Завдання 589
a²–144 = (a – 12)(a + 12), тому 2) (a – 12) (a + 12)
Завдання 590 Тотожність
|
1) –49 + b² = (7 – b)(7 + b); Ні 2) –49 + b² = (b – 7)(b + 7); Так |
3) –49 + b² = (7 – b)²; Ні 4) –49 + b² = (b – 49)(b + 49). Ні |
Завдання 591 Розкладання на множники
1) a² – 9 = (a – 3)(a + 3)
2) b² + 1 = = b² + 1² – не можна розкласти на множники
3) 4 – c² = (2 – c)(2 + c)
4) 25 + x² = 5² + x² – не можна розкласти на множники
5) 1 – y² = (1 – y)(1 + y)
6) 16a² – b² = (4a – b)(4a + b)
7) 81 + 100p² = 9² + 100p² – не можна розкласти на множники
8) 81 – 100p² = (9 – 10p)(9 + 10p)
9) m²n² – 25 = (mn – 5)(mn + 5)
10) –m²n² – 25 = –(m²n² + 25) – не можна розкласти на множники
Завдання 592 Розклад на множники
|
1) b² – d² = (b – d)(b + d) 2) x² – 1 = (x – 1)(x + 1) 3) –x² + 1 = –(x – 1)(x + 1) 4) 36 – c² = (6 – c)(6 + c) 5) 4 – 25a² = (2 – 5a)(2 + 5a) 6) 49a² – 100 = (7a – 10)(7a + 10) 7) 900 – 81k² = (30 – 9k)(30 + 9k) 8) 16x² – 121y²=(4x – 11y)(4x+11y) 9) b²c² – 1 = (bc – 1)(bc + 1) |
9) b²c² – 1 = (bc – 1)(bc + 1) 10) 1/4 x² – 1/9 y²=(1/2 x – 1/3 y)(1/2 x+1/3 y) 11) –4a²b² + 25 = –(2ab – 5)(2ab + 5) 12) 144x²y² – 400 = (12xy – 20)(12xy + 20) 13) a²b²c² – 1 = (abc – 1)(abc + 1) 14) 100a² – 0.01b² = (10a – 0,1b)(10a + 0,1b) 15) a4 – b2 = (a² – b)(a² + b) 16) p²t² – 0.36k²d² = (pt – 0,6kd)(pt + 0,6kd) 17) y10 – 9 = (y5 – 3)(y5 + 3) 18) 4x12 – 1 11/25 y16= (2x6 – 6/5y8)(2x6+6/5y8) |
Завдання 593
|
1) 16 – b² = (4 – b)(4 + b) 2) c² – 49 = (c – 7)(c + 7) 3) 0,04 – a² = (0,2 – a)(0,2 + a) 4) x² – 4/9 = (x – 2/3)(x + 2/3) 5) 4x² – 25 = (2x – 5)(2x + 5) 6) 81c² – 64d² = (9c – 8d)(9c + 8d) |
7) 0,09x² – 0,25y² = (0,3x – 0,5y)(0,3x + 0,5y) 8) a²b4 – c6d8 = (ab² – c3d4)(ab² + c3d4) 9) 4a²c² – 9x²y² = (2ac – 3xy)(2ac + 3xy) 10) x24 – y22 = (x12 – y11)(x12 + y11) 11) –1600 + a12 = (a6 – 40)(a6 + 40) 12) a18 – 49/64 = (a9 – 7/8)(a9 + 7/8) |
Завдання 594
Обчисліть, застосовуючи формулу різниці квадратів:
1) 86² – 76² = (86 – 76)(86 + 76) = 10 • 162 = 1620
2) 107² – 93² = (107 – 93)(107 + 93) = 14 • 200 = 2800
3) 7,32² – 6,32² = (7,32 – 6,32)(7,32 + 6,32) = 1 • 13,64 = 13,64
