Завдання 811
1) x² + xy + y²; Неповний квадрат суми виразів
5) x² – xy + y²; Неповний квадрат різниці виразів
Завдання 812 Тотожність
2) x3 – y3 = (x – y)(x² + xy + y²)
3) m3 + n3 = (m + n)(m² – mn + n²)
Завдання 813 Тотожність
2) x3 + а3 = (x + a)(x² – xa + a²)
3) с3 – d3 = (с – d)(с² + сd + d²)
Завдання 814 Розклад на множники
1) m3 – p3 = (m – p)(m2 + mp+ p2)
2) a3 + d3 = (a + d)(a2 – ad + d2)
3) 8 – a3 = 23 – a3 = (2 – a)(4 + 2a + a2)
4) q3 + 27 = q3 + 33 = (q + 3)(q² – 3q + 9)
5) n3 – 64 = n3 – 43 = (n – 4)(n2 + 4n + 16)
6) 0,001 + t3 = 0,13 + t3 = (0,1 + t)(0,01 – 0,1t + t2)
Завдання 815
Подайте вираз у вигляді суми або різниці кубів і розкладіть його на множники:
1) 8а3 + 1 = (2а)3 + 13 = (2а + 1)(4а2 – 2а + 1)
2) 27 – 1/27c3 = 33 – (1/3c)3 = (3 – 1/3c)(32 + 3 • 1/3c + (1/3c)2) = (3 – 1/3c)(9 + c + 1/9c2)
3) 1 + 64x3 = 13 + (4х)3 = (1 + 4х)(1 – 4x + 16х2)
4) 0,125b3 – 64у3 = (0,5b)3 – (4y)3 = (0,5b – 4y)((0,5b)2 + 0,5b • 4у + (4y)2) =
= (0,5b – 4y)(0,25b2+ 2by + 16у2)
5) 1 + 1000m3 = 13 + (10m)3 = (1 + 10m)(1 – 10m + 100m2)
6) 1/125 a3 – 1/216 b3 = (1/5 a)3 – (1/6 b)3 = (1/5 a – 1/6 b)( 1/25 a2 + 1/30 ab + 1/36 b2)
Завдання 816
Розкладіть на множники:
1) 1/27 + b3 = (1/3)3 + b3 = (1/3 + b)( 1/9 – 1/3b + b2)
2) 1/8x3 – 8 = (1/2x)3 – 23 = (1/2x – 2)(1/4x2 + 1/2x • 2 + 4) = (1/2x – 2)( 1/4x2 + x + 4)
3) 1 + 125p3 = 13 + (5р)3 = (1 + 5p)(1 – 5p + 25р2)
4) 0,064m3 – 1/1000n3 =(0,4m)3 – (0,1n)3 = (0,4m – 0,1n)((0,4m)2 + 0,4m • 0,1n + (0,1n)2) =
= (0,4m – 0,1n)(0,16m² + 0,04mn + 0,01n²)
5) 27/8 a3 + 8/27 b3 = (3/2a)3 + (2/3b)3 = (3/2 a + 2/3 b)((3/2 a)² – 3/2 a • 2/3 b + (2/3 b)²) =
= (3/2 a + 2/3 b)( 9/4 a² – ab + 4/9 b²)
6) 216p3 – 1/216 q3 = (6p)3 – (1/6 q)3 = (6p – 1/6 q)((6p)² + 6p • 1/6 q + (1/6 q)²) =
= (6p – 1/6 q)(36p² + pq + 1/36 q²)
Завдання 817
|
1) (x – y)(x2 + xy + y2) = x3 – y3 3) (1 – d + d2)(1 + d) = 1 + d3 |
2) (a + 3)(a2 – 3a + 9) = a3 + 27 4) (m – 2)(m2 + 2m + 4) = m3 – 8 |
Завдання 818
|
1) (x – y)(x2 + xy + y2) = x3 – y3 3) (1 – d + d2)(1 + d) = 1 + d3 |
