Завдання 651
При якому значенні змінної значення квадрата двочлена x + 12 на 225 більше за відповідне значення квадрата двочлена x – 13?
(x + 12)² – (x – 13)² = 225
(x + 12 – x + 13)(x + 12 + x – 13) = 225
25(2x – 1) = 225
2x – 1 = 9
x = 5
Завдання 652 Рівняння
|
1) (x – 12) (x + 12) = 2 (x – 6)² – x² x² – 144 = 2(x² – 12x + 36) – x² x² – 144 = 2x² – 24x + 72 – x² x² – 2x² + 24x + x² = 72 + 144 24x = 216 x = 9 |
2) (3x – 1)² + (4x + 2)² = (5x – 1)(5x + 1) 9x² – 6x + 1 + 16x² + 16x + 4 = 25x² – 1 9x² – 6x + 16x² + 16x – 25x² = –1 – 1 – 4 10x = –6 x = –0,6 |
|
3) 5(x + 2)² + (2x – 1)² – 9(x + 3)(x – 3) = 22 5(x² + 4x + 4) + 4x² – 4x + 1 – 9(x² – 9) = 22 5x² + 20x + 20 + 4x² – 4x + 1 – 9x² + 81 = 22 5x² + 20x + 4x² – 4x – 9x² = 22 –20 – 1 – 81 16x = –80 x = –5
|
|
Завдання 653
|
1) (3x + 2)² + (4x – 1)(4x + 1)=(5x – 1)² 9x² + 12x + 4 + 16x² – 1 = 25x² – 10x + 1 9x² + 12x + 16x² – 25x² + 10x = 1 – 4 + 1 22x = –2 x = –1/11 |
|
2) 2(m + 1)² + 3(m – 1)² – 5(m + 1)(m – 1)=–4 2(m² + 2m + 1) + 3(m² – 2m + 1) – 5(m² – 1)=–4 2m² + 4m + 2 + 3m² – 6m + 3 – 5m² + 5 = –4 4m – 6m = –4 – 2 – 3 – 5 –2m = –14 m = 7 |
Завдання 654
Знайдіть сторону квадрата, якщо при збільшенні її на 5 см отримаємо квадрат, площа якого на 95 см² більша за площу даного.
Розв'язання
Нехай сторона квадрата дорівнює x см, тоді його площа — x² см². Збільшена сторона квадрата дорівнює (x + 5) см, а його площа – (x + 5)² см². Складаємо рівняння:
(x + 5)² – x² = 95
(x + 5 – x)(x + 5 + x) = 95
5(2x + 5) = 95
2x + 5 = 19
2x = 14
x = 7
Відповідь: 7 см.
Завдання 655
Якщо сторону квадрата зменшити на 8 см, то отримаємо квадрат, площа якого на 352 см² менша від площі даного. Знайдіть сторону даного квадрата.
Розв'язання
Нехай сторона квадрата дорівнює x см, тоді його площа — x² см². Зменшена сторона квадрата дорівнює (x – 8) см, а його площа – (x – 8)² см². Складаємо рівняння:
x² – (x – 8)² = 95
(x – x + 8)(x + x – 8) = 352
8(2x – 8) = 352
2x – 8 = 44
2x = 52
x = 26
Відповідь: 26 см.
Завдання 656
Знайдіть три послідовних натуральних числа, якщо подвоєний квадрат більшого з них на 79 більший за суму квадратів двох інших чисел.
Розв'язання
Нехай середнє число дорівнює n, тоді найменше число дорівнює n – 1, а найбільше n + 1. Складаємо рівняння:
2(n + 1)² – ((n – 1)² + n²) = 79
2(n² + 2n + 1) – (n² – 2n + 1 + n²) = 79
2n² + 4n + 2 – n² + 2n – 1 – n² = 79
6n = 79 – 2 + 1
6n = 78
n = 13 – середнє число;
n – 1 = 13 – 1 = 12 – найменше число;
n + 1 = 13 + 1 = 14 – найбільше число.
Відповідь: 12; 13; 14.
Завдання 657
Знайдіть чотири послідовних натуральних числа, якщо сума квадратів другого й четвертого з них на 82 більша за суму квадратів першого й третього.
