 3z² –6z – 9 = 1 – 4z –2z = 10 z = –5 |
Завдання 368
|
а) (x – 2)(x + 5) = x² + 2 x² + 3x – 10 = x² + 2 3x – 10 = 2 3x = 12 x = 4 |
б) (x – 6)(x – 2) – x(x + 2) = 2 x² – 8x + 12 – x² – 2x = 2 –10x + 12 = 2 –10x = –10 x = 1 |
|
в) (x – 1)(x + 5) = (x + 2)(x + 3) x² + 4x – 5 = x² + 5x + 6 –x – 11 = 0 x = –11
|
г) (2x + 3)(x – 7) + 6 = (x + 3)(2x + 1) 2x² – 11x – 21 + 6 = 2x² + 7x + 3 –11x – 15 = 7x + 3 –18x = 18 x = –1 |
Завдання 369
Доведи тотожнiсть (а + b)(с + d) = ас + ad + bc + bd користуючись а) правилом множення многочленів б) малюнком 9.2. Яке доведення є більш загальним?
(а + b)(с + d) = ac + ad + bc + bd
Геометричне знайдемо площу прямокутника
S = ad + bd + ac + bc або S = (а + b)(с + d)
Завдання 370
Зобразіть у вигляді прямокутників геометричну модель, яка ілюструвала б множення виразів а + b + с + d і m + n.
Завдання 371
а) (a² − 2a − 2)(a − 1) = a3 − a² − 2a² + 2a − 2a + 2 = a3 − 3a² + 2
б) (4x² + 6x + 9)(2x − 3) = 8x3 − 12x² + 12x² − 18x + 18x − 27 = 8x3 − 27
Завдання 372
а) (x + 1)(x3 − x² + x − 1) = x4 − x3 + x² − x + x3 − x² + x − 1 = x4 − 1
б) (4a² − 2ab + b²)(2a + b) = 8a3 + 4a²b − 4a²b − 2ab² + 2ab² + b3 = 8a3 + b3
Завдання 373
а) (a² − a + 1)(a + 1) − a3 = a3 + a² − a² − a + a + 1 − a3 = 1
б) (2a + 3x)(4a² − 6ax + 9x²) − 27(x3 − a3) = 8a3 + 27x3 − 27x3 + 27a3 = 35a3
в) (c − 5)(c + 2) + 3(c + 4) = c² − 3c − 10 + 3c + 12 = c² + 2
г) (x² − y)(x − y²) + xy(1 + xy) = x3 − x²y² − xy + y3 + xy + x²y² = x3 + y3
ґ) 4/9 − (2/3 − a3)(2/3 + a3) = 4/9 − (4/9 − a6) = a6
д) 1/8 x3 − (1/2 x − a²)(1/4 x² + 1/2 a²x + a4) = 1/8 x3 − (1/8 x3 − a6) = a6
Завдання 374
а) (x² + ax + a²)(x − a) + a3 = x3 − a3 + a3 = x3
б) (9c² + 12ac + 16a²)(4a − 3c) − 64(a3 − c3) = 64a3 − 27c3 − 64a3 + 64c3 = 37c3
в) (m + 7)(3 − m) + 4(m − 5) = 3m − m² + 21 – 7m + 4m − 20 = −m² + 1
г) (4n² − p²)(2n − p) + 2np(2np + 1) = 8n3 – 4n²p² – 2np + p3 + 4n²p² + 2np = 8n3 + p3
Завдання 375
Подайте у вигляді многочлена вираз:
а) (2x − 3y)² = 4x² − 12xy + 9y²
б) (3ac + b²)² = 9a²c² + 6acb² + b4
в) (2a − 1)3 = 8a3 − 12a² + 6a − 1
Завдання 376
а) (2a − 3)(a + 6) − 3(3a − 6) = 2a² + 12a − 3a − 18 − 9a + 18 = 2a²
б) (a − 1)(a + 1)(a² + 1) + 1 = (a² − 1)(a² + 1) + 1 = a4 − 1 + 1 = a4
в) (2a − 3)² + 3(4a − 3) = (2a − 3)(2a − 3) + 12a − 9 = 4a² − 6a − 6a + 9 + 12a − 9 = 4a²
г) (a − b)3 + 3ab(a − b) = (a − b)(a − b)(a − b) + 3a²b − 3ab² =
