Завдання 718 Розклад на множники
1) с² + 2cd + d² = (c + d)²
2) x² – 2xy + y² = (x – y)²
3) m² + 2 • m • 5 + 5² = (m + 5)²
Завдання 719, 720 Повний квадрат
|
1) m² – 2mn + n² = (m – n)² 2) p² + 2pq + q² = (p + q)² 3) a² + 2 • a • 3 + 3² = (a + 3)² |
1) t² + 2tp + p² = (t + p)² 2) a² – 2ax + x² = (a – x)² 3) b² + 2 • b • 7 + 7² = (b + 7)² |
Завдання 721 Розклад на множники
|
1) a² – 6a + 9 = (a – 3)² 2) 64 + 16b + b² = (8 + b)² 3) 0,01m² + 0,2m + 1 = (0,1m + 1)² |
4) 1/25 – 2/5p + p² = (1/5 – p)² 5) 4m² – 12m + 9 = (2m – 3)² 6) 9с² + 24cd + 16d² = (3c + 4d)² |
Завдання 722 Квадрат двочлена
|
1) a² + 4a + 4 = (a + 2)² 2) 9m² – 6m + 1 = (3m – 1)² 3) b² – 1,2b + 0,36 = (b – 0,6)² |
4) 1/49 m² – 2/7 m + 1 = (1/7 m – 1)² 5) 81a² + 18ab + b² = (9a + b)² 6) 25m² – 60mn + 36n² = (5m – 6n)² |
Завдання 723 Обчислили зручним способом
1) 36² + 2 • 36 • 14 + 14² = (36 + 14)² = 50² = 2500
2) 117² – 2 • 117 • 17 + 17² = (117 – 17)² = 100² = 10000
Завдання 724
1) 87² + 2 • 87 • 13 + 13² = (87 + 13)² = 100² = 10000
2) 137² – 2 • 137 • 47 + 47² = (137 – 47)² = 90² = 8100
Завдання 725 Вирази
1) a² – 2a + 1 = (a – 1)²
Якщо a = 91, тоді (a – 1)² = (91 – 1)² = 90² = 8100
Якщо a = –19, тоді (a – 1)² = (–19 – 1)² = (–20)² = 400
2) 4m² + 28m + 49 = (2m)² + 2 • 2m • 7 + 7² = (2m + 7)²
Якщо m = –3,5, тоді (2m + 7)² = (2 • (–3,5) + 7)² = 0
Якщо m = 0, тоді (2m + 7)² = (2 • 0 + 7)² = 49
3) 16x² – 40xy + 25y² = (4x)² – 2 • 4x • 5y + (5y)² = (4x – 5y)²
Якщо x = 5, у = 4, тоді (4x – 5у)² = (4 • 5 – 5 • 4)² = 0
Завдання 726
1) а² + 10a + 25 = (а + 5)²
Якщо а = –15, тоді (а + 5)² = (–15 + 5)² = (–10)² = 100
Якщо а = 95, тоді (a + 5)² = (95 + 5)² = 100² = 10000
2) 0,01x² + 0,8x + 16 = (0,1x + 4)²
Якщо х= 10, тоді (0,1x + 4)²= (0,1 • 10 + 4)² = 25
Якщо х = –40, тоді (0,1x + 4)² = (0,1 • (–40) + 4)² = 0
3) 4m² + 28mn + 49n² = (2m + 7n)²
Якщо m = –3, n = –1/7 , тоді (2m + 7n)² = (2 • (–3) + 7 • (–1/7))² = (–6 – 1)² = (–7)² = 49
Завдання 727 Квадрат двочлена
1) 1/4 m² + 4n² + 2mn = 1/4 m² + 2mn + 4n² = (1/2 m + 2n)²
2) –10mn + 0,25m² + 100n² = 0,25m² – 10mn + 100n² = (0,5m – 10n)²
3) 9p² + pq + 1/36 q² = (3p + 1/6 q)²
4) m6 + 4n2 – 4m3n = (m3)2 – 2 • m3 • 2n + (2n)2 = (m3 – 2n)2
5) 25m12 + p6 – 10m6p3 = (5m6)2 – 2 • 5m6 • p3 + (p3)2 = (5m6 + p3)2
6) 9/64c6 – 3dc5 + 16d²c4 = (3/8c3)2 – 2 • 3/8c3 • 4dc2 + (4dc2)2 = (3/8c3 –4dc2)2
Завдання 728 Розклад на множники
1) 1/9 a4 + 9b2 + 2a2b = 1/9 a4 + 2a2b + 9b2 = (1/3 a2 + 3b)2
