Завдання 746
Який із даних виразів є неповним квадратом суми, а який — неповним квадратом різниці:
1) m² + 2mn + n²; Повний квадрат суми
2) m² + mn – n²;
3) m² + mn + n²; Неповний квадрат суми
4) m² – 4mn + n²;
5) m² – mn + n²; Неповний квадрат різниці
6) m² – 2mn + n²? Повний квадрат різниці
Завдання 747 Тотожність
|
1) х3 + у3 = (х + у) (х²+ ху + у²); Ні 2) х3 – у3 = (х – у) (х² +ху + у²); Так |
3) х3 + у3 = (х + у) (х² – 2ху + у²); Ні 4) х3 – у3 = (х + у) (х² – ху + у²). Ні |
Завдання 748
Якому з даних виразів тотожно дорівнює многочлен а3 – 27:
a3 – 27 = (a – 3)(a² + 3a + 9), тому 4) (а – 3)(а² + За + 9)
Завдання 749 Розклання на множники
1) a3 + 8 = (a + 2)(a²– 2a + 4)
2) c3 – 64 = (c – 4)(c² + 4c + 16)
3) 125 – b3 = (5 – b)(25 + 5b + b²)
4) 1 + x3 = (1 + x)(1 – x + x²)
5) a3 + 1000 = (a + 10)(a² – 10a + 100)
6) 27a3 – 1 = (3a – 1)(9a² + 3a + 1)
7) 1000c3 – 216 = (10c – 6)(100c² + 60c + 36)
8) a3b3 – 1 = (ab – 1)(a²b² + ab + 1)
9) m3n3 + 0,001 = (mn + 0,1)(m²n² – 0,1mn + 0,01)
Завдання 750
1) x3 – 1 = (x – 1)(x² + x + 1)
2) 27 + a3 = (a + 3)(a² – 3a + 9)
3) 216 – y3 = (6 – y)(36 + 6y + y²)
4) 1/8a3 + b3 = (1/2 a + b)(1/4 a² – 1/2 ab + b²)
5) 0,001m3 + 8n3 = (0,1m + 2n)(0,01m² – 0,2mn + 4n²)
6) a3b3 – c3 = (ab – c)(a²b² + abc + c²)
Завдання 751 Тотожність
1) m3 + 8n6 = (m + 2n²)(m² + 2mn² +4n4); Ні
2) m3 + 8n6 = (m – 2n²)(m² + 2mn² + 4n4); Ні
3) m3 + 8n6 = (m + 2n²)(m² – 2mn² + 4n4); Так
4) m3 + 8n6 = (m –2n²)(m² – 2mn² + 4n4)? Ні
Завдання 752
Закінчіть розкладання на множники:
1) 64x6 – 0,027y9 = (4x2)3 – (0,3y3)3 = (4x² – 0,3y3)((4x2)2 + 4x2(0,3y3) + (0,3y3)2) =
= (4x2 – 0,3y3)(16x4 + 1,2x2y3 + 0,09y6)
2) b12 + 216c15 = (b4)3 + (6c5)3 = (b4 + 6c5)(b8 – 6b4c5 + 36c10)
3) 1/8p18 – 1/27b21 = (1/2p6)3 – (1/3b7)3 = (1/2p6 – 1/3b7)((1/2p6)2 + (1/2p6)(1/3b7) + (1/3b7)2)=
= (1/2p6 – 1/3b7)(1/4p12 + 1/6p6b7 + 1/9b14)
Завдання 753 Розкладання на множники
1) a12 + b9 = (a4)3 + (b3)3 = (a4 + b3)(a8 – a4b3 + b6)
2) x18 – y27 = (x6)3 – (y9)3 = (x6 – y9)(x12 + x6y9 + y18) =
= (x2 – y3)(x4 + x2y4 + y6)(x12 + x6y9 + y18)
3) m6n3 – p12 = (m2n)3 – (p4)3 = (m2n – p4)(m4n2 + m2np4 + p8)
4) a24b33 + 1 = (a8b11)3 + 13 = (a8b11 + 1)(a16b22 – a8b11 + 1)
