Завдання 505
1) х(а – 3) = ax – 3х 3) m(a – b + 2) = ma – mb + 2m |
2) –р(х + у) = –px – py 4) –у(х – 3 + p) = –yx + 3y – yp |
Завдання 506
1) a(b – 2) = ab – 2a 2) m(a + c) = ma + mc |
3) p(a – b – 3) = pa – pb – 3p 4) –b(a – c + 3) = –ab + bc – 3b |
Завдання 507 Множення одночлена на многочлен
1) 7a²(3 – a) = 21a² – 7a3 2) –5х² (х3 + 4х) = –5x5 – 20x3 3) –3c3(c – 2c²) = –3c4 + 6c5 |
4) 2a4(a5 – a3 – 1) = 2a9 – 2a7 – 2a4 5) (3х² – 5х – 3) • 2х = 6x3 – 10x² – 6x 6) (c3 + c – 4) • (–3c) = –3c4 – 3c² + 12c |
Завдання 508
1) 4xy(x² – 2xy – y²) = 4x3y – 8x²y² – 4xy3
2) –a²b(ab² – b² + a²) = –a3b3 + a²b3 – a4b
3) (2mn – 3m² – 5n²) • (–4m²) = –8m3n + 12m4 + 20n²m²
4) (–2x²y + 3xy – x²) • xy² = –2x3y3 + 3x²y3 – x3y²
5) (2,8a²b – 3,7a3b – 0,8b) • 10ab² = 28a3b3 – 37a4b3 – 8ab3
6) –1,8a²b6(5a²b – 1,5a – 2b3) = –9a4b7+ 2,7a3b6 + 3,6a²b9
Завдання 509
1) 4a(a² – 2a + 3) = 4a3 – 8a² + 12a
2) –3b²(4b3 – 2b² + 3b – 8) = –12b5 + 6b4 – 9b3 + 24b²
3) (3x² – 4x + 12) • (–0,1x3) = –0,3x5 + 0,4x4 – 1,2x3
4) (p² – 9p3 + 7p – 1) • 3p4 = 3p6 – 27p7 + 21p5 – 3p4
5) 7ab(2a²b – 3ab² – 3a3) = 14a3b² – 21a²b3 – 21a4b
6) –6m²n(m²n – 3mn² – 4n3) = –6m4n² + 18m3n3 + 24m²n4
7) (9a²b – 8ab3 – a2b²)(–3a²b3) = –27a4b4 + 24a3b6 + 3a4b5
8) (p²q3 – 2pq4 + 3p3) • 5p3q² = 5p5q5 – 10p4q6 + 15p6q²
Завдання 510
1) 1/7 a²b(l,4 a² – 2,1 b3) = 1/7 a²b(7/5 a² – 21/10 b3) = 1/5 a4b – 3/10 a²b4
2) –2/3 x²y3(l,2 y5 – 9/10 xy) = –2/3 x²y3(6/5 y5 – 9/10 xy) = –4/5 x²y8 + 3/5 x3y4
3) (1 1/5 mn² – 1 1/15 m²)(–5/6 m²n) = 6/5 mn² – 16/15 m²)(–5/6 m²n) = –m3n3 + 8/9 m4n
4) (1 1/4 m – 5/6 n) • 2 2/5 m²n7 = (5/4 m – 5/6 n) • 12/5 m²n7 = 3m3n7 – 2m²n8
Завдання 511
1) 1/4 m²n(2,4mn – 2,8m²) = 0,25m²n(2,4mn – 2,8m²) = 0,6m3n² – 0,5m4n
2) –2/5 ab3(1,5 ab – 5/6 b²) = –2/5 ab3(3/2 ab – 5/6 b²) = –3/5 a²b4 + 1/3 ab5
3) (1 1/2 x²y – 9/10 xy4) 2/3 xy3 = (3/2 x²y – 9/10 xy4) 2/3 xy3 = x3y4 – 3/5 x²y7
4) (1,5a – 4/7 b)(–1/14 a²b5) = (3/2 a – 4/7 b)(–1/14 a²b5) = –3/28 a3b5 + 4/98 a²b6 =
= –3/28 a3b5 + 2/49 a²b6
Завдання 512 Многочлен
1) 5(x – 3) – 2(x – 3) = 5x – 15 – 2x + 6 = 3x – 9
2) 5(7a – 1) – 7(5a + 3) = 35a – 5 – 35a – 21 = –26
3) 2b(b – 3) – 5b(b + 7) = 2b² – 6b – 5b² – 35b = –3b² – 41b
4) 7y²(3y – 2) + 4y²(y + 5) = 21y3 – 14y² + 4y3 + 20y² = 25y3 + 6y²
