Завдання 1147
Розв’яжіть систему рівнянь методом підстановки.
|
1) {у = 3х – 1 2x + y = 9 2x + (3x – 1)=9 2x + 3x = 9 + 1 5x = 10 x = 2 y = 3•2 – 1 = 5 (2;5) |
2) {x = 2y – 8 x – 4y = 4 (2y – 8) – 4y = 4 2y – 8 – 4y = 4 –2y – 8 = 4 –2y = 8 + 4 –2y = 12 y = –6 x = 2•(–6)–8=–20 (–20;–6) |
3) {x = 6y x + 5y = 8 6y + 5y = 88 11y = 88 y = 8 x = 6 • 8 = 48 (48;8) |
4) {2x + y = 10 4x – 7y = 2 y = 10 – 2x 4x – 7(10 – 2x) =2 4x – 70 + 14x = 2 18x – 70 = 2 18x = 72 x = 4 y = 10 – 2•4 = 2 (4;2) |
|
5) {5у – х = 8 5x – 4y = 23 x = 5y – 8 5(5y–8) – 4y=23 25y – 40–4y=23 21y – 40 = 23 21y = 63 y = 3 x = 5•3 – 8 = 7 (7;3) |
6) {3х + 4y = 0 2х – 5у = 46 x = –4/3 y 2•(–4/3 y) – 5y =46 –8/3 у – 5y = 46 |•3 –8у – 15у = 138 –23y = 138 y = –6 x =–4/3 •(–6) = 8 (8;–6) |
7) {15 – x = 2y 4x – 3y = 27 x = 15 – 2y 4(15 – 2y)–3y=27 60 – 8y – 3y =27 60 – 11y = 27 –11y = –33 y = 3 x = 15 – 2•3 = 9 (9;3) |
8) {5х – у = 6,2 0,8x + 3y = 13 y = 5x – 6,2 0,8x + 3(5x–6,2)=13 0,8x + 15x–18,6=13 15,8x = 31,6 x = 2 y = 5•2 – 6,2 = 3,8 (2;3,8) |
Завдання 1148
|
1) {4х + у = 12 7х + 2y = 20 y = 12 – 4x 7x + 2(12 – 4x) = 20 7x + 24 – 8x = 20 – x + 24 = 20 x = 4 y = 12 – 4 • 4 = –4 (4;–4) |
2) {x – 2y = 5 3x + 8y = 1 x = 2y + 5 3(2y + 5) + 8y = 1 6y + 15 + 8y = 1 14y = –14 y = –1 x = 2 • (–1) + 5 = 3 (3;–1) |
3) {4y – x = 11 5x – 2y = 17 x = 4y – 11 5(4y – 11) – 2y = 17 20y – 55 – 2y = 17 18y = 72 y = 4 x = 4 • 4 – 11 = 5 (5;4) |
|
4) {6х – у = –1 2х – 3у = –11 y = 6x + 1 2x – 3(6x + 1) = –11 2x – 18x – 3 = –11 –16x – 3 = –11 –16x = –8 x = 0,5 y = 6 • 0,5 + 1 = 4 (0,5;4) |
5) {x + y = 7 9y – 2x = –25 y = 7 – x 9(7 – x) – 2x = –25 63 – 9x – 2x = –25 63 – 11x = –25 –11x = –88 x = 8 y = 7 – 8 = –1 (8;–1) |
6) {5x – 3y = 0 15x + 2y = 55 y = 5/3 x 15x + 2 • 5/3 x = 55 |•3 45x + 10х = 165 55х = 165 x = 3 y = 5/3 • 3 = 5 (3;5) |
Завдання 1149
|
1) {4x – 3y = 15 3x – 4y = 6 y = (4x – 15)/3 3x – 4 • (4x – 15)/3 = 6 3x – (16x – 60)/3 = 6 |•3 9x – 16x + 60 = 18 –7x = –42 x = 6 y = (4•6 – 15)/3=9/3=3 (6;3) |
2) {2x – 3y = 2 5x + 2y = 24 y = (2x – 2)/3 5x + 2 • (2x – 2)/3 = 24 5x + (4x – 4)/3 = 24 |•3 15x + 4x – 4 = 72 19x = 76 x = 4 y = (2•4 – 2)/3 = 6/3 = 2 (4;2) |
