...

6. Аксіоми.

У геометрії щоразу, доводячи нову властивість фігури, ми спиралися па раніше відомі геометричні факти. Якщо властивості геометричних фігур вивчають за принципом «нове зі старого», то найперші властивості, початкові факти, приймають без доведення. Ці найперші властивості називають аксіомами (слово «аксіома», що походить від грецького «аксіос», означає «гідне визнання»). Наприклад, для будь-яких двох точок існує єдиний відрізок, для якого ці точки є кінцями; кожний відрізок має певну довжину; кожний кут має певну величину; якою б не була пряма, існують точки, які належать цій прямій, і точки, які не належать їй. Отже, аксіоми геометрії можна також розглядати як затверджені правила.

З історії геометрії.

Деякі вчені вважають, що першовідкривачами геометрії були єгипетські та вавилонські землеміри, які жили за 4000 рр. до н. е., інші припускають, що геометрія зародилася в Стародавньому Єгипті 5000 років тому. Історики зійшлися на думці, що наука геометрія виникла у VI ст. до н. е: геометрія стала наукою лише тоді, коли її істини почали встановлювати шляхом доведення. Поява «доказової геометрії» пов'язана з іменем першого із «семи мудреців» — Фалеса Мілетського (близько 625-547 рр. до н. е.) — філософа, ученого, купця й державного діяча. Задовго до Фалеса ніхто не сумнівався в істинності фактів, що вертикальні кути рівні, що діаметр ділить круг на дві рівні частини, але Фалес довів їх, тим самим прославивши себе.

У VI—ІІІ ст. до н. е. завдяки вченим Стародавньої Греції (таким як Піфагор, Евдокс, Архіт, Теєтет, Евклід, Архімед) геометрія з прикладної науки перетворилася на математичну теорію.  

Книгу, за якою вивчали геометрію понад 2000 років, без перебільшення можна назвати визначною. Вона має назву «Начала», її автором є Евклід (близько 365—300 рр. до н. е.). У фундаменті науки — перелік найпростіших фактів, їх називають постулатами (від латинського postulatum — вимога) й аксіомами. Потім, базуючись на них, шляхом логічних міркувань доводять усі інші властивості — теореми.

Постулатів у Евкліда п'ять. Наведемо перші чотири.

І постулат. Потрібно, щоб від кожної точки до будь-якої іншої точки можна було провести пряму лінію.

II постулат. І щоб кожну пряму можна було необмежено продовжити.

III  постулат. І щоб з будь-якого центра можна було описати коло будь-якого радіуса.

IV  постулат. І щоб усі прямі кути були рівні.

Протягом багатьох століть за популярністю з «Началами» Евкліда могла зрівнятися хіба що Біблія. Так, ще наприкінці XIX ст. у ряді європейських країн геометрію викладали за спрощеними виданнями «Начал». І зараз геометрія, яку вивчають у школі, багато в чому наслідує ідеї Евкліда.

 

...