Задача 100. Сума двох кутів, утворених при перетині двох прямих, дорівнює 140°. Доведіть, що ці кути вертикальні.
Розв'язання.
При перетині двох прямих утворюються дві пари суміжних та дві пари вертикальних кутів. Це не можуть бути суміжні кути, оскільки сума кутів менша за 180°, значить це вертикальні кути.
Задача 101. Знайдіть кути, які утворюються при перетині двох прямих, якщо:
1) сума двох із них дорівнює 106°;
2) сума трьох із них дорівнює 305°.
Розв'язання.
1) Оскільки сума двох кутів не дорівнює 180°, то два кути вертикальні, вони рівні, величина яких дорівнює 106° : 2 = 53°. Інший кут є суміжним , тому величина кожного кута іншої пари вертикальних кутів дорівнює 180° - 53° = 127°
2) Величина третього кута та відповідного вертикального для нього кута 360°-305° = 57°, тоді величина двох інших вертикальних кутів дорівнює 180° - 57° = 123°
Задача 102. Знайдіть кути, які утворюються при перетині двох прямих, якщо різниця двох із них дорівнює 64°.
Розв'язання.
При перетині двох прямих прямих утворюється 2 пари рівних вертикальних кутів, нехай х – величина кута з першої пари, тоді х + 64 – величина кута з другої пари, два вертикальні кути різних пар утворюють суміжний кут, тому складемо рівняння
х + х + 64 = 180
2х = 180 – 64
2х = 116
х = 116 : 2
х = 58
При перетині двох прямих утворюються два кути по 58°, та два кути по 58° + 64° = 122°.
Задача 103. Три прямі перетинаються в одній точці (рис. 87). Знайдіть ے1 + ے2 + ے3.
Розв'язання.
При перетині трьох прямих утворюються три пари вертикальних кутів, оскільки вертикальні кути рівні, маємо 1 + 2 + 3 = 180°
Задача 104. Прямі AВ, СD і МК перетинаються в точці О (рис. 88), ےАОС = 70°, ےМОВ = 15°. Знайдіть кути DОК, АОМ і АОD
Розв'язання.
Вертикальні кути рівні, тому ےMOB = ےAOK = 15°, ےAOC = ےBOD = 70°, ےDOK = ےCOM. За основною властивістю величини кута ےDOK = ےCOM = ےAOB – ےAOC – ےMOB = 180° - 15° - 70° = 95°, ےAOM = ےAOB – ےMOB = 180° - 15° = 165°, ےAOD = ےCOD – ےAOC = 180° - 70° = 110°.
Задача 105. Знайдіть кут між бісектрисами суміжних кутів.
Розв'язання.
Оскільки бісектриса ділить кут навпіл, а сума суміжних кутів дорівнює 180°, то кут між бісектрисами дорівнює 180° : 2 = 90°
Задача 106. Знайдіть кут між бісектрисами вертикальних кутів.
Розв'язання.
Кут між бісектрисами вертикальних кутів утворює розгорнутий кут, тому дорівнює 180°
Задача 107. Кути АВF і FВС суміжні, ےАВF = 80°, промінь ВD належить куту АВF, ےАВD = 30°. Знайдіть кут між бісектрисами кутів DВF і FВС.
Розв'язання.
За основною властивістю величини кута маємо ےDBF = ےABF - ےABD = 80° - 30° = 50°. За теоремою про суму суміжних кутів маємо ےFBC = ےCBA – ےABF = 180° - 80° =100°. Кут між бісектрисами кутів DBF і FBC дорівнює ½ ےDBF + ½ ےFBC = ½ (ےDBF + ےFBC) = ½ (50° + 100°) = 75°
Задача 108. Кути АОВ і ВОС суміжні, промінь ОD — бісектриса кута АОВ, кут ВОD на 18° менший від кута ВОС. Знайдіть кути АОВ і ВОС.
Розв'язання.
Нехай х – величина кута ВОD, тоді х + 18 – величина кута ВОC, оскільки OD – бісектриса кута АОВ, тоді ےАОВ = 2ےBOD, за теоремою про суму суміжних кутів ےAOB + ےBOC = 180°, складемо рівняння
х + х + (х + 18) = 180
3х + 18 = 180
3х = 180 – 18
3х = 162
х = 162 : 3
х = 54
ےAOB = 2ےBOD = 54° • 2 = 108°, ےBOC = 54° + 18° = 72°
Задача 109. Знайдіть суміжні кути МКЕ і РКЕ, якщо кут FКЕ на 24° більший за кут РКЕ, де промінь КF — бісектриса кута МКЕ.
Розв'язання.
Нехай х – величина кута PKE, тоді х + 24 – величина кута FKE, оскільки KF – бісектриса кута MKE, тоді ےMKE = 2ےFKE, за теоремою про суму суміжних кутів ےMKE + ےPKE = 180°, складемо рівняння
(х + 24) + (х + 24) + x = 180
3х + 48 = 180
3х = 180 – 48
3х = 132
х = 132 : 3
х = 44
ےPKE = 44 °, ےMKE = 2ےFKE = (44° + 24°) • 2 = 136°
Задача 110. На рисунку 89 ےМAВ + ےАСВ = 180°. Доведіть, що ےМАВ = ےКСВ.
Розв'язання.
Доведемо, що MAB – KCB = 0, з умови маємо MAB = 180° - ACB, для суміжних кутів ACB + KCB = 180°, тоді MAB – KCB = (180° - ACB) – KCB = 180° - (ACB + KCB) = 180° - 180° = 0°, що й треба було довести.
Задача 111. На рисунку 90 ےМВС = ےВЕF. Доведіть, що ےАВЕ + ےВЕD = 180°.
Розв'язання.
Вертикальні кути рівні MBC = ABE, суміжний кут BED = 180° - BEF = 180° - MBC, тоді ABE + BED = MBC + (180° - MBC) = 180°, що треба було довести.
Задача 112. Два кути мають спільну сторону, а їхня сума дорівнює 180°. Чи можна стверджувати, що ці кути є суміжними?
Розв'язання.
Так. Якщо два кути мають спільну сторону, а їхня сума дорівнює 180°, то вони утворюють розгорнутий кут, а сторонами розгорнутого кута є доповняльні промені.
Задача 113. Розріжте фігуру, зображену на рисунку 91, на шість частин двома прямими.