Розв'язання
Нехай перше число дорівнює n, тоді друге число дорівнює n + 1, третє – n + 2, а четверте – n + 3. Складаємо рівняння:
(n + 1)² + (n + 3)² – (n² + (n + 2)²) = 82
(n + 1)² + (n + 3)² – n² – (n + 2)² = 82
n² + 2n + 1 + n² + 6n + 9 – n² – n² – 4n – 4 = 82
2n + 6n – 4n = 82 – 1 – 9 + 4
4n = 76
n = 19 – перше число;
n + 1 = 19 + 1 = 20 – друге число;
n + 2 = 19 + 2 = 21 – третє число;
n + 3 = 19 + 3 = 22 – четверте число.
Відповідь: 19; 20; 21; 22.
Завдання 658
При яких значеннях а і b є правильною рівність:
|
1) (a + b)² = a² + b² a² + 2ab + b² = a² + b² a² + 2ab + b² – a² – b² = 0 2ab = 0 При а = 0 і b = 0 є правильною |
2) (a – b)² = (a + b)² a² – 2ab + b² = a² + 2ab + b² a² – 2ab + b² – a² – 2ab – b² = 0 –4ab = 0 При а = 0 і b = 0 є правильною. |
Завдання 659 Доведіть тотожність
1) (a + b)² + (a – b)² = a² + 2ab + b² + a² – 2ab + b² = 2a² + 2b² = 2(a² + b²)
2) (a + b)² – (a – b)² = a² + 2ab + b² – (a² – 2ab + b²) = a² + 2ab + b² – a² + 2ab – b²=
= 4ab
3) a² + b² = a² + 2ab + b² – 2ab = (a + b)² – 2ab
4) (a² + b²)(c² + d²) = a²c² + a²d² + b²c² + b²d² = (a²c² + b²d²) + (a²d² + b²c²) =
= (a²c² + 2abcd + b²d²) + (a²d² – 2abcd + b²c²) = (ac + bd)² + (ad – bc)²
Завдання 660
1) a² + b² = a² – 2ab + b² + 2ab = (a – b)² + 2ab
2) (a – b)² + (ab + 1)² = a² – 2ab + b² + a²b² + 2ab + 1 = a² + b² + a²b² + 1 =
= (a² + a²b²) + (b² + 1) = a²(1 + b²) + (b² + 1) = (a² +1)(b² +1)
Завдання 661
Доведіть, що значення виразу не залежить від значення змінної.
(x – 3)² + (x + 3)² – 2(x – 6)(x + 6) = x² – 6x + 9 + x² + 6x – 9 – 2(x² – 36) =
= x² – 6x + 9 + x² + 6x + 9 – 2x² + 72 = 90
Завдання 662
Доведіть, що значення виразу не залежить від значення змінної x.
(6x – 8)² + (8x + 6)² – (10x – 1) (10x + 1) =
= 36x² – 96x + 64 + 64x² + 96x + 36 – (100x² – 1) =
= 36x² – 96x + 64 + 64x² + 96x + 36 – 100x² + 1 = 101
Завдання 663
Яким числом, парним чи непарним, є квадрат непарного натурального числа?
(2n + 1)² = 4n² + 4n + 1 = 4(n² + n) + 1 – непарне число.
Завдання 664
Доведіть формулу куба суми двох виразів (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
Користуючись цією формулою, перетворіть у многочлен вираз:
1) (x + 3)3 = x3 + 3 • 3 • x2 + 3 • 32 • x + 33 = x3 + 9x2 + 27x + 27
2) (2x + y)3 = (2x)3 + 3 • (2x)2 • y + 3 • 2x • y2 + y3 = 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3
Завдання 665
Доведіть формулу куба різниці двох виразів (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3.
