Інша завдання дивись тут...

Завдання 780 Тотожності

2) p² – t² = (p + t)(p – t)

4) 3² – b² = (3 – b)(3 + b)

Завдання 781

1) а² – 1 = (а – 1)(a + 1)

2) 4 – m² = (2 – m)(2 + m)

Завдання 782

1) p² – 1 = (p – 1)(p + 1)

2) 9 – c² = (3 – c)(3 + c)

Завдання 783 Розклад на множники

1) а² – 4 = (а – 2)(а + 2) 2) 36 – b² = (6 – b)(6 + b)

3) 4х² – 25m² = (2х – 5m)(2х + 5m) 4) х²у² – 1 = (ху – 1)(ху + 1)

Завдання 784 Добутк різниці та суми

1) а² – 25 = а² – 5² = (а – 5)(а + 5)

2) 16 – р² = 4² – р² = (4 – р)(4 + р)

3) d² – 1,44 = (d – 1,2)(d + 1,2)

4) 0,09 – m² = 0,3² – m² = (0,3 – m)(0,3 + m)

5) b² – 4/9 = b² – (2/3)² = (b – 2/3)(b + 2/3)

6) 25/36 – c² = (5/6)² – c² = (5/6 – c)(5/6 + c)

 

Завдання 785

1) 36а² – b² = (6а)² – b² = (6а – b)(6а + b)

2) –а² + b² = b² – а² = (b – а)(b + а)

3) 49x² – 64 = (7х)² – 8² = (7х – 8)(7х + 8)

4) 9m² – 16n² = (3m)² – (4n)² = (3m – 4n)(3m + 4n)

5) –100m² + 121k² = 121k² – 100m² = (11k)² – (10m)² = (11k – 10m)(11k + 10m)

6) 0,25 – a²b² = 0,5² – (ab)² = (0,5 – аb)(0,5 + аb)

7) 16m²a² – 0,01 = (4mа)² – 0,12 = (4mа – 0,1)(4mа + 0,1)

8) р² – c²d² = р² – (cd)² = (р – cd)(p + cd)

9) 81р²m² – n² = (9рm)² – n² = (9рm – n)(9рm + n)

 

Завдання 786

1) a² – 64 = a² – 8² = (a – 8)(a + 8)

2) 0,25 – b² = 0,5² – b² = (0,5 – b)(0,5 + b)

3) –81 + 36x² = (6x)² – 9² = (6x – 9)(6x + 9)

4) 169p² – q² = (13p)² – q² = (13p – q)(13p + q)

5) 400a² – 25m² = (20a)² – (5m)² = (20a – 5m)(20a + 5m)

6) 49a²b² – 16 = (7ab)² – 4² = (7ab – 4)(7ab + 4)

7) 900 – a²b² = 30² – (ab)² = (30 – ab)(30 + ab)

8) c²d² – 4m² = (cd)² – (2m)² = (cd – 2m)(cd + 2m)

9) 100a²b² – 0,16m² = (10ab)² – (0,4m)² = (10ab– 0,4m)(10ab + 0,4m)

 

Завдання 787 Формула різниці квадратів

1) 67² – 57² = (67 – 57)(67 + 57) = 10 • 124 = 1240

2) 43² – 53² = (43 – 53)(43 + 53) = –10 • 96 = –960

3) 112² – 88² = (112 – 88)(112 + 88) = 24 • 200 = 4800

4) 21,5² – 21,4² = (21,5 – 21,4)(21,5 + 21,4) = 0,1 • 42,9 = 4,29

5) 0,725² – 0,275² = (0,725 – 0,275)(0,725 + 0,275) = 0,5 • 1 = 0,5

6) (5 2/3)² – (4 1/3)² = (5 2/3 – 4 1/3)(5 2/3 + 4 1/3) = 1 1/3 • 10 = 4/3 • 10 = 40/3 = 13 1/3

 

Завдання 788

Обчисліть зручним способом:

1) 43² – 33² = (43 – 33)(43 + 33) = 10 • 76 = 760

2) 27² – 37² = (27 – 37)(27 + 37) = –10 • 64 = –640

3) 0,97² – 0,03² = (0,97 – 0,03)(0,97 + 0,03) = 0,94 • 1 = 0,94

 

Завдання 789 Вирази

1) х² – у² = (х – у)(х + у)

