3авдання 1428 Рівняння
Петрик стверджує, що коренем рівняння є число, підстановка якого в рівняння перетворює його на рівність. Чи правий Петрик? Ні, бо рівняння є рівністю, невідоме значення якого треба знайти. А значення кореня перетворює рівняння в правильну рівність.
Завдання 1429
Рівняння може мати один корінь, безліч коренів і жодного кореня.
Наведіть приклад рівняння, яке:
1) не має коренів; a • 0 = 5
2) має безліч коренів. a • 0 = 0
Завдання 1430
1) 2 • 3 – 6 = 0; число 3 є коренем рівняння
2) 5 • 3 + 15 = 30 ≠ 0; число 3 не є коренем рівняння
3) 3 • 3 – 1 = 8 ≠ 5; число 3 не є коренем рівняння
4) 4 • 3 = 9 + 3; число 3 є коренем рівняння
Завдання 1431
1) –6х = 0; –6 • 0 = 0; 0 = 0 Правильно, що число 0 є коренем рівняння
2) 0 : у = –25; 0 : 0 ≠ –25; Неправильно, що число 0 є коренем рівняння
3) 5х = 0; 5 • 0 = 0; 0 = 0; Правильно, що число 0 є коренем рівняння
4) 1,2 : у = 0; 1,2 : 0 ≠ 0 Неправильно, що число 0 є коренем рівняння
Завдання 1432
|
1) 9х – 16 = 2 9х = 2 + 16 9х = 18 х = 18 : 9 х = 2 |
4) –2у = 4у + 24 –2у – 4у = 24 у = 24 : (–6) у = –4 |
7) 5х + 4 = 3х – 12 5х – 3х = –12 – 4 2х = –16 х = –16 : 2 х = –8 |
10) –2 = 3x + 14 + x 4x = –2 –14 4x = –16 x = –16 : 4 x = –4 |
|
2) 4 – 2у = 24 –2у = 24 – 4 –2у = 20 у = 20 : (–2) у = –10 |
5) 3х – 8 = х 3х – х = 8 2х = 8 х = 8 : 2 х = 4 |
8) –у + 25 = 12у – 1 –у – 12у = –1 – 25 –13у = –26 у = –26 : (–13) у = 2 |
11) 10y + 6 = 12y – 8 10y – 12y = –8 – 6 –2y = –14 y = –14 : (–2) y = 7 |
|
3) 6х = 32 – 2х 6х + 2х = 32 8х = 32 х = 32 : 8 х = 4 |
6) –20 = 4у + 8 4у = –20 –8 4у = –28 у = –28 : 4 у = –7 |
9) 10 = 4z – 2 – 2z 2z = 10 + 2 2z = 12 z = 12 : 2 z = 6 |
12) 11z –3 = –3 –1 11z = –4 + 3 11z = –1 z = –1/11 |
|
1) 5x – 16 = 14 5x = 14 + 16 5x = 30 x = 30 : 5 x = 6 |
2) 8y = 10 + 3y 8y – 3y = 10 5y = 10 y = 10 : 5 y = 2 |
3) 12 – y = 2y + 6 –y – 2y = –12 + 6 –3y = –6 y = –6 : (–3) y = 2 |
4) –3y – 8 = 2y + 7 –3y – 2y = 7 + 8 –5y = 15 y = 15 : (–5) y = –3 |
|
1) 2х + 10 = –3х
2х + 3х = –10 5х = –10 х = –10 : 5 х = –2 |
2) –4у – 5 = 3 –4у = 3 + 5 –4у = 8 у = 8 : (–4) у = –2 |
3) 5х + 4 = –2х – 10 5х + 2х = –10 –4 7х = –14 х = –14 : 7 х = –2 |
4) 12 – 3у = 8 + у –3у – у = 8 – 12 –4у = –4 у = –4 : (–4) у = 1 |
Використали дві основні властивості рівняння:
1. Корені рівняння не зміняться, якщо до обох частин рівняння додати (від обох частин рівняння відняти) одне й те саме число.