= (a² − 2ab + b²)(a − b) + 3a²b − 3ab² =
= a3 − a²b − 2a²b + 2ab² + ab² − b3 + 3a²b − 3ab² = a3 − b3
Завдання 377
а) (3x − 2)(x − 4) + 2(4 + 5x) = 3x² − 12x − 2x + 8 + 8 + 10x = 3x²
б) c4 − (c − 1)(c + 1)(c² + 1) = c4 − (c² − 1)(c² + 1) = c4 − (c4 − 1) = 1
в) (3a + 2)² − 4(3a + 1) = (3a + 2)(3a + 2) − 12a − 4 = 9a² + 6a + 6a + 4 − 12a − 4 = 9a²
г) (x + y)3 − 3xy(x + y) = (x + y)(x + y)(x + y) − 3x²y − 3xy² =
= (x² + 2xy + y²)(x + y) − 3x²y − 3xy² = x3 + x²y + 2x²y + 2xy² + xy² + y3 − 3x²y − 3xy² =
= x3 + y3
Завдання 378
Доведи, що значення виразу не залежить від значення змінної
а) (x + 5)(x² − 2x − 3) − (5x + x²)(x − 2) + 3(x + 5) =
= x3 − 2x² − 3x + 5x² − 10x − 15 − (5x² − 10x + x3 − 2x²) + 3x + 15 =
= x3 + 3x² − 13x − 15 − 5x² + 10x − x3 + 2x² + 3x + 15 = 0
б) (2x² − 3x + 6)(x + 4) − (x² + 4x + 3)(2x − 3) =
= 2x3 + 8x² − 3x² − 12x + 6x + 24 − (2x3 − 3x² + 8x² − 12x + 6x − 9) =
= 2x3 + 5x² − 6x + 24 − 2x3 − 5x² + 6x + 9 = 33
Завдання 379
а) (2x − 4)(3x + 2) − (2x − 3)(4x + 2) + 2x² =
= 6x² + 4x − 12x − 8 − (8x² + 4x − 12x − 6) + 2x² =
= 6x² − 8x − 8 − 8x² + 8x + 6 + 2x² = −2
б) (x − 3)(x + 3)(x² + 9) − (x + 1)(x − 1)(x² + 1) =
= (x² − 9)(x² + 9) − (x² − 1)(x² + 1) = x4 − 81 − (x4 − 1) = −80
Завдання 380
Доведіть, що при всіх натуральних значеннях n значення виразу (n – 3)(n + 6) – (n – 9)(n + 6) кратне 6.
(n − 3)(n + 6) − (n − 9)(n + 6) = n² + 3n − 18 − (n² − 3n − 54) =
= n² + 3n − 18 − n² + 3n + 54 = 6n + 36 = 6(n + 6) – кратне 6
Завдання 381
Доведи, що при всіх натуральних значеннях n значення виразу (n + 12)(n + 3) – (n – 3)(n + 9) кратне 9.
(n + 12)(n + 3) − (n − 3)(n + 9) = n² + 15n + 36 − (n² + 6n − 27) =
= n² + 15n + 36 − n² − 6n + 27 = 9n + 63 = 9(n + 7) – кратне 9
Завдання 382
а) (3z² − 1)(z − 1) = 3z²(z − 1) + 7
3z3 − 3z² − z + 1 = 3z3 − 3z² + 7
−z + 1 = 7
−z = 6
z = −6
б) (1 − 2y)² − 2(y − 2)(2y − 3) = 0
1 − 4y + 4y² − 2(2y² − 7y + 6) = 0
1 − 4y + 4y² − 4y² + 14y − 12 = 0
10y − 11 = 0
y = 11/10 = 1 1/10
в) (x² − x + 1)(x² + x + 1) = x^4 + x² + x
x4 − x3 + x² + x3 − x² + x + x² − x + 1= x4 + x² + x
x4 + x² + 1= x4 + x² + x
x = 1
Завдання 383
а) (2x² − 3)(x − 3) = 2x²(x − 3) + 6
2x3 − 6x² − 3x + 9 = 2x3 − 6x² + 6
−3x + 9 = 6
−3x = −3
x = 1
б) (0,1 + x)(0,01 − 0,1x + x²) = 2x(0,5 + 0,5x²)
0,001 − 0,01x + 0,1x² + 0,01x − 0,1x² + x3 = x + x3
0,001 = x
x = 0,001
в) (3z − 2)² = 9(z − 2)(z + 3) − 5