Завдання 513 Спрощення виразів
1) 5(3 – 2a) + 7(3a – 1) = 15 – 10a + 21a – 7 = 8 + 11a
2) 3(2x – 8) – 3(2x – 5) = 6x – 24 – 6x + 15 = –9
3) 3m(m – 2) – 5m(7 – m) = 3m² – 6m – 35m + 5m² = 8m² – 41m
4) 2a²(3a – 5) + 4a² (a + 3) = 6a3 – 10a² + 4a3 + 12a² = 10a3 + 2a²
Завдання 514
1) 5m(m – n) + 3n(n – m) = 5m² – 5mn + 3n² – 3mn = 5m² – 8mn + 3n²
2) 2a(2b – 3a) – 3a(5b –7a) = 4ab – 6a² – 15ab + 21a² = –11ab + 15a²
3) a(3a² – 2b) – b(5a² – 2a) = 3a3 – 2ab – 5ba² + 2ab = 3a3 – 5ba²
4) 0,2mn(m² – n² + 3) – 0,5m(nm² – n3) = 0,2m3n – 0,2mn3 + 0,6mn – 0,5m3n + 0,5mn3 =
= –0,3m3n + 0,3mn3 + 0,6mn
Завдання 515
1) 3a(a – b) + 5b(a + b) = 3a² – 3ab + 5ba + 5b² = 3a² + 2ba + 5b²
2) 3y(x – y) + y(2y – 3x) = 3yx – 3y² + 2y² – 3xy = –y²
3) p(p² – 2a) – a(a² – 2p) = p3 – 2ap – a3 + 2ap = p3 – a3
4) 3xy(x² – y² + 7) – 5xy(y² + x²) = 3x3y – 3xy3 + 21xy – 5xy3 – 5x3y =
= –2x3y – 8xy3 + 21xy
Завдання 516 Рівняння
1) 6 + 2(5x + 4) = 24 6 + 10x + 8 = 24 10x = 24 – 6 – 8 10x = 10 x = 1 |
2) 3(5x – 1) = 4(4x – 8) 15x – 3 = 16x – 32 15x – 16x = –32 + 3 –x = –29 x = 29 |
3) 7 – 4(y – 1) = (3y – 2) • (–2) 7 – 4y + 4 = –6y + 4 –4y + 6y = 4 – 4 + 7 2y = 7 y = 3,5 |
4) 3(y – 2) – 5(y + 7) = –7(y – 1) 3y – 6 – 5y – 35 = –7y + 7 3y – 5y + 7y = 7 + 6 + 35 5y = 48 y = 9,6 |
Завдання 517
1) 5(2x – 1) = 3(4x + 5) 10x – 5 = 12x + 15 10x – 12x = 15 + 5 –2x = 20 x = –10 |
2) 9 – 5(y + 2) = (7y – 5) • (–3) 9 – 5y – 10 = –21y + 15 –5y + 21y = 15 – 9 + 10 16y = 16 y = 1 |
Завдання 518
1) x(x – 3) – 9 = 12 + x² x² – 3x – 9 = 12 + x² x² – 3x – x² = 12 + 9 –3x = 21 x = –7 |
2) 3x – 2x² = 2x(5 – x) + 14 3x – 2x² = 10x – 2x² + 14 3x – 2x² + 2x² – 10x = 14 –7x = 14 x = –2 |
Завдання 519
1) 7 – x(x – 2) = 5 – x² 7 – x² + 2x = 5 – x² –x² + 2x + x² = 5 – 7 2x = –2 x = –1 |
2) 3x(x – 5) = 3x² – 5x + 20 3x² – 15x = 3x² – 5x + 20 3x² – 3x² – 15x + 5x = 20 –10x = 20 х = –2 |
Завдання 520
Запишіть замість «зірочки» такий одночлен, щоб справджувалася рівність:
1) (a + b) • m = am + bm 2) –n • (x – y) = –nx + ny 3) x² • (a – b + c) = ax² – bx² + cx² |
4) –ab • (c – n + p) = –abc + abn – abp 5) y² • (x² – xy) = x²y² – xy`3 6) (p – 1) • pq² = p²q² – pq² |
Завдання 521
Доведіть, що для будь–якого значення a вираз набуває одного й того самого значення.
