Завдання 432 Множення многочленів
1) (a – 2)(b + 5) = ab + 5a – 2b – 10
2) (m + n)(p – k) = mp – mk + np – nk
3) (x – 8)(x + 4) = x² + 4x – 8x – 32 = x² – 4x – 32
4) (x – 10)(x – 9) = x² – 9x – 10x + 90 = x² – 19x + 90
5) (c + 5)(c + 8) = c² + 8c + 5c + 40 = c² + 13c + 40
6) (3y + 1)(4y – 6) = 12y² – 18y + 4y – 6 = 12y² – 14y – 6
7) (–2m – 3)(5 – m) = –10m + 2m² – 15 + 3m = 2m² – 7m – 15
8) (5x² – x)(6x² + 4x) = 30x4 + 20x3 – 6x3 – 4x² = 30x4 + 14x3 – 4x²
9) (–c – 4)(c3 + 3) = –c4 – 3c – 4c3 – 12 = –c4 – 4c3 – 3c – 12
10) (x – 5)(x² + 4x – 3) = x3 + 4x² – 3x – 5x² – 20x + 15 = x3 – x² – 23x + 15
11) (2a + 3)(4a² – 4a + 3) = 8a3 – 8a² + 6a + 12a² – 12a + 9 = 8a3 + 4a² – 6a + 9
12) a(5a – 4)(3a – 2) = a(15a² – 10a – 12a + 8) = a(15a² – 22a + 8) = 15a3 – 22a² + 8a
Завдання 433
1) (a + b)(c – d) = ac – ad + bc – bd
2) (x – 6)(x – 4) = x² – 4x – 6x + 24 = x² – 10x + 24
3) (a – 3)(a + 7) = a² + 7a – 3a – 21 = a² + 4a – 21
4) (11 – c)(c + 8) = 11c + 88 – c² – 8c = –c² + 3c + 88
5) (d + 13)(2d – 1) = 2d² – d + 26d – 13 = 2d² + 25d – 13
6) (3y – 5)(2y – 12) = 6y² – 36y – 10y + 60 = 6y² – 46y + 60
7) (2x² – 3)(x² + 4) = 2x4 + 8x² – 3x² – 12 = 2x4 + 5x² – 12
8) (x – 6)(x² – 2x + 9) = x3 – 2x² + 9x – 6x² + 12x – 54 = x3 – 8x² + 21x – 54
9) (5x – y)(2x² + xy – 3y²) = 10x3 + 5x²y – 15xy² – 2x²y – xy² + 3y3 =
= 10x3 + 3x²y – 16xy² + 3y3
10) b(6b + 7)(3b – 4) = b(18b² – 24b + 21b – 28) = b(18b² – 3b – 28) =
= 18b3 – 3b² – 28b
Завдання 434
1) (x + 2)(x + 11) – 2x(3 – 4x) = (x² + 11x + 2x + 22) – (6x – 8x²) =
= x² + 13x + 22 – 6x + 8x² = 9x² + 7x + 22
2) (a + 5)(a – 2) + (a – 4)(a + 6) = (a² – 2a + 5a – 10) + (a² + 6a – 4a – 24) =
= a² + 3a – 10 + a² + 2a – 24 = 2a² + 5a – 34
3) (y – 9)(3y – 1) – (2y + 1)(5y – 7) = (3y² – y – 27y + 9) – (10y² – 14y + 5y – 7) =
= (3y² – 28y + 9) – (10y² – 9y – 7) = 3y² – 28y + 9 – 10y² + 9y + 7 = –7y² – 19y + 16
4) (4x – 1)(4x – 3) – (2x – 10)(8x + 1) = (16x² – 12x – 4x + 3) – (16x² + 2x – 80x – 10) =
= (16x² – 16x + 3) – (16x² – 78x – 10) = 16x² – 16x + 3 – 16x² + 78x + 10 = 62x + 13
Завдання 435
1) (a – 2)(a – 1) – a(a + 1) = (a² – a – 2a + 2) – a² – a = a² – 3a + 2 – a² – a =
= –4a + 2
2) (b – 5)(b + 10) + (b + 6)(b – 8) = (b² + 10b – 5b – 50) + (b² – 8b + 6b – 48) =