5) 8m^6 + 27n^9 = (2m²)^3 + (3n^3)^3 = (2m² + 3n^3)(4m^4 – 6m²n^3 + 9n^6)
6) 0,027x21 + 0,125y24 = (0,3x7)3 + (0,5y8)3 = (0,3x7 + 0,5y8)(0,09x14 – 0,15x7y8 + 0,25y16)
7) 0,216 – 8c27 = (0,6)3 – (2c9)3 = (0,6 – 2c9)(0,36 + 1,2c9 + 4c18)
8) 1000a12b3 + 0,001c6d15 = (10a4b)3 + (0,1c2d5)3 =
= (10a4b + 0,1c2d5)(100a8b2 – a4bc2d5 + 0,01c4d10)
Завдання 754
1) a6 – 8 = (a2)3 – 23 = (a2 – 2)(a4 + 2a2 + 4)
2) m12 + 27 = (m4)3 + 33 = (m4 + 3)(m8 – 3m4 + 9)
3) a3 – b15c18 = a3 – (b5c6)3 = (a – b5c6)(a² + ab5c6 + (b5c6)2)
4) 1 – a21b9 = 1 – (a7b3)3 = (1 – a7b3)(1 + a7b3 + a14b6)
5) 125c3d3 + 0,008b3 = 5cd3 + 0,2b3 = (5cd + 0,2b)(25c2d2 – cdb + 0,04b2)
6) 64/729x3 – 27/1000y6 = 4/27 x3 – 3/10 y2)3 =
= (4/27x – 3/10y2)((4/27)2 + 4/27 • 3/10 • y2 + (3/10y)2)
Завдання 755
Знайдіть значення виразу:
1) (93 + 73)/32 = ((9 + 7)(92 – 9 • 7 + 72))/32 = (16(81 – 63 + 49))/32 =
= (16 • 67)/32 = 33,5
2) (163 – 103)/24 = ((16 – 10)(162 + 16 • 10 + 102)/24 = (6(256 + 160 + 100))/24 =
= (6 • 516)/24 = 6 • 21,5 = 129
Завдання 756
1) (x – 2)(x2 + 2x + 4) = x(x2 + 2x + 4) – 2(x2 + 2x + 4) = x3 + 2x2 + 4x – 2x2 – 4x – 8 =
= x3 – 8
2) (2a – 1)(4a2 + 2a + 1) = 2a(4a2 + 2a + 1) – 1(4a2 + 2a + 1) =
= 8a3 + 4a2 + 2a – 4a2 – 2a – 1 = 8a3 – 1
3) (a2 + 1)(a4 – a2 + 1) = a2(a4 – a2 + 1) + 1(a4 – a2 + 1) = a6 – a4 + a2 + a4 – a2 + 1 = a6 + 1
4) (0,5xy + 2)(0,25x2y2 – xy + 4) = 0,5xy(0,25x2y2 – xy + 4) + 2(0,25x2y2 – xy + 4) =
= 0,125x3y3 – 0,5x2y2 + 2xy + 0,5x2y2 – 2xy + 8 = 0,125x3y3 + 8
Завдання 757 Множення многочленів
1) (b – 4)(b2 + 4b + 16) = b(b2 + 4b + 16) – 4(b2 + 4b + 16) =
= b3 + 4b2 + 16b – 4b2 – 16b – 64 = b3 – 64
2) (2a + 3b)(4a² – 6ab + 9b²) = 2a(4a² – 6ab + 9b²) + 3b(4a² – 6ab + 9b²) =
= 8a3 – 12a2b + 18ab2 + 12a2b – 18ab2 + 27b3 = 8a3 + 27b3
3) (x3 + 6y2)(x6 – 6x3y2 + 36y4) = x3(x6 – 6x3y2 + 36y4) + 6y2(x6 – 6x3y2 + 36y4) =
= x9 – 6x6y2 + 36x3y2 + 6x6y2 – 36y4 + 216y6 = x9 + 216y6
4) (1/4a – 1/5b)(1/16a² + 1/20ab + 1/25b²) = 1/64a3 – 1/125b3
Завдання 758 Спрощення виразів
1) (9а2 + 3а + 1)(3а – 1) = (3a – 1)3
Якщо а = 1/3, тоді (3 • 1/3 – 1)3 = 0
2) (5у – 2)(25у2 + 10у + 4) + 8 = (5y)3 – 8 + 8
Якщо у = –1/5, тоді (5 • (–1/5))3 – 8 + 8 = –1
Завдання 759
1) (1 – b2)(1 + b2 + b4) = 1 – (b2)3 = 1 – b6
Якщо b = –2, толі 1 – (–2)6 = 1 + 64 = 65