a(3a + 1) – a²(a + 2) + (a3 – a²) – (a + 1) = 3a² + a – a3 – 2a² + a3 – a² – a – 1 = –1. Вираз набуває значення –1.
Завдання 522
Доведіть, що значення виразу не залежить від значення змінної.
x(5x² – x + 2) – (5x – 2 + 4x3) – x(x² – x – 3) = 5x3 – x² + 2x – 5x + 2 – 4x3 – x3 + x² + 3x =
= 2. Вираз не залежить від значення змінної.
Завдання 523
Доведіть, що вираз тотожно дорівнює нулю:
1) a(b – c) + b(c – a) + c(a – b) = ab – ac + bc – ba + ca – cb = 0
2) a(b + c – bc) – b(c + a – ac) + c(b – a) = ab + ac – abc – bc – ba + abc + cb – ca = 0
Завдання 524 Многочлен стандартного вигляду
1) –7a5b(2b4 + ab5 – 3a²b6 + a3b7) = –14a5b5 –7a6b6 + 21a7b7 – 7a8
2) (3x3 + 5x² – 2a – 3a²)xay = 3x4ay + 5x3ay – 2xa²y – 3xa3y
3) –4pm3(m4 – 2p3m + 7p6m7 + 11p7m3) = –4pm7 + 8p4m4 – 28p7m10 – 44p8m6
4) (1/2 a²b9 + 1/6ab7 – 1/3a3b6)(–12a3b7) = –6a5b16 + 2a4b14 + 4a6b13
Завдання 525
Доведіть, що для будь–якого значення змінної a вираз набуває від'ємних значень.
2a²(a – 5) – a(–6a + 2a² + 3a3) – 4 = 2a3 – 10a² + 6a² – 2a3 – 3a4 – 4 = – 4a² – 3a4 – 4 =
= –(4a² + 3a4 + 4), вираз набуває від'ємних значень.
Завдання 526
Доведіть, що для будь–якого значення змінної m вираз набуває лише додатних значень.
5(m² – 3m + 1) – 3m(m – 5) = 5m² – 15m + 5 – 3m² + 15m = 2m² + 5, вираз набуває лише додатних значень.
Завдання 527
1) 3a(5a² – 3ab + ab3 – b²) • b = 15a3b – 9a²b² + 3a²b4 – 3ab3
2) –xy • (x²y – 2x²y² + 3xy3 + x3) • x² = –x5y² + 2x5y3 + 3x4y4 – x6y
Завдання 528
1) 4а – 2(5a – 1) + (8a – 2) = 4а – 10a + 2 + 8a – 2 = 2a
Якщо a = –3,5, тоді 2a = 2 • (–3,5) = –7
2) 10(2 – 3x) + 12x – 9(x + 1) = 20 – 30x + 12x – 9x – 9 = –27x + 11
Якщо x = –1/27, тоді –27x + 11 = –27 • (–1/27) + 11 = 1 + 11 = 12
3) a(3a – 4b) – b(3b – 4a) = 3a² – 4ab – 3b² + 4ab = 3a² – 3b² = 3(a² – b²)
Якщо a = –5 , b = 5, тоді 3(a² – b²) = 3 • ((–5)² – 5²) = 3 • (25 – 25) = 0
4) 3xy(5x² – y²) – 5xy(3x² – y²) = 15x3y – 3xy3 – 15x3y + 5xy3 = 2xy3
Якщо x = 1/8, y = –2, тоді 2xy3 = 2 • 1/8 • (–2)3 = 2 • 1/8 • –8/1 = –2
–7 + 12 + 0 – 2 = 3 – рази представники України вигравали в пісенному конкурсі «Євробачення».