Якщо х = 55, у = 45, тоді (х – у)(х + у) = (55 – 45) (55 + 45) = 10 • 100 = 1000

2) x² – у² = (х – у)(х + у)

Якщо х = 2,01, у = 1,99, тоді (х – у)(х + у) = (2,01 – 1,99)(2,01 + 1,99) = 0,02 • 4 = 0,08

 

Завдання 790 Рівняння

1) x² – 16 = 0    x² – 4² = 0    (x – 4)(x + 4) = 0    x – 4 = 0 або x + 4 = 0    x = 4            x = –4	2) 1/9 – x² = 0    (1/3)² – x² = 0    (1/3 – x)(1/3 + x) = 0    1/3 – x = 0 або 1/3 + х = 0     х = 1/3           х = –1/3
3) y² – 0,25 = 0    у² – 0,52 = 0    (у – 0,5)(y + 0,5) = 0     у – 0,5 = 0 або у + 0,5 = 0     у = 0,5            у = –0,5	4) 4х² – 9 = 0    (2х)² – 3² = 0    (2х – 3)(2х + 3) = 0     2х – 3 = 0 або 2х + 3 = 0     2х = 3           2х = –3     х = 1,5           х = –1,5

Завдання 791

1) x² – 36 = 0    (x – 6)(x + 6) = 0     x – 6 = 0 або x + 6 = 0     x = 6            x = –6	2) y² – 1/16 = 0    (y – 1/4)(y + 1/4) = 0     y – 1/4 = 0 або y + 1/4 = 0     y = 1/4            y = – 1/4
3) 0,49 – х² = 0     (0,7 – х)(0,7 + х) = 0     0,7 – х = 0 або 0,7 + x = 0     х = 0,7            х = –0,7	4) 64y² – 49 = 0     (8у – 7)(8у + 7) = 0     8у – 7 = 0 або 8у + 7 = 0     8у = 7 або 8у = –7     у = 7/8      у = –7/8

Завдання 792

1) с⁴ – m⁶ = (с²)² – (m³)² = (с² – m³)(с² + m³)

2) p⁸ – a¹⁰ = (р⁴)² – (a⁵)² = (р⁴ – a⁵)(р⁴ + a⁵)

3) a⁶ – 9m⁴ = (a³)² – (3m²)² = (a³ – 3m²)(a³ + 3m²)

4) 100a⁶ – 25х⁸ = (10a³)² – (5х⁴)² = (10a³ – 5х⁴)(10a³ + 5х⁴)

5) 0,49 – m⁴p¹² = 0,7² – (m²р⁶)² = (0,7 – m²p⁶)(0,7 + m²р⁶)

6) 36х²c⁴ – 0,16d⁴ = (6хс⁷)² – (0,4d²)² = (6хс⁷ – 0,4d²)(6хс⁷ + 0,4d²)

7) 25/49 a⁸ – 36/49 b⁶c² = (5/7 a⁴)² – (6/7 b³c)² = (5/7 a⁴ – 6/7 b³c)( 5/7 a⁴ + 6/7 b³c)

8) –0,01m² + 0,81x⁶y⁸ = (0,9х³y⁴)² – (0,1m)² = (0,9х³у⁴ – 0,1m) • (0,9х³y⁴ + 0,1m)

9) 1 7/9 t²⁰a²⁴ – 1 11/25 p¹⁶q¹⁸ = 16/9 t²⁰a²⁴ – 36/25 p¹⁶q¹⁸ = (4/3 t¹⁰a¹²)² – (6/5 p⁸q⁹)² =

= (4/3 t¹⁰a¹² – 6/5 p⁸q⁹)(4/3 t¹⁰a¹² + 6/5 p⁸q⁹)

 

Завдання 793

1) a⁸ – 16m⁶ = (a⁴ – 4m³)(а⁴ + 4m³)

2) 36с⁶ – 49a¹⁰ = (6с³ – 7a⁵)(6с³ + 7a⁵)

3) 0,25 – m¹²a² = (0,5 – m⁶a)(0,5 + m⁶а)

4) –121p⁸c⁴ + 4а² = 4a² – 121p⁸c⁴ = (2a – 11p⁴с²)(2a + 11p⁴c²)

5) –25/36 a²b⁴ + 36/49 c⁶ = 36/49 c⁶ – 25/36 a²b⁴ = (6/7 c³ – 5/6 ab²)( 6/7 c³ + 5/6ab²)