2) 2х3 + 7 – (х + 1)(х2 – х + 1) = 2x3 + 7 – (x3 + 1) = 2x3 + 7 – x3 – 1 = x3 + 6
Якщо х = –1, то (–1)3 + 6 = –1 + 6 = 5
Завдання 760 Розклад на множники
1) (a + 6)3 – 27 = ((a + 6) – 3)((a + 6)2 + 3(a + 6) + 9) =
= (a + 3)((a + 6)2 + 3a + 18 + 9) = (a + 3)(a2 + 12a + 36 + 3a + 18 + 9) =
= (a + 3)(a2 + 15a + 63)
2) (2x – 1)3 + 64 = ((2x – 1) + 4)((2x – 1)2 – 4(2x – 1) + 16) =
= (2x + 3)(4x2 – 4x + 1 – 8x + 4 + 16) = (2x + 3)(4x2 – 12x + 21)
3) 8a6 – (4a – 3)3 = (2a2)3 – (4a – 3)3 = (2a2 – (4a – 3))((2a2)2 + (2a2)(4a – 3) + (4a – 3)2) =
= (2a2 – 4a + 3)(4a4 + 8a3 – 6a2 + 16a2 – 24a + 9)=(2a2 – 4a + 3)(4a4 + 8a3 + 10a2 – 24a + 9)
4) 1000 + (y – 10)3 = (10)3 + (y – 10)3 = (10 + (y – 10))(102 – 10(y – 10) + (y – 10)2) =
= (y)((102 – 10y + 100 + y2 – 20y + 100) = y(y2 – 30y + 300)
5) (x + y)3 – (x – y)3 = ((x + y) – (x – y))((x + y)2 + (x + y)(x – y) + (x – y)2) =
= 2y(x2 + 2xy + y2 + x2 – y2 + x2 – 2xy + y2) = 2y(3x2 + y2)
6) (a – 2)3 + (a + 2)3 = ((a – 2) + (a + 2))((a – 2)2 – (a – 2)(a + 2) + (a + 2)2) =
= 2a(a2 – 4a + 4 – (a2 – 4) + a2 + 4a + 4) = 2a(a2 + 12)
Завдання 761
1) (b – 5)3 + 125 = (b – 5)3 + 53 = (b – 5 + 5)((b – 5)2 – (b – 5) • 5 + 52) =
= b((b – 5)2 – 5b + 25) = b(b2 – 10b + 25 – 5b + 25 + 25) = b(b2 – 15b + 75)
2) (4 – 3x)3 – 8x3 = (4 – 3x)3 – (2x)3 = ((4 – 3x) – 2x)((4 – 3x)2 + (4 – 3x)(2x) + (2x)2) =
= (4 – 5x)(16 – 24x + 9x2 + 8x – 6x2 + 4x2) = (4 – 5x)(7x2 – 16x + 16)
3) (a – b)3 + (a + b)3 = ((a – b) + (a + b))((a – b)2 – (a – b)(a + b) + (a + b)2) =
=2a(a2 – 2ab + b2 – (a2 – b2) + a2 + 2ab + b2) = 2a(a2 + 3b2)
4) (c + 3)3 – (c – 3)3 = ((c + 3) – (c – 3))((c + 3)2 + (c + 3)(c – 3) + (c – 3)2) =
=6(c2 + 6c + 9 + c2 – 9 + c2 – 6c + 9) = 6(3c2 + 9) = 18(c2 + 3)
Завдання 762
1) (x + 1)(x² – x +1) + (2 – x)(4 + 2x + x²) = x3 + 1 + 8 – x3 = 9
2) (x – 4)(x² + 4x + 16) – x(x – 5)(x + 5) = x3 – 64 – x(x2 – 25) = x3 – 64 – x3 + 25x = 25x – 64
3) a(a – 3)² – (a + 3)(a² – 3a + 9) = a(a² – 6a + 9) – (a3 + 27) =
= a3 – 6a² + 9a – a3 + 9a – a3 – 27 = –6a² + 9a – 27
4) (a – 1)(a + 1)(a² – a + 1)(a² + a + 1)(a6 + 1)(a12 + 1) =
= ((a – 1)(a² + a + 1)(a² – a + 1))(a6 + 1)(a12 + 1) = (a3 – 1)(a3 + 1)(a6 + 1)(a12 + 1) =
= (a6 – 1)(a6 + 1)(a12 + 1) = (a12 – 1)(a12 + 1) = a24 – 1
