Задача 49. Проведіть два промені АВ і АС так, щоб вони не були доповняльними. Побудуйте до кожного із цих променів доповняльний промінь. Позначте й запишіть усі утворені промені.
Розв'язання.
Задача 50. Проведіть відрізок АВ і два промені АВ і ВА. Чи є ці промені доповняльними? Відповідь обґрунтуйте.
Розв'язання.
Промені не є доповняльними, оскільки не мають спільного початку.
Задача 51. Накресліть кут МNЕ і проведіть промені NA і NC між його сторонами. Запишіть усі кути, що утворилися.
Розв'язання.
Кути MNA, MNC, ANC, ANE, CNE
Задача 52. Проведіть промені ОА, ОВ, ОС і ОD так, щоб промінь ОС проходив між сторонами кута AОВ, а промінь ОD — між сторонами кута ВОС.
Розв'язання.
Задача 53. Накресліть два промені так, щоб їхня спільна частина була: 1) точкою; 2) відрізком; 3) променем.
Розв'язання.
Задача 54. Пряма ЕР перетинає прямі АВ і СD (рис. 63). Укажіть:
1) усі промені, що утворилися, з початком у точці М;
2) усі пари доповняльних променів з початком у точці К.
Розв'язання.
1) MC, MF, MD, MK, ME
2) KA i KB, KE i KF
Задача 55. Запишіть усі промені, які зображено на рисунку 64. Укажіть, які з них є доповняльними променями з початком у точці О.
Розв'язання.
OA i OB, OC i OD
Задача 56. Чи можна кут, який зображено на рисунку 65, позначити так:
1) ےАВС; 3) ےАDC; 5) ےАСЕ; 7) ےВDЕ;
2) ےАСD; 4) ےDСА; 6) ےВСD; 8) ےЕСD?
Розв'язання.
1) ні 3) ні 5) так 7) ні
2) так 4) так 6) так 7) ні
Задача 57. Запишіть усі кути, які зображено на рисунку 66.
Розв'язання.
Кути BAC, BAD, BAE, CAD, CAE, DAE
Задача 58. На рисунку 67 ےAОВ = ےВОС = ےСОD = ےDOЕ = ےЕОF.
1) Який промінь е бісектрисою кута АОС? кута DOF? кута ВОF?
2) Бісектрисою яких кутів є промінь ОС?
Розв'язання.
Промінь OB є бісектрисою кута AOC
Промінь OC є бісектрисою кутів BOD, AOE
Промінь OD є бісектрисою кутів COE, BOF
Промінь OE є бісектрисою кутів DOF
Задача 59. На рисунку 68 промінь ОС — бісектриса кута AОВ. Чи можна сумістити накладанням: 1) кути AОС і ВОС; 2) кути AОС і AОВ?
Розв'язання.
1) так 2) ні
Задача 60. Промінь ВD ділить кут AВС на два кути. Знайдіть:
1) кут AВС, якщо ےАВD = 54°, ےСВD = 72°;
2) кут СВD, якщо ےAВС = 158°, ےAВD = 93°.
Розв'язання.
1) ےАВС = ےABD + ےCBD = 54° + 72° = 126°
2) ےCBD = ےABC – ےABD = 158° – 93° = 65°
Задача 61. Промінь ОР проходить між сторонами кута МОК. Знайдіть кут МОР, якщо ےМОK = 172°, ےРОК = 85°.
Розв'язання.
За основною властивістю величини кута маємо ےMOK = ےMOP + ےPOK, тоді ےMOP = ےMOK – ےPOK = 172° – 85° = 87°
Задача 62.° Чи правильне твердження:
1) будь-який кут, менший від тупого, — гострий;
2) кут, менший від розгорнутого, — тупий;
3) кут, менший від тупого у 2 рази, — гострий;
4) сума двох гострих кутів більша за прямий кут;
5) кут, менший від розгорнутого кута у 2 рази, є більшим за будь-який
гострий кут;
6) кут, більший за прямий, — тупий?
