Інші завдання дивись тут...

Завдання 1255

a	–2	–1	–0,5	0	0,5	1	2
a3 – a²	–12	–2	–0,375	0	–0,125	0	4
a4 + a²	20	2	0,3125	0	0,3125	2	20

Завдання 1256 Вираз у вигляді степеня

1) (а8)4 = a32 2) а8а4 = a12 3) а5а5 = a10 4) (а5)5 = a25

5) а²а3а4 = a9 6) (а²)3 а4 = a6a4 = a10 7) а6а6а6 = a18 8) (а6а6)6 = (a12)6 = a72

9) (а6)6а6 = a36a6 = a42 10) (а4)5 : а7 = a20 : a7 = a13 11) (а²)9 : (а6)3 = a18 : a18 = a0 = 1 12) (а8а7) : а14 = a15 : a14 = a

Завдання 1257

При якому значенні х є правильною рівність:

1) 5х • 56 = 524    5х+6 = 524    x + 6 = 24    x = 24 – 6    х = 18

2) (3m)x = 35m     3xm = 35m     xm = 5m     х = 5m : m     x = 5

3) 2x • 2m = 26m     2x + m = 26m     x + m = 6m     x = 6m – m     x = 5m

4) (4x)3m = 46m²     43xm = 46m²     3xm = 6m²      x = 6m² : 3m     x = 2m

Завдання 1258

Чи є тотожно рівними вирази:

1) –а² і (–а)²; Ні

(–а)² = а², отже, –а² ≠ а²

2) –а³ і (–а)³; Так

(–а)³ = ((–1) • а)³ = (–1)³ • а³ = (–1) • а³ = –а³, отже, –а³ = (–а)³

3) (а³)² і а⁵; Ні

(а³)² = а⁶, отже, а⁶ ≠ а⁵

4) 9а • а² і (За)² • а; Так

9а • а² = 9а³ і (За)² • а = 3² •а² • а = 9а³, отже, 9а³ = 9а³

5) (а⁴)³ і (а²)⁶; Так

(а⁴)³ = а¹² і (а²)⁶ = а¹², отже, а¹² = а¹²

6) (2а)³ • (0,5а)² і 2а⁴а. Так

(2а)³ • (0,5а)² = 2³ • (0,5)² • а⁵ = 8 • 0,25 • а⁵ = 2а⁵ і 2а⁴а = 2а⁵, отже, 2а⁵ = 2а⁵

 

Завдання 1259

Подайте у вигляді степеня вираз та обчисліть його значення:

1) 81 • 3² = 3⁴ • 3² = 3⁴⁺² = 3⁶ = 729

2) 4³ • 8² = 2⁶ • 2⁶ = 2⁶⁺⁶ = 2¹² = 4096

3) 100² • 1000³ = 10⁴ • 10⁹ = 10⁴⁺⁹ = 10¹³ = 10 000 000 000 000

 

Завдання 1260

Порівняйте значення виразів:

1) 155 • 26 < 25 • 156 155 • 26 = 155 • 25 • 2 25 • 156 = 155 • 25 • 15 2 < 15

2) 25 • 33 • 54 > 24 • 35 • 53 25 • 33 • 54 = 24 • 33 • 53 • 2 • 5 = 24 • 33 • 53 • 10 24 • 35 • 53 = 24 • 33 • 53 • 3² = 24 • 33 • 53 • 9 10 > 9

Завдання 1261

1) 1020 < 10110    1020 = (102)10 = 10010    10010 < 10110, бо 100 < 101

2) 1015 < 99905     1015 = (103)5 = 10005  10005 < 99905, бо 1000 < 9990

Завдання 1262

1) 4а • (–3аb) = 4 • (–3) • а • аb = –12a²b

2) –2m² • 0,1m⁴n • (–5n³) = –2 • 0,1 • (–5) • m² • m⁴n • n³ =  m⁶n⁴

3) 0,3а²b⁴ • 12а⁴b = 0,3 • 12 • а²b⁴ • а⁴b = 0,3a⁶b⁵

4) –6х³у⁶ • 1,5ху = –6 • 1,5 • х³у⁶ • ху = –9x⁴y⁷

5) –14b²c⁸d⁹ • 1 2/7 b⁶d³ = –14 • 9/7 • b²c⁸d⁹ • b⁶d³ = –18b⁸c⁸d¹²

6) 4/9 а⁴с • (–12а²с³) • 1,8а⁴b⁵ = 4/9  • (–12) • 1,8 • а⁴с • а²с³ • а⁴b⁵ = 9,6a¹⁰b⁵c⁴

