Завдання 32 Лінійні рівняння
|
1) 3x = 6 2) x = 4 |
3) x² = 4 4) |x| = 2 |
5) 4/x = 2 6) 1/4x = 2 |
7) x = 0 8) 0x = 8? |
Завдання 33 Корінь рівняння
1) 4х = 12; 4 • 4 ≠ 12, тому число 4 не є коренем ріваняння;
2) 1/4х = 1; 1/4 • 4 = 1, тому число 4 є коренем рівняння;
3) 0х = 0; 0 • 4 = 0, тому число 4 є коренем рівняння;
4) 0х = 4; 0 • 4 ≠ 4, тому число 4 не є коренем рівняння.
Завдання 34
1) 3х = –10; х = –10/3 – один корінь
2) 0х = 6 – жодного кореня (на 0 ділити не можна!)
3) 0х = 0 – безліч коренів (х – довільне число)
4) 5х = 0; х = 0 – один корінь
Завдання 35
|
1) 5/9х = 1 х = 1 : 5/9 х = 1 • 9/5 х = 9/5 х = 1 4/5 |
2) –3х = 6/7 х = 6/7 : (–3) х = 6/7 • (–1/3) х = –2/7 |
3) –1,4х = –2,1 х = –2,1 : (–1,4) х = 1,5 |
4) –1/6х = 6 х = 6 : (–1/6) х = 6 • (–6) х = –36 |
Завдання 36
|
1) –6х = 1/3 х = 1/3 : (–6) х = 1/3 • (–1/6) х = –1/18 |
2) 0,1х = –2,75 х = –2,75 : 0,1 х = –275 : 100 х = –27,5 |
3) 1/3х = 12 х = 12 : 1/3 х = 12 • 3/1 х = 36 |
4) 5/7х = –10/49 х = –10/49 : 5/7 х = –10/49 • 7/5 х = –2/7 |
Завдання 37
|
1) 2x – 7 = x + 4 2x – x = 4 + 7 x = 11 |
4) 10 – 2x = 12 + x –2x – x = 12 – 10 –3x = 2 х = 2 : (–3) x = –2/3 |
|
2) 18 – 16x = –30x – 10 –16x + 30x = –10 –18 14x = –28 х = –28 : 14 x = –2 |
5) 6x – 19 = –2x – 15 6x + 2x = –15 + 19 8x = 4 х = 4 : 8 x = 0,5 |
|
3) –7x + 2 = 3x – 1 –7x – 3x = –1 – 2 –10x = –3 х = (–3) : (–10) x = 0,3 |
6) 0,2x + 3,4 = 0,6x – 2,6 0,2x – 0,6x = –2,6 – 3,4 –0,4x = –6 х = –6 : (–0,4) х = –60 : (–4) x = 15 |
Завдання 38
|
1) 3x + 6 = 2x – 1 3x – 2x = –1 – 6 x = –7 |
3) 20 – Зх = 2х – 45 –Зх – 2х = –45 – 20 –5х = –65 х = –65 : (–5) х = 13 |
|
2) 10х + 7 = 8х – 9 10х – 8х = –9 –7 2х = –16 х = –16 : 2 х = –8 |
4) 2,7 + 1,9x = 2x + 1,5 1,9x – 2х = 1,5 – 2,7 –0,1х = –1,2 х = –1,2 : (–0,1) х = –12 : (–1) х = 12 |
Завдання 39
|
1) –3(х – 4) = 5х – 12 –Зх + 12 = 5х – 12 –Зх – 5х = –12 – 12 –8х = –24 х = –24 : (–8) x = 3 |
3) 26 – 4x = 3x – 7(x – 3) 26 – 4х = Зx – 7х + 21 –4x – Зх + 7х = 21 – 26 0х = –5 коренів немає |
|
2) (16х – 5) – (3 – 5х) = 6 16х – 5 – 3 + 5х = 6 16х + 5х = 6 + 5 + 3 21х = 14 х = 14/21 x = 2/3 |
4) –2(3 – 4x) + 5(2 – 1,6x) = 4 –6 + 8x + 10 – 8x = 4 0x = 4 + 6 – 10 0x = 0 х – будь–яке число |
Завдання 40
(9 – 4x) – (5 + 6x) = 8
9 – 4x – 5 – 6x = 8
–10x = 8 – 9 + 5
–10x = 4
х = –4/10
x = –2/5
Завдання 41
|
1) 4(13 – Зх) – 17 = –5x 52 – 12x – 17 = –5x –12x + 5x = 17 – 52 –7х = –35 х = –35 : (–7) x = 5 |
3) 14 – x = 0,5(4 – 2x) + 12 14 – х = 2 – x + 12 –х + х = 2 + 12 – 14 0x = 0 х – будь–яке число |
|