2) –6,4a2y4 + 0,16a4 + 64y8 = 0,16a4 – 6,4a2y4 + 64y8 = (0,4a2 – 8y4)2
3) 16m20 + n12 – 8m10n6 = 16m20 – 8m10n6 + n12 = (4m10 – n6)2
4) 6a4b2 + a6 + 9a2b4 = a6 + 6a4b2 + 9a2b4 = (a3)2 + 2 • a3 • 3ab2 + (3ab2)2 = (a3 + 3ab2)2
Завдання 729
Подайте тричлен у вигляді квадрата двочлена або виразу, протилежного до квадрата двочлена:
1) –1 + 4x – 4x² = – (1 – 4x + 4x²) = –(1 – 2x)²
2) –40a + 25a² + 16 = 25a² – 40a + 16 = (5a – 4)²
3) 24xy – 9x² – 16y² = –(9x² – 24xy + 16y²) = –(3x – 4y)²
4) –140x3y + 100x6 + 49y2 = 100x6 – 140x3у + 49y2 = (10x3 –7y)2
5) 4pq – 25p² – 0,16q² = –(25p² – 4pq + 0,16q²) = –(5p – 0,4q)²
6) –0,64m6 – 1,6m3n2 – n4 = –(0,64m6 + 1,6m3n2 + n4) = –(0,8m3 + n2)2
Завдання 730
1) –9 – 30x – 25x² = –(9 + 30x + 25x²) = –(3 + 5x)²
2) –36b + 81b² + 4 = 81b² – 36b + 4 = (9b – 2)²
3) 42xy – 49x² – 9y² = –(49x² – 42xy + 9y²) = –(7x – 3y)²
4) –0,36a4 – 25b6 + 6a2b3 = –(0,36a4 – 6a2b3+ 25b6) = –(0,6a2 – 5b3)2
Завдання 731 Рівняння
|
1) x² – 10x + 25=0 (x – 5)² = 0 x – 5 = 0 x = 5 |
2) 64y² + 16y + 1=0 (8y + 1)2 = 0 8y + 1 = 0 y = –1/8 |
3) 9x² + 1=–6x 9x² + 6x + 1=0 (3x + 1)² = 0 3x + 1 = 0 x = –1/3 |
4) 16y² = 56y – 49 16y² – 56y + 49=0 (4y – 7)² = 0 4y – 7 = 0 y = 7/4 = 1 3/4 |
Завдання 732
|
1) x² + 16x + 64=0 (x + 8)² = 0 x + 8 = 0 x = –8 |
2) 36x² – 12x + 1=0 (6x – 1)² = 0 6х – 1=0 y = 1/6 |
3) 4x² + 9 = –12x 4х² + 12х + 9=0 (2х + 3)² = 0 2х + 3 = 0 х = –3/2 = –1 1/2 |
4) х² = 0,4х – 0,04 х² – 0,4х + 0,04=0 (х – 0,2)² = 0 х – 0,2 = 0 х = 0,2 |
Завдання 733
Запишіть замість «зірочки» такий одночлен, щоб одержаний тричлен можна було перетворити на квадрат двочлена:
|
1) m² – 2mn + n² = (m – n)² 3) 64m² + 112mb + 49b² = (8m + 7b)² 5) р2 – 0,8p7 + 0,16р12 = (р – 0,4p6)2 |
2) 25а² + 20а + 4 = (5а + 2)² 4) 4m6 – 12bm3 + 9b2 = (2m3 – 3b)2 6) b6 + a2b3 + 1/4 a4 = (b3 + 1/2 а2)2 |
Завдання 734
Запишіть замість «зірочки» такий одночлен, щоб одержаний тричлен можна було подати у вигляді квадрата двочлена:
|
1) 4x² – 28х + 49 = (2х – 7)² 3) 25а2 + 2ab3 + 1/25 b6=(5a + 1/5 b3)2 |
2) 64а² – 16а + 1 = (8а – 1)² 4) 0,01а8 + 100b6 + 2a4b3=(0,1а4 + 10b3)2 |
Завдання 735 Розклад на множники
1) (х – 2)² +2(х – 2) + 1 = ((х – 2) +1)² = (х – 1)²
2) а² + 6а + 9 + 2(а + 3) + 1 = (а + З)² + 2(а + 3)+1 = ((а + 3 ) + 1)² = (а + 4)²
Завдання 736
Доведіть, що нерівність є правильною для будь–якого значення x:
1) x² + 2 > 0, бо x² ≥ 0, 2 > 0 для всіх значень х
2) x² – 6x + 9 ≥ 0, бо x² – 6х + 9 = (х – 3)² ≥ 0 для всіх значень х.