2) (a + 3)(a2 – 3a + 9) = a3 + 27 4) (m – 2)(m2 + 2m + 4) = m3 – 8 |
Завдання 818
|
1) (m + n)(m2 – mn + n2) = m3 + n3 3) (b + 4)(b2 – 4b + 16) = b3 + 64 |
2) (m – 1)(m2 + m + 1) = m3 – 1 4) (25 + 5g + g2)(5 – g) = 125 – g3 |
Завдання 819
1) (4p – 1)(16p2 + 4p + 1) = (4p)3 – 1
Якщо p = –0,25, тоді (4p)3 – 1 = (4 • (–0,25))3 – 1 = –1 – 1 = –2
2) (2a + b)(4a² – 2ab + b²) = (2a)3 + b3
Якщо а = –1/2; b = 2, тоді (2a)3 + b3 = (2 • (–1/2))3 + 23 = –1 + 8 = 7
Завдання 820
1) (3x + 1)(9x2 – 3x + 1) = (3х)3 + 1
Якщо х = 2/3, тоді (3х)3 + 1 = (3 • 2/3)3 + 1 = 23 + 1 = 8 + 1 = 9
2) (x – 2y)(x2 + 2xy + 4y2) = x3 – (2y)3
Якщо x = – 2, у = 0,5, тоді x3 – (2y)3 = (–2)3 – (2 • 0,5)3 = – 8 – 1 = –9
Завдання 821
1) a3 – b6 = a3 – (b2)3 = (a – b2)(a2 + ab2 + b4)
2) t12 + c9 = (t4)3 + (c3)3 = (t4 + c3)((t8 – t4c3 + c6)
3) p18 + m24 = (p6)3 + (m8)3 = (p6 + m8)((p6)2 – р6m8 + (m8)2) =
= (p6 + m8)(p12 – p6m8 + m16)
4) –c3 + m15 =(m5)3 – c3 = (m5 – c)((m5)2 + m5c + c2) = (m5 – c)(m10 + m5c + c2)
5) –1/8 – a24 = –((1/2)3 + (a8)3) = –(1/2 + a8)(( 1/2)2 – 1/2a8 + (a8)2) =
= –(1/2 + a8)(1/4 – 1/2a8 + a16)
6) –c99 – d60 = –((c33)3 + (d20))3 = –(c33 + d20)((c33)2 – c33d20 + (d20)²) =
= –(c33 + d20)(c66 – c33d20 + d40)
7) x3y3 + 1 = (xy + 1)(x2y2 – xy + 1)
8) 27 – a3b9 = 33 – (ab3)3 = (3 – ab3)(32 + 3ab3 + (ab3)2) = (3 – ab3)(9 + 3аb3 + a2b6)
9) x6y12 + m27 = (x2y4)3 + (m9)3 = (x2y4 + m9)(x4y8 – x2y4m9 + m18)
10) 64m6p21 – 125x3 = (4m2p7)3 – (5x)3 = (4m2р7 – 5х)(16m4p14 – 4m2p7 • 5x + 25x2) =
= (4m2p7 – 5x)(16m4p14 – 20m2p7x + 25x2)
11) 1/27c24m18 + 27t9 = (1/3 c8m6)3 + (3t3)3 = (1/3c8m6 + 3t3)(1/9c16m12 – c8m6t3 + 9t6)
12) 343a18b33 – 0,001c36 = (7a6b11)3 – (0,1c12)3 =
= (7a6b11 – 0,1c12)(49a12b22 – 0,7a6b11c12 + 0,01c24)
Завдання 822
1) x9 – y6 = (x3)3 – (у2)3 = (x3 – y2)(x6 + x3y2 + y4)
2) –p12 – 27 = –((p4)3 + 33) = –(p4 + 3)(p8 – 3p4 + 9)
3) –a9b6 + 1 = 1 – (a3b²)3 = (1 – a3b2)(1 + a3b2 + a6b4)
4) 216p15 + 0,008t18 = (6p5)3 + (0,2t6)3 = (6p5 + 0,2t6)(36p10 –1,2p5t6 + 0,04t12)