2) (18 – 3x ) – (4 + 2x) =10 18 – 3x – 4 – 2x = 10 –5x = 10 – 18 + 4 –5x = –4 х = –4 : (–5) x = 0,8 |
4) 4x – 3(20 – x) = 10x – 3(11 + x) 4x – 60 + 3x = 10x – 33 – Зх 4x + 3x – 10x + 3x = –33 + 60 0x = 27 коренів немає |
Завдання 42
|
1) 4(х – 5) = 4х – 20 4х – 20 = 4х – 20 4х – 4х = –20 + 20 0х = 0 Відповідь: коренем є будь–яке число |
2) 2y – 8 = 4 + 2у 2у – 2у = 4 + 8 0у = 12 Відповідь: коренів немає. |
Завдання 43
|
1) 0,8 – (1,5x – 2) = –0,8 + 4,5x 0,8 – 1,5x + 2 = –0,8 + 4,5x –1,5х – 4,5x = –0,8 – 0,8 – 2 –6х = –3,6 х = –3,6 : (–6) х = 0,6 |
3) 1/7(7/8y + 7) – 3/4(2/9y + 1 7/9) = 1/12 1/7(7/8y + 7) – 3/4(2/9y + 16/9) = 1/12 1/8y + 1 – 1/6y – 4/3 = 1/12 1/8y + 1 – 1/6y – 16/12 = 1/12 1/8y – 1/6y = 1/12 + 16/12 – 1 1/8y – 1/6y = 17/12 – 12/12 1/8y – 1/6y = 5/12 3/24y – 4/24y = 10/24 –1/24y = 10/24 у = 10/24 : (–1/24) у = 10/24 • (–24/1) у = –10 |
|
2) 0,6x–5(0,3x+0,2)=0,5(x–1)–0,8 0,6x – 1,5x – 1 = 0,5x – 0,5–0,8 0,6x – 1,5x – 0,5x = –0,5–0,8+1 –1,4x = –0,3 х = –3/10 : (–1 4/10) х = –3/10 : (–14/10) х = –3/10 • (–10/14) x = 3/14 |
4) 5/27(5,4 – 8,1y)=0,03 + 4/17•(6,8 – 3,4у) 5/27(54/10–81/10y)=0,03+4/17•(68/10–34/10у) 1 – 3/2y = 0,03 + 8/5 – 4/5 у 1 – 1,5у = 0,03 + 1,6 – 0,8у –1,5y + 0,8y = 0,03 + 1,6 – 1 –0,7y = 0,63 у = 0,63 : (–0,7) у = 6,3 : (–7) y = –0,9 |
Завдання 44
|
1) 0,9x –0,6(x – 3) = 2(0,2x –1,3) 0,9x – 0,6x + 1,8 = 0,4x – 2,6 0,3x + 1,8 = 0,4x – 2,6 0,3x – 0,4x = –2,6 – 1,8 –0,1x = –4,4 х = –4,4 : (–0,1) х = –44 : (–1) x = 44 |
2) –0,4(3x – 1) + 8(0,8x – 0,3) = 5 – (3,8x + 4) –1,2x + 0,4 + 6,4x – 2,4 = 5 – 3,8x – 4 5,2x – 2 = 1 – 3,8x 5,2x + 3,8x = 1 + 2 9x = 3 х = 3/9 x = 1/3 |
|
3) 4/7 (0,56 – 4,2y) + 0,4 = 5/13 • (0,52 – 6,5y) 0,32 – 2,4y + 0,4 = 0,2 – 2,5y –2,4y + 2,5y = 0,2 – 0,32 – 0,4 0,1y = –0,52 у = –0,52 : 0,1 у = –52 : 10 y = –5,2 |
|
Завдання 45
|
1) 8(7х –3) = –48(3х + 2) |:8 7х – 3 = –6(Зх + 2) 7х – 3 = –18х – 12 7х + 18х = –12 + 3 25х = –9 х = –9 : 25 х = –0,36 |
2) 4,5(8х +20) = 6(6х + 15) 18(2х + 5) = 18(2х+5) |:18 2х + 5 = 2х + 5 2х – 2х = 5 – 5 0х = 0 х – будь–яке число |
Завдання 46
|
1) –36(6х +1) = 9(4 –2х) |:9 –4(6х + 1) = 4 – 2х –24х – 4 = 4 – 2х –24х + 2х = 4 + 4 –22х = 8 х = –8/22 х = –4/11 |
2) 3,2(3х–2) = –4,8(6–2х) |: 1,6 2(3х – 2) = –3(6 – 2х) 6х – 4 = –18 + 6х 6х – 6х = –18 + 4 0х = –14 Коренів немає |
Завдання 47
|
1) (4х – 1,6)(8 + х) = 0 4х – 1,6 = 0 або 8 + х = 0 4х = 1,6 х = –8 х = 1,6 : 4 х = 0,4 Відповідь: 0,4; –8. |
3) (Зх – 2)(4 + 1/3х) = 0 Зх – 2 = 0 або 4 + 1/3х = 0 Зх = 2 або 1/3х = –4 х = 2/3 х = –4 : 1/3 х = –4 • 3 х = –12 Відповідь: 2/3; –12. |
|