Завдання 763
1) (a – 5)(a2 + 5a + 25) – (a – 1)(a2 + a + 1) = a3 – 125 – (a3 – 1) = –124
2) (y – 3)(y2 + 3y + 9) – y(y – 3)(y + 3) – (y + 3)2 = y3 – 27 – y(y2 – 9) – (y2 + 6y + 9) =
= y3 – 27 – y3 + 9y – y2 – 6y – 9 = –y2 + 3y – 36
3) (a – b)(a + b)(a4 + a2b2 + b4) = (a2 – b2)(a4 + a2b2 + b4) = a6 – b6
Завдання 764
Поставте замість зірочок такі одночлени, щоби справджувалася тотожність:
1) (7k – р)(49k² + 7kp + p²) = 343k3 – р3
2) (5a2 + 6b)(25а4 – 30a²b + 36b2) = 125а6 + 216b3
3) (mn + k3)(m2n2 – mnk3 + k6) = m3n3 + k9
Завдання 765 Рівняння
1) (3х – 1)(9х² + 3х + 1) – 9х(3х² – 4) = 17
27x3 – 1 – 27x3 + 36x = 17
36x = 18
x = 0,5
2) (х + 4)(х² – 4х + 16) – х(х – 7)(х + 7) = 15
x3 + 64 – x(x2 – 49) = 15
x3 + 64 – x3 + 49x = 15
49x = –49
x = –1
3) (х + 6)(х² – 6х + 36) – х(х – 9)² = 4х(4,5х – 13,5)
x3 + 216 – x(x2 – 18x + 81) = 18x2 – 54x
x3 + 216 – x3 + 18x2 – 81x = 18x2 – 54x
x3 – x3 + 18x2 – 81x – 18x2 + 54x = –216
–27x = –216
x = 8
Завдання 766
1) (7 – 2х)(49 + 14х + 4х²) + 2х(2х – 5)(2х + 5) = 43
343 – 8x3 + 2x(4x2 – 25) = 43
343 – 8x3 + 8x3 – 50x = 43
–50x = –300
x = 6
2)100(0,2х + 1)(0,04х² – 0,2х +1) = 5х(0,16х² – 4)
100(0,008x3 + 1) = 0,8x3 – 20x
0,8x3 + 100 – 0,8x3 + 20x = 0
20x = –100
x = –5
Завдання 767
1) 4563 – 1563 = (456 – 156)(4562 + 456 • 156 + 1562) =
= 300 • (4562 + 456 • 156 + 1562) – ділиться націло на 300
2) 2543 + 2383 = (254 + 238)(2542 – 254 • 238 + 2382) = 492 • (2542 – 254 • 238 + 2382) =
= 4 • 123 • (2542 – 254 • 238 + 2382) – ділиться націло на 123
3) 176 – 1 = (173)2 – 1 = (173 – 1)(173 + 1) =
= (17 – 1)172 + 17 • 1 + 1²)(17 + 1)(172 – 17 • 1 + 12) =
= 16 • 18 • (172 + 17 + 1)(172 – 17 + 1) = 8 • 36 • (172 + 17 + 1)(172 – 17 + 1) – ділиться націло на 36
Завдання 768
1) 3413 + 1093 = (341 + 109)(3412 – 341 • 109 + 1092) =
= 5 • 90 • (3412 – 341 • 109 + 1092) – ділиться націло на 90
2) 215 + 33 = (25)3 + 33 = 323 + 33 = (32 + 3)(322 – 32 • 3 + 32) =
= 35 • (322 – 32 • 3 + 32) – ділиться націло на 35
Завдання 769
Укажіть найменше натуральне значення n таке, щоб вираз х2n – у3n можна було розкласти на множники як за формулою різниці квадратів, так і за формулою різниці кубів. Розкладіть отриманий многочлен на множники за цими формулами.