7) 3х⁶ • (–4х²y)² = 3 • (–4)² • х⁶ • х⁴y²= 3 • 16 • х¹⁰ • y²= 48x¹⁰y²

8) (–ху)³ • (–2х²y²)⁴ = (–х)³ • у³ • (–2)⁴ • (х²)⁴ • (y²)⁴ = –х³ • у³ • 16 • х⁸ • y⁸ = –16x¹¹y¹¹

 

Завдання 1263

Подайте даний одночлен А у вигляді Вⁿ, де В — деякий одночлен, якщо:

1) А = а⁶b⁹; В³ = (а²)³ • (b³)³ =  (a²b³)³

2) А = 32а¹⁰; В⁵ = 2⁵ • (a²)⁵ = (2а²)⁵

3) А = 81а²b⁴с⁸ ; В² = 9² • а² • (b²)² • (c⁴)² = (9ab²c⁴)²

4) А = –8а¹²b¹⁸. В³ = (–2)³ • (а⁴)³ • (b⁶)³ = (–2a⁴b6)³

 

Завдання 1264

Спростіть вираз:

1) 4a³ab – 6a²b³b³ – 5ab • 3а + 7а³b • 0,2b⁴ = 4a⁴b – 6a²b⁶ – 15a²b + 1,4³b⁵

2) 11m² • 2mn – 9mn • 6mn³ + 10mnm = 22m³n – 54m²n⁴ + 10m²n

3) 8хх⁴х • (–1/4xy) + 18ху • 7/9ух⁵ = –2x⁷y + 14x⁶y²

4) 9х³ху² – 8ху²у⁸ +12х²у • 4у –0,4xy³ • 6х³у² = 9x²y² – 8xy¹⁰ + 48x²y² – 2,4x⁴y⁵

 

Завдання 1265 Сума та різниця многочленів

1) (2,8b – 0,75b²) + (1/4 b² – 1 4/5 b) = 2,8b – 0,75b² + 0,25b² – 1,8b = b – 0,5b²

    (2,8b – 0,75b²) – (1/4b² – 1 4/5b) = 2,8b – 0,75b² – 0,25b² + 1,8b = 4,6b – b²

2) (1 2/7 x² + 2 4/9 y) + (2 3/14 x² – 1 1/6 y) = 9/7 x² + 31/14 x² + 22/9 y – 7/6 y =

= 49/14 x² + 23/18 y = 3 1/2 x² + 1 5/18 y

   (1 2/7 x² + 2 4/9 y) – (2 3/14 x² – 1 1/6 y) = (9/7 x² – 31/14 x²) + 22/9 y + 7/6 y) =

= –13/14 x² + 65/18 y = –13/14 x² + 3 11/18 y

 

Завдання 1266

Доведіть, що значення виразу не залежить від значення змінної.

3х² – 9х – (8 – 5х² – (9х – 8х²)) = 3x² – 9x – (8 – 5x² – 9x + 8x²) =

= 3x² – 9x – 8 + 5x² + 9x – 8x² = –8 – не залежить від значення змінної.

 

Завдання 1267

Який многочлен треба додати до многочлена а⁴ – b⁴ + а³ – b³ – 3ab, щоб їхня сума тотожно дорівнювала многочлену b⁴ + 2аb?

b⁴ + 2ab – (а⁴ – b⁴ + а³ – b³ – 3ab) = b⁴ + 2ab – a⁴ + b⁴ – a³ + b³ + 3ab =

= 2b⁴ + 5ab – a⁴ – a³ + b³

 

Завдання 1268

Який многочлен треба відняти від многочлена 3с⁵ – 2с⁴ + 14с³ – 4с² + с, щоб їхня різниця тотожно дорівнювала многочлену 5с³ + с² – 7с?