2) х(5 – 0,2х) = 0 х = 0 або 5 – 0,2х = 0 –0,2х = –5 х = –5 : (–0,2) х = –50 : (–2) х = 25 Відповідь: 0; 25. |
4) (2х + 1,2)(х + 1)(0,7х – 0,21) = 0 2х + 1,2 = 0 або х + 1 = 0 або 0,7х – 0,21 = 0 2х = –1,2 х = –1 0,7х = 0,21 х = –1,2 : 2 х = 0,21 : 0,7 х = –0,6 х = 2,1 : 7 х = 0,3 Відповідь: –0,6; –1; 0,3. |
Завдання 48
|
1) (1,8 – 0,3у)(2у + 9) = 0 1,8 – 0,3у = 0 або 2у + 9 = 0 –0,3у = –1,8 2у = –9 у = –1,8 : (–0,3) у = –9 : 2 у = –18 : (–3) у = –4,5 у = 6 Відповідь: 6; –4,5. |
2) (5у + 4)( 1,1у – 3,3) = 0 5у + 4 = 0 або 1,1у –3,3 = 0 5у = –4 1,1у = 3,3 у = –4 : 5 у = 3,3 : 1,1 у = –0,8 у = 33 : 11 у = 3 Відповідь: –0,8; 3. |
Завдання 49
|
1) (5x – 4)/2 = (16x + 1)/7 7(5х – 4) = 2(16х + 1) 35х– 28 = 32х + 2 35х – 32х = 2 + 28 Зх = З0 х = 30 : 3 х = 10 |
2) (4у + 33)/3 = (17 + y)/2 2(4у + 33) = 3(17 + у) 8у + 66 = 51 + Зу 8у – Зу = 51 – 66 5у = –15 у = –15 : 5 у = –3 |
Завдання 50
|
1) (3m + 5)/4 = (5m + 1)/3 3(3m + 5) = 4(5m + 1) 9m + 15 = 20m + 4 9m – 20m = 4 – 15 –11m = –11 m = –11 : (–11) m = 1 |
2) (5x + 3)/5 = (x – 5)/8 8(5х + 3) = 5(х – 5) 40х + 24 = 5x – 25 40х – 5х = –25 – 24 35x = –49 х = –49 : 35 x = –1,4 |
Завдання 51
|
1) 2x/3 + 5x/4 = 23 |•12 2x • 4 + 5x • 3 = 276 8x + 15x = 276 23х = 276 х = 276 : 23 х = 12 |
2) x/6 – x/8 = 7/36 |•72 12 • x – 9 • x = 7 • 2 12x – 9x = 14 Зх = 14 х = 14/3 x = 4 2/3 |
3) 3x/10 – 4/15 = x/6 |•30 3х • 3 – 4 • 2 = х • 5 9х – 8 = 5х 9х – 5х = 8 4x = 8 х = 8 : 4 x = 2 |
Завдання 52
|
1) 7x/6 – 5x/18 = 4/27 |•54 7x • 9 – 5x • 3 = 4 • 2 63х – 15x = 8 48x = 8 х = 8/48 x = 1/6 |
2) 2x/7 + x/4 = 15/14 |•28 2х • 4 + х • 7 = 15 • 2 8х + 7х = 30 15x = 30 х = 30 : 15 х = 2 |
3) –x/8 + 1 = x/12 |•24 –х • 3 + 1 • 24 = х • 2 –Зх + 24 = 2х –3х – 2х = –24 –5х = –24 х = –24 : (–5) х = 4,8 |
Завдання 53
|
1) 4х – 0,2(8х – 7) = –22,6 4х – 1,6x + 1,4 = –22,6 4х – 1,6х = –22,6 – 1,4 2,4x = –24 х = –24 : 2,4 х = –240 : 24 х = –10 |
3) 0,6y = 0,3(y – 4) + 1,5 0,6y = 0,3y – 1,2 + 1,5 0,6y – 0,3y = –1,2 + 1,5 0,3y = 0,3 у = 0,3 : 0,3 y = 1 |
|
2) 0,2(3 – 2y) = 0,3(7 – 6y) + 2,7 0,6 – 0,4y = 2,1 – 1,8у + 2,7 –0,4y + 1,8y = 2,1 + 2,7 – 0,6 1,4y = 4,2 у = 4,2 : 1,4 у = 42 : 14 y = 3 |
4) 5(5х – 1) = 6,5 + 2х 25х – 5 = 6,5 + 2х 25х – 2х = 6,5 + 5 23x = 11,5 х = 11,5 : 23 x = 0,5 |
Завдання 54
При якому значенні змінної:
1) вирази 6 – (2x – 9) і (18 + 2x) – 3(x – 3) набувають рівних значень;
6 – (2x – 9) = (18 + 2x) – 3(x – 3)
6 – 2x + 9 = 18 + 2x – 3x + 9
15 – 2x = 27 – x
–2x + x = 27 – 15
–x = 12
х = 12 : (–1)
x = –12
2) значення виразу –(2y – 0,9) на 2,4 менше від значення виразу 5,6 – 10y?