5) 64m21c3 – p30 = (4m7c)3 – (p10)3 = (4m7c – p10)(16m14c2 + 4m7ср10 + p20)
6) 512t24p27 – 729a33 = (8t8p9)3 – (9a11)3 = (8t8p9 – 9a11)(64t16p18 + 72t8p9a11 + 81a22)
Завдання 823 Множення виразів
1) (b3 – d2)(b6 + b3d2 + d4) = b9 – d6
2) (c3 + 2p)(c6 – 2pc3 + 4p2) = c9 + 8p3
3) (9x2 + 3xy + y2)(3x – y) = 27x3 – y3
4) (4c + 3d)(16c2 – 12cd + 9d2) = 64c3 + 27d3
5) (a8 – 4a4 + 16)(a4 + 4) = a12 + 64
6) (5m2 – 6p3)(25m4 + 30m2p3 + 36p6) = 125m6 – 216p9
Завдання 824 Вираз у вигляді многочлена
1) (а5 – m2)(a10 + a5m2 + m4) = a15 – m6
2) (25а2 – 5ab + b2)(5a + b) = 125a3 + b3
3) (2x – 7y²)(4x² + 14xy² + 49у4) = 8x3 – 343y6
4) (3p2 + 4c3)(9p4 – 12p2c3 + 16c6) = 27p6 + 64c9
Завдання 825
1) (a + 2)(a² – 2a + 4) – a(a² – 5) = a3 + 2a² – 2a² – 4a + 4a + 8 – a3 + 5a = 8 + 5a
2) (b – 3)(b² + 3b + 9) – b(b – 3)(b + 3) = b3 – 27 – b(b² – 9) = b3 – 27 – b3 + 9b = 9b – 27
3) (x + 4)(x2 – 4x + 16) – (x – 1)(x2 + x + 1) =
= x3 – 4x2 + 16x + 4x2 – 16x + 64 – (x3 + x2 + x – x2 – x – 1) = 64 – (–1) = 65
4) (2b2 – 1)(4b4 + 2b2 + 1) – (2b3 + 1)2 = 8b6 + 4b4 + 2b2 – 2b2 – 1 – (4b6 + 4b3 + 1) =
= 4b6 – 4b3 – 2
Завдання 826
1) (а – 4)(a2 + 4а + 16) – а(а – 2)(а + 2) = а3 – 43 – а(а2 – 4) = а3 – 64 – а3 + 4а = 4а – 64
2) (x2 + 3)(х4 – 3х + 9) – (х2 – 2)(х4 + 2х2 + 4) = ((х2)3 + 33 – ((х2)3 – 8) = x6 + 27 – x6 + 8 = 35
3) b(b – 1)2 – (b – 5)(b2 + 5b + 25) = b(b2 – 2b + 1) – (b3 – 125) = b3 – 2b2 + b – b3 + 125 =
= –2b2 + b + 125
4) (а – 1)(а2 + а + 1)(а + 1)(а2 – а + 1) = (а3 – 1)(а3 + 1) = (а3)2 – 1 = а6 – 1
Завдання 827
1) (2а + 1)(4a2 – 2а + 1) – 7а3 = (2а)3 + 1 – 7а3 = 8а3 + 1 – 7а3 = а3 + 1
Якщо а = –2, тоді a3 + 1 = (–2)3 + 1 = –8 + 1 = –7
2) (х2 + 5ху + 25y2)(х – 5у) + 25y3 – х3 = х3 – 125y3 + 25y3 – х3 = –100y3
Якщо х = –2015, y = 0,1, тоді –100y3 = –100 • 0,13 = –0,1
Завдання 828 Рівняння
|
1) (х – 4)(х² + 4х + 16)=x3 – 8х x3 – 64 = x3 – 8х х3 – х3 + 8х = 64 8х = 64 х = 8 |
3) (9х² – 6х + 4)(3х + 2)=3х(3х + 4)(3х – 4)+32 (3х)3 + 23 = 3х(9х2 – 16) + 32 27х3 + 8 = 27х3 – 48х + 32 27х3 – 27х3 + 48х = 32 – 8 48х = 24 х = 0,5 |