Розв'язання.
1) ні (може бути гострим, прямим)
2) ні (може бути гострим, тупим, прямим)
3) так
4) ні
5) такий кут є прямим, він більший за будь-який гострий.
Задача 63. Із вершини прямого кута ВОМ (рис. 69) проведено два промені ОA та ОС так, що ےВОС = 74°, ےAОМ = 62°. Знайдіть кут AОС.
Розв'язання.
ےCOM = ےBOM – ےBOC = 90° – 74° = 16°, тоді ےAOC = ےAOM – ےCOM = 62° – 16° = 46°
Задача 64. Із вершини розгорнутого кута АСР (рис. 70) проведено два промені СТ і СF так, що ےАСF = 158°, ےТСР = = 134°. Знайдіть кут ТСF.
Розв'язання.
Розгорнутий кут ےACP = 180°, ےTCF = ےACP – ےACT – ےFCP = ےACP – (ےACP - ےTCP) – (ےACP –ے ACF) = ےACP – ےACP + ےTCP – ےACP + ےACF =ے TPC + ےACF – ےACP = 134° + 158° - 180 ° = 112°
Задача 65. Кут СЕF дорівнює 152°, промінь ЕМ проходить між його сторонами, кут СЕМ на 18° більший за кут FЕМ. Знайдіть кути СЕМ і FЕМ.
Розв'язання.
За основною властивістю величини кута ےCEF = ےCEM + ےFEM, нехай х – величина кута FEM, тоді х + 18 – величина кута CEM, складемо рівняння
x + (x + 18) = 152
2x + 18 = 152
2x = 152 – 18
2x = 134
x = 134 : 2
x = 67
ےFEM = 67°, ےCEM = 67° + 18° = 85°
Задача 66. Промінь АК належить куту ВAD. Знайдіть кути ВАК і DАК, якщо кут ВАК у 7 разів менший від кута DАК і ےВАD = 72°.
Розв'язання.
За основною властивістю величини кута ےBAD = ےBAK + ےDAK, нехай х – величина кута DAK, тоді 7х – величина кута BAK, складемо рівняння
x + 7x = 72
8x = 72
x = 72 : 8
x = 9
ےDAK = 9°, ےBAK = 9° • 7 = 63°
Задача 67. На рисунку 71 рівні кути позначено дужками. Знайдіть кути АВС, МКЕ і SТК, якщо за одиничний кут узято: 1) кут АВС; 2) кут МКЕ.
Розв'язання.
1) ABC = 1од., MKE = 2од., STK = 5од.
2) ABC = ½ од., KME = 1од., STK = 2½ од.
Задача 68. Точки А, В і С розміщено на прямій так, що АВ = 3,2 см, АС = 4,8 см, ВС = 8 см. Чи є промені АВ і АС доповняльними?
Розв'язання.
За основною властивістю довжин відрізка для внутрішньої точки А маємо ВС = ВА + АС = АВ + АС = 3,2см + 4,8см = 8см. Точки В, А, С лежать на одній прямій, промені АВ і АС мають спільний початок, тому промені АВ і АС є доповняльними.
Задача 69. На рисунку 72 кут АВС прямий, ےАВЕ = ےЕВF = ےFВС, промені BD і ВК — бісектриси кутів АВЕ і FВС відповідно. Знайдіть кут DВК.
Розв'язання.
За основною властивістю величини кута маємо ےABC = ےABE + ےEBF + ےFBC = 3ےEBF, тоді ےEBF = ےABC : 3 = 90° : 3 = 30°, а ےDBK = ےABC – ےADB – ےKBC. Оскільки для рівних кутів BD бісектриса кута ABE , BK бісектриса кута FBC, то ےABD = ےKBC = ½ ےABE = 30° : 2 = 15°, ےDBK = 90° – 15° – 15° = 60°.