3с⁵ – 2с⁴ + 14с³ – 4с² + с – (5с³ + с² – 7с) =

= 3c⁵ – 2c⁴ + 14c³ – 4c² + c – 5c³ – c² + 7c = 3c⁵ – 2c⁴ + 9c³ – 5c² + 8c

 

Завдання 1269

Який многочлен треба додати до многочлена m³ – m²n + mn² – n⁴, щоб їхня сума тотожно дорівнювала 5?

5 – (m³ – m²n + mn² – n⁴) = 5 – m³ + m²n – mn² + n⁴

 

Завдання 1270

Чи існують такі значення х і у, при яких многочлени одночасно набувають від’ємних значень?

(–4х² – 12xy + 7у²) + (6х² + 12хy – 5у²) = –4x² – 12xy + 7y² + 6x² + 12xy – 5y² = 2x² + 2y² – набуває тільки невід’ємних значень, отже, не існують такі значення х і у, при яких многочлени одночасно набувають від’ємних значень.

 

Завдання 1271 Значення виразу

1) 2а(За – 5) – 4а(4а – 5) = 6a² – 10a – 16a² + 20a = –10a² + 10a = 10a(1 – a)

Якщо а = –0,2, то 10 • (–0,2)(1 + 0,2) = –2 • 1,2 = –2,4

2) 7аb(2а – 3b) + 2а(3аb + 10b²) = 14a²b – 21ab² + 6a²b + 20ab² = 20a²b – ab² – ab(20a – b)

Якщо а = –3, b = 5, то –3 • 5 • (20 • (–3) – 5) = –15 • (–60 – 5) = –15 • (–65) = 975

3) 2а⁴(3а² + а – 8) – 6а⁶ = 6a⁶ + 2a⁵ –  16a⁴ – 6a⁶ = 2a⁵ – 16a⁴

Якщо а = –1, то 2 • (–1)⁵ – 16 • (–1)⁴ = –2 – 16 = –18

 

Завдання 1272 Рівняння

1) (3х – 1)/6 – x/3 = (5 – 2x)/9   |•18      3(3x – 1) – 6x = 2(5 – 2x)      9x – 3 – 6x = 10 – 4x      9x – 6x + 4x = 10 + 3      7x = 13      x = 13/7     х = 1 6/7	4) 2x/3 – (2x + 1)/6 = (3x – 9)/4 |•12     8x – 2(2x + 1) = 3(3x – 9)     8x – 4x – 2 = 9x – 27     8x – 4x – 9x = –27 + 2     –5x = –25     х = (–25) : (–5)    x = 5
2) (3x + 1)/2 – 5x/4 = (3 – 2x)/3   |•12      6(3x + 1) – 3(5x) = 4(3 – 2x)      18x + 6 – 15x = 12 – 8x      18x – 15x + 8x = 12 – 6      11x = 6      x = 6/11	5) (9x – 7)/4 – (9x + 13)/8 = (3 – x)/2 |•8     2(9x – 7) – (9x + 13) = 4(3 – x)      18x – 14 – 9x – 13 = 12 – 4x      18x – 9x + 4x = 12 + 14 + 13      13x = 39      x = 39 : 13     х = 3
3) (x + 5)/8 – (1 + x)/2 = (2x + 1)/3 |•24     3(x + 5) – 12(1 + x) = 8(2x + 1)      3x + 15 – 12 – 12x = 16x + 8      3x – 12x – 16x = 8 – 15 + 12     –25x = 5     x = –5/25    х = –1/5	6) (6x + 7)/6 + (5x – 8)/9 = 3 |•18      3(6x + 7) + 2(5x – 8) = 54      18x + 21 + 10x – 16 = 54      18x + 10x = 54 – 21 + 16      28x = 49     x = 49/28     х = 7/4     х = 1 3/4