= b² + 5b – 50 + b² – 2b – 48 = 2b² + 3b – 98
3) (2c + 3)(3c + 2) – (2c + 7)(2c – 7) = (6c² + 4c + 9c + 6) – (4c² – 49) =
= 6c² + 13c + 6 – 4c² + 49 = 2c² + 13c + 55
4) (3d + 5)(5d – 1) – (6d – 3)(2 – 8d) = (15d² – 3d + 25d – 5) – (12d – 48d² – 6 + 24d) =
= 15d² + 22d – 5 – (–48d² + 36d – 6) = 15d² + 22d – 5 + 48d² – 36d + 6 = 63d² – 14d + 1
Завдання 436
1) (x + 2) (x – 5) – (x – 3) (x + 4) = (x² – 5x + 2x – 10) – (x² + 4x – 3x – 12) =
(x² – 3x – 10) – (x² + x – 12) = x² – 3x – 10 – x² – x + 12 = –4x + 2
Якщо x = –5,5, тоді –4х + 2 = –4(–5,5) + 2 = 22 + 2 = 24
2) (y + 9)(y – 2) + (3 – y)(6 + 5y) = (y² – 2y + 9y – 18) + (18 + 15y – 6y – 5y²) =
= (y² + 7y – 18) + (18 + 9y – 5y²) = y² + 7y – 18 + 18 + 9y – 5y² = –4y² + 16y
Якщо y = –1 1/2 = 1,5, тоді –4у² + 16у = –4(–1,5)² + 16(–1,5) = –4•2,25 – 24 =
= –9 – 24 = –33
Завдання 437
1) (a + 3)(a – 10) – (a + 7)(a – 4) = (a² – 10a + 3a – 30) – (a² – 4a + 7a – 28) =
= (a² – 7a – 30) – (a² + 3a – 28) = a² – 7a – 30 – a² – 3a + 28 = –10a – 2
Якщо a = –0,01, тоді –10а – 2 = –10(–0,01) – 2 = 0,1 – 2 = –1,9
2) (8c + 12)(3c – 1) + (3c + 2)(–5c – 6) = (24c² – 8c + 36c – 12) + (–15c² – 18c – 10c – 12) =
= 24c² + 28c – 12 + (–15c² – 28c – 12) = 24c² + 28c – 12 – 15c² – 28c – 12 = 9c² – 24
Якщо c = 1 1/3, тоді 9с² – 24 = 9(1 1/3)² – 24 = 9•16/9 – 24 = 16 – 24 = –8
Завдання 438
|
1) (2x – 3)(4x + 3) – 8x² = 33 8x² + 6x – 12x – 9 – 8x² = 33 –6x – 9 = 33 –6 = 42 x = –7 |
3) 21x² – (3x – 7)(7x – 3) = 37 21x² – (21x² – 9x – 49x + 21) = 37 21x² – 21x² + 9x + 49x – 21 = 37 58x = 37 + 21 58x = 58 x = 1 |
|
2) (2x – 6)(8x + 5) + (3 – 4x)(3 + 4x) = 55 16x² + 10x – 48x – 30+9+12x–12x–16x²=55 –38x – 21 = 55 –38x = 55 + 21 –38x = 76 x = –2 |
4) (x + 1)(x + 2) – (x – 3)(x + 4) = 12 x² + 2x + x + 2–(x² + 4x – 3x – 12)=12 x² + 2x + x + 2 – x² – 4x + 3x + 12=12 2x + 14 = 12 x = –1 |
|
5) (–4x + 1) (x – 1) – x = (5 – 2x) (2x + 3) – 17 –4x² + 4x + x – 1 – x = 10x + 15 – 4x² – 6x – 17 –4x2 + 4x + x – x – 10x + 4x² + 6x = 15 – 17 + 1 0x = –1 – рівняння коренів не має. |
|
Завдання 439
|
1) (2x – 1)(15 + 9x) – 6x(3x – 5)=87 30x + 18x² – 15 – 9x –18x²+30x=87 30x + 18x² – 9x – 18x²+30x=87+15 51x = 102 x = 2 |