4) 19,4² – 19,3² = (19,4 – 19,3)(19,4 + 19,3) = 0,1 • 38,7 = 3,87
5) 8,54² – 1,44² = (8,54 – 1,44)(8,54 + 1,44) = 7,1 • 9,98 = 70,818
6) (3 2/3)² – (2 1/3)² = (11/3)² – (7/3)² = (11/3 – 7/3)(11/3 + 7/3) = (4/3) • (18/3) = 8
Завдання 595
1) x² – y² = (x – y)(x + y)
Якщо x = 75, у = 25, тоді (75 – 25)(75 + 25) = 50 • 100 = 5000
2) x² – y² = (x – y)(x + y)
Якщо x = 10,5, у = 9,5, тоді (10,5 – 9,5)(10,5 + 9,5) = 1 • 20 = 20
3) x² – y² = (x – y)(x + y)
Якщо x = 5,89, у = 4,11, тоді (5,89 – 4,11)(5,89 + 4,11) = 1,78 • 10 = 17,8
4) x² – y² = (x – y)(x + y)
Якщо x = 3,04, у = 1,96, тоді (3,04 – 1,96)(3,04 + 1,96) = 1,08 • 5 = 5,4
Завдання 596 Рівняння
|
1) x² – 49 = 0 (x – 7)(x + 7) = 0 x = 7 або x = –7 |
3) x² + 36 = 0 Не має розв'язків |
5) 9x² – 4 = 0 (3x – 2)(3x + 2) = 0 x = 2/3 або x = –2/3 |
|
2) 1/4 – z² = 0 (1/2 – z)(1/2 + z) = 0 z = 1/2 або z = –1/2 |
4) x² – 0,01 = 0 (x – 0,1)(x + 0,1) = 0 x = 0,1 або x = –0,1 |
6) 0,04x² – 1 = 0 (0,2x – 1)(0,2x + 1) = 0 x = 5 або x = –5 |
Завдання 597
|
1) c² – 0,25 = 0 (c – 0,5)(c + 0,5) = 0 c = 0,5 або c = –0,5 |
2) 81x² – 121 = 0; (9x – 11)(9x + 11) = 0 x = 11/9 або x = –11/9 |
3) –0,09 + 4x² = 0; 4x² = 0,09; x² = 0,0225; x = 0,15 або x = –0,15 |
Завдання 598
Розкладіть на множники, користуючись формулою різниці квадратів:
1) (x + 2)² – 49 = ((x + 2) – 7)((x + 2) + 7) = (x – 5)(x + 9)
2) (x – 10)² – 25у² = ((x – 10) – 5y)((x – 10) + 5y) = (x – 10 – 5y)(x – 10 + 5y)
3) 25 – (y – 3)² = (5 – (y – 3))(5 + (y – 3)) = (8 – y)(2 + y)
4) (a – 4)² – (a + 2)² = ((a – 4) – (a + 2))((a – 4) + (a + 2)) = (–6)(2a – 2) = –12(a – 1)
5) (m – 10)² – (n – 6)² = ((m – 10) – (n – 6))((m – 10) + (n – 6)) = (m – n – 4)(m + n – 16)
6) (8y + 4)² – (4y – 3)² = ((8y + 4) – (4y – 3))((8y + 4) + (4y – 3)) = (4y + 7)(12y + 1)
7) (5a + 3b)² – (2a – 4b)² = ((5a + 3b) – (2a – 4b))((5a + 3b) + (2a – 4b)) = (3a + 7b)(7a – b)
8) 4(a – b)² – (a + b)² = (2(a – b) – (a + b))(2(a – b) + (a + b)) =
= (2a –2b – a – b)(2a – 2b + a +b) = (a – 3b)(3a – b)
9) (x² + x + 1)² – (x² – x + 2)² = ((x² + x + 1) – (x² – x + 2))((x² + x + 1) + (x² – x + 2)) = (2x – 1)(2x² + 3)