Завдання 1273 Ррівняння

1) 3x(4x – 1) – 6x(1,5 + 2x) = 4,8     12x² – 3x – 9x – 12x² = 4,8     –12x = 4,8      x = 4,8 : (–12)     x = –0,4	3) x (9x – 4) – 3x (3x – 1) = 8 – x     9x² – 4x – 9x² + 3x = 8 – x     –4x + 3x = 8 – x     –1x + x = 8     0x = 8 – рівняння не має розв’язку
2) 0,2x (5x – 8) + 3,6 = x (x – 0,7)     x² – 1,6x + 3,6 = x² – 0,7x    –0,9x = –3,6    х = –3,6 : (–0,9)    x = 4	4) 18x² – 6x (3x + 2) = –12x     18x² – 18x² – 12x = –12x     –12x = –12x     0x = 0    х – будь–яке число.

Завдання 1274 Тотожність

1) –0,2х³(2,5х – 4)(6 – х²) = –0,2x³(15x – 2,5x³ – 24 + 4x²) = –3x⁴ + 0,5x⁶ + 4,8x³ – 0,8x⁵ =

= 0,5х⁶ – 0,8х⁵ – 3х⁴ + 4,8х³

2) (а –2)(а² + 3а – 18) = (a – 2)((a² – 3a) + (6a – 18)) = (a – 2)(a(a – 3) + 6(a – 3)) =

= (a – 2)(a – 3)(a + 6) = (a – 3)((a – 2)(a + 6)) = (a – 3)(a² + 6a – 2a – 12) =

= (а – 3)(а² + 4а – 12)

 

Завдання 1275

Яке число треба підставити замість а, щоб рівність (5х + а)(х – 2) = 5х² – 7х – 2а була тотожністю?

(5х + а)(х – 2) = 5x² – 10x + ax – 2a = 5x² + (a – 10)x – 2a

Рівність 5x² + (a – 10)x – 2a = 5х² – 7х – 2а буде тотожністю, якщо a – 10 = –7, a = 3

 

Завдання 1276

Яке число треба підставити замість b, щоб рівність (3х + b)(х + 3) = 3х²+ 5х + 3b була тотожністю?

(3х + b)(х + 3) = 3x² + 9x + bx + 3b = 3x² + (b + 9)x + 3b

Рівність 3x² + (b + 9)x + 3b = 3х²+ 5х + 3b буде тотожністю, якщо b + 9 = 5, b =–4.

 

Завдання 1277 Розклад на множники

1) 1/2 a⁶ – 1/4 a²b = 1/2 a⁶ – (1/2)² a²b = 1/2 a²(a⁴ – 1/2 b)

2) 5m²n³k⁴ + 35m⁴n³k² = 5m²n³k²(k² + 7m²)

3) x³y²z⁵ – 2xy⁵z³ + 3х²y³z = xy²z(x²z⁴ – 2y³z² + 3xy)

4) а²ⁿb³ⁿ – aⁿb⁴ⁿ = аⁿ • аⁿ • b³ⁿ – aⁿb³ⁿ • bⁿ = aⁿb³ⁿ(aⁿ – bⁿ)

 

Завдання 1278

Обчисліть, використовуючи винесення спільного множника за дужки, значення многочлена:

1) а² + 4,72а – 32,8 = a(a + 4,72) – 32,8

Якщо а = 5,28, то 5,28(5,28 + 4,72) – 32,8 = 5,28(5,28 + 4,72) – 32,8 = 52,8 – 32,8 = 20

2) 12,Зх – 12,3y + 4,7 = 12,3(x – y) + 4,7

Якщо х = 8,14, у = 8,04, то 12,3(8,14 – 8,04) + 4,7 = 1,23 + 4,7 = 5,93

 

