Завдання 212
Чи є число –5 коренем рівняння:
1) х + 3 = 2; Ні, бо –5 + 3 = –2, –2 ≠ 2
2) 2 – х = 7; Так, 2 – (–5) = 7
3) х : 5 = 1; Ні, –5 : 5 = –1, –1 ≠ 1
4) 4х = –20? Так, 4 • (–5) = –20
Завдання 213
Доведіть, що кожне із чисел 2, –3 і 0 є коренем рівняння х(х – 2)(х + 3) = 0.
Якщо х = 2, тоді 2(2 – 2)(3 + 3) = 0, тому х є коренем рівняння
Якщо х = –3, тоді –3(–3 – 2)(–3 + 3) = 0, тому х є коренем рівняння
Якщо х = 0, тоді 0(0 – 2)(0 + 3) = 0, тому х є коренем рівняння
Завдання 214 Рівносильні рівняння
|
1) |х| = 2 і х(х + 2) = 0 |х| = 2 х = 2 або х = –2 х(х + 2) = 0 х = 0 або х + 2 = 0 х = –2 Рівняння не є рівносильні, бо мають різні корені |
2) |х| = 4 і х~2 = 16. |х| = 4 х = 4 або х = –4 х~2 = 16 х = 4 або х = –4 Рівняння є рівносильні, бо мають однакові корені |
Завдання 215
Ні. Правильне твердження «якщо кожен корінь одного рівняння є коренем іншого і навпаки, то ці рівняння рівносильні»
Завдання 216
|
1) 7х = –12; х = –12/7 Один корінь 2) 0х = 0 Безліч коренів |
3) –3х = –17; х = 17/3 Один корінь 4) 0x = –8 Нема коренів |
Завдання 217 Рівняння
|
1)–2/3 х = 6 –2х = 18 х = –9 |
2) 4/7 х = —16/21 |•21 12х = –16 х = –16/12 х = –4/3 х = –1 1/3 |
3) (х – 1)/7 = 3 |•7 (х – 1) = 21 х = 22 |
|
4) х/2 + х/3 = 15 |•6 3х + 2х = 90 5х = 90 х = 18 |
5) 4,7x – 2 = 4,5x + 3 4,7х – 4,5х = 3 + 2 0,2х = 5 х = 25 |
6) 2x – 3 – (3x – 2) = –8 2х – 3 – 3х + 2 = –8 2х – 3х = –8 + 3 – 2 –х = –7 х = 7 |
Завдання 218
|
1) 10(2x – 7) – 5(4x – 2) = –60 20х – 70 – 20х + 10 = –60 20х – 70 – 20х + 10 = –60 + 70 – 10 0х = 0 х – будь–яке число |
2) 3(5x – 4) – (15x – 2) = 9 15x – 12 – 15x + 2 = 9 15x – 15x = 9 + 12 –2 0х = 19 Немає коренів |
|
3) (3х + 1)/7 + (2х + 1)/5 = 2 |•35 5(3х + 1) + 7(2х + 1) = 70
15х + 5 + 14х + 7 = 70
15х + 14х = 70 – 5 – 7
29х = 58
х = 2
|
4) (2х + 1)/3 – (7 – х)/6 = (5х – 3)/2 |•12
4(2х + 1) – 2(7 – х) = 6(5х – 3)
8х + 4 – 14 + 2х = 30х – 18
8х + 2х – 30х = -18 – 4 + 14
–20х = –8
х = 0,4
|
Завдання 219
Для якого значення a:
1) ax = 8, а = 8/х, тому рівняння не має коренів якщо а = 0
2) (а + 3)х = а + 3; а = –3, тому коренем рівняння є будь-яке число, якщо а = –3
Завдання 220
Розв'яжіть рівняння (а – 1)х = 8 відносно змінної x.
Якщо а = 1, тоді 0х = 8, тому рівняння коренів не має
Якщо а ≠ 1, тоді х = 8/(а – 1)
Завдання 221
На станції техобслуговування за 3 дні відремонтували х автівок. Виразіть через х кількість відремонтованих автівок на день, якщо щодня ремонтували однакову кількість автівок. х/3
Завдання 222
Периметр прямокутника дорівнює 36 см, причому його довжина вдвічі більша за ширину. Знайдіть сторони прямокутника та його площу.
Розв'язання
Нехай ширина прямокутника дорівнює х см, тоді довжина – 2х см, а півпериметр – (36 см : 2) = 18 см. Складаємо рівнняння:
х + 2х = 18
3х = 18
х = 6 (см) – ширина прямокутника;
2 • 6 = 12 (см) – довжина прямокутника;
6 • 12 = 72 (см²) – площа прямокутника.
Відповідь: 6 см і 12 см; 72 см².
Завдання 223
За 7 олівців і 3 ручки заплатили 50 грн 85 к. Скільки коштує один олівець, якщо він дешевший за ручку на 4 грн 95 к.?
Розв'язання
Нехай олівець коштує х грн, тоді ручка коштує (х + 4,95) грн. За 7 олівців заплатили 7х грн, за 3 ручки – 3(х + 4,95) грн, а за всю покупку 50,85 грн. Складаємо рівнняння:
7х + 3(х + 4,95) = 50,85
7х + 3х + 14,85 = 50,85
10х = 36
х = 3,6
Відповідь: 3,6 грн.