10) (–3x3 + y)2 – 16x6 = ((–3x3 + y) – 4x3)((–3x3 + y) + 4x3) = (–7x3 + y)(x3 + y)
Завдання 599
1) (x – 2)² – 4 = ((x – 2) – 2)((x – 2) + 2) = (x – 4)x
2) (b + 7)² – 100c² = ((b + 7) – 10c)((b + 7) + 10c) = (b – 10c + 7)(b + 10c + 7)
3) 121 – (b + 7)² = (11 – (b + 7))(11 + (b + 7)) = (11 – b – 7)(11 + b + 7) = (4 – b)(18 + b)
4) a^4 – (7b – a²)² = (a² – (7b – a²))(a² + (7b – a²)) = (a² – 7b + a²)(a² + 7b – a²) =
= 7b(2a² – 7b)
5) (4x – 9)² – (2x + 19)² = ((4x – 9) – (2x + 19))((4x – 9) + (2x + 19)) = (2x – 28)(6x + 10)
6) (a + b + c)² – (a – b – c)² = ((a + b + c) – (a – b – c))((a + b + c) + (a – b – c)) =
= (2b + 2c)2a = 4a(b + c)
Завдання 600
1) (9x – 4)² – (7x + 5)² = (9x – 4 – (7x + 5))(9x – 4 + (7x + 5)) =
(9x – 4 – 7x – 5)(9x – 4 + 7x + 5) = (2x – 9)(16x + 1)
Якщо x = 1,5, тоді (2 • 1,5 – 9)(16 • 1,5 + 1) = (3 – 9)(24 + 1) = –6 • 25 = –150
2) (5x + 3y)² – (3x + 5y)² = (5x + 3y – (3x + 5y))(5x + 3y + (3x + 5y)) =
= (5x + 3y – 3x – 5y)(5x + 3y + 3x + 5y) = (2x – 2y)(8x + 8y) = 16(x – y)(x + y)
Якщо x = 2,1, y = 1,9, тоді 16(2,1 – 1,9)(2,1 + 1,9) = 16 • 0,2 • 4 = 12,8
Завдання 601
(2,5a – 1,5b)² –(1,5a – 2,5b)² = (2,5а – 1,5b – (1,5a – 2,5b))(2,5a – 1,5b + (1,5a – 2,5b)) =
= (2,5a – 1,5b – 1,5a + 2,5b)(2,5a – 1,5b + 1,5a – 2,5b) = (a + b)(4a – 4b) = 4(a + b)(a – b)
Якщо a = –1,5, b = –3,5, тоді 4(–1,5 + (–3,5))(–1,5 – (–3,5)) = 4 • (–5) • 2 = –40
Завдання 602
Чому дорівнює площа заштрихованої фігури, зображеної на рисунку 7? Обчисліть значення отриманого виразу при a = 7,4 см, b = 2,6 см.
S = a² – b² = (a – b)(a + b)
Якщо a = 7,4 см, b = 2,6 см, тоді S = (7,4 – 2,6)(7,4 + 2,6) = 4,8 • 10 = 48
Завдання 603
Два кола, радіуси яких дорівнюють R і r (R > r), мають спільний центр. Виразіть через p, R і r площу фігури, обмеженої цими колами. Обчисліть значення Рис. 7 отриманого виразу при R = 5,1 см, r = 4,9 см.
Розв'язання
S = πR² – πr² = π(R² – r²) = π(R – r)(R + r)
Якщо R = 5,1 см, r = 4,9 см, тоді S = π(5,1 – 4,9)(5,1 + 4,9) = 3,14 • 0,2 • 10 = 6,28
Завдання 604
Подайте у вигляді добутку трьох множників вирази.