Завдання 1279 Винесення спільного множника за дужки

1) 2,49 • 1,35 – 1,35 • 1,84 + 1,35² = 1,35 • (2,49 – 1,84 + 1,35) = 1,35 • 2 = 2,7 

2) 0,25² • 1,6 + 0,25 • 1,6² – 0,25 • 1,6 • 0,85 = 0,25 • 1,6 • (0,25 + 1,6 – 0,85) =

= 0,25 • 1,6 • 1 = 0,4

3) 3,24 • 18,7 – 3,24 • 16,4 + 2,3 • 6,76 = 3,24 • (18,7 – 16,4) + 2,3 • 6,76 =

= 3,24 • 2,3 + 2,3 • 6,76 = 2,3 • (3,24 + 6,76) = 2,3 • 10 = 23

4) 5,12 • 9,76 + 5,12 • 5,36 – 5,12² = 5,12 • (9,76 + 5,36 – 5,12) = 5,12 • 10 = 51,2

 

Завдання 1280

Доведіть, що значення виразу:

1) 25⁴ – 125² кратне 40;

5⁴ – 125² = (5²)⁴ – (5³)² = 5⁸ – 5⁶ = 5⁶(5² – 1) = 5⁶ • 24 = 5⁵ • 5 • 8 • 3 =

= 5⁵ • 3 • 40, отже, вираз кратний 40, бо містить множник 40.

2) 6⁵ – 18³ кратне 42;

6⁵ – 18³ = 6⁵ – (6 • 3)³ = 6⁵ – 6³ • 3³ = 6⁵ – 6³ • 3³ = 6³ (6² – 3³) = 6³ • (36 – 27) =

= 6³ • 9, отже, вираз не кратний 42, бо не містить множник 42.

3) 17³ + 17² – 17 кратне 61;

17³ + 17² – 17 = = 17(17² + 17 – 1) = 17(289 + 17 – 1) = 17 • 305 = 17 • 5 • 61,

отже, вираз кратний 61, бо містить множник 61.

4) 5 • 2⁹⁶² – 3 • 2⁹⁶¹ + 2⁹⁶⁰ кратне 60.

5 • 2⁹⁶² – 3 • 2⁹⁶¹ + 2⁹⁶⁰ = 2⁹⁶⁰(5 • 2² – 3 • 2 + 1) = 2⁹⁶⁰ • 15 = 4 • 2⁹⁵⁸ • 15 = 60 • 2²⁵⁸ ,

отже, вираз кратний 60, бо містить множник 60.

 

Завдання 1281

Доведіть, що число:

1) abba ділиться націло на 11;

abba = 1000а + 100b + 10b + а = 1000а + а + 100b + 10b = 1001а + 110b =

= 11(91а + 10b), отже, вираз ділиться націло на 11, бо містить множник 11.

2) aaabbb ділиться націло на 37;

aaabbb = 100000а + 10000а + 1000а + 100b + 10b + b = 111000a + 111b =

= 1000 • 111 • a + 111b = 111 • (1000а + b) = 37 • 3 • (1000a + b), отже, вираз

ділиться націло на 37, бо містить множник 37.

3) ababab ділиться націло на 7;

ababab = 100000a + 10000b + 1000a + 100b + 10a + b = 101010a + 10101b =

= 10101 • 10 • a + 10101 • b = 10101 (10a + b) = 1443 • 7 • (10a + b), отже, вираз

ділиться націло на 7, бо містить множник 7.

4) abab – baba ділиться націло на 9 і на 101.

abab – baba = (1000a + 100b + 10a + b) – (1000b + 100a + 10b + a) =

= 1000a + 100b + 10a + b – 1000b – 100a – 10b – a = 909a – 909b = 101(9a – 9b) =

= 101 • 9(a – b), отже, вираз ділить націло на 9 і 101, бо містить множники 9 і 101.

 

Завдання 1282

При якому значенні а рівняння має безліч коренів?

