Завдання 748 Тотожність
|
1) (a – c)(a + c) = a² – c² |
4) (d + n)(d – n) = n² – d² |
Завдання 749
|
1) (c – 5)(c + 5) = c² – 5² = c² – 25 |
2) (b + 7)(b – 7) = b² – 7² = b² – 49 |
Завдання 750
|
1) (c – d)(c + d) = c² – d² |
2) (p + a)(p – a) = p² – a² |
Завдання 751
|
1) (b + t)(b – t) = b² – t² |
2) (a – t)(a + t) = a² – t² |
Завдання 752
|
1) (p – 9)(p + 9) = p² – 9² = p² – 81 3) (3 – c)(3 + c) = 3² – c² = 9 – c² |
2) (5 + х)(5 – х) = 5² – х² = 25 – x² 4) (7 + y)(y – 7) = y² – 7² = y² – 49 |
Завдання 753
|
1) (m – 2)(m + 2) = m² – 2² = m² – 4 3) (4 – x)(4 + x) = 4² – x² = 16 – x² |
2) (7 + а)(7 – а) = 7² – а² = 49 – a² 4) (11 + b)(b – 11) = b² – 11² = b² – 121 |
Завдання 754 Многочлени
1) (2x – 3)(2x + 3) = (2x)² – 3² = 4x² – 9
2) (3p + 8)(3p – 8) = (3p)² – 8² = 9p² – 64
3) (4 + 5а)(5а – 4) = (5а)² – 4² = 25a² – 16
4) (3m – 4p)(4p + 3m) = (3m)² – (4p)² = 9m² – 16p²
5) (7а + 10b)(10b – 7а) = (10b)² – (7а)² = 100b² – 49a²
6) (1/4 p – 1/7 q)(1/7 q + 1/4 p) = (1/4 p)² – (1/7 q)² = 1/16 p² – 1/49 q²
Завдання 755
1) (p – 2m)(p + 2m) = p² – (2m)² = p² – 4m²
2) (2p + 7)(2p – 7) = (2p)² – 7² = 4p² – 49
3) (2c + 5)(5 – 2c) = 5² – (2c)²= 25 – 4c²
4) (8а – 0,3x)(0,3x + 8а) = (8а)² – (0,3x)² = 64a² – 0,09x²
5) (0,1p + q)(q – 0,1p) = (q)² – (0,1p)² = q² – 0,01p²
6) (2/7 a – 3/5 b)(2/7 a + 3/5 b) = (2/7 a)² – (3/5 b)² = 4/49 a² – 9/25 b²
Завдання 756
|
Вираз І 3а |
Вираз ІІ
|
Добуток різниці виразів І і ІІ на їх суму |
Різниця квадратів виразів І і ІІ |
| 3а | b | (3а – b)(3a + b) | 9а² – b² |
| 5m | 2n | (5m – 2n)(5m + 2n) | 25m² – 4n² |
| 1/2x | 3y | (1/2x – 3y)(1/2x + 3y) | 1/4x² – 9y² |
| 0,1p | 0,7q | (0,1p – 0,7q)(0,1p + 0,7q) | 0,01p² – 0,49q² |
| 1/7c | 1/3d | (1/7c – 1/3d)(1/7c + 1/3d) | 1/49c² – 1/9d² |
Завдання 757
1) 16 + (3a + 4)(3a – 4) = 16 + (3a)² – 4² = 16 + 9a² – 16 = 9a²
2) (5m – 3)(5m + 3) – 25m² = (5m)² – 3² – 25m² = 25m² – 9 – 25m² = –9
Завдання 758
1) (8x – 5)(8x + 5) + 25 = (8x)² – 5² + 25 = 64x² – 25 + 25 = 64x²
2) 9m² + (5 – 3m)(5 + 3m) = 9m² + (5)² – (3m)² = 9m² + 25 – 9m² = 25
3) (2b – 3)(3 + 2b) – 4b² = (2b)² – 3² – 4b² = 4b² – 9 – 4b² = –9
4) (4a + 7)(7 – 4a) – 49 = 7² – (4a)² – 49 = 49 – 16a² – 49 = –16a²
Завдання 759 Рівняння
|
1) 3х = (2х – 3)(2х + 3) – 4x² 3х = 4х² – 9 – 4х² 3х = –9 х = –3 |
2) 9х² + (8 – 3х)(8 + 3х) = 4х 9х² + 64 – 9х² = 4х 64 = 4х х = 16 |