3) (x + 10)(x – 5) – (x – 6)(x + 3) = 16 x² – 5x + 10x – 50 – (x² + 3x – 6x – 18)=16 x² – 5x + 10x – 50 – x² – 3x + 6x + 18=16 8x – 32 = 16 8x = 48 x = 6 |
|
2) (14x – 1)(2 + x)=(2x – 8)(7x+1) 28x + 14x² – 2 – x=14x²+2x–56x–8 28x + 14x² – x – 14x²–2x+56x=–8+2 81x = –6 x = –2/27 |
4) (3x + 7)(8x + 1) = (6x – 7)(4x – 1)+ 93x 24x² + 3x + 56x + 7=24x² – 6x –28x+7+93x 24x² + 3x + 56x – 24x² + 6x + 28x–93x=7–7 0x = 0 – коренем рівняння є довільне число. |
Завдання 440
1) (x + 2)(x – 1)(x – 4) = (x² – x + 2x – 2)(x – 4) = (x² + x – 2)(x – 4) =
= x3 – 4x² + x² – 4x – 2x + 8 = x3 – 3x² – 6x + 8
2) (2x + 1)(x + 5)(x – 6) = (2x² + 10x + x + 5)(x – 6) = (2x² + 11x + 5)(x – 6) =
= 2x3 – 12x² + 11x² – 66x + 5x – 30 = 2x3 – x² – 61x – 30
3) (x² – 2x + 3)(x² + 2x – 3) = x4 + 2x3 – 3x² – 2x3 – 4x² + 6x + 3x² + 6x – 9 =
= x4 – 4x² + 12x – 9
4) (a + 2b – c)(a – 3b + 2c) = a² – 3ab + 2ac + 2ab – 6b² + 4bc – ac + 3bc – 2c² =
= a² – ab + ac – 6b² + 7bc – 2c²
5) (a + b)(a3 – a²b + ab² – b3) = a4 – a3b + a²b² – ab3 + a3b – a²b² + ab3 – b4 = a4 – b4
6) (x – 1)(x4 + x3 + x² + x + 1) = x5 + x4 + x3 + x² + x – x4 – x3 – x² – x – 1 = x5 – 1
Завдання 441
1) (a + 1)(a – 2)(a – 3) = (a² – 2a + a – 2)(a – 3) = (a² – a – 2)(a – 3) =
= a3 – 3a² – a² + 3a – 2a + 6 = a3 – 4a² + a + 6
2) (3a – 2)(a + 3)(a – 7) = (3a² + 9a – 2a – 6)(a – 7) = (3a² + 7a – 6)(a – 7) =
= 3a3 – 21a² + 7a² – 49a – 6a + 42 = 3a3 – 14a² – 55a + 42
3) (a² – 2a + 1)(a² + 3a – 2) = a4 + 3a3 – 2a² – 2a3 – 6a² + 4a + a² + 3a – 2 =
= a4 + a3 – 7a² + 7a – 2
4) (a + 1)(a4 – a3 + a² – a + 1) = a5 – a4 + a3 – a² + a + a4 – a3 + a² – a + 1 =
= a5 – a4 + a4 + a3 – a3 – a² + a² + a – a + 1 = a5 + 1
Завдання 442
Замініть степінь добутком, а потім добуток перетворіть у многочлен:
1) (a + 5)² = (a + 5)(a + 5) = a² + 5a + 5a + 25 = a² + 10a + 25
2) (4 – 3b)² = (4 – 3b)(4 – 3b) = 16 – 12b – 12b + 9b² = 9b² – 24b + 16
3) (a + b + c)² = (a + b + c)(a + b + c) =
= a² + ab + ac + ab + b² + bc + ac + bc + c² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
4) (a – b)3 = (a – b)(a – b)(a – b) = (a² – 2ab + b²)(a – b) =
= a3 – a²b – 2a²b + 2ab² + ab² – b3 = a3 – 3a²b + 3ab² – b3
Завдання 443
Доведіть, що при будь–якому значенні змінної значення виразу дорівнює 16.