|
2) (х3 + 1)(х6 – х3 + 1)=х9 – 5х x9 + 1 = x9 – 5х х9 – х9 + 5х = –1 5х = –1 х = –0,2 |
4) 8(1/2 x – 2)(1/4 x² + x + 4) – x(x – 3)²=6x² – 46 8((1/2 x)3 – 8) – x(x2 – 6x + 9) = 6x2 – 46 8(1/8x3 – 8) – (x3 – 6x2 + 9x) = 6x2 – 46 x3 – 64 – x3 + 6х2 – 9x = 6х2 – 46 6х2 – 9х – 6х2 = –46 + 64 –9х = 18 х = –2 |
Завдання 829
|
1) (х – 2)(х2 + 2х + 4)=24х + x3 x3 – 8 = 24х + х3 х3 – х3 – 24х = 8 –24х = 8 х = –8/24 x = –1/3 |
2) (2х + 1)(4х2 – 2х + 1)=2х(2х – 3)(2х + 3) + 37 (2х)3 + 1 = 2х(4х2 – 9) + 37 8x3 + 1 = 8x3 – 18x + 37 8х3 – 8х3 + 18х = 37 – 1 18x = 36 х = 2 |
Завдання 830
1) (а + 3)3 – а3 = (а + 3 – а)((а + 3)2 + (а + 3)а + а2) – 3(а2 + 6а + 9 + а2 + 3а + а2) =
= 3(3а2 + 9а + 9) = 9(а2 + 3а + 3)
2) (х – 4)3 + 8 = (х – 4)3 + 23 = (х – 4 + 2)((х – 4)2 – 2(х – 4) + 4) =
= (х – 2)(х2 – 8х + 16 – 2х + 8 + 4) = (х – 2)(х2 – 10x + 28)
3) 27р3 – (р + 1)3 = (3р)3 – (р + 1)3 = (3р – (р + 1))((3р)2 + 3р(р + 1) + (р + 1)2) =
= (3р – р – 1)(9р2 + 3р2 + 3р + р2 + 2р + 1) = (2р – 1)(13р2 + 5р + 1)
4) 64x3 + (х – 1)3 = (4х)3 + (х – 1)3 = (4х + (х – 1))((4х)2 – 4х(х – 1) + (х – 1)2) =
= (4х + х – 1)(16х2 – 4х2 + 4х + x2 – 2х + 1) = (5х – 1)(13х2 + 2х + 1)
Завдання 831
1) (a + 1)3 + a3 = ((a + 1) + a)((a + 1)2 – (a + 1)a + a2) =
= (2a + 1)(a2 + 2a + 1 – a2 – a + a2) = (2a + 1)(a² + a + 1)
2) (b – 2)3 – 8 = (b – 2)3 – 23 = ((b – 2) – 2)((b – 2)2 + 2(b – 2) + 4) =
= (b – 4)(b2 – 4b + 4 + 2b – 4 + 4) = (b – 4)(b2 – 2b + 4)
3) 125b3 – (b – 1)3 = (5b)3 – (b – 1)3 = (5b – (b – 1))((5b)2 + 5b(b – 1) + (b – 1)2) =
= (5b – 6 + 1)(25b2 + 5b2 – 5b + b2 – 2b + 1) = (4b + 1)(31b2 – 7b + 1)
4) 64a3 + (а + 2)3 = (4а)3 + (а + 2)3 = (4а + (а + 2))((4a)2 – 4а(а + 2) + (а + 2)2) =
= (4а + а + 2)(16a² – 4a² – 8а + а² + 4а + 4) = (5а + 2)(13а² – 4а + 4)
Завдання 832
Доведіть, що дві останні цифри значення виразу 4153 + 853 є нулями.
4153 + 853 = (415 + 85)(4152 – 415 • 85 + 852) = 500 • (4152 – 415 • 85 + 852) — дві останні цифри добутку є нулі.
Завдання 833
Чи ділиться число 1153 – 153 на 100?
