Завдання 1 Тотожні многочлени
(m – n)² = m² – 2mn + n², тому Г m² – 2mn + n²
Завдання 2 Добуток многочленів
(а – х)(а + х) = a² – x², тому Б. а² – х²
Завдання 3 Квадрат двочлена
х² + 2ху + у² = (x + y)², тому Г (х + у)²
Завдання 4 Многочлен
(5х – 1)² = 25x² – 10x + 1, тому B 25х² – 10х + 1
Завдання 5 Розклад на множники
–16 + 9а² = (3a)² – 4² = (3а + 4)(3a – 4);, тому B (3а + 4)(3a – 4)
Завдання 6 Вираз у вигляді добутку
m3 + 64 = (m + 4)(m² – 4m + 16), тому A (m + 4)(m² – 4m + 16)
Завдання 7 Рівняння
х(х + 2) – (х – 3)² = 7
x² + 2x – x² + 6x – 9 = 7
8x = 16
x = 2
Відповідь: Г. 2.
Завдання 8 Спростіть вираз
(m2 + 2p)(m4 – 2m2p + 4p2) = (m2)3 + (2p)3 = m6 + 8p3, тому Б m6 + 8p3
Завдання 9. Розкладіть на множники.
3ab – 3b + 6a – 6 = 3b(a – 1) + 6(a – 1) = (3b + 6)(a – 1) = 3(a – 1)(b + 2),
тому Г 3(a – 1)(b + 2)
Завдання 10
Якого найменшого значення набуває вираз х² + 4х + 3?
x² + 4х + 3 = x² + 4х + 4 – 1 = (х + 2)² – 1. Вираз (х + 2)² – невід’ємний, тому найменше значення виразу дорівнює –1, тому B. –1
Завдання 11 Рівняння
х3 + 2х2 – х – 2 = 0
x2(x + 2) – (x + 2) = 0
(x² – 1)(x + 2) = 0
(x – 1)(x + 1)(x + 2) = 0
x – 1 = 0 або x + 1 = 0 або x + 2 = 0
x = 1 x = –1 x = –2
Відповідь: A. –2 ; –1 ; 1
Завдання 12
(b – 2)3 – b3 = (b – 2 – 6)((b – 2)2 + b(b – 2) + b2) = –2(b2 – 4b + 4 + b2 – 2b + b2) =
= –2(3b2 – 6b + 4), тому B –2(3b² – 6b + 4)
Завдання 13
|
Вираз |
Значення виразу, якщо х = 1,4 |
|
1. 25x² – 70x + 49 2. (5x – 1)(25x2 + 5x + 1) – 125x3 3. 72 – 120x + 50x2 |
А. –1 Б. 0 B. 1 Г. 2 |
1. 25x² – 70x + 49 = (5x – 7)² = (5 • 1,4 – 7)² = 0
2. (5x – 1)(25x2 + 5x + 1) – 125x3 = 125x3 – 1 + 125x3 = –1
3. 72 – 120x + 50x² = 2(36 – 60x + 25x²) = 2(6 – 5x)² = 2
Відповідь: 1–Б; 2–А; 3–Г
ЗАВДАННЯ ДЛЯ ПЕРЕВІРКИ ЗНАНЬ ДО §§ 16–21
Завдання 1 Многочлен
|
1) (p + a)² = p² + 2pa + a² |
2) (c – m)(c + m) = c² – m² |
Завдання 2 Розклад на множники
|
1) t² – 2tb + b² = (t – b)² |
2) d² – n² = (d – n)(d + n) |
Завдання 3 Тотожність
|
1) (p – a)² = p² – pa + a² 2) p3 + q3 = (p + q)(p² – pq + q²) |
3) m² – c² = (m – c)(m + c) 4) d3 – t3 = (d – t)(d² + 2dt + t²) |
Завдання 4 Многочлени
|
1) (3a – 5)² = 9a² – 30a + 25 |
2) (7 + 2b)(2b – 7) = 4b² – 49 |
Завдання 5 Розклад на множники
|
1) a² + 6a + 9 = (a + 3)² 2) –25 + 36x² = (6x – 5)(6x + 5) |
3) b3 + 64 = (b + 4)(b2 – 4b + 16) 4) 7c² – 7d² = 7(c – d)(c + d) |
Завдання 6 Вирази
(2x + 3)² + (7 – 2x)(7 + 2x) = 4x² + 12x + 9 + 49 –4x² = 12x + 58
Якщо x = –1/12, тоді 12x + 58 = 12 • (–1/12) + 58 = –1 + 58 = 57
Завдання 7 Рівняння
|
1) 2x3 – 50x = 0 2х(х² – 25) = 0 2х(х – 5)(х + 5) = 0 2х = 0 або (х – 5) = 0 або (х + 5)=0 х = 0 х – 5 = 0 х + 5= 0 х = 5 х = –5 |
2) x3 – 10x2 + 25x = 0 x(x² – 10x + 25) = 0 х(х – 5)² = 0 х = 0 або х – 5 = 0 х = 5 |
Завдання 8 Спрощення виразу
1) (–4а + 3b)² + (–4а + 5b)(5b + 4а) + 24аb = 9b² – 24аb + 16а² + 25b² – 16а² + 24аb = 34b²
2) (а – 2)(а2 + 2а + 4) – а(а – 3)(а + 3) = а3 – 8 – а(а2 – 9) = а3 – 8 – а3 + 9а = 9а – 8
Завдання 9
Доведіть, що для будь–якого значення змінної x вираз x² + 8x + 17 набуває лише додатних значень. Якого найменшого значення набуває цей вираз і для якого значення x?
x² + 8x + 17 = x² + 8х + 16 + 1 = (х + 4)² + 1. (х + 4)² > 0, тому (х + 4)² + 1 ≥ 1
Отже, вираз набуває лише додатних значень.
Найменшого значення 1 вираз (х + 4)² + 1 набуває, якщо х + 4 = 0; х = –4
Додаткові завдання
Завдання 10
1) (а + 3)3 = (а + 3)2(а + 3) = (а2 + 6а + 9)(а + 3) = a3 + 3а2 + 6а2 + 18а + 9а + 27 =
= а3 + 9а2 + 27а + 27
2) (2m – 5)3 = (2m – 5)2(2m – 5) = (4m2 – 20m + 25)(2m – 5) =
= 8m3 – 20m2 – 40m2 + 100m + 50m – 125 = 8m3 – 60m2 + 150m – 125
Завдання 11
Знайдіть дві останні цифри числа 2933 – 933.
2933 – 933 = (293 – 93)(293² + 293 • 93 + 93²) = 2 • 100 • (293² + 293 • 93 + 93²), тобто два нулі.
Завдання 12 Розклад тричлена на множники
х² + 6х – 7 = х² + 6х + 9 – 9 – 7 = (х +3)² – 16 = (х + 3 – 4) • (х + 3 + 4) = (x – 1)(х + 7)