Користуючись цією формулою, перетворіть у многочлен вираз:
1) (1 – x)3 = 13 – 3 • 12 • x + 3 • 1 • x2 – x3 = 1 – 3x + 3x2 – x3
2) (x – 5y)3 = x3 – 3 • x2 • 5y + 3 • x • (5y)2 – (5y)3 = x3 – 15xy + 75y2 – 125y3
Завдання 666
Доведіть формулу квадрата тричлена (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac. Користуючись цією формулою, перетворіть у многочлен вираз:
1) (a + b – c)² = a² + b² + (–c)² + 2ab + 2b(–c) + 2a(–c) = a² + b² + c² + 2ab – 2bc – 2ac
2) (a – b + 4)² = a² + (–b)² + 4² + 2a • (–b) + 2a • 4 + 2 • (–b) • 4 =
= a² + b² + 16 – 2ab + 8a – 8b
Завдання 667
Давньогрецький учений Евклід (бл. 365–300 рр. до н. е.) доводив формули квадрата суми та квадрата різниці двох виразів геометрично. Користуючись рисунками 8 і 9, відтворіть його доведення.
На рисунку 8 сторона «великого» квадрата дорівнює а + b, а його площа – (a + b)². Сторони «маленьких» квадратів відповідно дорівнюють а і b, а їх площі дорівнюють a² i b². Сторони двох рівних прямокутників дорівнює а і b, а площа кожного з них дорівнює ab.
Площа «великого» квадрата дорівнює сумі площ двох «маленьких» квадратів і двох рівних прямокутників. Маємо:
(a + b)² = a² + b² + 2ab, що і треба було довести.
На рисунку 9 сторона «середнього» квадрата дорівнює а – b, а його площа дорівнює (a – b)². Сторона «маленького» квадрата дорівнює b, a його площа дорівнює b². Сторона «великого» квадрата дорівнює а, а його площа дорівнює a². Сторони двох рівних прямокутників, у які входить «маленький» квадрат дорівнюють а і b, а площа кожного з них дорівнює ab.
Площа «середнього» квадрата (a – b)² дорівнює сумі площ «великого» a² і «маленького» b² квадратів без площі двох рівних прямокутників 2ab. Маємо:
(a – b)² = a² + b² – 2ab, що і треба було довести
Завдання 668
Чому дорівнює остача при діленні квадрата непарного натурального числа на 8?
(2m + 1)² = 4m² + 4m + 1 = 4m(m + 1) + 1. Із двох послідовних натуральних чисел m і m + 1 одне буде парним, тому число 4m(m + 1) ділиться націло на 8. Отже остача від ділення квадрата непарного натурального числа 4m(m + 1) + 1 на 8 дорівнює 1.
Завдання 669
Доведіть, що коли остача при діленні натурального числа на 16 дорівнює 4, то квадрат цього числа ділиться націло на 16.
(16n + 4)² = (4(4n + 1))² = 16(4n + 1)² – ділиться націло на 16.
Завдання 670
Доведіть, що коли остача при діленні натурального числа на 25 дорівнює 5, то квадрат цього числа кратний 25.
(25n + 5)² = (5(5n + 1))² = 25(5n + 1)² – ділиться націло на 25.
Завдання 671
Остача при діленні деякого натурального числа на 9 дорівнює 5. Чому дорівнює остача при діленні на 9 квадрата цього числа?
(9n + 5)² = 81n² + 90n + 25 = 81n² + 90n + 18 + 7 = 9(9n² + 10n + 2) + 7 – остача при діленні на 9 квадрата цього числа дорівнює 7.
Завдання 672
Остача при діленні деякого натурального числа на 11 дорівнює 6. Чому дорівнює остача при діленні на 11 квадрата цього числа?
(11n + 6)² = 121n² + 132n + 36 = 121n² + 132n + 33 + 3 = 11(11n² + 12n + 3) + 3 – остача при діленні на 11 квадрата цього числа дорівнює 3.
Завдання 673
Використовуючи формули скороченого множення, подайте у вигляді многочлена вираз:
1) (a + b + c)(a + b – c) = (a + b)² – c² = a² + 2ab + b² – c²
2) (a + b + c)(a – b – c) = a² – (b + c)² = a² – b² – 2bc – c²
3) (a + b + c + d)(a + b – c – d) = (a + b)² – (c + d)² = a² + 2ab + b² – c² – 2cd – d²
Завдання 674
Використовуючи формули скороченого множення, подайте у вигляді многочлена вираз:
1) (a – b – c)(a + b – c) = (a – c)² – b² = a² – 2ac + c² – b²
2) (a – b + c + d)(a – b – c – d) = a² – 2ab + b² – c² – 2cd – d²
Завдання 675
При якому значенні a рівняння (6x – a)² + (8x – 3)² = (10x – 3)² не має коренів?