(5,6 – 10y) – 2,4 = –(2y – 0,9)
5,6 – 10y – 2,4 = –2y + 0,9
–10y + 12у = 0,9 – 5,6 + 2,4
2у = –2,3
у = –2,3 : 2
у = –1,15
Завдання 55
|
1) |х| + 6 = 13 |х| = 13 – 6 |х| = 7 х = 7 або х = –7 Відповідь: 7; –7. |
5) |9 + х| = 0 9 + x = 0 x = –9 |
|
2) |х| – 7 = –12 |х| = –12 + 7 |х| = –5 Коренів немає |
6) |х – 4| = –2 Коренів немає |
|
3) 7|х| – 3 = 0 7|х| = 3 |х|= 3/7 х = 3/7 або х= –3/7 Відповідь: 3/7; –3/7. |
7) |3х + 4| = 2 Зх + 4 = 2 або Зх + 4 = –2 Зх = 2 – 4 Зх = –2 – 4 Зх = –2 Зх = –6 х = –2/3 х = –6 : 3 х = –2 Відповідь: –2/3; –2. |
|
4) |х – 5| = 4 х – 5 = 4 або x – 5 = –4 х = 4 + 5 х = –4 + 5 x = 9 х = 1 Відповідь: 9; 1. |
8) ||х| – 3| = –5 Коренів немає |
Завдання 56
|
1) |х| – 8 = –5 |х| = 3 х = 3 або х = –3 Відповідь: 3; –3. |
4) |8 – 0,2х| = 12 8 – 0,2х = 12 або 8 – 0,2x = –12 –0,2x = 4 –0,2x = –20 x = 4 : (–0,2) x = –20 : (–0,2) x = 40 : (–2) x = –200 : (–2) x = –20 x = 100 Відповідь: –20; 100. |
|
2) |х| + 5 = 2 |х| = 2 – 5 |х| = –3 Коренів немає |
5) |10x – 7| – 32 = –16 |10x – 7| = –16 + 32 |10x – 7| = 16 10х – 7 = 16 або 10х – 7 = –16 10х = 16 + 7 10х = –16 + 7 10х = 23 10х = –9 х = 23 : 10 х = –9 : 10 х = 2,3 х = –0,9 Відповідь: 2,3; –0,9. |
|
3) |х + 12| = 3 х + 12 = 3 або х + 12 = –3 х = 3 – 12 х = –3 – 12 х = –9 х = –15 Відповідь: –9; –15. |
6) ||х| – 2| = 2 |х| – 2 = 2 або |х| – 2 = –2 |х| = 2 + 2 |х| = –2 + 2 |х| = 4 |х| = 0 х = 4 або х = –4 x = 0 Відповідь: 4; –4; 0. |
Завдання 57
При якому значенні a рівняння:
1) 5ax = –45 має корінь, що дорівнює числу 3;
Підставимо в рівняння х = 3.
5а • З = –45
15а = –45
а = –45 : 15
а = –3
Відповідь: –3.
2) (a – 4) x = –5a + 4x – 7 має корінь, що дорівнюєчислу –6?
Підставимо в рівняння х = –6.
(a – 4) • (–6) = –5a + 4 • (–6) – 7
–6а + 24 = –5а – 24 – 7
–6а + 5а = –24 – 7 – 24
–а = –55
а = 55
Відповідь: 55.