3) {5y – 6x = 4 7x – 4y = –1 y = (6x + 4)/5 7x – 4 • (6x + 4)/5 = –1 7x – (24x + 16)/5=–1 |•5 35x – 24x – 16 = –5 11x = 11 x = 1 y = (6•1 + 4)/5 = 10/5=2 (1;2) |
|
4) {4x + 5y = 1 8x – 2y = 38 8x – (2 – 8x)/5 = 38 |•5 (4;–3) |
5) {5a – 4b = 3 2a – 3b = 11 2a – (15a – 9)/4 = 11 |•4 8a – (15a – 9) = 44 8a – 15a + 9 = 44 (–5;–7) |
6) {8m – 2n = 11 9m + 4n = 8 n = (8m – 11)/2 9m + 4 • (8m – 11)/2 = 8 9m + (16m – 22)/2 = 8 |•2 9m + (16m – 22) = 16 9m + 16m – 22 = 16 25m = 30 m = 1,2 n = (8•1,2 – 11)/2=–0,7 (1,2;–0,7) |
Завдання 1150
|
1) {5х + 2у = 15 8х + 3у = 20 у = (15 – 5x)/2 8x + 3 • (15 – 5x)/2 = 20 8x + (45 – 15x)/2 = 20 |•2 16x + 45 – 15x = 40 x = –5 y = (15 – 5 • (–5))/2 = (15 + 25)/2=20 (–5;20) |
3) {8р – 5q = –11 5р – 4q = –6 q = (8p + 11)/5 5p – 4 • (8p + 11)/5 = –6 5p – (32p + 44)/5 = –6 |•5 25p – (32p + 44) = –30 25p – 32p – 44 = –30 –7p – 44 = –30 –7p = 14 p = –2 q = (8 • (–2) + 11)/5 = –5/5=–1 (–2;–1) |
|
2) {7х + 4у = 5 3х + 2у = 3 у = (5 – 7x)/4 3x + 2(5 – 7x)/4 = 3 3x + (10 – 14x)/4 = 3 |•4 12x + 10 – 14x = 12 –2x = 2 x = –1 y = (5 – 7(–1))/4 = 12/4 = 3 (–1;3) |
4) {6u – 5v = –38 2u + 7v = 22 v = (6u + 38)/5 2u + 7 • (6u + 38)/5 = 22 2u + (42u + 266)/5 = 22 |•5 10u + 42u + 266 = 110 52u = –156 u = –3 v = (6 • (–3) + 38)/5 = 20/5 = 4 (–3;4) |
Завдання 1151
|
1) {6 – 5(х – у) = 7х + 4у 3(х + 1) – (6х + 8у) = 69 +3y {–5x + 5y – 7x – 4y = –6 3x + 3 – 6x – 8y – 3y = 69 {–12x + y = –6 –3x – 11y = 69 – 3 {y = 12x – 6 –3x – 11y = 69 – 3 –3x – 11 • (12x – 6) = 66 –3x – 132x + 66 = 66 135x = 0 х = 0 y = 12 • 0 – 6 = –6 (0;–6) |
3) {6y – 5x = 1 (x – 1)/2 + (3y – x)/4 = –4 3/4 | • 4 {6y – 5x = 1 2(x – 1) + 3y – x = –19 {6y – 5x = 1 2x – 2 + 3y – x = –19 {6y – 5x = 1 x + 3y = –19 + 2 {6y – 5x = 1 x = –3y – 17 6y – 5(–3y – 17) = 1 6y + 15y + 85 = 1 21y = –84 y = –4 x = –3 • (–4) – 17 = 12 – 17 = –5 (–5;–4) |
|
2) {x/2 – y/3 = 2 |•6 5x – y = 34 {3x – 2y = 12 y = 5x – 34 3x – 2 • (5x – 34) = 12 3x – 10x + 68 = 12 3x – 10x = 12 – 68 –7x = –56 x = 8 y = 5 • 8 – 34 = 40 – 34 = 6 (8;6)
|