(6x – a)² + (8x – 3)² = (10x – 3)²
36x² – 12xa + a² + 64x² – 48x + 9 = 100x² – 60x + 9
36x² – 12xa + 64x² – 48x – 100x² + 60x = 9 – a² – 9
–12xa + 12x = –a²
–12x(a – 1) = –a² Не має коренів при a = 1.
Завдання 676
При якому значенні a рівняння (2a – 3x)² + (x – 1)² = 10(x – 2)(x + 2) не має коренів?
(2a – 3x)² + (x – 1)² = 10(x – 2)(x + 2)
4a² – 12ax + 9x² + x² – 2x + 1 = 10x² – 40
–12ax + 9x² + x² – 2x – 10x² = –40 – 4a² – 1
–12ax – 2x = –41 – 4a²
–2x(6a + 1) = –41 – 4a²
2x(6a + 1) = 41 + 4a² Не має коренів при a = –1/6
Завдання 677
З’ясуйте, яку остачу може давати квадрат натурального числа при діленні на 4.
Якщо n – парне число, то n² ділиться без остачі на 4, тобто остача дорівнює 0. Розглянемо число (n + 1) – непарне. Піднесемо його до квадрата:
(n + 1)² = n² + 2n + 1 = n(n + 2) + 1.
Добуток n(n + 2) – це добуток двох послідовних парних чисел, і він ділиться без остачі на 4. Тому остача від ділення виразу n(n + 2) + 1 на 4 дорівнює 1. А отже, і остача від ділення квадрата непарного числа на 4 дорівнює 1.
Відповідь: 0 або 1.
Завдання 678
Доведіть тотожність (2n + 1)² + (2n² + 2n)² = (2n² + 2n + 1)².
(2n + 1)2 + (2n2 + 2n)2 – (2n2 + 2n + 1)2 =
= 4n2 + 4n + 1 + 4n4 + 8n3 + 4n2 – 4n4 – 4n2 – 1 – 8n3 – 4n2 – 4 = 0
Завдання 679
(Тотожність Лагранжа1.) Доведіть тотожність
(a² + b² + c²)(m² + n² + k²) – (am + bn + ck)² = (an – bm)² + (ak – cm)² + (bk – cn)².
(a² + b² + c²)(m² + n² + k²) – (am + bn + ck)² =
= a²m² + a²n² + a²k² + b²m²+ b²n² + b²k² + c²m² + c²n² + c²k² – (a²m² + b²n² + c²k² +
+ 2ambn + 2amck + 2bnck) = a²n² – 2ambn + b²m² + a²k² – 2amck + c²k² + b²k² – 2bnck +
+ c²n² = (an – bm)² + (ak – cm)² + (bk – cn)².
Завдання 680
Доведіть, що сума квадратів п’яти послідовних натуральних чисел не може дорівнювати квадрату натурального числа.
Нехай "середнє" число дорівнює n, тоді всі значення чисел дорівнюють n – 2, n – 1, n, n + 1, n + 2. Тоді сума квадратів п’яти послідовних натуральних чисел дорівнює:
(n – 2)² + (n – 1)² + n² + (n + 1)² + (n + 2)² =
= n² – 4n + 4 + n² – 2n + 1 + n² + n² + 2n + 1 + n² + 4n + 4 = 5n² + 10 = 5(n² + 2).
Запис числа n² не можна закінчувати вся цифрами 3 або 8, тому запис числа n² + 2 не можуть закінчуватись цифрами 5 або 0. Отже, число n² + 2 не ділиться на 5, а число 5(n² + 2) ділиться на 5, тому число 5(n² + 2) не може дорівнювати квадратом натурального числа.
ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ
Завдання 681
Цукровий буряк, що є найсолодшою коренеплідною рослиною, яку вирощують в Україні. У ньому накопичується до 25 % цукру, тоді як у цукровій тростині — лише 18 %. Скільки тонн цукрової тростини треба переробити, щоб отримати стільки ж цукру, скільки одержують з 3600 т цукрових буряків?
Розв'язання
1) 3600 • 0,25 = 900 (т) – стільки цукру можна отримати з 3600 т буряк;
2) 900 : 0,18 = 5000 (т) – стільки потрібно переробити цукрової тростини.