6) 2 1/4 a²b⁸ – 1 9/16 p⁶c¹⁸ = 9/4 a²b⁸ – 25/16 p⁶c¹⁸ = (3/2 ab⁴ – 5/4 p³c⁹)(3/2 ab⁴ + 5/4 p³c⁹)

 

Завдання 794 

1) 100/(15² – 10²) = 100/((15 – 10)(15 + 10)) = 100/(5 • 25) = 4/5

2) (29² – 21²)/80 = ((29 – 21)(29 + 21))/80 = (8 • 50)/80 = 5

3) (47² – 23²)/(48² – 22² ) = ((47 – 23)(47 + 23))/((48 – 22)(48 + 22)) = (24 • 70)/(26 • 70) =

= 12/13

 

Завдання 795

1) (x + 2)² –1 = (x + 2 –1)(х + 2 + 1) = (х + 1)(х + 3)

2) 4 – (у + 3)² = (22 – (у + 3)² – (2 – (у + –3))(2 + у + 3) = (–1 –у)• (5 + у)

3) (4m – 5)² –16 = (4m – 5)² – 4² = (4m – 5 – 4)(4m – 5 + 4) = (4m – 9)(4m – 1)

4) 6,25 – (а – 3,5)² = 2,5² – (а – 3,5)² = (2,5 – (а – 3,5))(2,5 + (а – 3,5)) =

= (2,5 – а + 3,5)(2,5 + а – 3,5) = (6 – а)(–1 + а)

5) (2х – 5)² – 49 = (2x – 5)² – 7² = (2x – 5 – 7)(2х – 5 + 7) = (2х – 12)(2х + 2) = 4(х – 6)(х + 1)

6) 1 – (2х + 1)² = (1 – (2х + 1))(1 + 2х + 1) = –2х(2 + 2х) = –4х(1 + х)

 

Завдання 796 Розклад на множники

1) 16х² – (1 + 3х)² = (4х – (1 + 3х))(4х + (1 + 3х)) = (х – 1)(7х + 1)

2) (3у – 5)² – 16у² = (3y – 5)² – (4у)² = (3у – 5 – 4у)(3у – 5 + 4у) = –(у + 5)(7у – 5)

3) 49m² – (a + 3m)² = (7m – (а + 3m))(7m + (а + 3m)) = (4m – а)(10m + а)

4) (5а – 2b)² – 25а² = (5а – 2b – 5а)(5а – 2b + 5а) = –2b(10а – 2b) = –4b(5а – b)

 

Завдання 797

1) (р + 2)² – 9 = (р + 2)² – 3² = (р + 2 – 3)(р + 2 + 3) = (р – 1)(р + 5)

2) 16 – (m – 3)² = 4² – (m – 3)² = (4 – (m – 3))(4 + m – 3) = (7 – m)(1 + m)

3) (3х – 2)² – 36 = (3х – 2)² – 6² = (3х – 2 – 6)(3х – 2 + 6) = (3х – 8)(3х + 4)

4) x² – (2x – 1)² = (х – (2х – 1))(х + 2х – 1) = (1 – х)(3х – 1)

5) (5а – 3b)² – 9b² = (5а – 3b)² – (3b)² = (5а – 3b – 3b)(5а – 3b + 3b) = (5а – 6b) • 5а

6) (3х + 4у)² – 100y³ = (3х + 4у)² – (10y)² = (3х + 4у – 10у)(3х + 4у + 10у) =

= (3х – 6у)(3х +14у) = 3(х – 2у)(3х + 14у)

 

Завдання 798 Корені рівняння

1) (х – 1)² – 25 = 0    (х – 1 – 5)(х – 1 + 5) = 0    (х – 6)(х + 4) = 0     х – 6 = 0 або х + 4 = 0     х = 6            х = –4	2) 49 – (2х + 5)² = 0    (7 – 2х – 5)(7 + 2х + 5) = 0    (2 – 2х)(2х + 12) = 0     2 – 2х = 0 або 2х + 12 = 0     х = 1             2х = –12                          х = –6
3) (5х + 3)² = 64    (5х + 3)² – 8² = 0    (5х + 3 – 8)(5х + 3 + 8) = 0    (5х – 5)(5х + 11) = 0     5х – 5 = 0 або 5х + 11 = 0     х = 1            5х = –11                        х = –2 1/5	4) (0,1x – 0,5)² = 0,36    (0,1x – 0,5)² – 0,6² = 0    (0,1x –0,5 – 0,6)(0,1x –0,5 + 0,6) = 0    (0,1х – 1,1)(0,1x + 0,1) = 0     0,1х – 1,1 = 0 або 0,1х + 0,1 = 0     0,1х = 1,1           0,1x = –0,1     х = 11                х = –1