(х + 2)(х – 4) – (х – 2)(х + 4) = ах

х² – 4х + 2х – 8 – (х² + 4х – 2х – 8) = ах

х² – 4х + 2x – 8 – x² – 4x + 2x + 8 = ах

–4х = ах

ах + 4х = 0

(а + 4)х = 0

Рівняння має безліч коренів, якщо

а + 4 = 0

а = –4

 

Завдання 1283

При якому значенні а рівняння не має коренів?

(3х – 1)(х + а) – (3х – 2)(х + 1)

3х2 + 3ах – х – а = 3х2 + 3х – 2х – 2

3х2 + 3ах – х – а – Зх2 – 3х + 2х + 2 = 0

3ах – 2х – а + 2 = 0

(3а – 2)х = а – 2

Рівняння не має коренів, якщо

3a – 2 = 0

3a = 2

a = 2/3

 

Завдання 1284 Розкладання на множники

1) хm – хn + уm – уn = х(m – n) + у(m – n) = (m – n)(х + у)

2) 3а – 3b + ас – bс = 3(а – b) + с(а – b) = (а – b)(3 + с)

3) 9а – ab – 9 + b = а(9 – b) – (9 – b) = (9 – b)(a – 1)

4) а⁵ + а³ + 2а² + 2 = а³(а² + 1) + 2(а² + 1) = (а² + 1)(а³ + 2)

5) 6аb² – 3b² + 2a²b – ab = 3b²(2a – 1) + ab(2a – 1) = (2а – 1)(3b² + ab) = b(2а – 1)(3b + а)

6) 2с³ – 5с²d – 4с + 10d = с²(2с – 5d) – 2(2с – 5d) = (2с – 5d)(с² – 2)

7) х³y² – х + х²у³ – у = х³у² + х²y³ – х – у = х²у²(х + у) – (х + у) = (х + у)(х²у² – 1) =

= (х + у)(ху – 1)(ху + 1)

 

Завдання 1285

1) 1,66² + 1,66 • 4,68 + 2,34² = 1,66² + 2 • 1,66 • 2,34 + 2,34² = (1,66 + 2,34)² = 4² = 16

2) 1,04² – 1,04 • 1,28 + 0,64² = 1,04² – 2 • 1,04 • 0,64 + 0,64² = (1,04 – 0,64)² = 0,4² = 0,16

 

Завдання 1286

При яких значеннях а, b, с і d виконується рівність аb • cd = ad • cb?

Запишемо аb = 10а + b; cd = 10c + d; ad = 10a + d; сd = 10c + d і

підставлимо в рівність аb • сd = аd • сd, одержимо:

(10а + b)(10с + d) = (10а + d)(10с + b)

100ас + 10ad + 10bс + bd = 100aс + 10аb + 10сd + bd

100ас + 10ad + 10bс + bd – 100ас – 10аb – 10сd – bd = 0

10аd – 10аb + 10bс – 10сd = 0

10(аd – аb + bс – сd) = 0    |:10

аd – аb + bс  – сd = 0

а(d – b) – с(d – b) = 0

(d – b)(а – с) = 0

(d – b) = 0 або (а – с) = 0

 d = b або а = с

Отже, рівність аb • сd = аd • сb виконується, коли d = b або а = с.

 

Завдання 1287 Спростіть вираз:

1) 6х² + (2у – Зх)(2у + Зх) = 6х² + 4у² – 9х² = 4у² – 3х²

2) (а + 2)(а – 3) – (4 – а)(а + 4) = а² – 3а + 2а – 6 – (16 – а²) = а² – а – 6 – 16 + а² =

= 2а² – а – 22

3) (5 – 2х)(5 + 2х) – (3 – 2х)(4– 2х) = 25 – 4х² – 12 + 6х + 8х – 4х² = –8х² + 14х + 13

4) (2аb + 1)(2аb – 1)(16а⁴b⁴ + 1)(4а²b² + 1) = (4а²b² – 1)(4а²b² + 1) • (16а⁴b⁴ + 1) =

= (16а⁴b⁴ – 1)(16а⁴b⁴ + 1) = 256а⁸b⁸ – 1

Інші завдання дивись тут...