Завдання 760
|
1) 8х = (5х – 4)(5х + 4) – 25х² 8х = 25х² – 16 – 25х² 8х = –16 х = –2 |
2) (9 – 4х)(9 + 4х) + 16х² = 3х 81 – 16х² + 16х² = Зх 3х = 81 х = 27 |
Завдання 761 Обчисліть зручним способом
1) (40 – 1)(40 + 1) = 40² – 1² = 1600 – 1 = 1599
2) 81 • 79 = (80 – 1)(80 + 1) = 6400 – 1 = 6399
3) 1002 • 998 = (1000 – 2)(1000 + 2) = 1000000 – 4 = 999996
4) 1,03 • 0,97 = (1 – 0,03)(1 + 0,03) = 1 – 0,0009 = 0,9991
Завдання 762
1) (80 + 2)(80 – 2) = 80² – 2² = 6400 – 4 = 6396
2) 59 • 61 = (60 – 1)(60 + 1) = 60² – 1² = 3600 – 1 = 3599
3) 108 • 92 = (100 + 8)(100 – 8) = 100² – 8² = 10000 – 64 = 9936
4) 12,3 • 11,7 = (12 + 0,3)(12 – 0,3) = 12² – 0,3² = 144 – 0,09 = 143,91
Завдання 763
1) (р² + 3q)(3q – р²) = (3q + p²)(3q – р²) = (3q)² – (р2)² = 9q2 – р4
2) (2а – m3)(m3 + 2а) = (2а – m3)(2а + m3) = 4а2 – m6
3) (5а – b²)(b² + 5а) = (5а – b²)(5а + b²)= 25а2 – b4
4) (0,7m + n²)(0,7m – n²) = 0,49m2 – n4
5) (4t2 – p4)(4t2 + р4) = 16t4 – р16
6) (3а3 – 4b4)(4b4 + 3а3) = (3а3 – 4b4)(3а3 + 4b4) = 9а6 – 16b8
Завдання 764
1) (1,7а – 1,4 p3)(1,4 p3 + 1,7а) = (1,7а – 1,4p3)(1,7а + 1,4p3) = 2,89а2 – 1,96p6
2) (3a2 – 1/4 b3)( 1/4 b3 + 3a2) = (3a2 – 1/4 b3)(3a² + 1/4 b3) = 9a4 – 1/16 b6
3) (5m2n + 1/7 p3)( 1/7 p3 – 5m2n) = (1/7 p3 + 5m2n)( 1/7 p3 – 5m2n) = 1/49 p6 – 25m4n2
4) (2/3 a7 + 1,2y8)(1,2y8 – 2/3 a7) = (1,2y8 + 2/3 a7)(1,2y8 – 2/3 a7) = 1,44y16 –4/9 a14
Завдання 765
1) (5а + b²)(b² – 5а) = (b² + 5а)(b² – 5а) = b4 – 25а2
2) (4а3 – d2) (d2 + 4а3) = (4а3 – d2)(4а3 + d2)= 16а6 – d4
3) (0,7р – m7)(m7 + 0,7p) = (0,7р – m7)(0,7р + m7) = 0,49p² – m14
4) (1/5 m2 + 3b7)(3b7 – 1/5 m²) = (3b7 + 1/5 m²) = 9b14 – 1/25 m4
5) (0,2а²b – 0,3аb²)(0,2а²b + 0,3аb²) = 0,04а4b2 – 0,09а2b4
6) (1,2p7 – 2/3 a8)( 2/3 a8 + 1,2p7) = (1,2p7 – 2/3 a8)(1,2p7 + 2/3 a8) = 1,44p14 – 4/9 a16
Завдання 766
1) (–а2 + 7)(7 + а2) = (7 – а2)(7 + а2) = 49 – а4
2) (–p2 – q7) (p2 + q7) = –(p2 + q7)(p2 + q7) = –(p2 + q7)2 = –(p4 + 2p2q7 + q14) =
= –p4 – 2p2q7 – q14
3) (–8m – 5p)(–8m + 5p) = –(5p + 8m)(5p – 8m) = –(25p² – 64m²) = 64m² – 25p²
4) (–2а3 – 3b)(–3b + 2а3) = –(2а3 + 3b)(2а3 – 3b) = –(4а6 – 9b2) = –4а6 + 9b2
Завдання 767
1) (а – b)(а + b)(а² + b²) = (а² – b²)(а² + b²) = а4 – b4
2) (2а + х)(4a² + х²)(2а – х) = (2а + х)(2а – х)(4а² + х²) = (4а² – х²)(4а² + х²) = 16а4 – x4
3) (с3 + d2)(c3 – d2)(c6 + d4) = (с6 – d4)(с6 + d4) = с12 – d8