Завдання 529
1) 7a(2a – 0,1) – 0,1a(10a – 7) = 14a² – 0,7a – a² + 0,7a = 13a²
Якщо а = 1/13, тоді 13a² = 13 • (1/13)² = 13 • 1/169 = 1/13
2) 4x(2x – 5y) – 2y(4y – 10x) = 8x² – 20xy – 8y² + 20xy = 8x² – 8y² = 8(x² – y²)
Якщо x = –15, y = 15, тоді 8 • (x² – y²) = 8 • ((–15)² – 15²) = 8 • (225 – 225) = 0
Завдання 530 Рівняння
1) (5x – 9)/4 + (5x – 7)/4=1 (5x – 9) + (5x – 7) = 4 5x – 9 + 5x – 7 = 4 5x + 5x = 4 + 9 + 7 10x = 20 x = 2 |
2) (3x – 1)/14 – x/7=–2 (3x – 1) – 2x = –28 3x – 2x = –28 + 1 x = –27 |
3) (x – 6)/3 + (2x + 3)/3=2x (x – 6) + (2x + 3) = 6x x – 6 + 2x + 3 = 6x x + 2x – 6x = 6 – 3 –3x = 3 x = –1 |
4) (2 – x)/5 – x/15 = 1/3 3(2 – x) – x = 5 6 – 3x – x = 5 –3x – x = 5 – 6 –4x = –1 x = 1/4 |
5) 2x(1 – 3x) + 5x(3 – x) = 17x – 11x² 2x – 6x² + 15x – 5x² = 17x – 11x² 2x – 6x² + 15x – 5x² – 17x + 11x² =0 0х = 0 х – будь–яке число
|
|
6) (7x3 + 2x² – 4x – 5) – (6x3 – x² + 2x) = 3x² – (6x – x3) 7x3 + 2x² – 4x – 5 – 6x3 + x² – 2x = 3x² – 6x + x3 7x3 + 2x² – 4x – 6x3 + x² – 2x – 3x² + 6x – x3 = 5 0х = 5 рівняння не має розв'язку |
Завдання 531
1) (7x – 3)/6 – (5x + 1)/2=0 (7x – 3)/6 = (5x + 1)/2 7х – 3 = 3(5x + 1) 7x – 3 = 15x + 3 7x – 15x = 3 + 3 –8x = 6 x = –0,75 |
2) (x – 3)/5 – x/4=1 4(x – 3) – 5x = 20 4x – 12 – 5x = 20 4x – 5x = 20 + 12 –x = 32 x = –32 |
3) (4x + 1)/6 + (10x + 1)/6=x 4x + 1 + 10x + 1 = 6x 4x + 10x – 6x = –1 – 1 8x = – 2 x = –0,25 |
4) (x + 2)/15 = 1/3 – x/5 x + 2 = 5 – 3x x + 3x = 5 – 2 4x = 3 x = 0,75 |
5) 3x(2 + x) – 4(1–x²) = 7x² + 6x 6x + 3x² – 4 + 4x² = 7x² + 6x 6x + 3x² + 4x² – 7x² – 6x = 4 0x = 4 Рівняння не має розв'язку
|
|
6) (x² + 4x – 8) – (7x – 2x² – 5) = Зх2 – (3x + 3) x² + 4x – 8 – 7x + 2x² + 5 = Зх² – 3x – 3 x² + 4x – 7x + 2x² – Зх² + 3x = –3 + 8 – 5 0x = 0 х – будь–яке число |
Завдання 532
1) у 4 рази більше; 2(3y + 1) = 4(3y – 2) 6y + 2 = 12y – 8 6y – 12y = –8 – 2 –6y = –10 y = 10/6 y = 1 2/3 |
2) добуток дорівнює сумі. 3x(2x + 1) = x(4x – 1) + 2(x² – 3) 6x² + 3x = 4x² – x + 2x² – 6 6x² + 3x – 4x² + x – 2x² = –6 4x = –6 x = –1,5 |
Завдання 533
Для виготовлення одного тістечка потрібно на 4 г цукру більше, ніж для виготовлення одного пиріжка або одного пончика. За день у кондитерському цеху було виготовлено 80 тістечок, 50 пончиків і 50 пиріжків. Водночас на всі тістечка витратили на 80 г цукру більше, ніж на всі пончики і пиріжки разом. Скільки грамів цукру потрібно для виготовлення одного тістечка?
Розв'язання
Нехай на виготовлення одного пиріжка або пончика йде х г цукру, тоді на виготовлення 1 тістечка – (х + 4) г цукру. Складаємо рівняння:
80(х + 4) – (50х + 50х) = 80
80х + 320 – 50х – 50х = 80
80х – 100х = 80 – 320
–20х = –240
х = 12 (г) – цукру йде на виготовлення пончика або пиріжка;
12 + 4 = 16 (г) – цукру йде на виготовлення тістечка.
Відповідь: 16 г.
Завдання 534
За 8 олівців, 4 ручки і блокнот заплатили 265 грн. Олівець на 17 грн 50 к. дешевший за ручку і на 32 грн 50 к. дешевший за блокнот. Скільки коштують окремо олівець, ручка і блокнот?
Розв'язання
Нехай ручка коштує х грн, тоді олівець – (х – 17,5) грн, а блокнот – (х – 17,5) + 32,5 = (х + 15) грн. Складаємо рівняння:
8(х – 17,5) + 4х + (х + 15) = 265
8х – 140 + 4х + х + 15 = 265
8х + 4х + х = 265 + 140 – 15
13х = 390
х = 30 (грн) – коштує ручка;
30 – 17,5 = 12,5 (грн) – коштує олівець;
30 + 15 = 45 (грн) – коштує блокнот.
Відповідь: 12,5 грн; 30 грн; 45 грн.
Завдання 535
Одна котушка бавовняних ниток коштує 5 грн 40 к., а льняних – 6 грн 50 к. Бабуся для плетіння серветок придбала бавовняних ниток на 6 котушок більше, ніж льняних, витративши на всю покупку 175 грн 20 к. Скільки котушок бавовняних і скільки котушок льняних ниток придбала бабуся?
Розв'язання
Нехай льяних було х котушок, тоді бавовняних – (х + 6) котушок. Складаємо рівняння:
6,5х + 5,4(х + 6) = 175,2
6,5х + 5,4х + 32,4 = 175,2
6,5х + 5,4х = 175,2 – 32,4
11,9х = 142,8
х = 12 (к.) – льяних котушок;
12 + 6 = 18 (к.) – бавовняних катушок.
Відповідь: 18 котушок і 12 котушок.
Завдання 536
Човен плив 3,5 год за течією річки і 2,5 год проти течії. Відстань, яку він проплив за течією річки, на 30 км більша за відстань, яку він проплив проти течії. Знайдіть власну швидкість човна, якщо швидкість течії 2 км/год.
Розв'язання
Нехай власна швидкість човна х км/год, тоді швидкість за течією річки (х + 2) км/год, а швидкість проти течії річки (х – 2) км/год. Складаємо рівняння:
3,5(х + 2) – 2,5(х – 2) = 30
3,5х + 7 – 2,5х + 5 = 30
3,5х – 2,5х = 30 – 7 – 5
х = 18
Відповідь: 18 км/год.
Завдання 537
Якими одночленами потрібно замінити «зірочки», щоб одержати тотожність:
1) 5aх² • (х + 7) = 5aх3 + 35aх²
2) (9a² + 6a4) • 3a = 27a3 + 18a5
3) (m² – 4mc²) • 3mc² = 3m3c² – 12m²c4
4) (5 – 7y) • х²у3 = 5х²у3 – 7х²у4
Завдання 538
Які одночлени потрібно вписати в клітинки, щоб одержати тотожність:
1) 3a²(3a3 – 4) = 9a5 – 12a²
2) (1 + 2ab) • 5ab² = 5ab² + 10a²b3
3) (2m – 2m²a) • 7m = 14m² – 14m²a
4) (7x²a – 9xa²) • 2xa4 = 14х3a5 – 18x²a6
Завдання 539
Спростіть вираз (n – натуральне число):
1) хn+3(хn+4 – х) – х2n+7 = xn+3+n+4 – xn+3+1 – x2n+7 = x2n+7 – xn+4 – x2n+7 = –xn+4
2) yn(yn+2 – yn – у2) – y2(y2n – yn) = yn+n+2 – yn+n – yn+2 – y2+2n + y2+n =
= y2n+2 – y2n – yn+2 – y2+2n + y2+n = –y2n
3) zn(z2 – 1) – z2(zn + 2) – 2(zn – z2) = zn+2 – zn – z2+n – 2z2 – 2zn + 2z2 = –3zn
Завдання 540 Координатні чверті
А(4;–8) – IV чверть |
B(–5;–7) – III чверть |
С(1;17) – I чверть |
D(–9;8) – II чверть |
Завдання 541
1) (–За²b3)² • (1/3 ab²)3 = 9a4b6 • 1/27 a3b6 = 1/3 a7b12
2) (0,1mn7)2 • (–10m²n3)3 = 0,01m2n14 • (–1000m6n9) = –100m8n23
Завдання 542
Використовуючи властивості степенів, знайдіть значення виразу:
1) (2417 • б16)/(4816 • З17) = (617 • 417 • б16)/(616 • 816 • З17) =
= (617 • 417)/(816 • З17) = (617 • 417)/(416 • 216 • З17) =
= (617 • 417)/(416 • 216 • З16 • 3) =
= (617 • 417)/(416 • 616 • 3) =(6 • 4)/3 = 24/3 = 8
2) (359 • 27)/(57•148) = (59 • 79• 27)/(57• 28 • 78) = (5² • 7)/2 = (25 • 7)/2 = 175/2 = 87,5
Завдання 543
У багатьох країнах світу, зокрема і в Україні, температуру вимірюють за шкалою Цельсія. А в деяких країнах, наприклад у США, основною шкалою для вимірювання температури є шкала Фаренгейта. Щоб значення температури за Фаренгейтом не перетворити у градуси Цельсія tC, користуються формулою tC = 1,8tF + 32.
1) Запишіть формулу, за якою значення температури у градусах Цельсія tC можна перетворити у значення температури за шкалою Фаренгейта tF.
tF = (tC – 32)/1,8
2) Уявіть, що ваш термометр вимірює температуру тіла за Фаренгейтом. Заповніть таблицю, перетворивши значення температури за Фаренгейтом у значення температури за Цельсієм.
tF |
95 |
95,9 |
96,8 |
97,7 |
98,6 |
99,5 |
100,4 |
101,3 |
102,2 |
tC |
203 |
204,62 |
206,24 | 207,86 | 209,48 | 211,1 | 212,72 | 214,34 | 215,96 |
Завдання 544 Винесення за дужки спільного множника
1) 7а – 7b = 7(a – b) 2) –2y – 2x = –2(y + x) 3) 9n + 9m = 9(n + m) 4) bx + by = b(x + y) |
5) 3m – mx = m(3 – x) 6) 7t + 7 = 7(t + 1) 7) 5ap + 5pb = 5p(a + b) 8) 4ax – 4bx = 4x(a – b) |
Завдання 545
Відомо, що для деяких натуральних значень a і b значення виразу 6a + b кратне числу 7. Доведіть, що для тих самих значень a і b значення виразу 6b + a також кратне числу 7.
Розглянемо суму чисел 6a + b і 6b + a.
6a + b + 6b + a = 7a + 7b = 7(a + b) ділиться на 7. Сума ділиться на 7, за умовою доданок 6a + b ділиться на 7, тому доданок 6b + a теж ділиться на 7.