Завдання 224
У кошику було в 4 рази менше винограду, ніж у ящику. Після того як з ящика до кошика переклали 1,5 кг винограду, у кошику стало втричі менше винограду, ніж у ящику. Скільки кілограмів винограду було в кошику і скільки - у ящику спочатку?
Нехай в кошику було х кг винограду, тоді в ящику – 4х кг. Коли з ящика переклали у кошик (4х – 1,5) кг, то в кошику стало втричі менше, тобто 3(х + 1,5) кг. Складаємо рівнняння:
Розв'язання
3(х + 1,5) = 4х – 1,5
3х + 4,5 = 4х – 1,5
3х – 4х = –1,5 – 4,5
–х = –6
х = 6 (кг) – було в кошику спочатку;
4 • 6 = 24 (кг) – було в ящику спочатку.
Відповідь: 6 кг; 24 кг.
Завдання 225
За 4,5 год човен за течією річки долає таку саму відстань, як за 6 год проти течії. Знайдіть швидкість течії, якщо власна швидкість човна дорівнює 14 км/год.
Розв'язання
Нехай швидкість течії х км/год, тоді швидкість човна за течією річки (14 + х) км/год, а проти течії річки – (16 – х) км/год. Складаємо рівняння:
4,5(14 + х) = 6(14 – х)
63 + 4,5х = 84 – 6х
4,5х + 6х = 84 – 63
10,5х = 21
х = 2
Відповідь: 2 км/год.
Завдання 226
На проміжній станції поїзд було затримано на 0,5 год. Збільшивши швидкість на 15 км/год, він через 2 год прибув на кінцеву станцію чітко за розкладом. Якою була швидкість поїзда до затримки?
Розв'язання
Нехай швидкість потяга була х км/год, тоді після затримання стала (х + 15) км/год. За розкладом поїзд мав пройти 2,5х км, а пройшов 2(х + 15) км. Складаємо рівняння:
2,5х = 2(х + 15)
2,5х = 2х + 30
2,5х – 2х = 30
0,5х = 30
х = 60
Відповідь: 60 км/год.
Завдання 227
На двох тарілках було по 60 вареників. Після того як з першої тарілки з'їли утричі більше вареників, ніж з другої, на ній залишилося вдвічі менше вареників, ніж на другій. По скільки вареників залишилося на кожній тарілці?
Розв'язання
Нехай з другої тарілки з'їли х вареників, тоді з першої – 3х вареників. На другій тарілці залишилося (60 – х) вареників, а на першій вдвічі менше, тобто 2(60 – 3х) вареників. Складаємо рівняння:
Розв'язання
60 – х = 2(60 – 3х)
60 – х = 120 – 6х
–х + 6х = 120 – 60
5х = 60
х = 12 (в.) – було на I тарілці;
60 – 12 = 48 (в.) – залишилося на I тарілціі;
3 • 12 = 36 (в.) – було на II тарілці;
60 – 36 = 24 (в.) – залишилося на II тарілціі.
Відповідь: 48 вареників і 24 вареники.
Завдання 228
Для преміювання працівників офісу нараховано певну суму коштів. Якщо кожен отримає по 11 000 грн, то 2000 грн ще залишаться, а щоб кожен отримав по 12 000 грн, не вистачить 6000 грн. Скільки працівників у офісі та яку суму коштів нараховано для преміювання?
Розв'язання
Нехай в офісі х працівників, тоді вони отримають (11000х + 2000) грн або (12000х – 6000) грн. Складаємо рівняння:
11000х + 2000 = 12000х – 6000
11000х – 12000х = –6000 – 2000
–1000х = –8000
х = 8 (пр.) – працівникфі в офісі;.
11000 • 8 + 2000 = 90000 (грн) – коштів нараховано.
Відповідь: 8 працівників; 90000 грн.
Завдання 229
В одній овочевій ятці запланували продати 95 кг лимонів, а у другій - 60 кг. Перша щодня продавала по 7 кг, а друга - по 6 кг. Через скільки днів лимонів у першій ятці залишиться вдвічі більше, ніж у другій?
Розв'язання
Нехай продавали х днів, тоді в першій ятці щодня продавали 7х кг, а в другій – 6х кг. Складаємо рівняння:
95 – 7х = 2(60 – 6х)
95 – 7х = 120 – 12х
–7х + 12х = 120 – 95
5х = 25
х = 5
Відповідь: через 5 днів.
Завдання 230
Змішали 15-відсотковий розчин добрива з 5-відсотковим і одержали 180 г 7,5-відсоткового розчину. По скільки грамів кожного розчину взяли?
Розв'язання
Нехай першого розчину взяли х г, тоді другого розчину – (180 – х) г, причому 15-відсотковий розчин має масу 0,15х г, 5-відсотковий – 0,05(180 – х) г, а 7,5-відсотковий – 0,075 • 180 = 13,5 г. Складаємо рівняння:
0,15х + 0,05(180 – х) = 13,5
0,15х + 9 – 0,05х = 13,5
0,15х – 0,05х = 13,5 – 9
0,1х = 4,5
х = 45 (г) – взяли першого розчину;
180 – 45 = 135 (г) – взяли другого розчину.
Відповідь: 45 г і 135 г.