Завдання 799

1) (x + 2)² – 36 = 0     (x + 2)² – 62 = 0     (x + 2 – 6)(x + 2 + 6) = 0     (x – 4)(x + 8) = 0      x – 4 = 0 або x + 8 = 0      x = 4            x = – 8	2) (5x – 4)² – 81 = 0     (5x – 4)² – 9² = 0     (5x – 4 – 9)(5x – 4 + 9) = 0     (5x – 13)(5x + 5) = 0      5x – 13 = 0 або 5x + 5 = 0      x = 2,6            5x = –5                            x = –1
3) (2х + 7)² = 49     (2х + 7)² – 7² = 0     (2x + 7 – 7)(2х + 7 + 7) = 0      2x(2x + 14) = 0      2х = 0 або 2х + 14 = 0      х = 0        2х = –14                     х = –7	4) (0,2х – 0,5)² = 0,09     (0,2х – 0,5)² – 0,3² = 0     (0,2x –0,5 –0,3)(0,2x – 0,5 + 0,3) = 0     (0,2х – 0,8)(0,2х – 0,2) = 0      0,2х – 0,8 = 0 або 0,2х – 0,2 = 0      0,2х = 0,8            0,2х = 0,2      х = 4                   х = 1

 

Завдання 800

Доведіть, що для будь–якого натурального значення n значення виразу (n + 7)² – n² ділиться на 7. 

(n + 7)² – n² = (n + 7 – n)(n + 7 + n) = 7(2n + 7)

 

Завдання 801

1) a⁶ – (b – 5a³)² = (a³)² – (b – 5а³)² = (a³ – (b – 5a³))(a³ + (b – 5a³)) = (6а³ – b)(b – 4а³)

2) (–3m² + 4р)² – 9m⁴ = (–3m² + 4р – 3m²)(–3m² + 4р + 3m²) = (4р – 6m²) • 4р = 8р(2р – 3m²)

3) (7х + 2у)² – (2x – 7y)² = ((7x + 2у) – (2x – 7у))((7х + 2у) + (2х – 7y)) = (5х + 9у)(9х – 5у)

4) (a + b + c)² – (a + b – c)² = ((a + b + с) – (a + b – c))((a + b + с) + (a + b – с)) =2с(2а + 2b)=

= 4с(а + b)

5) a²(a + 1)² – с⁸ = (a(a + 1))² – (с⁴)² = (a² + a)² – (с⁴)² = (a² + a – с⁴)(a² + a + с⁴)

6) (5a – b – 1)² – (5a + b – 1)² = ((5a – b – 1) – (5a + b – 1))(5a – b – 1 + 5а + b – 1) =

= – 2b • (10a – 2) = –4b(5a – 1)

 

Завдання 802 Розклад на множники

1) (5а – 3b)² – 16а² = (5а – 3b)² – (4а)² = (5а – 3b – 4а)(5a – 3b + 4а) =

= (a – 3b)(9a – 3b)

2) m⁸ – (3с – 2m⁴)² = (m⁴)² – (3с – 2m⁴)² = (m⁴ – (3с – 2m⁴)(m⁴ + 3с – 2m⁴) =

= (3m⁴ – 3с)(3с – m⁴)

3) (2а + 3b)² – (4а – 5b)² = ((2а + 3b) – (4а – 5b))(2а + 3b + 4а – 5b) = (8b – 2а)(6а – 2b) =

= 4(4b – а)(3а – b)

4) (х – у + t)² – (х – у – t)² = ((х – у + t) – (х – у – t))((x – y + t) + (х – у – t)) = 2t(2х – 2у) =

= 4t(х – у)

 