1) m4 – 625 = (m² – 25)(m² + 25) = (m² – 5²)(m² + 5²) = (m – 5)(m + 5)(m² + 25)
2) x16 – 81 = (x8 – 9)(x8 + 9) = (x8 – 3²)(x8 + 9) = (x4 – 3)(x4 + 3)(x8 + 9)
Завдання 605
1) a8 – b8 = (a4 – b4)(a4 + b4) = (a² – b²)(a² + b²)(a4 + b4) =
= (a – b)(a + b)(a² + b²)(a4 + b4)
2) a16 – 256 = a16 – 162 = (a8 – 16)(a8 + 16) = (a8 – 4²)(a8 + 16) = (a4 – 4)(a4 + 4)(a8 + 16) =
= (a4 – 22)(a4 + 4)(a8 + 16) = (a2 – 2)(a2 + 2)(a4 + 4)(a8 + 16)
Завдання 606 Рівняння
|
1) (3x – 5)² – 49 = 0 (3x – 5 – 7)(3x – 5 + 7) = 0 3x – 12 = 0 або 3x + 2 = 0 x = 4 або x = –2/3 |
3) (a – 1)² – (2a + 9)² = 0 (a – 1 – (2a + 9))(a – 1 + (2a + 9)) = 0 –a – 10 = 0 або 3a + 8 = 0 a = –10 або a = –8/3 |
|
2) (4x + 7)² – 9x² = 0 (4x + 7 – 3x)(4x + 7 + 3x)=0 x + 7 = 0 або 7x + 7 = 0 x = –7 або x = –1 |
4) 25(3b + 1)² – 16(2b – 1)² = 0 (5(3b + 1) – 4(2b – 1))(5(3b + 1) + 4(2b – 1))=0 (15b + 5 – 8b + 4)(15b + 5 + 8b – 4) = 0 7b + 9 = 0 або 23b + 1 = 0 b = –9/7 або b = –1/23 |
Завдання 607
|
1) 16 – (6 – 11x)² = 0 (6 – 11x)² = 16 6 – 11x – 4 = 0 або 6 – 11x + 4=0 –11x = –2 а –11x = –10 x = 2/11 x = 10/11 |
2) (7m – 13)² – (9m + 19)² = 0; (7m – 13 – (9m + 19))(7m – 13 + (9m + 19))=0 (–2m – 32)(16m + 6) = 0 –2m – 32 = 0 або 16m + 6 = 0 –2m = 32 16m = –6 m = –16 m = –3/8 |
Завдання 608
1) (7n + 4)² – 9 = (7n + 4 – 3)(7n + 4 + 3) = (7n + 1)(7n + 7) = 7(7n + 1)(n + 1) – ділиться націло на 7
2) (8n + 1)² – (3n – 1)² = ((8n + 1) – (3n – 1))((8n + 1) + (3n – 1)) = 11n(5n + 2) – ділиться націло на 11
3) (3n + 7)² – (3n – 5)² = ((3n + 7) – (3n – 5))((3n + 7) + (3n – 5)) = 12(6n + 2) =
= 24(3n + 1) – ділиться націло на 24
4) (7n + 6)² – (2n – 9)² = ((7n + 6) – (2n – 9))((7n + 6) + (2n – 9)) = (5n + 15)(9n – 3) =
= 3(5n + 15)(3n – 1) = 15(n + 3)(3n – 1) – ділиться націло на 15
Завдання 609
1) (5n + 4)² – (5n – 4)² = ((5n + 4) – (5n – 4))((5n + 4) + (5n – 4)) = 8 • 10n = 80n – ділиться націло на 80
2) (9n + 10)² – (9n + 8)² = ((9n + 10) – (9n + 8))((9n + 10) + (9n + 8)) = 2(18n + 18) =
= 36(n + 1) – ділиться націло на 36
3) (10n + 2)² – (4n – 10)² = ((10n + 2) – (4n – 10))((10n + 2) + (4n – 10)) = (6n + 12)(14n – 8) = 12(n + 2)(7n – 2) – ділиться націло на 12
Завдання 610
1) різниця квадратів двох послідовних натуральних чисел дорівнює сумі цих чисел;
(n + 1)² – (n)² = (n + 1 – n)(n + 1 +n) = (n + 1) + n
2) різниця квадратів двох послідовних парних чисел ділиться націло на 4.
(2n + 2)² – (2n)² = (2n + 2 – 2n )(2n + 2 + 2n) = 2(4n + 2)
Завдання 611
1) різниця квадратів двох послідовних парних чисел дорівнює подвоєній сумі цих чисел;
(2n + 2)² – (2n)² = (2n + 2 – 2n)(2n + 2 +n) = 2((2n + 2) + 2n)
2) різниця квадратів двох послідовних непарних чисел ділиться націло на 8.