2. Корені рівняння не зміняться, якщо обидві частини рівняння помножити (поділити) на одне й те саме число, відмінне від нуля.
Завдання 1435
|
1) 0,8x + 1 = 1,7x + 0,1 0,8x – 1,7x = 0,1 – 1 –0,9x = –0,9 x = –0,9 : (–0,9) x = 1 |
5) 1/14y – 1 = 1/4y – 1/7y 1/14y – 1/4y + 1/7y = 1 (2/28 – 7/28 + 4/28)y = 1 –1/28y = 1 y = 1 : (–1/28) y = 1 • (–28) y = –28 |
|
2) 0,2y – 4 = 20 – 0,2y 0,2y + 0,2y = 20 + 4 0,4y = 24 y = 24 : 0,4 y = 60 |
6) 4z – 4 1/6 = –3 5/18 – 1 1/3z (4 + 1 1/3)z = 4 1/6 – 3 5/18 5 1/3 z = 3 21/18 – 3 5/18 16/3 z = 16/18 z = 16/18 : 16/3 z = 16/18 • 3/16 z = 1/6 |
|
3) 0,2 – z = 0,1 + 0,5z –z – 0,5z = 0,1 – 0,2 –1,5z = –0,1 z = –1/10 : (–1 5/10) z = –1/10 • (–15/10) z = 1/15 |
7) –2x + 4 = –1/3x – 21 (–2 + 1/3)x = –21 – 4 –12/3x = –25 5/3x = 25 х = 25 : 5/3 x = 25 • 3/5 x = 15 |
|
4) 2/3x + 5 = 3 + 7/9x (7/9 – 6/9)x = 5 – 3 1/9x = 2 х = 2 : 1/9 x = 2 • 9 x = 18 |
8) 2/3y + 2 = 1/2y – 1/4y – 3 (2/3 – 1/2 + 1/4)y = –2 – 3 (8/12 – 6/12 + 3/12)y = –5 5/12y = –5 y = –5 : 5/12 y = –5 • 12/5 y = –12 |
Завдання 1436
|
1) 1,1 – 0,1z = –1,9 – 0,7z –0,1z + 0,7z = –1,9 – 1,1 0,6z = –3 z = –3 : 0,6 z = –5 |
2) 1/2z – 7 = 1 – 1/6z (1/2 + 1/6)z = 1 + 7 (3/6 + 1/6)z = 8 4/6 z = 8 2/3 z = 8 z = 8 : 2/3 z = 8 • 3/2 z = 12 |
|
2) 0,2y – 4 = 20 – 0,2y 0,2y + 0,2y = 20 + 4 0,4y = 24 y = 24 : 0,4 y = 60 |
6) 4z – 4 1/6 = –3 5/18 – 1 1/3z (4 + 1 1/3)z = 4 1/6 – 3 5/18 5 1/3 z = 3 21/18 – 3 5/18 16/3 z = 16/18 z = 16/18 : 16/3 z = 16/18 • 3/16 z = 1/6 |
|
3) 0,2 – z = 0,1 + 0,5z –z – 0,5z = 0,1 – 0,2 –1,5z = –0,1 z = –0,1 : (–1,5) z = 1/15 |
7) –2x + 4 = –1/3x – 21 (–2 + 1/3)x = –21 – 4 (–1 3/3 + 1/3)x = –21 – 4 –1 2/3 x = –25 –5/3 x = –25 5/3 x = 25 x = 25 : 5/3 x = 25 • 3/5 x = 15 |
|
4) 2/3x + 5 = 3 + 7/9x (7/9 – 2/3)x = 5 – 3 (7/9 – 6/9)x = 2 1/9x = 2 х = 2 : 1/9 x = 2 • 9 x = 18 |