Завдання 58
При якому значенні a рівняння:
1) 3ax = 12 – x має корінь, що дорівнює числу –9;
Підставимо в рівняння х = –9.
За • (–9) = 12 – (–9)
–27а = 21
a = –21/27
a = –7/9
Відповідь: –7/9.
2) (5a + 2)x = 8 – 2a має корінь, що дорівнює числу 2?
Підставимо в рівняння х = 2.
(5а + 2) • 2 = 8 – 2а
10а + 4 = 8 – 2а
10а + 2а = 8 – 4
12а = 4
а = 4/12
a = 1/3
Відповідь: 1/3.
Завдання 59
Укажіть яке–небудь значення b, при якому буде цілим числом корінь рівняння:
|
1) 0,1x = b. Нехай b = 1, тоді 0,1x = 1 х = 1 : 0,1 х = 10 : 1 х = 10 — ціле число. Відповідь: 1. |
2) bх = 21. Нехай b = 3, тоді Зх = 21 х = 21 : 3 х = 7 — ціле число. Відповідь: 3. |
3) 1/6х = b. Нехай b = 1, тоді 1/6х = 1 х = 1 : 1/6 х = 1 • 6 х = 6 — ціле число. Відповідь: 1. |
4) bх = 1/6. Нехай b = 1/6, тоді 1/6х = 1/6 х = 1/6 : 1/6 х = 1/6 • 6/1 х = 1 — ціле число. Відповідь: 1/6. |
Завдання 60
Складіть рівняння, яке:
1) має єдиний корінь, що дорівнює числу –4;
Рівняння ax = b має єдиний корінь, якщо a ≠ 0.
Підставимо х = –4 в рівняння ax = b, одержимо b = –4a.
Нехай а = 3, тоді b = –4 • 3 = –12 і рівняння матиме вигляд: 3х = –12
Відповідь: 3х = –12.
2) має безліч коренів;
Рівняння ax = b має безліч коренів, якщо a = 0, b = 0, тому 0x = 0.
0х = 4х + 3х – 7х
0 = 8 – 7 – 1
Прирівняємо ліву і праву частини, одержимо:
4х + 3х – 7х = 8 – 7 – 1
4х – 8 + 3х = 7х – 7 – 1
4(х – 2) + 3х = 7(х – 1) – 1
Відповідь: 4(х – 2) + 3х = 7(х – 1) – 1
3) не має коренів.
Рівняння ax = b не має коренів, якщо a = 0, b ≠ 0, тому 0x = b.
Нехай b = 2, тоді 0х = 2
0x = 6x – 6x
6x – 6х = 2
6х – 2 = 6х
2(3х – 2) = 6х
Відповідь: 2(3х – 2) = 6х
Завдання 61
Знайдіть усі цілі значення m, при яких є цілим числом корінь рівняння:
1) mх = 3;
х = 3/m, тому частка буде цілим числом тільки тоді, коли m = –1; 1; –3; 3.
Відповідь: –1; 1; –3; 3.
2) (m + 4)х = 49;
х = 49/(m + 4), тому частка буде цілим числом тільки тоді,
коли (m + 4) = –1, звідси m = –1 – 4 = –5;
коли (m + 4) = 1, звідси m = 1 – 4 = –3;
коли (m + 4) = –7; m = –7 – 4 = –11;
коли (m + 4) = 7; m = 7 – 4 = 3;
коли (m + 4) = –49; m = –49 – 4 = –53;
коли (m + 4) = 49, m = 49 – 4 = 45.
Відповідь: –5; –3; –11; 3; –53; 45.
Завдання 62
Знайдіть усі цілі значення n, при яких є натуральним числом корінь рівняння:
1) nx = –5;
х = –5/n, тому частка буде натуральним числом тільки тоді, коли n = –1; –5;
Відповідь: –1; –5.
2) (n – 6)x = 25.
х = 25/(n – 6), тобто частка буде натуральним числом тільки тоді,
коли (n – 6) = 1, звідси n = 1 + 6 = 7;
коли (n – 6) = 5, звідси n = 5 + 6 = 11;
коли (n – 6) = 25, звідси n = 25 + 6 = 31.
Відповідь: 7; 11; 31.