(x + 3)(x² – 4x + 7) – (x² – 5)(x – 1) =
= x3 – 4x² + 7x + 3x² – 12x + 21 – (x3 – x² – 5x + 5) =
= x^3 – 4x² + 7x + 3x² – 12x + 21 – x3 + x² + 5x – 5 = 16
Завдання 444
Доведіть, що при будь–якому значенні змінної значення виразу дорівнює –11.
(x – 3)(x² + 7) – (x – 2)(x² – x + 5) =
= x3 + 7x – 3x² – 21 – (x3 – x² + 5x – 2x² + 2x – 10) =
= x3 + 7x – 3x² – 21 – x3 + x² – 5x + 2x² – 2x + 10 = –11
Завдання 445
Задумали чотири натуральних числа. Друге число на 1 більше за перше, третє — на 5 більше за друге, а четверте — на 2 більше за третє. Знайдіть ці числа, якщо відношення першого числа до третього дорівнює відношенню другого числа до четвертого.
Розв'язання
Нехай перше натуральне число дорівнює n, тоді друге дорівнює n + 1, третє – (n + 1) + 5 = n + 6, а четверте – (n + 6) + 2 = n + 8. Складаємо рівняння:
n : (n + 6) = (n + 1) : (n + 8)
n(n + 8) = (n + 6)(n + 1)
n² + 8n = n² + n + 6n + 6
n² + 8n – n² – n – 6n = 6
n = 6 – перше число.
n + 1 = 6 + 1 = 7 – друге число.
n + 6 = 6 + 6 = 12 – третє число.
n + 8 = 6 + 8 = 14 – четверте число.
Відповідь: 6, 7, 12 і 14.
Завдання 446
Задумали три натуральних числа. Друге число на 4 більше за перше, а третє — на 6 більше за друге. Знайдіть ці числа, якщо відношення першого числа до другого дорівнює відношенню другого числа до третього.
Розв'язання
Нехай перше натуральне число дорівнює n, тоді друге дорівнює n + 4, а третє – (n + 4) + 6 = n + 10. Складаємо рівняння:
n : (n + 4) = (n + 4) : (n + 10)
n(n + 10) = (n + 4)(n + 4)
n² + 10n = n² + 4n + 4n + 16
n² + 10n – n² – 4n – 4n = 16
n = 8 – перше число;
n + 4 = 8 + 4 = 12 – друге число;
n + 10 = 8 + 10 = 18 – третє число.
Відповідь: 8, 12 і 18.
Завдання 447
Знайдіть чотири послідовних натуральних числа таких, що добуток четвертого й другого із цих чисел на 17 більший за добуток третього та першого.
Розв'язання
Нехай перше натуральне число дорівнює n, тоді друге дорівнює n + 1, третє – n + 2, а четверте – n + 3. Складаємо рівняння:
(n + 3)(n + 1) – (n + 2)n = 17
n² + n + 3n + 3 – n² – 2n = 17
2n = 17 – 3
2n = 14
n = 7 – перше число;
n + 1 = 7 + 1 = 8 – друге число;
n + 2 = 7 + 2 = 9 – третє число;
n + 3 = 7 + 3 = 10 – четверте число.
Відповідь: 7, 8, 9 і 10.
Завдання 448
Знайдіть три послідовних натуральних числа таких, що добуток другого та третього із цих чисел на 50 більший за квадрат першого.
Розв'язання
Нехай перше натуральне число дорівнює n, тоді друге дорівнює n + 1, а третє – n + 2. Складаємо рівняння:
(n + 1)(n + 2) – n² = 50
n² + 2n + n + 2 – n² = 50
3n = 50 – 2
3n = 48
n = 16 – перше число;
n + 1 = 16 + 1 = 17 – друге число;
n + 2 = 16 + 2 = 18 – третє число.