Найменше натуральне значення n дорівнює: 3 • 2 = 6.
Якщо n = 6, тоді х2n – у3n = х12 – у18 = (x6)2 – (y9)2 = (x6 – y9)(x6 + y9) або
x2n – y3n = х12 – у18 = (x4)3 – (y6)3 = (x4 – y6)(x8 + x4y6 + y12)
Завдання 770
Придумайте многочлен, який можна розкласти на множники як за формулою різниці квадратів, так і за формулою різниці кубів. Розкладіть придуманий многочлен на множники за цими формулами.
Таким многочленом може бути, наприклад, такий: x6 – 1.
Маємо: x6 – 1 = (x3)2 – 12 = (x3 – 1)(x3 + 1) або x6 – 1 = (x2)3 – 13 = (x2 – 1)(x4 + x2 + 1)
Завдання 771
Чи можна стверджувати, що коли сума двох натуральних чисел ділиться націло на деяке натуральне число, то на це число ділиться націло:
Якщо сума двох натуральних чисел n + m ділиться націло на натуральне число k, то:
1) різниця їх квадратів n² – m² = (n – m)(n + m) ділиться націло на k;
2) сума їх квадратів n² + m² не завжди ділиться націло на k. Наприклад, якщо n = 7,
m = 1, то сума n + m = 7 + 1 = 8 – ділиться націло на 4, а сума квадратів
n² + m² = 7² + 1² = 49 + 1 = 50 – не ділиться націло на 4;
3) сума їх кубів n3 + m3 = (n + m)(n2 – nm + m2) ділиться націло на k.
Завдання 772
Доведіть, що сума кубів двох послідовних непарних натуральних чисел ділиться націло на 4.
(2n – 1)3 + (2n + 1)3 = (2n – 1 + 2n + 1)((2n – 1)² – (2n – 1)(2n + 1) + (2n + 1)²) =
= (4n((2n – 1)² – (2n – 1)(2n + 1) + (2n + 1)²) – ділиться націло на 4
Завдання 773
Доведіть, що сума кубів двох послідовних натуральних чисел, жодне з яких не кратне 3, ділиться націло на 9.
(3n + 1)3 + (3n + 2)3 = (3n + 1 + 3n + 2)((3n + 1)2 – (3n + 1)(3n + 2) + (3n + 2)2) =
= (6n + 3)(9n2 +6n + 1 – (9n2 + 6n + 3n + 2) + 9n2 + 12n + 4) =
= 3(2n + 1)(9n2 + 6n + 1 – 9n2 – 6n – n – 2 + 9n2 + 12n + 4) =
= 3(2n + 1)(9n2 + 9n + 3) = 9(2n + 1)(3n2 + 3n + 1) – ділиться націло на 9
Завдання 774
Відомо, що числа х і у такі, що х² + у² =1. Знайдіть значення виразу х6 + 3х2у2 + у6.
х6 + 3х2у2 + у6 = (x2)3 + (y2)3 + 3x2y2 = (x2 + y2)(x4 – x2y2 + y4) + 3x2y2.
Якщо x² + y² = 1, тоді (x2 + y2)(x4 – x2y2 + y4) + 3x2y2 = x4 – x2y2 + y4 + 3x2y2 =
= x4 + 2x2y2 + y4 = (x² + y²)² = 1² = 1
Завдання 775
Відомо, що числа х і у такі, що х3 – у2 = 2. Знайдіть значення виразу х9 – 6х3у2 – у6.