4) {(1,5x – 3)/3 + (7 – 3y)/8 = 3 |•24 (2,5x – 2)/3 – (2y + 1)/6 = x – 0,5 |•6 2(2,5x – 2) – (2y + 1) = 6x – 3 {12x – 24 + 21 – 9y = 72 5x – 4 – 2y – 1 = 6x – 3 {12x – 9y = 75 –x – 2y = 2 {12x – 9y = 75 x = –2y – 2 12 • (–2y – 2) – 9y = 75 –24y – 24 – 9y = 75 –33y = 99 y = –3 x = –2 • (–3) – 2 = 6 – 2 = 4 (4;–3) |
Завдання 1152
|
1) {6х + 3 = 5х – 4(5y + 4) 3(2х – Зу) – 6х = 8 – у {6x + 3 = 5x – 20y – 16 6x – 9y – 6x = 8 – y {6x – 5x + 20y = –16 – 3 6x – 9y – 6x + y = 8 {x + 20y = –19 –8y = 8 {x = –20y –19 у = –1 x = –20 • (–1) –19 = 1 (1;–1) |
2) (x + 3)/2 – (y – 4)/7 = 1 |•14 6y – x = 5 7(x + 3) – 2(y – 4) = 14 6y – x = 5 7x + 21 – 2y + 8 = 14 6y – x = 5 7x – 2y = –15 x = 6y – 5 7(6y – 5) – 2y = –15 42у – 35 – 2y = –15 40y = 20 y = 0,5 x = 6 • 0,5 – 5 = –2 (–2;0,5) |
|
3) {(x + y)/8 + (x – y)/6 = 4 |•24 (3x + y)/4 – (2x – 5y)/3 = 5 |•12 {3(x + y) + 4(x – y) = 96 3(3x + y) – 4(2x – 5y) = 60 {3x + 3y + 4x – 4y = 96 9x + 3y – 8x + 20y = 60 {7x – y = 96 x = –23y + 60 7 • (–23y + 60) – y = 96 –161y + 420 – y = 96 –162y = –324 y = 2 x = –23 • 2 + 60 = –46 + 60 = 14 (14;2) |
|
ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ
Завдання 1153
Під час роботи ліхтарика батарейка розряджається, і напруга в електричному колі ліхтарика зменшується. На рисунку 72 зображено графік зміни напруги в колі під час роботи ліхтарика. Користуючись цим графіком, визначте:
1) якою була напруга в колі:
а) в момент включення ліхтарика; 1,8 В
б) через 6 год після початку роботи ліхтарика; 1,4 В
2) через скільки годин після включення ліхтарика напруга дорівнювала 1 В; 18 год
3) за скільки годин роботи напруга зменшилася від 1,6 В до 1,2 В. 11 – 2 = 9 (год)
Завдання 1154
1) m(m – 3)(m + 3) – (m – 2)(m² + 2m + 4) = m(m² – 9) – (m3 – 8) =
= m3 – 9m – m3 + 8 = –9m + 8
Якщо m = –2/3, тоді –9m + 8 = –9 • (–2/3) + 8 = 6 + 8 = 14
2) (6m – n)(6m + n) – (12m – 5n)(3m + n) =
= 36m² – n² – (36m² + 12mn – 15mn – 5n²) = 4n² + 3mn = n(4n + 3m)
Якщо m = –8/9, n = 3/4, тоді n(4n + 3m) = 3/4 • (4 • 3/4 + 3 • (–8/9)) = 3/4 • (3 – 8/3) =
= 3/4 • 1/3 = 1/4
Завдання 1155
У школі 50% учнів та учениць відвідують спортивні секції, із них 6% співають у хорі. Який відсоток учнів та учениць школи одночасно відвідують спортивні секції і співають у хорі?