Відповідь: 16, 17 і 18.
Завдання 449
Сторона квадрата на 3 см менша від однієї зі сторін прямокутника та на 5 см більша за його другу сторону. Знайдіть сторону квадрата, якщо його площа на 45 см² більша за площу даного прямокутника.
Розв'язання
Нехай сторона квадрата дорівнює x см, тоді одна сторона прямокутника дорівнює (x + 3) см, а інша сторона – (x – 5) см. Площа квадрата дорівнює x² см², а площа прямокутника – (x + 3)(x – 5) см². Складаємо рівняння:
x² – (x + 3)(x – 5) = 45
x² – (x² – 5x + 3x – 15) = 45
x² – x² + 5x – 3x + 15 = 45
2x = 45 – 15
2x = 30
x = 15 (см) – сторона квадрата.
Відповідь: 15 см.
Завдання 450
Периметр прямокутника дорівнює 60 см. Якщо одну його сторону зменшити на 5 см, а другу збільшити на 3 см, то його площа зменшиться на 21 см². Знайдіть сторони даного прямокутника.
Розв'язання
Нехай ширина прямокутника дорівнює x см, тоді його довжина – (60 : 2 – x) = (30 – x) см, а площа – (30 – x) • x см². Ширина нового прямокутника дорівнює (x – 5) см, а його довжина дорівнює (30 – x) + 3 = (33 – x) (см), а площа – (x – 5)(33 – x) см². Складаємо рівняння:
(30 – x) • x – (x – 5)(33 – x) = 21
30x – x² – (33x – x² – 165 + 5x) = 21
30x – x² – 33x + x² + 165 – 5x = 21
–8x = 21 – 165
–8x = –144
x = 18 (см) – ширина прямокутника;
30 – 18 = 12(см) – довжина прямокутника.
Відповідь: 18 см і 12 см.
Завдання 451
Довжина прямокутника на 2 см більша за його ширину. Якщо довжину збільшити на 2 см, а ширину зменшити на 4 см, то площа прямокутника зменшиться на 40 см². Знайдіть початкові довжину та ширину прямокутника.
Розв'язання
Нехай ширина прямокутника дорівнює x см, тоді його довжина – (x + 2) см, а площа – (x + 2) • x см². Ширина нового прямокутника дорівнює (x – 4) см, а його довжина дорівнює (x + 2) + 2 = (x + 4) (см), а площа – (x – 4)(x + 4) см². Складаємо рівняння:
(x + 2) • x – (x – 4)(x + 4) = 40
x² + 2x – (x² + 4x – 4x – 16) = 40
x² + 2x – x² – 4x + 4x + 16 = 40
2x = 40 – 16
2x = 24
x = 12 (см) – ширина прямокутника;
x + 2 = 12 + 2 = 14 (см) – довжина прямокутника.
Відповідь: 12 см і 14 см.
Завдання 452 Тотожність
1) (x – 1)(x – 7) = x² – 7x – x + 7 = x² – 8x + 7
2) y²(y – 7)(y + 2) = y²(y² + 2y – 7y – 14) = y²(y² – 5y – 14) = y4 – 5y3 – 14y²
3) (a – 2)(a² + 2a + 4) = a3 + 2a² + 4a – 2a² – 4a – 8 = a3 – 8
4) (a – 1)(a + 1)(a² + 1) = (a² – 1)(a² + 1) = a4 – 1
5) (a4 – a² + 1)(a4 + a² + 1) = a8 + a4 + a4 – a6 – a² + a² + a4 – a6 + 1 = a8 + a4 + 1
Завдання 453
1) 3(a + 3)(a + 1/3) = 3(a² + 1/3a +3a + 1) = 3a² + 10a + 3
2) (a + 1)(a² + 5a + 6) = a3 + 5a² + 6a + a² + 5a + 6 = a3 + 6a² + 11a + 6
(a² + 3a + 2)(a + 3) = a3 + 3a² + 2a + 3a² + 9a + 6 = a3 + 6a² + 11a + 6
(a +1)(a² + 5a + 6) = (a² + 3a + 2)(a + 3)
3) (a + 1)(a4 – a3 + a² – a + 1) = a5 – a4 + a3 – a² + a + a4 – a3 + a² – a + 1 = a5 + 1
Завдання 454
Чи при всіх натуральних значеннях n значення виразу кратне 12?