Завдання 63
При якому значенні b мають один і той самий корінь рівняння:
|
1) 7 – 3x = 6x – 56 і x – 3b = –35; Розв'язуємо перше рівняння: 7 – Зx = 6х – 56 –Зх – 6x = –56 – 7 –9х = –63 х = 7 Підставимо значення х у друге рівняння, одержимо: 7 – 3b = –35 –3b = –42 b = –42 : (–3) b = 14 Відповідь: при b = 14. |
2) 2y – 9b = 7 і 3,6 + 5y = 7 (1,2 – y)? Розв'язуємо друге рівняння: 3,6 + 5y = 8,4 – 7y 12y = 4,8 y = 0,4 Підставимо значення у в перше рівняння, одержимо: 2 • 0,4 – 9b = 7 0,8 – 9b = 7 –9b = 6,2 b = 31/5 : (–9) b = –31/45 Відповідь: при b = –31/45. |
Завдання 64
При якому значенні c мають один і той самий корінь рівняння:
|
1) (4x + 1) – (7x + 2) = x і 12x – 9 = c + 5; Розв'язуємо перше рівняння: (4х + 1) – (7х + 2) = х 4х + 1 – 7х – 2 = х 4х – 7х – х = –1 + 2 –4x = 1 х = –0,25 Підставимо значення х в друге рівняння, одержимо: 12 • (–0,25) – 9 = с + 5 –3 – 9 = с + 5 с = –3 – 9 – 5 с = –17 Відповідь: при с = –17. |
1/7 сх = х + с і 6 – 3(2х – 4) = –8х + 4 Розв'язуємо друге рівняння: 6 – 6x + 12 = –8х + 4 –6х + 8х = 4 – 6 – 12 2х = –14 х = –7 Підставимо значення х в перше рівняння, одержимо: 1/7 с • (–7) = –7 + с –с = –7 + с –2с = –7 с = 3,5 Відповідь: при с = 3,5. |
Завдання 65
|
1) ах = 6 х = 6/а, не має коренів, якщо а = 0 Відповідь: 0. |
2) (3 – а)х = 4 х = 4/(3 – а) не має коренів, якщо 3 – а = 0 а = 3 Відповідь: 3. |
3) (а – 2)х = а + 2 x = (a + 2)/(a – 2), не має коренів, якщо а – 2 = 0 а = 2 Відповідь: 2. |
Завдання 66
1) ах = а має коренем будь–яке число, якщо а = 0.
Відповідь: 0.
2) (а – 2)х = 2 – а
х = (2 – а)/(а – 2), має коренем будь–яке число, якщо
2 – а = 0 і а – 2 = 0
а = 2 а = 2
Відповідь: 2.
3) а(а + 5)х = а + 5
х = (а + 5)/а(а + 5) має коренем будь–яке число, якщо
а + 5 = 0 і а(а + 5) = 0
а = –5 а = 0 або а + 5 = 0
а = –5
Число а = 0 не підходить, бо а + 5 = 0 + 5 = 5, а за умовою а + 5 = 0.
Відповідь: –5.
Завдання 67
1) (a – 5) x = 6;
х = 6/(а – 5) має єдиний корінь, якщо а – 5 ≠ 0, а ≠ 5
2) (a + 7) x = a + 7;
х = (a + 7)/(a + 7) має єдиний корінь, якщо а + 7 ≠ 0, а ≠ –7
Завдання 68
|
1) (b + 1)х = 9 x = 9/(b + 1) Рівняння має розв'язок, якщо b + 1 ≠ 0 Рівняння має корені при b ≠ –1 |
2) (b2 + 1)х = –4 х = –4 : (b2 + 1) Рівняння має розв'язок, якщо b2 + 1 ≠ 0 Рівняння має корені при будь–якому b |
Завдання 69
(m + 8)х = m + 8
х = (m + 8)/(m + 8)
Рівняння має розв'язок, якщо
m + 8 ≠ 0, тому рівняння має корені при m ≠ –8
Завдання 70
У рівності 6х + 8 = 4х + * замініть зірочку таким виразом, щоб утворилося рівняння:
1) не має коренів;
* = 2х, бо 6х + 8 = 4х + 2х, 0х = –8
2) має безліч коренів;
* = 2х + 8, бо 6х + 8 = 4х + (2х + 8), 0х = 0
3) має один корінь?
* – будь–яке число, наприклад, 8, бо 6х + 8 = 4х + 8, 2х = 0
Завдання 71
У рівності 2(1,5x – 0,5) = 7x + *, Зх – 1 = 7х + *; замініть зірочку таким виразом, щоб утворилося рівняння:
1) не має коренів;
* = –4х, бо Зх – 1 = 7х + (–4х), 0х = 1
2) має безліч коренів;
* = –4х – 1, бо Зх – 1 = 7х + (–4х – 1), 0х = 0
3) має один корінь.