х9 – 6х3у2 – у6 = (x3)3 – (y2)3 – 6x3y2 = (x3 – y2)(x6 + x3y2 + y4) – 6x3y2
Якщо х3 – у2 = 2, тоді (x3 – y2)(x6 + x3y2 + y4) – 6x3y2 = 2(x6 + x3y2 + y4) – 6x3y2 =
= 2x6 + 2x3y2 + 2y4 – 6x3y2 = 2x6 – 4x3y2 + 2y4 = 2(x6 – 2x3y2 + y4) = 2(x3 – y2)2 = 8
Завдання 776
Доведіть, що коли 2а – b = 1, то 8a3 – b3 = 6ab + 1.
8a3 – b3 = (2a – b)(4a² + 2ab + b²). Якщо 2a – b = 1, то (2a – b)(4a² + 2ab + b²) =
= 4a² + 2ab + b² = 4a² – 4ab + b² + 6ab = (2a – b)² + 6ab = 6ab + 1
Завдання 777
Доведіть, що коли а + 3b = 2, то а3 + 27b3 = 8 – 18аb.
а3 + 27b3 = (a + 3b)(a² – 3ab + 9b²). Якщо a + 3b = 2, то (a + 3b)(a² – 3ab + 9b²) =
= 2(a² – 3ab + 9b²) = 2((a² + 6ab + 9b²) – 9ab) = 2((a + 3b)² – 9ab) = 2(2² – 9ab) =
= 8 – 18ab
ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ
Завдання 778
У двох магазинах проводять акції. У магазині «Модний одяг» будь–яка сорочка деякої фірми коштує 600 гри, а при покупці двох сорочок знижка на другу сорочку становить 60%. У магазині «Сучасний одяг» сорочка тієї самої фірми коштує 550 грн, а при покупці двох сорочок знижка на другу сорочку становить 40 %. У якому магазині вигідніше придбати дві сорочки?
Розв'язання
1) 0,6 • 600 = 360 (грн) – знижка на другу сорочку у магазині «Модний одяг»;
2) 600 – 360 = 240 (грн) – ціна другої сорочки зі знижкою у магазині «Модний одяг»;
3) 600 + 240 = 840 (грн) – вартість двох сорочок у магазині «Модний одяг»;
4) 0,4 • 550 = 220 (грн) – знижка на другу сорочку у магазині «Сучасний одяг»;
5) 550 – 220 = 330 (грн) – ціна другої сорочки зі знижкою у магазині «Сучасний одяг»;
6) 550 + 330 = 880 (грн) – вартість двох сорочок у магазині «Сучасний одяг».
840 грн < 880 грн, тому вигідніше придбати дві сорочки у магазині «Модний одяг», оскільки загальна вартість складає 840 грн, що на 40 грн менше, ніж у магазині «Сучасний одяг».
Відповідь: у магазині «Модний одяг».
Завдання 779
В одному ящику було на 12 кг яблук більше, ніж у другому. Коли з першого ящика переклали в другий 4 кг яблук, то виявилося, що маса яблук у другому ящику становить — маси яблук у першому. Скільки кілограмів яблук було в кожному ящику спочатку?
Розв'язання
Нехай у другому ящику було x кг яблук, тоді у першому було (x + 12) кг. Коли з першого ящика переклали в другий 4 кг яблук, то у другому ящику стало (x + 4) кг, а у першому — x + 12 – 4 = (x + 8) кг. Складаємо рівняння:
x + 4 = 5/7(x + 8)| • 7
7(x + 4) = 5(x + 8)
7x + 28 = 5x + 40
7x – 5x = 40 – 28
2x = 12
x = 6 (кг) – в другому ящику;
6 + 12 = 18 (кг) – в першому ящику.
Відповідь: 18 кг і 6 кг.
Завдання 780
Якою є остання цифра значення виразу 316 + 716?
31 = 3; 32 = 9; 33 = 27; 34 = 1; 35 = 243; 36 = … 9. Остання цифра значення степеня 3n при зміні n на 4 повторюється. Отже, остання цифра значення степеня 316 така сама як у значення степеня 34, тобто це цифра 1.