(n + 9)(n + 11) – (n + 3)(n + 5) = n² + 11n + 9n + 99 – n² – 5n – 3n – 15 =
= 12n + 84 = 12(n + 7) – кратне 12 за всіх натуральних значеннях n.
Завдання 455
Чи при всіх натуральних значеннях n значення виразу (n + 29)(n + 3) – (n + 7)(n + 1) кратне 8?
(n + 29)(n + 3) – (n + 7)(n + 1) = n² + 3n + 29n + 87 – n² – n – 7n – 7 = 24n + 80 = 8(3n + 10) – кратне 8 за всіх натуральних значеннях n.
Завдання 456
Замініть зірочки такими одночленами, щоб утворилася тотожність:
1) (a – 2)(а + 6) = a² + 4а – 12;
(a – 2)(a + 6) = a² + 6a – 2a – 12 = a² + 4a – 12
2) (2a + 7) (a – 2) = 2a² + 3а – 14
(2a + 7)(a – 2) = 2a² – 4a + 7a – 14 = 2a² + 3a – 14
Завдання 457
Замініть зірочки такими одночленами, щоб утворилася тотожність:
1) (x + 3)(3x + 5) = 3x² + 14x + 15;
(x + 3)(3x + 5) = 3x² + 5x + 9x + 15 = 3x² + 14x + 15
2) (x – 4)(x + 6) = 2a² + 2х + 24.
(x – 4)(x + 6) = x² + 6x – 4x + 24 = x² + 2x + 24
Завдання 458
Вибрали деякі чотири послідовних натуральних числа й обчислили різницю добутку другого й третього із цих чисел і добутку першого та четвертого. Чи залежить ця різниця від вибору чисел?
Розв'язання
Нехай перше натуральне число дорівнює n, друге дорівнює n + 1, третє – (n + 2), а
четверте – n + 3, тоді різниця (n + 1)(n + 2) – (n + 3)n = n² + 2n + n + 2 – n² – 3n = 2
Відповідь: задана різниця не залежить від вибору чисел.
Завдання 459
Вибрали деякі три послідовних натуральних числа й обчислили різницю квадрата другого із цих чисел і добутку першого та третього. Чи залежить ця різниця від вибору чисел?
Розв'язання
Нехай перше натуральне число дорівнює n, друге дорівнює n + 1, третє – (n + 2), тоді
різниця (n + 1)² – (n + 2)n = (n + 1)(n + 1) – n(n + 2) = n² + n + n + 1 – n² + 2n = 1
Відповідь: задана різниця не залежить від вибору чисел.
Завдання 460
Доведіть, що значення виразу ab • ba – ab ділиться націло на 10 незалежно від значень а і b.
Розв'язання
ab • ba – ab = (10a + b)(10b + a) – ab = 100ab + 10a² + 10b² + ab – ab =
= 100ab + 10a² + 10b² = 10(10ab + a² + b²). Отже, значення виразу ділиться націло на 10 незалежно від значень а і b.
Завдання 461
Остача при діленні натурального числа x на 6 дорівнює 3, а остача при діленні натурального числа у на 6 дорівнює 2. Доведіть, що добуток чисел x і у ділиться націло на 6.
Розв'язання
Число x = 6n + 3, число y = 6m + 2, а добуток xy = (6n + 3)(6m + 2) =
= 36nm + 12 n + 18m + 6 = 6(6nm + 2n + 3m + 1). Отже, добуток чисел ділиться націло на 6.