Завдання 803 Рівняння

1) (3х – 4)² – (5х – 8)² = 0     ((3x – 4) – (5x – 8))(3x – 4 + 5x – 8)=0     (–2x + 4)(8х – 12) = 0      –2х + 4 = 0 або 8х – 12 = 0      х = 2               8х = –12                            х = 1,5	2) x4 – 81 = 0    (х²)² – 9² = 0    (х² – 9)(х² + 9) = 0     x² – 9 = 0 або x² + 9    x² – 3² = 0    (х – 3)(х + 3) = 0     х – 3 = 0 або х + 3 = 0     х = 3            х = –3
3) 16x4 – 1 = 0     (4x²)² – 12 = 0     (4х² – 1)(4x² + 1) = 0      4x² – 1 = 0 або 4x² + 1 — не має коренів      (2х)² – 1 = 0      (2х – 1)(2х + 1) = 0      (2х –1) = 0 або (2х + 1) = 0       2х = 1            2х = –1       х = 0,5            х = –0,5	4) 81x² + 4 = 0    Рівняння не має    коренів

Завдання 804

Доведіть, що різниця квадратів двох послідовних цілих чисел, де зменшуваним є більше число, дорівнює сумі цих чисел.

Нехай два послідовні цілі числа дорівнюють n і n + 1, тоді: (n + 1)² – n² =

= (n + 1 – n)(n + 1 + n) = n + (n + 1) — сума цих чисел.

 

Завдання 805 Спрощення виразів

1) (t + 1)(t – 7) – (t – 1)(t + 7) = (t² – 7t + t – 7) – (t² + 7t – t – 7) =

= t² – 7t + t – 7 – t² – 7t + t + 7 = –12t

2) (а³ – 2b)(а² + 2b) – (а² – 2b)(а³ + 2b) = а⁵ + 2а³b – 2а²b – 4b² – (а⁵ + 2а²b – 2а³b – 4b²) =

= а⁵ + 2а³b – 2а²b – 4b² – а⁵ – 2а²b + 2а³b + 4b² = 4а³b – 4а²b

 

Завдання 806 Куб двочлена

1) (100 – 1)³ = 100³ – 3 • 100² • 1 + 3 • 100 • 1² – 1³ = 1000000 – 30000 + 300 – 1³ = 970299

2) 41³ = (40 + 1)³ = 40³ + 3 • 40² • 1 + 3 • 40 • 1² + 1³ = 64000 + 4800 + 120 + 1 = 68921

3) 29³ = (30 – 1)³ = 30³ – 3 • 30² • 1 + 3 • 30 • 1² – 1³ = 27000 – 2700 + 90 – 1 = 24389

4) 0,99³ = (1 – 0,01)³ = 1³ – 3 • 1² • 0,01 + 3 • 1 • 0,01² – 0,01³ =

= 1 – 0,03 + 0,0003 – 0,000001 = 0,970299

 

Завдання 807

Корабель пливе зі швидкістю 11 вузлів. Велосипедист долає 100 м за 18 с. Порівняйте швидкості корабля і велосипедиста. Зверніть увагу на малюнок.

Розв'язання

1) 11 вузлів = 11 • 1,852 = 20,372 км/год – швидкість корабля;

2) 18 • 10 = 180 с = 180 : 60 = 3 (хв) – час руху на шляху 1 км;

3) 60 : 3 = 20 (км) – подолає велосипедист за 1 год.

Відповідь: швидкість велосипедиста 20 км/год, корабля – 20,372 км/год.

 

Завдання 808 Числа у вигляді куба

1) 1 = 13

2) 27 = 33

3) 64 = 43

4) 216 = 63

Завдання 809 Куб одночлена

1) х6 = (х2)3

2) 8у3 = (2у)3

3) 1000m12 = (10m4)3

4) 125p3c9 = (5pс3)3

Завдання 810

Господиня має важільні терези й гирку масою 100 г. Як їй за чотири зважування відміряти 1,5 кг крупи?

Розв'язання

За перше зважування можемо відважити 100 г крупи;

за друге зважування на одну шальку ставимо гирьку і 100 г крупи, тоді для рівноваги на іншу шальку насипаємо 100 + 100 = 200 (г) крупи;

за третє зважування на одну шальку ставимо гирьку і 100 + 200 = 300 (г) крупи, тоді для рівноваги на іншу шальку насипаємо 300 + 100 = 400 (г) крупи;

за четверте зважування на одну шальку ставимо гирьку і 400 + 300 = 700 (г) крупи, тоді для рівноваги на іншу шальку насипаємо 700 + 100 = 800 (г) крупи;

усього відважили 700 + 800 = 1500 (г) = 1,5 кг крупи.

Інша завдання дивись тут...