Розв'язання
50% = 50/100 = 1/2 всіх дітей відвідують спортивні секції.
6% від 1/2 — це 1/2 • 6/100 = 3/100 = 3% дітей одночасно відвідують спортивні секції і співають в хорі.
Відповідь: 3%.
Завдання 1156
(Задача з болгарського фольклору.) Троє чоловіків прийшли до перукаря. Той поголив першого й сказав: «Подивись, скільки грошей у шухляді стола, поклади ще стільки ж і візьми 8 левів решти». Те саме перукар сказав і другому, і третьому. Після того як усі троє пішли, виявилося, що в касі немає грошей. Скільки грошей було в касі перед тим, як заплатив перший чоловік?
Розв'язання
Нехай в касі було x левів. Після розрахунку першого чоловіка у касі стало (2x – 8) левів,
після розрахунку другого — стало 2(2x – 8) – 8 = 4x – 16 – 8 = (4x – 24) левів,
а після розрахунку третього — стало 2(4x – 24) – 8 = 8x – 48 – 8 = (8x – 56) левів.
Складаємо рівняння:
8x – 56 = 0
8x = 56
x = 7
Відповідь: 7 левів.
Завдання 1157
Функцію задано формулою у = 6 – kx. При якому значенні k графік функції проходить через точку А(4;–2)?
–2 = 6 – 4k
4k = 6 + 2
4k = 8
k = 2
Завдання 1158
Доведіть, що значення виразу 24n – 1 ділиться націло на 5 при будь–якому натуральному значенні n.
24n – 1 = (24)n – 1 = 16n – 1. Значення степеня 16n при будь–якому натуральному значенні n закінчується цифрою 6, тому значення виразу 16n – 1 при будь–якому натуральному значенні n закінчується цифрою 5 і ділиться націло на 5.
Завдання 1159
Знайдіть три останні цифри значення виразу 23763 + 16243.
23763 + 16243 = (2376 + 1624)(2376² – 2376 • 1624 + 1624²) =
= 4000 • (2376² – 2376 • 1624 + 1624²) = 4 • 1000 • (2376² – 2376 • 1624 + 1624²) =
= (4 • (2376² – 2376 • 1624 + 1624²)) • 1000.
Отже, отримаємо ціле число, що закінчується трьома нулями.
Завдання 1160
Остачі при діленні на 6 чисел а і b дорівнюють 2 і З відповідно. Доведіть, що значення добутку ab кратне 6.
За умовою ділення чисел з остачею маємо: a = 6m + 2 і b = 6n + 3. Знайдемо їх добуток.
ab = (6m + 2)(6n + 3) = 36mn + 18m + 12n + 6 = 6(6mn + 3m + 2n + 1) — кратне 6.
УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ
Завдання 1161
Знайдіть усі цілі числа х і у, при яких виконується рівність x + у = ху.
|
х + у = ху ху – х – у = 0 х(у – 1) – у = 0 х(у – 1) – у + 1 – 1 = 0 х(у – 1) – (у – 1) – 1 = 0 (х – 1)(у – 1) – 1 = 0 (х – 1)(у – 1) = 1 Розв'яжемо дві системи рівнянь: |
|
|
{х – 1 = 1 у – 1 = 1 {х = 1 + 1 у = 1 + 1 {х = 2 у = 2 (2;2) |
{х – 1 = –1 у – 1 = –1 {х = –1 + 1 у = –1 + 1 {х = 0 у = 0 (0;0) |