Відповідь: 5000 т.
Завдання 682
У 2017 р. в місті Києві працювало 28 історичних, літературних і мистецьких музеїв. Мистецьких музеїв було в 3,4 раза менше, ніж історичних, і на один музей менше, ніж літературних. Скільки працювало музеїв кожного із цих трьох видів?
Розв'язання
3,4x + x + 1 + x = 28
3,4x + x + x = 28 – 1
5,4x = 27
x = 5 (м.) – мистецьких музеїв;
5 + 1 = 6 (м.) – літературних музеїв;
5 3,4 = 17 (м.) – історичних музеїв.
Відповідь: 5 мистецьких музеїв, 6 літературних музеїв, 17 історичних музеїв.
Завдання 683
До магазину завезли 740 кг апельсинів і бананів у 80 ящиках. У кожному ящику було 10 кг апельсинів або 8 кг бананів. Скільки кілограмів апельсинів завезли до магазину?
Розв'язання
Нехай апельсинів до магазину завезли x кг , тоді бананів — (740 – x) кг. Апельсини завезли в x/10 ящиках, а банани — у (740 – x)/8 ящиках. Складаємо рівняння:
x/10 + (740 – x)/8 = 80 |•40
4x + 5(740 – x) = 3200
4x + 3700 – 5x = 3200
–x = 3200 – 3700
x = 500
Відповідь: 500 кг.
Завдання 684
Заробітна плата робітника пропорційна кількості відпрацьованих ним годин. У перший місяць він працював 170 год і отримав 11 900 грн. Скільки годин він працював у другому місяці, якщо отримав за роботу 13 300 грн?
Розв'язання
1) 11 900 : 170 = 70 (грн) – зарплата робітника за 1 год;
2) 13 300 : 70 = 190 (год) – час роботи робітника в другому місяці.
Відповідь: 190 год.
Завдання 685
Якого найменшого значення та при якому значенні змінної набуває вираз:
1) Вираз x² набуває найменшого значення 0, якщо x = 0
2) Вираз x² – 16 набуває найменшого значення –16, якщо x = 0
3) Вираз (x² + 4) + 20 набуває найменшого значення 20, якщо x = –4
Завдання 686
Якого найбільшого значення та при якому значенні змінної набуває вираз:
1) Вираз –x² набуває найбільшого значення 0, якщо x = 0
2) Вираз –x² + 4 набуває найбільшого значення 4, якщо x = 0
3) Вираз 12 – (x – 1)² набуває найбільшого значення 12, якщо x = 1
Завдання 687
При якому значенні змінної виконується рівність:
1) Рівність (x – 1)² + (x + 1)² = –10 не виконується ні при якому значення змінної, бо сума двох невід’ємних чисел не може дорівнювати від’ємному число;
2) Рівність (x – 1)² + (x + 1)² = 0 не виконується ні при якому значенні змінної, бо сума двох різних невід’ємних чисел не може дорівнювати 0;
3) (x² – 1)² + (x + 1)² = 0;
((x – 1)(x + 1))² + (x + 1)² = 0;
(x + 1)((x – 1)² + 1)² = 0.
Рівність (x + 1)((x – 1)² + 1)² = 0 виконується, якщо х = –1.
Завдання 688
При яких значеннях змінних x і у виконується рівність:
1) Рівність (x + 2)² + (у – 6)² = –1 не виконується ні при якому значення змінної, бо сума двох невід’ємних чисел не може дорівнювати від’ємному число;
2) Рівність (x + 2)² + (у – 6)² = 0 виконується, якщо x = –2 і y = 6.
УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ
Завдання 689
Відомо, що натуральні числа m і n такі, що значення виразу 10m + n ділиться націло на 11. Доведіть, що значення виразу (10m + n) (10n + m) ділиться націло на 121.
У виразі (10m + n)(10n + m) перший множник ділиться націло на 11, тому, щоб значення виразу ділилося націло на 121 досить, щоб другий множник ділився націло на 11. Маємо: 10n + m = 10n + 100m – 99m = 100m + 10n – 99m = 10(10m + n) – 99m — ділиться націло на 11. Отже, значення виразу (10m + n) (10n + m) ділиться націло на 121.