Завдання 737
Порівняйте з нулем значення виразу:
|
1) x² – 4х + 4 = (х – 2)² ≥ 0 |
2) –x² + 2х – 1 = –(х² – 2х + 1) = –(х – 1)² ≤ 0 |
Завдання 738
Вставте пропущені знаки ≤ або ≥ так, щоб для будь–яких значень x нерівність була правильною:
1) x² + 4х + 4 = (х + 2)² ≥ 0
2) –x² + 30х – 225 = –(х² – 30х + 225) = –(х – 15)² ≤ 0
3) –x² – 8х – 16 = –(х² + 8х + 16) = –(x + 4)² ≤ 0
4) 36 – 12х + х² = (6 – х)² ≥ 0
Завдання 739
Доведіть, що для будь–яких значень змінної вираз x² + 4x + 5 набуває лише додатних значень. Якого найменшого значення набуває цей вираз і для якого значення x?
x² + 4х + 5 = x² + 4х + 4 + 1 = (х + 2)² + 1. Оскільки (х + 2)² ≥ 0 при будь–яких значеннях х, то вираз (х + 2)² + 1 набуває лише додатних значень.
Найменшого значення, що дорівнює 1, набуває при (х + 2)² = 0; (х + 2) = 0, х = –2
Завдання 740
Доведіть, що для будь–якого значення змінної вираз x² + 6x + 11 набуває лише додатних значень. Якого найменшого значення набуває цей вираз і для якого значення x?
x² + 6х + 11 = x² + 6х + 9 + 2 = (х + 3)² + 2. Оскільки (х + 3)² ≥ 0 при будь–яких значеннях х, то вираз (х + 3)² + 2 набуває лише додатних значень.
Найменшого значення, що дорівнює 2, набуває при (х + 3)² = 0; х + 3 = 0; х = –3
Завдання 741
Замініть «зірочки» одночленами так, щоб одержаний тричлен був повним квадратом (знайдіть три різних розв'язки задачі):
|
1) (2х)² – 48ху + (12у)² = (2х – 12у)² (6ху)² – 48ху + 4² = (6ху – 4)² (24у)² – 48ху + x² = (24у – х)² |
2) а² + 20ab + (10b)² = (а + 10b)² 2² + 20ab + (5ab)² = (2 + 5ab)² (5а)² + 20ab + (2b)² = (5a + 2b)² |
Завдання 742
Подайте вираз у вигляді квадрата двочлена, якщо це можливо:
1) x² – 3x + 9; Ні
2) 49а2^ – 140ab + 100b²; Так, 49a² – 140ab + 100b² = (7а – 10b)²
3) 4а² – 9b² – 12ab; Ні
4) 16y² + 8y – 1; Ні
5) 1/16x² + 1/40xy + 1/25y²; Ні
6) –xy + 1/16y² + 4x². Так, –ху + 1/16y² + 4х² = 1/16y² – ху + 4х² = (1/4y – 2x)²
Вправи для повторення
Завдання 743
Для яких значень x:
1) квадрат двочлена x + 2 на 225 більший за квадрат двочлена x – 3;
(x + 2)² – (x – 3)² = 225
x² + 4х + 4 – (х² – 6х + 9) = 225
х² + 4х + 4 – x² + 6х – 9 = 225
10x = 225 + 5
10x = 230
х = 23
2) квадрат двочлена 2x – 6 у 4 рази більший за квадрат двочлена x + 3?
(2x – 6)² = 4(x + 3)²
4x² – 24х + 36 = 4(х² + 6х + 9)
4х² – 24х + 36 = 4x² + 24х + 36
4х² – 24х – 4х² – 24х = 36 – 36
–48х = 0
х = 0
Завдання 744 Спрощення виразів
1) (m – 2 )(m + 3)(m – 5) = (m² – 2m + 3m – 6)(m – 5) = (m² + m – 6)(m – 5) =
= m3 – 5m2 + m2 – 5m – 6m + 30 = m3 – 4m2 – 11m + 30
2) (р² + 1)(р8 – р6 + р4 – р2 + 1) = р10 – р8 + р6 – р4 + р2 + р8 – р6 + р4 – р2 + 1 = р10 + 1
Завдання 745
Щосереди в аптеці «Будьте здорові» діє 15–відсоткова знижка для пенсіонерів. Скільки грошей заощадить пенсіонер, придбавши ліки в середу, якщо роздрібна ціна цих ліків становить 580 грн?
Розв'язання
580 грн – 100%
х грн – 15%
580/х = 100/15; 100х = 8700: х = 8700 : 100; х = 87 (грн)
Відповідь: 87 грн.
Завдання 746
|
1) (x – 3)(x + 3) = x² – 9 2) (y + 2)(y – 2) = y² – 4 |
3) (1 + m)(1 – m) = 1 – m² 4) (4 – a)(4 + a) = 16 – a² |
Завдання 747
Є піскові годинники двох видів: одним відміряють 7 хв, а другим – 11 хв. Як за допомогою цих годинників відміряти точно 15 хв?
Міркуємо так. Ставимо два піскові годинники одночасно, тоді через 7 хв на одинадцятихвилинному годиннику залишиться піску на 4 хв (11 хв – 7 хв = 4 хв), тому починаємо відлік часу. Після витікання піску в одинадцятихвилинному годиннику, ще раз його перевертаємо, отримаємо 4 хв + 11 хв = 15 хв.