Число 1153 – 153 = (115 – 15)(1152 + 115 • 15 + 152) = 100 • (1152 + 115 • 15 + 152) — кратне 100.
Завдання 834
Обчисліть значення виразу (573 – 433)/14 + 57 • 43 зручним способом.
(573 – 433)/14 + 57 • 43 = ((57 – 43)(572 + 57 • 43 + 432)/14 + 57 • 43 =
= (14(572 + 57 • 43 + 432)/14 + 57 • 43 = 572 + 57 • 43 + 432 + 57 • 43 = (57 + 43)2 = 1002 =
= 10000
Завдання 835
Доведіть, що різниця натурального трицифрового числа і числа, записаного тими самими цифрами у зворотному порядку, ділиться на 11.
Нехай одне трицифрове число дорівнює abc = 100а + 10b + с, а число, записане цими самими цифрами,
але у зворотному порядку – cba = 100с + 10b + а. Тоді їх різниця дорівнює:
abc – cba = 100а + 10b + с – (100с + 10b + а) = 100а + 10b + с – 100с – 10b – а =
= 99а – 99с = 99(а – с) — кратна 11.
Завдання 836
В одній упаковці було 90 зошитів, а в другій – 30. Коли з першої взяли вдвічі більше зошитів, ніж з другої, то в першій упаковці залишилося в 5 разів більше зошитів, ніж у другій. По скільки зошитів залишилося в кожній упаковці?
Розв'язання
Нехай з другої пачки взяли х зошитів, тоді з першої — 2х зошитів, після того у першій пачці залишилося (90 – 2х) зошитів, а в другій — (30 – х) зошитів. Складаємо рівняння:
90 – 2х = 5(30 – х)
90 – 2x = 150 – 5х
–2х + 5х = 150 – 90
3х = 60
х = 20
90 – 2 • 20 = 50 (з.) – залишилося в першій пачці;
30 – 20 = 10 (з.) – залишилося в другій пачці.
Відповідь: 50 зошитів; 10 зошитів.
Завдання 837
У Марини Олегівни є дисконтна картка книгарні «Олімп», за умовами якої покупцю надається знижка в розмірі 12 % від вартості покупки. Скільки Марина Олегівна заплатить за книжку вартістю 150 грн, якщо використає дисконтну картку?
Розв'язання
1) 1 – 0,12 = 0,88 – становить знижка;
2) 150 • 0,88 = 132 (грн) – заплатить за книжку.
Відповідь: 132 грн.
Завдання 838 Розклад на множники
|
1) a3 + a2 = a2(a + 1) 2) 3c5 – 15c2 = 3c2(c3 – 5) 3) x2 + 6x + 9 = (x + 3)2 |
4) 9x2 – 6x + 1 = (3x – 1)2 5) 0,81 – y² = (0,9 – y)(0,9 + y) 6) 0,25a² – 9/16b² = (0,5a – 3/4 b)(0,5a + 3/4 b) |
Завдання 839
З українського фольклору. Жінка на базарі курей продавала. Першому покупцю вона продала половину всіх курей та ще пів курки. Другому – половину з того, що залишилося, та ще пів курки. Третьому – половину того, що залишилося, та ще пів курки. Після цього з'ясувалося, що всіх курей продано, і задоволена жінка повернулася додому. Скільки курей вона винесла на продаж?
Розв'язання
Оскільки третій покупець купив половину всього і ще пів курки і в жінки вже не залишилося нічого, то пів курки є половиною його покупки.
1) 1/2 + 1/2 = 1 (к.) – купив третій покупець;
2) (1 + 1/2) • 2 = 3 (к.) – було перед покупкою другого покупця;
3) 3 : 2 + 1/2 = 2 (к.) – купив другий покупець;
4) (3 + 1/2) • 2 = 7 (к.) – було перед покупкою першого покупця;
5) 7 : 2 + 1/2 = 4 (к.) – купив перший покупець;
6) 1 + 2 + 4 = 7 (к.) – принесла жінка на базар.
Відповідь: 7 курей.