4) (–x – у)(х – у)(х + у2)(х4 + у4) = –(х + у)(х – у)(х2 + у2)(х4 + у4) =
= –(х2 – у2) • (х2 + y2)(x4 + у4) = –(x4 – у4)(х4 + у4) = –(x8 – y8) = y8 – x8
Завдання 768
1) (–а7 + b5)(а7 + b5) = (b5 – а7)(b5 + а7) = b10 – а14
2) (–0,1m3 – p4) (0,1m3 – p4) = –(0,1m3 + p4)(0,1m3 – p4) = –(0,01m6 – p8) = –0,01m6 + p8
3) (3х – 2р)(3х + 2р)(9х² + 4p²) = (9х² – 4p²)(9х² + 4p²) = 81x4 – 16p4
4) (–а² – 5b3)(а² – 5b3)(а4 + 25b6) = –(а² + 5b3)(а² – 5b3)(а4 + 25b6) =
= –(a4 – 25b6)(а4 + 25b6) = –(а8 – 625b12) = –а8 + 625b12
Завдання 769
Замість «зірочок» запишіть такі одночлени, щоб утворилася тотожність:
1) (2а + 7b)(2а – 7b) = 4а² – 49b²
2) (0,5m² – 9р)(0,5m² + 9р) = 0,25m4 – 81p²
3) 100а8 – 9m6 = (10а4 – 3m3)(3m3 + 10а4)
4) (4х – 3у)(4х + 3у) = 16х² – 9y²
Завдання 770 Рівняння
|
1) 8х(1 + 2х) – (4х + 1)(4х – 1) = 17 8х + 16х² – 16х² + 1 = 17 8х = 17 – 1 8х = 16 х = 2 |
2) х – 12х(1 – 3х) = 14 – (5 – 6х)(6х + 5) х – 12х + 36х² = 14 – 25 + 36х² х – 12х + 36х² – 36х² = 14 – 25 –11x = –11 х = 1 |
|
3) (4х + 1)(4х – 1) + (2х – 3)² = 5х(4х – 11) 16х² – 1 + 4х² – 12х + 9 = 20x² – 55x 16x² + 4х² – 12х – 20x² + 55х = 1 – 9 43x = –8 x = –8/43 |
|
Завдання 771
1) 5x(4x – 1) – (6х – 1)(6х + 1) = (4х + 3)(3 – 4x)
20x² – 5x – 36x² + 1 = 9 – 16х2
–16х² – 5х + 16x² = 9 – 1
–5x = 8
х = –1,6
2) (3х – 4)(3х + 4) – (5х – 2)(5x + 2) = 2х(1 – 8х)
9x² – 16 – 25x² + 4 = 2х – 16х²
9х² – 25x² – 2х + 16x² = 16 – 4
–2х = 12
х = –6
3) (5х – 4)² – 2х(8х – 5) = (3х – 2)(3х + 2)
25х² – 40х + 16 – 16x² + 10x = 9х2 – 4
25х² – 40х – 16x² + 10x – 9x² = – 16 – 4
–30х = –20
х = 2/3
Завдання 772
1) (а + 3)² – (a + 3)(a – 3) = a² + 6a + 9 – a² + 9 = 6a + 18
2) (8х – 3у)(8х + 3у) – (3х – 8у)² = 64x² – 9y² – 9х² + 48xy – 64y² = = 55x² – 73y² + 48ху
3) (b – 3)²(b + 3)² = ((b – 3)(b + З))² = (b² – 9)² = b4 – 18b2 + 81
4) (а + 5)²(5 – а)² = ((5 + a)(5 – а))² = (25 – а²)² = 625 – 50а² + а4
Завдання 773
1) (с – 2)² – (с – 3)(с + 3) = с² – 4с + 4 – с² + 9 = –4с + 13
2) (9х – 2у)(9х + 2у) – (5х – 2y)² = 81x² – 4y² – 25х² + 20ху – 4y² = 56х² – 8y² + 20ху
3) (a + 6)²(a – 6)² = ((а + 6)(a – 6))² = (a² – 36)² = а4 – 72а2 + 1296
4) (2 – m)²(m + 2)² = ((2 – m)(2 + m))² = (4 – m²)² = 16 – 8m2 + m4
Завдання 774
Доведіть, що квадрат будь–якого цілого числа завжди на одиницю більший за добуток попереднього йому й наступного за ним чисел.
