...

Задача 33. Точка К — середина відрізка МN, точка Е — середина відрізка КN, ЕN = 5 см. Знайдіть відрізки MК, МЕ і МN.

Розв'язання.

MK = KN = 2 EN = 2 • 5 = 10 (см)

ME = MK + KE = KN + EN = 2EN + EN = 3EN = 3 • 5 = 15 (см)

MN = 2KN = 2 • (2EN) = 4EN = 4 • 5 = 20 (см)

 

Задача 34.  Точка С — внутрішня точка відрізка АВ, довжина якого дорівнює 20 см. Знайдіть відрізки АС і ВС, якщо:

1)  відрізок АС на 5 см більший за відрізок ВС;

Розв'язання.

Нехай х - довжина відрізка ВС, тоді х + 5 – довжина відрізка АС, оскільки точка С – внутрішня точка відрізка АВ, тоді АВ = АС + СВ, складемо рівняння

х + х + 5 = 20 

2х = 20 – 5 

2х = 15

х = 15 : 2

х = 7,5

ВС = 7,5 (см); АС = 7,5 + 5 = 12,5 (см)

2)  відрізок АС у 4 рази менший від відрізка ВС;

Розв'язання.

Нехай х - довжина відрізка АС, тоді 4х – довжина відрізка ВС, оскільки точка С – внутрішня точка відрізка АВ, тоді АВ = АС + СВ, складемо рівняння

х + 4х  = 20 

5х = 20 

х = 20 : 5

х = 4

АВ = 5 (см); ВС = 4 • 4 = 16 (см)

3) АС : ВС = 9 : 11. 

Розв'язання.

9 + 11 = 20 (ч.) – частин складає увесь відрізок АВ

20 : 20 = 1 (см) – довжина частини.

1 • 9 = 9 (см) – довжина відрізка АС.

1 • 11 = 11 (см) – довжина відрізка ВС.

 

Задача 35. Точка К належить відрізку СD, довжина якого дорівнює 28 см. Знайдіть відрізки, якщо:

1) відрізок CK на 4 см менший відрізка KD;

Розв'язання.

Нехай х - довжина відрізка СК, тоді х + 4 – довжина відрізка KD, оскільки точка K – внутрішня точка відрізка CD, тоді CD = СK + KD, складемо рівняння

х + х + 4 = 28 

2х = 28 – 4 

2х = 24

х = 24 : 2

х = 12

СK = 12 (см); KD = 12 + 4 = 16 (см)

2) відрізок CK у 6 разів більший за відрізок KD;

Розв'язання.

Нехай х - довжина відрізка KD, тоді 6х – довжина відрізка СK, оскільки точка K – внутрішня точка відрізка CD, тоді CD = CK + KD, складемо рівняння

х + 6х  = 28 

7х = 28 

х = 28 : 7

х = 4

KD = 4 (см); CK = 4 • 6 = 24 (см)

3) СК : KD = 3 : 4. 

Розв'язання.

3 + 4 = 7 (ч.) – частин складає увесь відрізок CD

28 : 7 = 4 (см) – довжина частини.

4 • 3 = 12 (см) – довжина відрізка СK.

4 • 4 = 16 (см) – довжина відрізка KD.

 

Задача 36. Відрізки АВ і СD рівні (рис. 39). Доведіть, що відрізки AC і BD теж рівні.

Розв'язання.

Оскільки точка С внутрішня точка відрізка АВ, тоді АВ = АС + СВ; оскільки точка В внутрішня точка відрізка CD, тоді CD = CB + BD. За умовою АС + СВ = СВ + BD, тобто АС = СВ + BD – CB = BD, що треба було довести.

 

Задача 37. Відрізки МЕ і FN рівні (рис. 40). Доведіть, що МF = EN.

Розв'язання.

За умовою маємо MF = FN. Оскільки точка Е внутрішня точка відрізка MF, тоді MF = ME + EF; оскільки точка F внутрішня точка відрізка EN, тоді EN = EF + FN. Тоді треба довести, що MF – EN = 0. Маємо, ME + EF – (EF + FN) = ME + EF – EF – FN = ME – FN = ME – ME = 0,  що треба було довести.

 

Задача 38. Точка С ділить відрізок АВ, довжина якого дорівнює а, на два відрізки. Знайдіть відстань між серединами відрізків АС і ВС.