Завдання 462
Доведіть, що коли ab + bc + ac = 0, то (a – b)(a – c) + (b – c)(b – a) + (c – a)(c – b) = a² + b² + c².
Розв'язання
Якщо ab + bc + ac = 0, тоді (a – b)(a – c) + (b – c)(b – a) + (c – a)(c – b) =
= a² – ac – ab + bc + b² – ab – bc + ac + c² – bc – ac + ab =
= a² + b² + c² – (ab + bc + ac) = a² + b² + c² – 0 = a² + b² + c²
Завдання 463
Остача при діленні натурального числа a на 8 дорівнює 3, а остача при діленні натурального числа b на 8 дорівнює 7. Доведіть, що остача при діленні добутку чисел a і b на 8 дорівнює 5.
Розв'язання
Число a = 8n + 3, число b = 8m + 7, а добуток ab = (8n + 3)(8m + 7) =
= 64nm + 56n + 24m + 21 = 64nm + 56n + 24m + 16 + 5 =
= 8(8nm + 7n + 3m + 2) + 5. Отже, остача при діленні добутку чисел a і b на 8 дорівнює 5.
Завдання 464
Остача при діленні натурального числа m на 11 дорівнює 9, а остача при діленні натурального числа n на 11 дорівнює 5. Доведіть, що остача при діленні добутку чисел m і n на 11 дорівнює 1.
Розв'язання
Число m = 11x + 9, число n = 11y + 5, тоді добуток mn = (11x + 9)(11y + 5) =
= 121xy + 55x + 99y + 45 = 121xy + 55x + 99y + 45 = 121xy + 55x + 99y + 44 + 1 =
= 11 • (11xy + 5x + 9y + 4) + 1. Отже, остача при діленні добутку чисел m і n на 11 дорівнює 1.
ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ
Завдання 465
Податок на доходи фізичних осіб становить 18% від заробітної плати. Після утримання податку інженер отримав 19 680 грн. Яка заробітна плата була йому нарахована?
Розв'язання
х грн — 100%
19680 грн — 82%
х/19680 = 100/82; 82х = 1968000; х = 24000 (грн)
Відповідь: заробітна плата, нарахована інженерові, становить 24 000 грн.
Завдання 466
Після подорожчання на 20% костюм став коштувати 2760 грн. Якою була ціна костюма до подорожчання?
Розв'язання
х грн — 100%
2760 грн — 120%
х/2760 = 100/120; 120х = 276000; х = 23000 (грн)
Відповідь: ціна костюма до подорожчання 23000 грн.
Завдання 467
Дві робітниці виготовили разом 108 деталей. Перша робітниця працювала 5 год, а друга — 3 год. Скільки деталей виготовляла щогодини кожна робітниця, якщо разом за 1 год вони виготовляють 26 деталей?
Розв'язання
Нехай перша робітниця за 1 год виготовляла x деталей, тоді друга – (26 – x) деталей. За 5 год перша робітниця виготовляла 5x деталей, а друга – 3(26 – x) деталей. Складаємо рівняння:
5x + 3(26 – x) = 108
5x + 78 – 3x = 108
5x – 3x = 108 – 78
2x = 30
x = 15 (д.) – виготовляла перша робітниця;
26 – 15 = 11 (д.) – виготовляла друга робітниця.
Відповідь: 15 деталей і 11 деталей.
Завдання 468
Змішали 72 г 5 %–го розчину солі та 48 г 15 %–го розчину солі. Знайдіть відсотковий вміст солі в утвореному розчині.
Розв'язання
1) 72 • 0,05 = 3,6 (г) – маса солі в 5% розчині;
2) 48 • 0,15 = 7,2 (г) – маса солі в 15% розчині;
3) 3,6 + 7,2 = 10,8 (г) – загальна маса солі;
4) 72 + 48 = 120 (г) – загальна маса розчину;
5) 10,8 : 120 • 100% = 9% – відсотковий вміст солі в утвореному розчині.
Відповідь: 9 %.