Нехай х — будь–яке ціле число, тоді попереднє до нього — х – 1, а наступне — х + 1, тоді
x² – (х – 1)(х + 1) = х² – (х² – 1) = 1 – доведено.
Завдання 775
1) ((х + у) + 1)((х + у ) – 1) = (х + у)² – 12 = х² + 2хy + y² – 1
2) (a + b + с)(a – (b + с) = a² – (b + с)² = a² – b² – 2bс – с²
3) ((m + n + 2р)(m + n – 2р) = (n + m)² – (2р)² = m2 + 2mn + n2– 4р4
4) (х – у – 2)(х + у + 2) = (х – (у + 2))(х + (у + 2)) = х² – (у + 2)² = х² – y² – 4у – 4
Вправи для повторення
Завдання 776
2,7 • (8 7/12 – 2 17/36) – 4 1/3 : 0,65 = 2,7 • 6 4/36 – 13/3 : 65/100 =
= 27/10 • 6 1/9 – 13/3 • 100/65 = 27/10 • 55/9 – 20/3 = 33/2 – 20/3 = 59/6 = 9 5/6
Завдання 777
Щоб заасфальтувати деяку ділянку дороги за певний час, бригада шляховиків мала асфальтувати по 15 м² щогодини. Натомість щогодини вони асфальтували на 3 м² більше, тому за 2 год до закінчення терміну їм залишилося заасфальтувати 12 м². Якою була площа ділянки та скільки годин її мали асфальтувати?
Розв'язання
Нехай бригада повинна виконати замовлення за х год. Тоді замовлення становить 15х м². Насправді бригада асфальтувала за 1 год (15 + 3) = 18 (м²) і за дві години до терміну заасфальтувала 18(х – 2) (м²). Складаємо рівняння:
18(х – 2) + 12 = 15х
18х – 36 + 12 = 15х
18x – 15х = 36 – 12
3х = 24
х = 8 (год) – час асфальтування;
15 • 8 = 120 (м²) – площа ділянки.
Відповідь: 120 м², 8 годин.
Завдання 778
Коли українці обчислюють «індекс борщу», тобто ціну набору продуктів для приготування 5 л класичної української страви, то роблять це за одним із численних рецептів (див. мал.). Так, у 2019 році такий набір коштував у середньому 74,4 грн, при цьому мінімальна зарплата в Україні становила 4173 грн. У 2023 році згаданий набір коштував у середньому 99,2 грн, при цьому мінімальна зарплата в Україні становила 6700 грн. Скільки каструль борщу можна було зварити на мінімальну зарплату в 2023 році? Зробіть висновки.
Розв'язання
6700 : 99,2 ≈ 67 (к.) – борщу можна було зварити на мінімальну зарплату в 2023 році.
Відповідь: 67 каструль.
Завдання 779
Нехай а1; a2; a3 – натуральні числа, b1; b2; b3 – ці самі числа, записані в іншому порядку. Доведіть, що добуток |a1 – b1| • |a2 – b2| • |a3 – b3| є парним числом.
Доведемо твердження методом від супротивного. Припустимо, що добуток |а1 – b1│ • │а2 – b2│ • |a3 – b3| — непарне число. Тоді кожен із множників має бути непарним число, а це можливо лише у випадку, коли у кожній з різниць одне число парне, а інше — непарне. Кожному парному числу з набору а1, а2, a3 має відповідати непарне число з набору b1, b2, b3 і навпаки. Тоді кількості парних чисел з набору а1, а2, а3 має дорівнювати кількості непарних з набору b1, b2, b3. Але це одні й ті ж числа, тому кількість парних чисел з набору а1, а2, а3 не може дорівнювати кількості парних з набору b1, b2, b3, адже у наборі є три числа. Прийшли до суперечності, тому задане в умові число |а1 – b1│ •│а2 – b2│ • |a3 – b3| є парним.