...

12. Теореми.

Геометрія складається переважно з теорем та їхніх доведень. Формулювання всіх теорем, складаються з двох частин. Першу частину теореми (те, що дано) називають умовою теореми, другу частину теореми (те, що потрібно довести) — висновком теореми. (У теоремі 8 - перша ознака рівності трикутників, умовою є те, що дві сторони та кут між ними одного трикутника дорівнюють двом сторонам та куту між ними другого трикутника, а висновком є рівність трикутників).

Усі відомі вам теореми можна умовно поділити на теореми-властивості (теорема 1.1 установлює властивість прямих, що перетинаються, теорема 9.1 — властивість рівнобедреного трикутника ) й теореми-ознаки (у теоремах 10.1—10.4 сформульовано властивості, за якими розпізнають рівнобедрений трикутник). Теореми-ознаки вказують на ознаки, за якими можна розпізнати фігуру, тобто віднести її до того чи іншого виду (класу).

Теореми, які випливають безпосередньо з аксіом або теорем, називають теоремами-наслідками, або просто наслідками (властивість кутів, протилежних рівним сторонам трикутника, є наслідком з теореми 9.1).

Дві теореми, кожну з яких можна отримати з іншої, помінявши місцями умову й висновок, називають взаємно оберненими, тобто, якщо яку-небудь із цих теорем назвати прямою, то друга теорема буде називатися оберненою (якщо в теоремі 8.2 про властивість серединного перпендикуляра поміняти місцями умову й висновок, то отримаємо теорему 11.2).

Міняючи місцями умову й висновок теореми, треба бути дуже уважними: не завжди можна отримати істинне твердження (твердження, обернене до теореми 4.1 про суму суміжних кутів, хибне: якщо сума якихось двох кутів дорівнює 180˚, то зовсім не обов'язково, щоб ці кути були суміжними).

Справедливість теореми встановлюють шляхом логічних міркувань, тобто доведенням. Першу теорему цього підручника було доведено методом від супротивного (назва цього методу фактично відображає його суть для теорем 1.1, 5.1, 10.3. У теоремі 1.1 припустили, що висновок неправильний, тоді на підставі цього припущення за допомогою логічних міркувань ми отримали факт, який суперечить основній властивості прямої).

Дуже важливо, щоб доведення теореми було повним, тобто були розглянуті всі можливі випадки (повне доведення теореми 11.1 про третю ознаку рівності трикутників потребувало розгляду трьох можливих випадків).

Уміння бачити всі тонкощі доведення — найважливіша якість, що формує математичну культуру. 

Під час доведення теореми 10.4 (ознака рівнобедреного трикутника) використовували прийом додаткової побудови: рисунок доповнили елементами, про які не йшлося в умові теореми. Цей метод є ключем до розв'язування багатьох задач і доведення ряду теорем. Тому дуже важливо навчитися бачити «вигідну» додаткову побудову — таку, яка допоможе отримати потрібний результат.

 

...