Задача 114. Перерисуйте в зошит рисунок 101. Користуючись косинцем, проведіть через точку М пряму, перпендикулярну до прямої а.
Розв'язання.
Задача 115. Проведіть пряму с і позначте на ній точку К. Користуючись косинцем, проведіть через точку К пряму, перпендикулярну до прямої с.
Розв'язання.
Задача 116. Проведіть пряму d і позначте точку М, яка їй не належить. За допомогою косинця проведіть через точку М пряму, перпендикулярну до прямої d.
Розв'язання.
Задача 117. Накресліть кут АВК, який дорівнює: 1) 73˚; 2) 146˚. Позначте на промені ВК точку С і проведіть через неї прямі, перпендикулярні до прямих АВ і ВК.
Розв'язання.
1)
2)
Задача 118. Накресліть два перпендикулярних відрізки так, щоб вони: 1) перетиналися та не мали спільного кінця; 2) не мали спільних точок; 3) мали спільний кінець.
Розв'язання.
Задача 119. Накресліть два перпендикулярних промені так, щоб вони: 1) перетиналися; 2) не мали спільних точок.
Розв'язання.
Задача 120. На рисунку 102 прямі АС і DК перпендикулярні. Чи перпендикулярні:
1) відрізки АВ і ВК;
2) відрізки ВС і DF;
3) промені ВС і ВК;
4) відрізок АВ і промінь FD?
Розв'язання.
1) так
2) так
3) так
4) так
Задача 121. Чи може кут між прямими дорівнювати: 1) 1˚; 2) 80˚; 3) 90°; 4) 92°; 5) 101°?
Розв'язання.
При перетині двох прямих, утворюється пара рівних гострих кутів і пара рівних тупих кутів, величину гострого кута, що утворився, називають кутом між прямими. Зі сказаного випливає, що кут між двома прямими не перевищує 90°.
1) так
2) так
3) ні
4) ні
Задача 122. Доведіть, що коли бісектриси кутів АОВ і ВОС перпендикулярні, то точки А, О і С лежать на одній прямій.
Розв'язання.
Якщо бісектриси кутів АОВ і ВОС перпендикулярні, тоді вони утворюються двома кутами по 45°. Значить кут АОВ = ВОС = 90°, а промені ОА та ОВ утворюють розгорнутий кут, значить точки А,О,С лежать на одній прямій.
Задача 123. На рисунку 103 АВ ﬩ СD, ﮮСОК = 42˚, ﮮМОК + ﮮВОК = 130°. Знайдіть: 1) кут МОК; 2) кут МОD.
Розв'язання.
1) ﮮBOK = ﮮCOB – ﮮCOK = 90° - 42° = 48°, ﮮMOK = 130° - ﮮBOK = 130° - 48° = 82°
2) ﮮMOD = ﮮMOA + ﮮAOD, ﮮMOA = ﮮАОВ – (ﮮМОК + ﮮВОК) = 180° - 130° = 50°, ﮮMOD = 90° + 50° = 140°
Задача 124. На рисунку 104 АС ﬩ DК, ОВ ﬩ ВF, ﮮDВО = 54°. Знайдіть кут АВF.
Розв'язання.
ﮮABF = ﮮABK + ﮮKBF, ﮮKBF = ﮮKBD – ﮮDBO – ﮮOBF = 180° - 54° - 90° = 36°, ﮮABF = 90° + 36° = 126°
Задача 125. Кут АВС дорівнює 160°, промені ВК і ВМ проходять між сторонами цього кута й перпендикулярні до них. Знайдіть кут МВК.
Розв'язання.
ﮮABC = ﮮABK + ﮮCBK, ﮮABC = ﮮABK + (ﮮMBC - ﮮMBK), ﮮMBK = ﮮABK + ﮮMDC – ﮮABC = 90° + 90° - 160° = 20°
Задача 126. На рисунку 105 ВF ﬩ АС, ВD ﬩ ВК. Доведіть, що ﮮABD = ﮮFВК.
Розв'язання.
За основною властивістю величини кута ﮮABD = ﮮABC - ﮮDBK – ﮮCBK = 180° - 90° - ﮮCBK = 90° - ﮮCBK, a ﮮFBK = ﮮABC – ﮮABF – ﮮCBK = 180° - 90° - ﮮCBK = 90° - ﮮCBK, тобто ﮮABD – ﮮFBK, що й треба було довести.
Задача 127. На рисунку 105 ﮮAВD = ﮮFВК, ﮮDВF = ﮮKВС. Доведіть, що ВF ﬩ АС.
Розв'язання.
Якщо прямі ВF ﬩ АС, тоді треба довести, що ﮮABF = 90°.
Розгорнутий кут ﮮАВС = 180°. За основною властивістю величини кута маємо ﮮABC = ﮮABD + ﮮDBF + ﮮFBК + ﮮКВС = 2ﮮАВD + 2ﮮDBF = 2 (ﮮABD + ﮮDBF), звідси ﮮABF = ﮮABD + ﮮDBF = ﮮABC : 2 = 180° : 2 = 90°, тобто прямі ВF ﬩ АС.
Задача 128. Із вершини кута АВС, який дорівнює 70°, проведено промені ВD і ВF так, що ВD ﬩ ВА, ВF ﬩ ВС, промені ВD і ВF належать куту AВF. Знайдіть кути DВF і AВF.
Розв'язання.
1 спосіб.
ﮮABF = ﮮFBC + ﮮABC = 90° + 70° = 160°, ﮮDBF = ﮮABF – ﮮABD = 160° - 90° = 70°.
2 спосіб.
ﮮFBA = ﮮFBC + ﮮABC = 90° + ﮮABC, ﮮFBA = ﮮABD + ﮮFBD = 90° + ﮮFBD, звідси випливає, що ﮮFBD = ﮮABC = 70°. ﮮFBA = ﮮFBD + ﮮABD = 70° + 90° = 160°
Задача 129. Користуючись косинцем і шаблоном кута, який дорівнює 17°, побудуйте кут, який дорівнює: 1) 5°; 2) 12°.
Розв'язання.
1) 90° - 17° • 5 = 5°
2) 17° • 6 - 90° = 12°
Задача 130. Користуючись косинцем і шаблоном кута, який дорівнює 20˚ побудуйте кут, який дорівнює 10°.
Розв'язання.
90° - 20° • 4 = 10°
Задача 131. На рисунку 106 пряма перетинає всі сторони восьмикутника. Чи може пряма перетинати всі сторони тринадцятикутника, не проходячи через жодну з його вершин?