(2n + 1)² – (2n – 1)² = (2n + 1 – 2n + 1)(2n + 1 + 2n – 1) = 2 • 4n
Завдання 612 Тотожність
(m3 – n3) (m3 + n3)2 – (m6 + n6)2 = ((m3 – n3)(m3 + n3))2 – (m6 + n6)2 =
= (m6 – n6)2 – (m6 + n6)2 = (m6 – n6 – m6 – n6)(m6 – n6 + m6 + n6) = –4m6n6 Тотожність доведена.
Завдання 613
Різниця квадратів двох двоцифрових чисел, записаних одними й тими самими цифрами, дорівнює 693. Знайдіть ці числа.
Розв'язання
Нехай більше число дорівнює mn = 10m + n, а менше число дорівнює nm = 10n + m, тоді різниця їх квадратів:
(10m + n)² – (10n + m)² = (10m + n – 10n – m)(10m + n + 10n + m) =
= (9m – 9n)(11m + 11n) = 99(m – n)(m + n). За умовою
99(m – n)(m + n) = 693
(m – n)(m + n) = 7
m – n = 1 і m + n = 7
m = 4 і n = 3
Відповідь: 43 і 34.
Завдання 614
Остача від ділення на 7 одного натурального числа дорівнює 4, а другого числа — 3. Доведіть, що різниця квадратів цих чисел кратна 7.
Розв'язання
Нехай одне число x = 7m + 4, а інше y = 7n + 3, тоді різниця їх квадратів:
(7m + 4)² – (7n + 3)² = (7m + 4 – 7n – 3)(7m + 4 + 7n + 3) =
= (7m – 7n + 1)(7m + 7n + 7) = 7(7m – 7n + 1)(m + n + 1) – кратна 7.
Завдання 615
Рівняння (b² – 4) x = b – 2 запишемо у вигляді: (b – 2)(b + 2)x = b – 2
1) Рівняння (b – 2)(b + 2)x = b – 2 має безліч коренів, якщо b – 2 = 0; b = 2
2) Рівняння (b – 2)(b + 2)x = b – 2 не має коренів, якщо b + 2 = 0; b = –2
3) Рівняння (b – 2)(b + 2)x = b – 2 має один корінь, якщо b + 2 ≠ 0; b – 2 ≠ 0; b ≠ 2
Завдання 616
Рівняння (a² – 25)х = a + 5 запишемо у вигляді (a – 5)(a + 5)x = a + 5
1) Рівняння (a – 5)(a + 5)x = a + 5 має безліч коренів, якщо a + 5 = 0; a = –5
2) Рівняння (a – 5)(a + 5)x = a + 5 не має коренів, якщо a – 5 = 0; a = 5
3) Рівняння (a – 5)(a + 5)x = a + 5 має один корінь, якщо a + 5 ≠ 0; a – 5 ≠ 0; a ≠ 5
ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ
Завдання 617
У магазині «Стиль» ціну костюма знизили спочатку на 10 %, а потім ще на 10 %. У магазині «Мода» ціну такого самого костюма одразу знизили на 20 %. У якому магазині вигідніше купити костюм, якщо спочатку ціна костюма в обох магазинах була однаковою?
Розв'язнання
Нехай початкова ціна х.
1) х – 0,1х = 0,9х – знижена спочатку ціна товару в магазині "Стиль";
2) 0,9х – 0,1 • 0,9х = 0,81х – знижена потім ціна товару в магазині "Стиль";
3) х – 0,2х = 0,8х – знижена ціна товару в магазині "Мода".
0,81х > 0,8х
Відповідь: вигідніше купити костюм у магазині «Мода».
Завдання 618
Човен рухався 2,4 год за течією річки та 3,6 год проти течії. Відстань, яку пройшов човен за течією, на 5,4 км більша за відстань, пройдену проти течії. Знайдіть власну швидкість човна, якщо швидкість течії становить 2,5 км/год.