Розв'язання.

Оскільки точка С внутрішня точка середина відрізка АВ, тоді АС = ВС = а/2. Довжина половини відрізків АС ( відповідно ВС) дорівнює а/4, тому відстань між серединами відрізків АС і ВС дорівнює 2 • а/4 = а/2

 

Задача 39. Точки А, В і С лежать на одній прямій. Знайдіть відрізок ВС, якщо АВ = 24 см, АС = 32 см. Скільки розв'язків має задача?

Розв'язання.

Задача має два розв'язки. Розглянемо перший випадок. АВ = АС + СВ = 24 + 32 = 56 (см); у другому випадку АС = АВ + ВС, тоді ВС = АС – АВ = 32 – 24 = 8 (см)

 

Задача 40. На прямій позначено точки А, В і С так, що АВ = 15 см, АС = 9 см. Знайдіть відстань між серединами відрізків.

Розв'язання.

Задача має два розв'язки. У першому випадку відстань між серединами відрізків дорівнюватиме 1/2ВА + 1/2АС = ½ (ВА + АС) = ½ (15 + 9) = 12 (см). У другому випадку середина відрізка ВА = 15 : 2 = 7,5 (см), середина відрізка СА = 9 : 2 = 4,5 (см). Очевидно, що відстань між серединами даних відрізків дорівнюватиме 7,5 – 4, 5 = 3 (см).

 

Задача 41.  Відрізок ЕF дорівнює 12 см. Знайдіть на прямій ЕF усі точки, сума відстаней від кожної з яких до кінців відрізка ЕF дорівнює: 1) 12 см; 2) 15 см; 3) 10 см.

Розв'язання.

1) усі точки відрізка .

2) нема таких точок на прямій, оскільки такі точки лежать поза прямою.

3) нема таких точок.

 

Задача 42. Через точки А і В проведено пряму. Де на цій прямій лежить точка С, відстань від якої до точки В у 2 рази більша, ніж відстань від неї до точки А?

Розв'язання.

АС = 1/3 АВ

 

Задача 43.  Відрізок, довжина якого дорівнює 32 см, поділили на три нерівних відрізки. Відстань між серединами крайніх відрізків дорівнює 18 см. Знайдіть довжину середнього відрізка.

Розв'язання.

AB – MN = AM + NB , оскільки М – середина відрізка АС, N – середина відрізка DB, тоді AM = MC, DN = NB, CD = MN – (MC + DN) = MN – (AM + NB) = MN – (AB - MN) = 18 – (32 – 18) = 18 – 14 = 4 (см).

 

Задача 44.  Яку найменшу кількість внутрішніх точок треба позначити на відрізках, зображених на рисунку 41, щоб на кожному з них було позначено по дві внутрішні точки?

Розв'язання.

а) чотири; б) три;  в) чотири; г) три

 

Задача 45.  Скільки точок треба позначити між точками А і В, щоб разом з відрізком АВ утворилося шість відрізків?

Розв'язання.

5 точок.

Задача 46.  На шкалі лінійки нанесено тільки поділки 0 см, 5 см і 13 см. Як, користуючись цією лінійкою, можна побудувати відрізок завдовжки: 1) 3 см; 2) 2 см; 3) 1 см?

Розв'язання.(+ відкладаємо відрізок від точки лівого кінця вправо, - відкладаємо відрізок від точки правого кінця вліво).

1) 13 см – 5 см – 5см = 3см

2) 5см + 5см + 5см – 13см = 2см

3) 13см + 13см – 5см – 5см – 5см = 1см

 

Задача 47.  На шкалі лінійки нанесено тільки поділки 0 см, 7 см і 11 см. Як, користуючись цією лінійкою, можна побудувати відрізок завдовжки: 1) 8 см; 2) 5 см?  

Розв'язання. (+ відкладаємо відрізок від точки лівого кінця вправо, - відкладаємо відрізок від точки правого кінця вліво).

1) 11см + 11см – 7см – 7см = 8см

2) 11см + 11см + 7см + 11см – 7см – 7см – 7см – 7см – 7см = 5см

 

Задача 48. Із прямокутників розмірами 1x1, 1x2, 1x3, ..., 1x13 складіть прямокутник, кожна сторона якого більша за 1.

  

...