9z² − 12z + 4 = 9(z² + z − 6) − 5
9z² − 12z + 4 = 9z² + 9z − 54 − 5
9z² − 12z + 4 = 9z² + 9z − 59
−12z + 4 = 9z − 59
−21z = −63
z = 3
г) (x3 + x² + x + 1)(x − 1) = x4 + 10x
x4 − 1 = x4 + 10x
−1 = 10x
x = −1/10
ґ) 2/3x − (2/3 x − 3)(4/9 x² + 2x + 9) = 4/9 x(6 − 2/3x²)
2/3x − (8/27x3 + 4/3x² + 6x − 4/3x² − 6x − 27) = 24/9x − 8/27x3
2/3x − 8/27x3 + 27 = 8/3x − 8/27x3
2/3x + 27 = 8/3 x
27 = 8/3 x − 2/3 x
27 = 6/3 x
27 = 2x
x = 27/2
Завдання 384
Знайди три послідовні натуральні числа, якщо квадрат меншого з них на 8 менший за добуток двох інших чисел.
Нехай числа: x, x + 1, x + 2, складаємо рівняння:
x² + 8 = (x + 1)(x + 2)
x² + 8 = x² + 3x + 2
3x = 6
x = 2
Відповідь: 2, 3, 4
Завдання 385
Знайди чотири послідовні натуральні числа, якщо добуток двох більших чисел на 18 більший за добуток двох менших.
Нехай числа: x, x + 1, x + 2, x + 3, складаємо рівняння:
(x + 2)(x + 3) = x(x + 1) + 18
x² + 5x + 6 = x² + x + 18
4x = 12
x = 3
Відповідь: 3, 4, 5, 6
Завдання 386
Дано два добутки: 11 • 44 і 16 • 32. На яке число треба збільшити кожний із чотирьох множників, щоб нові добутки дорівнювали один одному?
Нехай це число х, складаємо рівняння:
(11 + х) • (44 + х) = (16 + х)(32 + х)
484 + 11х + 44х + х² = 512 + 16х + 32х + х²
55х + 484 = 48х + 512
7х = 28
х = 4
Відповідь: 4
Завдання 387
Дано два добутки: 25 • 51 і 31 • 40. На яке число треба зменшити кожний із чотирьох множників, щоб нові добутки дорівнювали один одному?
Нехай це число х, складаємо рівняння:
(25 + х)(51 + х) = (31 + х)(40 + х)
1275 + 25х + 51х + х² = 1240 + 31х + 40х + х²
76х +12 + 75 = 71х +1240
5х = –35
х = –7
Відповідь: –7
Завдання 388
Знайдіть периметр і площу фігури, зображеної на малюнку 9.3, якщо r = 0,8 м.
S = 3r – 2r + πr² = 6r² + рr²,
якщо r = 0,8 м, то S = 6 • 0,8² + 0,8² • π = 0,64(6 + р) = 5,8496 м²
P = 2(3r + 2r) + 2рr = 12r + 2πr
Якщо r = 0,8 м, то P =12 • 0,8 + 2 • π • 0,8 = 9,6 + 1,6π = 9,6 + 5,024 = 14,624
Завдання 389 Обчисли
(1 – 1/4) • 4/3 – (1/2 – 1/4)² + 1/16 – 3 = 3/4 • 4/3 – (1/4)² + 1/16 – 3 = 1 – 1/16 + 1/16 – 3 = –2
Завдання 390
Подайте кількома способами одночлен у вигляді добутку двох одночленів стандартного вигляду:
а) 36a8
36a8 = 6a4 • 6a4
36a8 = 9a3 • 4a5
36a8 = 12a² • 3a6
б) 30x4y9
30x4y9 = 5x²y4 • 6x²y5
30x4y9 = 3xy3 • 10x3y6
30x4y9 = 2x²y² • 15x²y7
в) –18a10b5
–18a10b5 = –3a5b² • 6a5b3
–18a10b5 = –6a4b² • 3a6b3
–18a10b5 = –9a5b • 2a5b4