71 = 7; 72 = 49; 73 = 343; 74 = 2401; 75 = 16807; 76 = … 9. Остання цифра значення степеня 7m при зміні m на 4 повторюється. Отже, остання цифра значення степеня 716 така сама як у значення степеня 74, тобто це цифра 1.
Тоді остання цифра значення виразу 316 + 716 дорівнює 1 + 1 = 2
Завдання 781 Вирази
1) а + а2 + а3 + а4 +... + а99 + а100
Якщо a = 1, тоді 1 + 12 + 13 + 14 + … + 199 + 1100 = 100
Якщо a = –1, тоді –1 + (–1)2 + (–1)3 + (–1)4 + … + (–1)99 + (–1)100 = –50 + 50 = 0
2) а + а2 + а3 + а4 + ... + а98 + а99
Якщо a = 1, тоді 1 + 1² + 13 + 14 + … + 199 = 99
Якщо a = –1, тоді –1 + (–1)² + (–1)3 + (–1)4 + … + (–1)99 = –50 + 49 = –1
3) аа2а3а4...а99a100
Якщо a = 1, тоді 1 • 12 • 13 • 14 • … • 199 • 1100 = 1
Якщо a = –1, тоді –1 • (–1)2 • (–1)3 • (–1)4 • … • (–1)99 • (–1)100 = 1
4) аа2а3а4...а98а99
Якщо a = 1, тоді 1 • 12 • 13 • 14 • … • 199 = 1
Якщо a = –1, тоді –1 • (–1)2 • (–1)3 • (–1)4 • … • (–1)99 = –1
ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ
Завдання 782
1) 3x2 + 12xy = 3x(x + 4y)
2) 10m5 – 5m = 5m(2m4 – 1)
3) ab – ac + 7b – 7c = (a + 7)(b – c)
4) 6x – xy – 6y + y² = (6 – y)(x – y)
5) 49b² – c² = (7b – c)(7b + c)
6) p² + 12pk + 36k² = (p + 6k)²
7) 100a4 – 1/9b2 = (10a2 – 1/3b)(10a2 + 1/3b)
8) 25a² – (a – 3)² = (5a – (a – 3))(5a + (a – 3)) = (4a + 3)(6a – 3)
Завдання 783 Рівняння
|
1) (х – 4)(х + 3) = 0 x – 4 = 0 або x + 3 = 0 x = 4 x = –3 |
4) 9х² – 6х + 1 = 0 (3x – 1)² = 0 3x – 1 = 0 x = 1/3 |
|
2) х² – 81 = 0 (x – 9)(x + 9) = 0 x – 9 = 0 або x + 9 = 0 x = 9 x = –9 |
5) х (х + 7) (3х – 2) = 0 x = 0 або x + 7 = 0 або 3x – 2 = 0 x = 0 x = –7 x = 2/3 |
|
3) 7х² + 21х = 0 7x(x + 3) = 0 x = 0 або x + 3 =0 x = –3 |
6) 12х3 – 2х² = 0 2x²(6x – 1) = 0 2x² = 0 або 6x – 1 = 0 x = 0 6x = 1 x = 1/6 |
УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ
Завдання 784
Є 100 купок монет по 100 монет у кожній. Одна з купок складається з фальшивих монет, кожна з яких на 1 г легша від справжньої. Маса справжньої монети становить 10 г. Яку найменшу кількість зважувань на пружинних терезах зі стрілкою треба зробити, щоб знайти купку з фальшивих монет?
Можна виявити купку з фальшивих монет за одне зважування за таким алгоритмом.
Пронумеруємо купки від 1 до 100. Візьмемо з першої купки 1 монету з другої – 2 монети, з третьої – 3 монети і т.д. Потім оцю всю купу монет покладемо на терези. Якщо б усі монети були справжніми то загальна вага склала б (1 + 2 + 3 + 4 + ... + 100) • 10 =
= 5050 • 10 = 50500 грамів. Але в одній з купок були фальшиві монети. Якщо це була перша купка, то вага буде на 1 грам меншою (оскільки ми взяли звідси 1 монету). Якщо фальшиві були в другій купці, то вага буде на 2 грами меншою, тощо.