8) 2/3y + 2 = 1/2y – 1/4y – 3 (2/3 – 1/2 + 1/4)y = –2 – 3 (8/12 – 6/12 + 3/12)y = –5 5/12y = –5 y = –5 : 5/12 y = –5 • 12/5 y = –12 |
Завдання 1437, 1438
Складіть рівняння, що містить невідоме в обох частинах, коренем якого є число:
|
а) 8; 3x + 2 = x + 18 б) 14. x + 2 = 9 + 0,5x |
1) 5; 2x + 12 = 4x + 2 2) 9. 6x + 9 = 7x |
Завдання 1439
|
1) 5(x – 4) = 3x – 10 5x – 20 = 3x – 10 5x – 3x = –10 + 20 2x = 10 х = 10 : 2 x = 5 |
2) 4y + 2 = 3(10 – y) 4y + 2 = 30 – 3y 4y + 3y = 30 – 2 7y = 28 у = 28 : 7 y = 4 |
|
3) 7(х – 4) = 5(х+ 4) 7х – 28 = 5х + 20 7х – 5х = 20 + 28 2х = 48 х = 48 : 2 х = 24 |
4) 3(у + 1) = 6(1 – у) + 6 Зу + 3 = 6 – 6у + 6 Зу + 6у = 12 – 3 9у = 9 у = 9 : 9 у = 1 |
|
5) 2(х – 3) – 3(4 – х) = 5 2х – 6 – 12 + Зх = 5 5х = 5 + 18 5х = 23 х = 23 : 5 х = 4,6 |
6) 7 + 4(3 – у ) = 5(у + 2) 7 + 12 – 4у = 5y + 10 –4y – 5y = 10 – 19 –9 у = –9 у = –9 : (–9) у = 1 |
|
7) 12 – 5(х + 1) = 7 + Зх – 2х 12 – 5х – 5 = 7 + х –5х – х = 7 – 7 –6х = 0 х = 0 |
8) –0,2(3 – у) + 1,2 = –0,2(у – 1) –0,6 + 0,2у + 1,2 = –0,2у + 0,2 0,2y + 0,2y = 0,2 – 0,6 0,4y = –0,4 у = –0,4 : 0,4 y = –1 |
|
9) 1 – 4z – 3(1 – z) = –5(z + 2) 1 – 4z – 3 + Зz = –5z – 10 –z + 5z = –10 + 2 4z = –8 z = –8 : 4 z = –2 |
10) (18 – х) – 7(2х – 4) = 5х + 20 18 – х – 14х + 28 = 5х + 20 –15 х – 5х = 20 – 46 –20х = –26 –20х = –26 : (–20) х = 1,3 |
|
11) 3(0,4y + 3) – 0,6y = 8 1,2у + 9 – 0,6у = 8 0,6y = 8 – 9 6/10y = –1 3/5y = –1 y = –1 : 3/5 у = –1 • 5/3 у = –5/3 y = –1 2/3 |
|
Завдання 1440
|
1) 7(х + 2) = –14 7х + 14 = –14 7х = —14 – 14 7х = –28 х = –28 : 7 х = –4 |
3) 7(х + 3) – 2(х – 5) = 8 7х + 21 – 2х + 10 = 8 5х = 8 – 31 5х = –23 х = –23 : 5 х = –4,6 |
|
2) 8y = 2(5 – y) 8y = 10 – 2y 8y + 2y = 10 10y = 10 у = 10 : 10 y = 1 |
4) 5 + 3(2y – 1) = 2(у – 3) 5 + 6y – 3 = 2y – 6 6y – 2y = –6 – 2 4y = –8 y = –8 : 4 y = –2 |
|
1) 0,6(0,5х + 2/3) = 2,25 + 5,3х 6/10(5/10х + 2/3) = 2,25 + 5,3х 3/5(1/2х + 2/3) = 2,25 + 5,3х 3/10х + 2/5 = 2,25 + 5,3х 0,3х + 0,4 = 2,25 + 5,3х 0,З х – 5,Зх = 2,25 – 0,4 –5х = 1,85 х = 1,85 : (–5) х = –0,37 |
5) 5/12 (z – 3) = 1/6(2z – 7) + 2 5/12z – 5/4 = 1/3z – 7/6 + 2 (5/12 – 1/3)z = –7/6 + 2 + 5/4 (5/12 – 4/12)z = –14/12 + 24/12 + 15/12 1/12z = 25/12 z = 25/12 : 1/12 z = 25/12 • 12/1 z = 25 |
|
2) 5 – у = 8 – 1/3 (4,5у – 5) 5 – у = 8 – 1/3 (9/2 у – 5) 5 – у = 8 – 3/2у + 5/3 5 – у = 8 – 1,5у + 5/3 –у + 1,5у = 8 + 5/3 – 5 0,5у = 4 2/3 у = 14/3 : 1/2 у = 14/3 • 2 у = 28/3 у = 9 1/3 |
6) 5/8(x – 2) = 2/3(x + 2) – (3 –x) 5/8x – 5/4 = 2/3x + 4/3 – 3 + x (5/8 – 5/3)x = 5/4 + 4/3 – 3 (15/24 – 40/24)x = 15/12 + 16/12 – 36/12 –25/24x = –5/12 25x = 10 х = 10 : 25 x = 0,4 |
|
3) 1/2(х – 4) + 6х = 5 – 1 1/2х 0,5(х – 4) + 6х = 5 – 1,5х 0,5х – 2 + 6х = 5 – 1,5х 6,5х + 1,5х = 5 + 2 8х = 7 х = 7 : 8 х = 0,875 |
7) 1/6y – (0,5 + 8/9y) = 1/9y – (1/3 + y) 1/6y – 1/2 – 8/9y = 1/9y – 1/3 – y (1/6 – 8/9 + 8/9)y = –1/3 + 1/2 (1/6 – 8/9 + 8/9)y = –2/6 + 3/6 1/6y = 1/6 у = 1/6 : 1/6 у = 1/6 • 6/1 y = 1 |
|
4) 3,2(1 – 2у) = 0,7(3у – 1,5) 3,2 – 6,4у = 2,1у – 1,05 –6,4у – 2,1у = –1,05 – 3,2 –8,5у = –4,25 у = –4,25 : (–8,5) у = 0,5 |
8) 3/5 • (3 – 2z) = 2/5 • (9 – z) – 0,3(z – 9) 9/5 – 6/5z = 18/5 – 2/5z – 3/10z + 27/10 (–6/5 + 2/5 + 3/10)z = 18/5 + 27/10 – 18/10 (–12/10 + 4/10 + 3/10)z = 36/10 + 27/10 – 18/10 –5/10z = 45/10 z = 45/10 : (–5/10) z = 45/10 • (–10/5) z = –9 |
|
1) 1 – 1/2(1 – y) = –0,2(y + 1) 1 – 0,5(1 – y) = –0,2(y + 1) 1 – 0,5 + 0,5y = –0,2y – 0,2 0,5y + 0,2y = –0,2 – 0,5 0,7y = –0,7 у = –0,7 : 0,7 y = –1 |
2) 0,5(0,5x – 5/7) = 3,5x + 1,5 1/2(1/2x – 5/7) = 3 1/2x + 1 1/2 1/4x – 5/14 = 7/2x + 3/2 (1/4 – 7/2)x = 3/2 + 5/14 (1/4x – 14/4)x = 21/14 + 5/14 –13/4x = 26/14 х = 26/14 : (–13/4) x = 26/14 • (–4/13) x = –4/7 |
Завдання 1443
|
1) x/3 – x/4 = 2/3 4/12 х – 3/12 х = 2/3 1/12 х = 2/3 х = 2/3 : 1/12 х = 2/3 • 12/1 x = 8 |
2) y/4 = 2/5 y –2 1/10 1/4 y – 2/5 y = –2 1/10 (5/20 – 8/20)у = –21/10 –3/20 y = –21/10 у = –21/10 : –3/20 у = –21/10 • (–20/3) y = 14 |
|
3) 5/6 х + x/3 = 14 (5/6 + 2/6)х = 14 7/6 х = 14 x = 14 : 7/6 х = 14 • 6/7 x = 12 |
4) 21 – 2y/5 = y 5/5 y + 2/5 y = 21 7/5 y = 21 у = 21 : 7/5 y = 21 • 5/7 y = 15 |
Завдання 1444
|
1) x/2 + x/4 = 1/12 6/12 x + 3/12 x = 1/12 9/12 x = 1/12 х = 1/12 : 9/12 х = 1/12 • 12/9 x = 1/9 |
2) 4/3 y = 8 – 2y 4/3 y + 2y = 8 (4/3 + 6/3)y = 8 10/3 y = 8 у = 8 : 10/3 у = 8 • 3/10 у = 24/10 y = 2,4 |
Завдання 1445
|
1) (x + 8)/3 = (2 – x)/2 2(х + 8) = 3(2 – х) 2х+ 16 = 6 – Зх 2х + Зх = 6 – 16 5х = –10 х = –10 : 5 х = –2 |
3) (3,75 – x)/(1/2) = (x – 2,5)/(1/3) 2(3,75 – х) = 3(х – 2,5) 7,5 – 2х = Зх – 7,5 –2х – Зх = –7,5 – 7,5 –5х = –15 х = –15 : (–5) х = 3 |
|
2) (2,5 + y)/0,5 = (6 + 2y)/0,4 0,4(2,5 + у) = 0,5(6 + 2у) 1 + 0,4у = 3 + у 0,4у – у = 3 – 1 –0,6у = 2 –3/5у = 2 у = 2 : (–3/5) у = 2 • (–5/3) у = –10/3 y = –3 1/3 |
4) (4 – 6y)/3 = (1/3 y – 2)/(1/2) (4 – 6y)/3 = (1/3 y – 2) • 2 4 – 6y = (1/3y – 2) • 6 4 – 6у = 2у – 12 –6у – 2у = –12 – 4 –8у = –16 у = –16 : (–8) y = 2 |
Завдання 1446
|
1) (7 + x)/2 = (5 + x)/4 4(7 + х) = 2(5 + х) 28 + 4х = 10 + 2х 4х – 2х = 10 – 28 2х = –18 х = –18 : 2 х = –9 |
2) (1,5 – 4y)/(1/4) = (–8 + 8y)/2 (1,5 – 4y) • 4 = (–8 + 8y)/2 (1,5 – 4у) • 8 = –8 + 8у 12 – 32у = –8 + 8у –32у – 8у = –8 – 12 –40у = –20 у = –20 : (–40) у = 0,5 |
Завдання 1447
1) x + 3у = 11 і 2x + 3у = 13;
х + Зу = 11, звідси Зу = 11 – х.
Підставимо значення в друге рівняння:
2х + 11 – х = 13; х = 13 – 11; х = 2
Підставимо значення в перше рівняння:
2 + Зу = 11; Зу = 9; у = 9 : 3; у = 3
Відповідь: х = 2; у = 9.
2) х + у = 18 і х – у = 5.
х + у = 18, звідси у = 18 – х.
Підставимо значення в друге рівняння:
х – (18 – х) = 5; х – 18 + х = 5; 2х = 23; х = 11,5
Підставимо значення в перше рівняння:
11,5 + у = 18; у = 11,5 – 6,5; у = 6,5
Відповідь: х= 11,5; у = 6,5.
Завдання 1448
1) (x + 1)/4 – 2x = (5 – 3x)/2 – (x + (x – 3)/8)
1/4 x + 1/4 – 2x = 5/2 – 3/2 x – x – 1/8 х + 3/8
(1/4 – 2 + 3/2 + 1 + 1/8)x = 5/2 + 3/8 – 1/4
(2/8 – 16/8 + 12/8 + 8/8 + 1/8) х = 20/8 + 3/8 – 2/8
7/8 x = 21/8
х = 21/8 : 7/8
х = 21/8 • 8/7
x = 3
2) (3x + 1)/2 + 4 = (x + 4)/3 – (3x – (5x – 1)/6)
3/2 x + 1/2 + 4 = x/3 + 4/3 – 3x + 5/6 x – 1/6
(3/2 – 1/3 + 3 – 5/6)x = 4/3 – 1/6 – 1/2 – 4
(9/6 – 2/6 + 18/6 – 5/6) х = 8/6 – 1/6 – 3/6 – 24/6
20/6 x = –20/6
х = –20/6 : 20/6
х = –20/6 • 6/20
x = –1
3) 4,5 : (8 1/3 z + 4 1/6) = 0,6 : (1 1/3 z – 2)
4,5 • (1 1/3z – 2) = 0,6 • (8 1/3z + 4 1/6)
4 1/2 • (1 1/3 z – 2) = 0,6 • (8 1/3z + 4 1/6)
9/2 • (4/3 z – 2) = 3/5 • (25/3 z + 25/6)
6z – 9 = 5z + 2,5
6z – 5z = 2,5 + 9
z = 11,5
Завдання 1449
|
1) х + 2 = а х = а – 2 |
4) 3(х – 2) = 2х – а 3х – 6 – 2х = –а х = 6 – а |
||
|
а) якщо a = 3 х = 3 – 2 х = 1 |
б) якщо х = 1 1 = а – 2 а = 3 |
а) якщо а = 3 х = 6 – 3 х = 3 |
б) якщо х = 1 1 = 6 – а а = 6 – 1 а = 5 |
|
2) 5х – а = 10 5х = 10 + а x = (10 + a)/5 х = 10/5 + а/5 х = 2 + а/5 |
5) 12 – 5х = 8(а + 4х) 2 – 5х = 8а + 32х –5х – 32х = 8а – 12 –37х = 8а – 12 х = (12 – 8а) : 37 |
||
|
a) якщо а = 3 х = 2 + 3/5 х = 2 3/5 |
б) якщо х = 1 1 = 2 + а/5 а/5 = 1 – 2 а/5 = –1 а = –5 |
а) якщо а = 3 х = (12 – 8 • 3) : 37 х = –12 : 37 х = – 12/37 |
б) якщо х = 1 1 = (12 – 8а) : 37 37 – 12 = –8а а = –25/8 а = –3 1/8 |
|
3) 4(х + 2) = а + 8 4х + 8 = а + 8 4х = а x = a/4 |
6) 7х – 2(а – 6) = 5х – 2 7х – 2а + 12 = 5х – 2 7х – 5х = 2а – 12 – 2 2х = 2а – 14 |
||
|
а) якщо а = 3 х = 3/4 |
б) якщо х = 1 а/4 = 1 а = 4 |
а) якщо а = 3 2х = 6 – 14 2х = –8 х = –4 |
б) якщо х = 1 2 = 2а – 14 2а = 16 а = 8 |
Завдання 1450
Тарасик демонструє друзям і подругам математичний фокус «Відгадай дату свого народження». Він пропонує виконати дії:
1) день свого народження помножити на 2;
2) до результату додати 5;
3) отриманий результат помножити на 50;
4) додати номер місяця, в якому народився. Потім просить назвати число. Після цього Тарасик віднімає 250 від отриманого числа. У нього виходить чотирицифрове або трицифрове число: перші дві або одна цифра — день, а дві останні — місяць. У чому полягає секрет?
Розв'язання
Нехай дата народження друга Тарасика ху, де х — день народження, а у — місяць народження.
Виконаємо з цими числами всі описані арифметичні операції:
(2х + 5) • 50 + у – 250 = 100х + 250 + у – 250 = 100х + у
Тобто отримали число, подане у стандартній формі, яке містить інформацію про дату народження.
Завдання 1451
Математичний фокус.
1. Попросіть товариша обрати будь-яке число.
2. Скажіть йому помножити свій вибір на 3.
3. Додайте до результату 12.
4. Розділіть отримане число на 3.
5. Відніміть від поточного результату початкове вибране число.
Незалежно від того, яке число спочатку обрав товариш, ви завжди отримаєте 4 як результат!