Розв'язання
Нехай власна швидкість човна дорівнює x км/год, тоді його швидкість руху за течії дорівнює (x + 2,5) км/год, а проти течії — (x – 2,5) км/год. Складаємо рівняння:
2,4(x + 2,5) – 3,6(x – 2,5) = 5,4
2,4x + 6 – 3,6x + 9 = 5,4
–1,2x = –9,6
x = 8
Відповідь: 8 км/год.
Завдання 619
За 3 дні продали 130 кг апельсинів. Другого дня продали 4/9 того, що продали за перший день, а третього — стільки ж, скільки за перші два дні разом. Скільки кілограмів апельсинів продали за перший день?
Розв'язання
Нехай за перший день продали x кг апельсинів, тоді за другий день продали 4/9x кг, а за третій — (x + 4/9x) кг. Складаємо рівняння:
x + 4/9x + (x + 4/9x) = 130| • 9
9x + 4x + 9x + 4x = 1170
26x = 1170
x = 45
Відповідь: 45 кг.
Завдання 620
У послідовності ..., а, b, c, d, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... кожне число дорівнює сумі двох попередніх. Чому дорівнює число а?
d + 0 = 1; d = 1
c + d = 0; c + 1 = 0; c = –1
b + c = d; b + (–1) = 1; b = 2
a + b = c; a + 2 = –1; a = –3
Відповідь: a = –3.
Завдання 621
|
1) (2x – 1)/8 – (x + 2)/4 = x |•8 2x – 1 – 2x – 4 = 8x –5 = 8x x = –0,625 |
2) 3(2x + 3) – 2 (3x + 5) = –1 6x + 9 – 6x – 10 = –1 0x = 0 – будь–яке число |
Завдання 622
Для пари виразів знайдіть усі значення а, при яких значення другого виразу в 3 рази більше за відповідне значення першого виразу:
1) значення виразу 3а буде утричі більше за значення виразу а, якщо a > 0
2) значення виразу 3a² буде утричі більшим за значення виразу a², якщо a ≠ 0
3) значення виразу 3a² + 3 буде утричі більшим за значення виразу a² + 1 за будь–якого значення а
ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ
Завдання 623
Запишіть у вигляді виразу:
1) квадрат суми чисел а і b; (a + b)²
2) суму квадратів чисел а і b; a² + b²
3) подвоєний добуток чисел а і b; 2ab
4) квадрат різниці одночленів 3m і 4n. (3m – 4n)²
Завдання 624
Знайдіть подвоєний добуток одночленів:
|
1) 2 • a² • 3b = 6a²b 2) 2 • 5x • 6у = 60xy |
3) 2 • 0,5m • 4n = 4mn 4) 2 • 1/3m2 • 6m = 4m3 |
УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ
Завдання 625
Меню складається зі 101 страви. Доведіть, що кількість способів вибору обіду з непарної кількості страв дорівнює кількості способів вибору обіду з парної кількості страв за умови, що замовити всі страви з меню не можна.
Міркуємо так.
Виберемо спочатку обід з однієї страви. Поставимо цьому обідові у відповідність обід з 101 – 1 = 100 страв, які не вибрані для попереднього обіду. Тоді обідів з одної страви можна вибрати стільки ж, скільки можна вибрати обідів зі 100 страв.
Виберемо обід з трьох страв. Поставимо цьому обіду у відповідність обід із 101 – 3 = 98 страв, які не вибрані для попереднього обіду. Тоді обідів з трьох страв можна вибрати стільки ж, скільки можна вибрати обідів з 98 страв. Аналогічно для решти.
Обідів з п'яти страв можна вибрати стільки, скільки можна вибрати обідів із 101 – 5 = 96 страв;
Обідів з семи страв можна вибрати стільки, скільки можна вибрати обідів з 101 – 7 = 94 страви.
Отже, будь–яким обідам з непарною кількістю страв 2n – 1 можна поставити у відповідність таку саму кількість обідів з парної кількістю страв 101 – (2n – 1), отже, таких обідів є однакова кількість.