* – будь–яке число, наприклад, * = –1, бо Зх – 1 = 7х + (–1), 4х = 0
Завдання 72 Модуль числа
|
1) |х| + Зх = 12; Якщо х ≥ 0, то |х| = х. х + Зх = 12 4х = 12 х = 12 : 4 х = 3 – корінь. Якщо х < 0, то |х| = –х. –х + Зх = 12 2х = 12 х = 12 : 2 х = 6 не задовільняє умову х < 0, тому не є коренем рівняння. Відповідь: х = 3. |
2) |х| – 4х = 9; Якщо х ≥ 0, то |х| = х. х – 4х = 9 –Зх = 9 х = 9 : (–3) х = –3 не задовільняє умову х ≥ 0, тому не є коренем. Нехай х < 0, то |х| = –х. –х – 4х = 9 –5х = 9 х = 9 : (–5) х = –1,8 – корінь. Відповідь: х = –1,8. |
3) 2(х – 5) – 6|х| = –18; Якщо х ≥ 0, то |х| = х. 2х – 10 – 6х = –18 –4х = –8 х = –8 : (–4) х = 2 – корінь. Нехай х < 0, то |х| = –х. 2(х – 5) – 6 • (–х) = –18 2х – 10 + 6х = –18 8х = –8 х = –8 : 8 х = –1 – корінь. Відповідь: х = 2 і х = –1. |
Завдання 73
|
1) 2x – |x| = –1. Якщо х ≥ 0, то |х| = х. 2х – х = –1 х = –1 не задовільняє умову х ≥ 0, тому не є коренем. Якщо х < 0, то |х| = –х. 2х – (–х) = –1 2х + х = –1 Зх = –1 х = –1/3 – корінь. Відповідь: х = –1/3. |
2) 7|x| – 3(х + 2) = –10; Якщо х ≥ 0, то |х| = х. 7х – 3(х + 2) = –10 7х – 3х – 6 = –10 7х – 3х = –10 + 6 4х = –4 х = –1 не задовольняє умову х ≥ 0, тому не є коренем. Нехай х < 0, то |х| = –х. 7 • (–x) – 3(х + 2) = –10 –7х – Зх – 6 = –10 –7х – Зх = –10 + 6 –10x = –4 х = 0,4 не задовольняє умову х < 0, тому не є коренем. Відповідь: коренів немає. |
Завдання 74
При яких цілих значеннях a корінь рівняння є цілим числом, яке ділиться націло на 2?
1) x – 2 = a
х = а + 2
х = 2(а + 2)/2
х = 2(а/2 + 1)
Корінь рівняння є цілим числом, яке ділиться націло на 2, якщо а — парне число;
2) x + 7a = 9
х = 9 – 7а
х = 2(9 – 7а)/2
Корінь рівняння є цілим числом, яке ділиться націло на 2, якщо а — непарне число, тоді 7а — непарне число, 9 – 7а — парне число;
3) 2x – a = 4
х = (4 + а)/2
х = 2(4 + а)/4
х = 2(1 + а/4)
Корінь рівняння є цілим числом, яке ділиться націло на 2, якщо а — парне число, що націло ділиться на 4;
4) x + 2a = 3
х = 3 – 2а
х = 2(3 – 2а)/2
х = 2(3/2 – а)
Корінь рівняння не може бути цілим числом, яке ділиться націло на 2, за будь–якого цілого числа а.
Відповідь: 1) а — парне число; 2) а — непарне число; 3) а — кратне числу 4; 4) не існує такого числа a.
Завдання 75
При яких цілих значеннях b корінь рівняння є цілим числом, яке ділиться націло на 3:
1) x + 3 = b;
х = b – 3
х = 3(b – 3)/3
х = 3(b/3 – 1)
Корінь рівняння є цілим числом, яке ділиться націло на 3, якщо b націло ділиться на 3;
2) x – 2 = b;
х = b + 2
х = 3(b + 2)/3
х = 3(b/3 + 2/3)
Корінь рівняння є цілим числом, яке ділиться націло на 3, якщо b дорівнює 1, 4, 7, 10..., тобто b при діленні на З дає в остачі 1;
3) x – 3b = 8
х = 8 + 3b
x = 3(8 + 3b)/3
x = 3(8/3 + b)
Корінь рівняння не може бути цілим числом, яке ділиться націло на 3, за будь–якого цілого числа b.
Відповідь: 1) b — кратне 3; 2) b при діленні на 3 дає в остачі 1; 3) не існує такого числа b.
Завдання 76
При яких значеннях b корінь рівняння є меншим від b:
1) 3x = b; х = b/3, b/3 < b при всіх значеннях b, які більші нуля;
2) x = 2b; 2b < b при всіх від'ємних значеннях b.
Відповідь: 1) b > 0; 2) b < 0.
Завдання 77
При яких значеннях d корінь рівняння є більшим за d:
1) 4x = d; х = d/4; d/4 > d при всіх від'ємних значеннях d;
2) 1/5x = d; х = 5d; 5d > d при всіх значення d, які більші від нуля.
Відповідь: 1) d < 0; 2) d > 0.
Завдання 78
У турнірі з волейболу брали участь 8 команд. Кожна команда двічі зіграла з кожною іншою командою. Скільки всього матчів було зіграно на турнірі?
Розв'язання
Позначимо: 1к — перша команда, 2к — друга команда і т.д. до 8k — восьма команда.
|
Комбінації матчів |
Кількість матчів |
|
1к2к, 1кЗк, 1к4к, 1к5к, 1к6к, 1к7к, 1к8к 2кЗк, 2к4к, 2к5к, 2к6к, 2к7к, 2к8к Зк4к, Зк5к, Зкбк, Зк7к, Зк8к 4к5к, 4к6к, 4к7к, 4к8к 5к6к, 5к7к, 5к8к 6к7к, 6к8к 7к8к |
7 6 5 4 3 2 1 |
7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1= 28 (м.) – було зіграно на турнірі.
Відповідь: 28 матчів.
Завдання 79
Один робітник може виконати завдання за 45 год, а другому для цього потрібно в 1 1/2 раза менше часу, ніж першому. За скільки годин вони виконають це завдання, працюючи разом? Яку частину завдання при цьому виконає кожен із них?
Короткий запис
I — 45 год — 1
II — ?, у 1 1/2 рази менше, ніж I — 1
Разом — 1 год — ?
Разом — ? год — 1
I — ? год — ?
II — ? год — ?
Розв'язання
1) 45 : 1 1/2 = 45 : 1,5 = 30 (год) — часу потрібно II робітникові для виконання завдання;
Приймемо все завдання за 1, тоді
2) 1 : 45 = 1/45 (ч.) — завдання виконає I робітник за 1 год;
3) 1 : 30 = 1/30 (ч.) — завдання виконає II робітник за 1 год;
4) 1/45 + 1/30 = 2/90 + 3/90 = 5/90 = 1/18 (ч.) — завдання, що виконають разом за 1 год;
5) 1 : 1/18 = 1 • 18/1 = 18 (год) — часу потрібно двом робітникам для завдання;
6) 1/45 • 18 = 2/5 (ч.) — завдання, яке виконає I робітник;
7) 1/30 • 18 = 3/5 (ч.) — завдання, яке виконає II робітник.
Відповідь: 18 год; 2/5; 3/5.
Завдання 80
За перший день Олена прочитала 8/15 сторінок книжки,за другий — 5/12 сторінок книжки та за третій день — решту 12 сторінок. Скільки сторінок у цій книжці?
Короткий запис
I — 8/15 с.
II — 5/12 с.
III — ?, решта, що складає 12 с. всього
Всього — ?
Розв'язання
1) 8/15 + 5/12 = 32/60 + 25/60 = 57/60 (с.) – прочитала за перші два дні разом;
Приймемо загальну кількість сторінок в книжці за 1, тоді
1) 1 – 57/60 = 60/60 – 57/60 = 3/60 = 1/20 (с.) – решта, що складає 12 сторінок;
2) 12 : 1/20 = 12 • 20 = 240 (с.) – всього в книжці.
Відповідь: 240 сторінок.
Завдання 81
Відомо, що n — натуральне число. Яким числом, парним чи непарним, є значення виразу:
1) 4n — парне число, бо 4 ділиться націло на 2;
2) 2n – 1 — непарне число, бо 2n парне число, а попереднє натуральне число буде непарним;
3) n(n + 1) — парне число, бо воно є добутком двох послідовних натуральних чисел, одне з яких парне.
Відповідь: 1) парне, 2) непарне, 3) парне.
Завдання 82
1) Твердження 2а > а неправильне, бо воно не виконується для від’ємних значень а;
2) твердження 2|a| > |a| неправильне, бо воно не виконується для значення а = 0.
Відповідь: 1) неправильне; 2) неправильне.
Завдання 83
Скільки існує шестицифрових чисел, у записі яких є хоча б одна парна цифра?
Усього шестицифрових чисел є: 999999 – 99999 = 900000
Усіх шестицифрових чисел, записаних тільки непарними цифрами, є:
5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5 = 25 • 25 • 25 = 625 • 25 = 15625
Усіх шестицифрових чисел, у запису яких є хоча б одна парна цифра, всі решта чисел:
900000 – 15625 = 884375
Відповідь: 884375.