Завдання 469
Розв'яжіть рівняння, якщо □х = □ • 10 + х, х□ = 10х + □
|
1) 1x + 2x = x6 10 + x + 20 + x = 10x + 6 x + x – 10x = 6 – 10 – 20 –8x = –24 x = 3 |
2) x4 + x8 = 1x2 10x + 4 + 10x + 8 = 100 + 10x + 2 10x + 10x – 10x = 100 + 2 – 4 – 8 10x = 90 x = 9 |
Завдання 470
1) 1816n = 128n • 912n, де n — натуральне число;
128n • 912n = (122)4n • (93)4n = (122 • 93)4n = ((3 • 4)2 • (32)3)4n = (32 • 36 • 42)4n =
= (38 • 42)4n = ((32)4 •(22)2)4n = (94 • 24)4n = (184)4n = 1816n, отже, тотожність доведена.
2) 758n = 2254n • 6252n, де n — натуральне число;
2254n • 6252n = 2254n • (252)2n = 2254n • 254n = (225 • 25)4n = (15² • 5²)4n =
= ((15 • 5)2)4n = (752)4n = 758n , отже, тотожність доведена.
Завдання 471
(Старовинна грецька задача.) Демохар четверту частину життя прожив хлопчиком, п’яту частину — юнаком, третю частину — зрілою людиною та 13 років — у літах. Скільки років прожив Демохар? Демохар (IV–III ст. до н. е.) — давньогрецький політик, оратор та історик.
Розв'язання
Нехай Демохар прожив x років, тоді хлопчиком – 1/4x років, юнаком – 1/5x років, зрілою людиною – 1/3x років. Складаємо рівняння:
1/4 x + 1/5 x + 1/3 x + 13 = x |•60
15x + 12x + 20x + 780 = 60x
15x + 12x + 20x – 60x = –780
–13x = –780
x = 60 (р.) – прожив Демохар.
Відповідь: 60 років.
ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ
Завдання 472
Обчисліть, використовуючи розподільну властивість множення:
1) 4,8 • 2,9 + 4,8 • 7,1 = 4,8 • (2,9 + 7,1) = 4,8 • 10 = 48
2) 3 9/14 • 7/9 – 2 5/14 • 7/9 = 7/9 • (3 9/14 – 2 5/14) = 7/9 • 1 4/14 = 7/9 • 18/14 = 2/2 = 1
3) 3 9/14 • 0,3 – 0,3 • 1 10/21 + 0,3 • 1 1/6 = 0,3(3 9/14 – 1 10/21 + 1 1/6) =
0,3(3 27/42 – 1 20/42 + 1 7/42) =0,3 • 3 14/42 = 0,3 • 3 1/3 = 3/10 • 10/3 = 1
Завдання 473
|
1) x(x + 4) = 0 x = 0 або x + 4=0 x = 0 або x = –4 |
2) (x – 6) (x + 9) = 0 x – 6 = 0 або x + 9=0 x = 6 або x = –9 |
3) (3x + 5) (10 – 0,4x) = 0 3x + 5 = 0 або 10 – 0,4x=0 3x + 5 = 0 або 10 – 0,4x=0 3x = –5 або –0,4x = –10 x = –1 2/3 або x = 25 |
УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ
Завдання 474
У кожній клітинці дошки розміром 5 х 5 клітинок сидить жук. У деякий момент усі жуки переповзають на сусідні (по горизонталі або вертикалі) клітинки. Чи обов’язково при цьому залишиться порожня клітинка? Міркуємо так. Пронумеруємо усі клітинки дошки розміром 5х5 номерами від 1 до 25, тоді клітинок з парними номерами буде 12, а з непарними номерами – 13. Кожен жук, переповзаючи на сусідню по горизонталі чи вертикалі клітинку, який сидить у клітинці з парним номером попаде на клітинку з непарним номером, а який сидить у клітинці з непарним номером – на клітинку з парним номером. Отже, 12 жуків, які переповзають з клітинок з парними номерами не зможуть заповнити 13-ту звільнену клітинку з непарним номером, тому обов’язково залишається хоча б одна клітинка порожня.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |