Лінійні рівняння з однією змінною
Варіант 1
Завдання 1
Число 7 є коренем рівняння 12 – х = 5, бо 12 – 7 = 5, тому Б. 12 – х = 5
Завдання 2
Лінійні рівняння В. 2х = –8
Завдання 3
Одне із чисел на 7 менше від іншого. Менше із цих чисел позначили через х. Як треба позначити більше із цих чисел? Г. х + 7
Завдання 4 Рівняння
|
1) –3х = 21 x = 21 : (–3) x = –7 |
2) 0,5х – 1,5 = 0 0,5x = 1,5 x = 3 |
Завдання 5
Чи рівносильні рівняння? Ні, рівняння не є рівносильні
|
5х – 2 = 3х + 6 5x – 3x = 6 + 2 2x = 8 x = 4 |
2(х + 3) = х – 8 2x + 6 = x – 8 2x – x = –8 – 6 x = –14 |
Завдання 6
В одному ящику вдвічі більше яблук, ніж у другому. Скільки яблук у кожному ящику, якщо у двох ящиках разом 75 яблук?
Розв'язання
Нехай у другому ящику x яблук, тоді у першому – 2x яблук, а разом в двох ящиках 75 яблук. Складаємо рівняння:
2x + x = 75
3x = 75
x = 25 (яблук) – у другому ящику;
2 • 25 = 50 (яблк) – у першому ящику.
Відповідь: 50 і 25 яблук.
Завдання 7
Для якого значення а рівняння 2ах = –40 має корінь, що дорівнює 4?
Підставимо корінь x = 4 у рівняння, одержимо:
2 • a • 4 = –40
8a = –40
a = –5
Завдання 8 Рівняння
|
1) (3x – 2)/2 + (2x + 5)/3 = 5| • 6 3(3x – 2) + 2(2x + 5) = 30 9x – 6 + 4x + 10 = 30 9x + 4x = 30 – 10 + 6 13x = 26 x = 2 |
2) 3х – (х + 5) = 2(х + 1) 3x – x – 5 = 2x + 2 3x – x – 2x = 2 + 5 0x = 7 – рівняння не має коренів. |
Завдання 9
Човен плив 2,5 год за течією і 3,4 год проти течії. Проти течії проплив на 2,6 км більше, ніж за течією. Знайдіть власну швидкість човна, якщо швидкість течії 2 км/год.
Розв'язання
Нехай власна швидкість човна х км/год, тоді швидкість за течією річки – (х + 2) км/год, а швидкість проти течії річки – (х – 2) км/год. Складаємо рівняння:
3,4(x – 2) – 2,5(x + 2) = 2,6
3,4x – 6,8 – 2,5x – 5 = 2,6
3,4x – 2,5x = 2,6 + 5 + 6,8
0,9x = 14,4
x = 16
Відповідь: власна швидкість човна 16 км/год.
Варіант 2
Завдання 1
Число 6 є коренем рівняння 4х = 24, бо 4 • 6 = 24, тому В. 4х = 24
Завдання 2
Лінійне рівняння А. 7х = –14
Завдання 3
Одне із чисел на 3 більше від іншого. Більше із чисел позначили через х. Як треба позначити менше із цих чисел? Б. х – 3
Завдання 4 Рівняння
|
1) –5х = –20 х = –20 : (–5) x = 4 |
2) 0,4х – 1,2 = 0 0,4x = 1,2 х = 1,2 : 0,4 x = 3 |
Завдання 5
Чи рівносильні рівняння? Так, рівносильні
|
3х – 5 = 5х – 1 3x – 5x = –1 + 5 –2x = 4 x = –2 |
3(х – 2) = 2х – 8 3x – 6 = 2x – 8 3x – 2x = –8 + 6 x = –2 |
Завдання 6
У футбольній секції займається втричі більше учнів, ніж у секції шахів. Скільки учнів займається футболом і скільки шахами, якщо разом цих учнів 32?
Розв'язання
Нехай у секції шахів займається x учнів, тоді у футбольній секції – 3x учнів, а разом в двох секціях 32 учні. Складаємо рівняння:
3x + x = 32
4x = 32
x = 8 (учнів) – у секції шахів;
3 • 8 = 24 (учнів) – у футбольній секції.
Відповідь: 8 учнів і 24 учні.
Завдання 7
Для якого значення m рівняння 4mx = –40 має корінь, що дорівнює 2?
Підставимо корінь x = 2 у рівняння:
4 • m • 2 = –40
8m = –40
m = –5
Завдання 8 Рівняння
|
) (3x + 1)/5 + (2x – 3)/3 = 3| • 15 3(3x + 1) + 5(2x – 3) = 45 9x + 3 + 10x – 15 = 45 9x + 10x = 45 + 15 – 3 19x = 57 x = 3 |
2) 7х – (х + 6) = 6(х – 1); 7x – x – 6 = 6x – 6; 7x – x – 6 = –6 – 6; 0x = 0 Безліч коренів. |
Завдання 9
Катер плив 3,2 год за течією і 2,9 год проти течії. Проти течії катер проплив на 11,2 км менше, ніж за течією. Знайдіть швидкість течії, якщо власна швидкість човна 17 км/год.
Розв'язання
Нехай швидкість течії x км/год, тоді швидкість катера за течією річки (17 + x) км/год, а проти течії річки (17 – x) км/год. Відстань за течією річки 3,2(17 + x) км, а проти течії річки 2,9(17 – x) км. Складаємо рівняння:
3,2(17 + x) – 2,9(17 – x) = 11,2
54,4 + 3,2x – 49,3 + 2,9x = 11,2
3,2x + 2,9x = 11,2 – 54,4 + 49,3
6,1x = 6,1
x = 1
Відповідь: швидкість течії річки 1 км/год.
Варіант З
Завдання 1
Число 5 є коренем рівняння 20 : х = 4, бо 20 : 5 = 4, тому Г. 20 : х = 4
Завдання 2
Лінійне рівняння Б. 3х = –12
Завдання 3
Одне із чисел на 4 менше від іншого. Більше із цих чисел по значили через х. Як треба позначити менше із цих чисел? В. х – 4
Завдання 4 Рівняння
|
1) 4х = –24 x = –6 |
2) 0,3х – 1,5 = 0 0,3x = 1,5 x = 5 |
Завдання 5
Чи рівносильні рівняння? Так, рівносильні
|
6х – 3 = 4х + 1 6x – 4x = 1 + 3 2x = 4 x = 2 |
2(х – 5) = х – 8 2x – 10 = x – 8 2x – x = –8 + 10 x = 2 |
Завдання 6
Сергій і Сашко разом зібрали 42 гриби, причому Сергій зібрав удвічі більше грибів, ніж Сашко. Скільки грибів зібрав кожен хлопець?
Розв'язання
Нехай Сашко зібрав x грибів, тоді Сергій – 2x грибів, а разом 42 гриби. Складаємо рівняння:
2x + x = 42
3x = 42
x = 14 (гр.) – зібрав Сашко;
2 • 14 = 28 (гр.) – зібрав Сергій.
Відповідь: 14 грибів і 28 грибів.
Завдання 7
Для якого значення b рівняння 2bх = –30 має корінь, що дорівнює 5?
Підставимо корінь x = 5 у рівняння:
2 • b • 5 = –30
10b = –30
b = –3
Завдання 8 Рівняння
|
1) (3x – 2)/4 + (2x + 5)/3 = 4 |•12 3(3x – 2) + 4(2x + 5) = 48 9x – 6 + 8x + 20 = 48 9x + 8x = 48 – 20 + 6 17x = 34 x = 2 |
2) 5х – (х + 3) = 4(х + 1) 5x – x – 3 = 4x + 4 5x – x – 4x = 4 + 1 0x = 5 – рівняння не має коренів |
Завдання 9
Човен плив 2,6 год за течією і 3,5 год проти течії. За течією човен проплив на 3,9 більше, ніж проти течії. Знайдіть власну швидкість човна, якщо швидкість течії 3 км/год.
Розв'язання
Нехай власна швидкість човна x км/год, тоді швидкість човна за течією річки (х + 3) км/год, а проти течії річки (х – 3) км/год. Відстань за течією річки 2,6(х + 3) км, а проти течії річки 3,5(х – 3) км. Складаємо рівняння:
2,6(x + 3) – 3,5(x – 3) = 3,9
2,6x + 7,8 – 3,5x + 10,5 = 3,9
3,5x – 2,6x = 7,8 + 10,5 – 3,9
0,9x = 14,4
x = 16
Відповідь: власна швидкість човна 16 км/год.
Варіант 4
Завдання 1
Число 8 є коренем рівняння х + 3 = 11, бо 8 + 3 = 11, тому А. х + 3
Завдання 2
Лінійне рівняння Г. 4х= –8
Завдання 3
Одне із чисел на 5 більше від іншого. Менше із цих чисел позначили через х. Як треба позначити більше із цих чисел? Б. х + 5
Завдання 4 Рівняння
|
1) –2х = –12 x = 6 |
2) 0,6х – 1,8 = 0 0,6x = 1,8 x = 3 |
Завдання 5
Чи рівносильні рівняння? Ні, нерівносильні
|
7х – 5 = 5х – 9 7x – 5x = –9 + 5 2x = –4 x = –2 |
3(х – 4) = 2х – 6 3x – 12 = 2x – 6 3x – 2x = –6 + 12 x = 6 |
Завдання 6
Майстер і учень разом виготовили 28 деталей, причому майстер виготовив утричі більше деталей, ніж учень. Скільки деталей виготовив кожен?
Розв'язання
Нехай учень виготовив x деталей, тоді майстер – 3x деталей, а разо вони виготовили 29 деталей. Складаємо рівняння:
3x + x = 28
4x = 28
x = 7 (д.) – виготовив учень;
3 • 7 = 21 (д.) – виготовив майстер.
Відповідь: 7 деталей і 21 деталь.
Завдання 7
Для якого значення а рівняння 4ах = –48 має корінь, що дорівнює 6?
Підставимо корінь x = 6 у рівняння:
4 • a • 6 = –48
24a = –48
a = –2
Завдання 8 Рівняння
|
1) (5x – 3)/2 + (2x + 4)/5 = 8 |•10 5(5x – 3) + 2(2x + 4) = 80 25x – 15 + 4x + 8 = 80 25x + 4x = 80 + 15 – 8 29x = 87 x = 3 |
2) 4х – (х + 3) = 3(х – 1) 4x – x – 3 = 3x – 3 4x – x – 3x = –3 + 3 0x = 0 Безліч коренів |
Завдання 9
Катер плив 3,5 год за течією і 4,6 год проти течії. За течією човен проплив на 3,6 км менше, ніж проти течії. Знайдіть швидкість течії, якщо власна швидкість човна 18 км/год.
Розв'язання
Нехай швидкість течії x км/год, тоді швидкість катера за течією річки (18 + x) км/год, а проти течії річки (18 – x) км/год. Відстань за течією річки 3,5(18 + x) км, а проти течії річки 4,6(18 – x) км. Складаємо рівняння:
4,6(18 – x) – 3,5(18 + x)= 3,6
82,8 – 4,6x – 63 – 3,5x = 3,6
4,6x + 3,5x = 82,8 – 63 – 3,6
8,1x = 16,2
x = 2
Відповідь: швидкість течії річки 2 км/год.