Вправа 1009

Зібрали 100 кг грибів, вологість яких дорівнювала 99 %. Коли гриби підсушили, їх вологість зменшилася до 98 %. Якою стала маса цих грибів після підсушування?

Розв'язання

1) 100% – 99% = 1% – припадає на суху масу грибів;

2) 100 • 0,01 = 1 (кг) – суха маса грибів;

3) 100% – 98% = 2% – припадає на підсушені гриби;

4) 1 : 0,02 = 50 (кг) – підсушена маса грибів;

Відповідь: 50 кг.

 

Вправа 1010

Частина мешканців міста розмовляє тільки англійською мовою, частина — тільки французькою, а частина знає обидві мови. Англійською мовою розмовляють 85 % усіх мешканців, французькою  — 45 %. Скільки відсотків усіх цих мешканців володіють обома мовами?

Розв'язання

Всі мешканці становлять 100%.

1) 100% – 85% = 15% – не розмовляють англійською окремо;

2) 45% – 15% = 30% – не розмовляють англійською і французькою окремо, тобто знають дві мови.

Відповідь: 30%.

 

Вправа 1011

Маса 4 найбільших коропів така сама, як і 3 найбільших сазанів. А маса одного коропа на 8 кг менша від маси одного сазана. Яка маса найбільшого сазана?

Розв'язання

1–ий спосіб

Нехай маса сазана дорівнює х кг, тоді маса коропа — (х – 8) кг. Маса трьох сазанів дорівнює 3х кг, а маса чотирьох коропів — 4(х – 8) кг, причому маси однакові. Складаємо рівняння.

4(х – 8) = 3х

4х – 32 = 3х

4х – 3х = 32

х = 32 (кг) – маса сазана.

2–ий спосіб

Нехай маса коропа дорівнює х кг, тоді маса сазана — (х + 8) кг. Маса чотирьох коропів дорівнює 4х кг, а маса трьох сазанів — 3(х + 8) кг, причому маси однакові. Складаємо рівняння.

4х = 3(х + 8)

4х = 3х + 24

4х – 3х = 24

х = 24 (кг) – маса коропа;

24 + 8 = 32 (кг) – маса сазана.

Відповідь: 32 кг.

 

Вправа 1012

Добуток усіх натуральних чисел від 1 до n коротко позначають так: n!. Наприклад, 4! = 1 • 2 • 3 • 4 = 24.

а) 5! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 = 120

б) 6! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 = 720

в) 7! : 6! = (1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7) : (1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6) = 7

г) (8! – 7!) : 7! = 8! : 7! – 7! : 7! =

= (1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 • 8)/(1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7) – 

– (1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7)/(1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7) = 8 – 1 = 7

 

Вправа 1013

У турнірі першості з футболу брали участь 17 команд. Кожна команда грала з іншими по 2 рази. Скільки було всього матчів у турнірі?

Розв'язання

1–ий спосіб

Кожна команд зіграла 16 матчів (з усіма, крім з собою) по 2 рази, тому

17 • 16 = 272 матчі.

2–ий спосіб

Якщо кожен матч рахувати 1 раз, тоді маємо:

16 + 15 + 14 + 13 + 12 + 11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 =

= (16 + 1) + (15 + 2) + (14 + 3) + (13 + 4) + (12 + 5) + (11 + 6) + (10 + 7) + (9 + 8) =

= 17 • 8 = 136 матчів.

Оскільки грали по 2 рази, тому 136 • 2 = 272 матчі.

Відповідь: 272 матчі.

 

Вправа 1014

Кожну з фігур, зображених на малюнку, розріж прямою на дві частини так, щоб із них можна було скласти квадрат.

1–ий спосіб

2–ий спосіб

Вправа 1015

У торбі є яблука трьох сортів. Скільки яблук треба взяти навмання, щоб серед узятих виявилося принаймні 2 яблука одного сорту?

Міркуємо так. Якщо взяти 3 яблука, вони можуть бути трьох різних сортів. Якщо взяти 4 яблука, обов'язково при­наймні два з них виявляться одного сорту.

Відповідь: 4 яблука. 

 

Вправа 1016

Як слід посадити 16 дерев, щоб вийшло 4 ряди і в кожному з них було по 5 дерев?

Треба садити так, щоб декілька дерев можна було порахувати двічі.

1–ий спосіб	2–ий спосіб	3–ій спосіб

Вправа 1017

У який бік повертатиметься шестірня E, якщо шестірню A повертати так, як показано на малюнку?

Міркуємо так. Будь–які дві з'єднані шестірні обертаються в протилежних напрямах, а з'єднані проміжною третьою шестірнею обертаються в тому самому напрямі, тому перша (А), третя і п'ята (Е) шестірні будуть обертатися в одному напрямку. Отже, шестірні А і Е обертаються в одному напрямі, тобто за годинниковою стрілкою.

 

Вправа 1018

Постав між цифрами 9 8 7 6 5 4 3 2 1 знаки «+» і «–» так, щоб значення утвореного виразу дорівнювало 100.

Задача має багато різних розв'язків:

а) 98 – 7 + 6 – 5 + 4 + 3 + 2 – 1 = 100

б) 9 + 8 + 76 + 5 + 4 – 3 + 2 – 1 = 100

 

Вправа 1019

Скільки всього квадратів зображено на малюнку? Знайди суму площ усіх цих квадратів.

Розв'язання 

Найменших квадратиків (по 1 клітинці) є 13, більших (по 4 клітинки) – 6, найбільший (9 клітинок) – 1.

1) 13 + 6 + 1 = 20 – всього таких квадратів;

2) Площа клітинки 1 кв. од, тому сума площа усіх перерахованих квадратів:

13 • 1 + 6 • 4 + 9 = 46 (кв. од).

Відповідь: 20 квадратів, 46 кв. од.

 

Вправа 1020

Позавчора Олі було ще тільки 10 років, а наступного року їй виповниться 13. Коли вона справляє свій день народження?

Оля справляє свій день народження 29 лютого, один раз на чотири роки.

Відповідь: 29 лютого.

 

Вправа 1021

На сковорідці вміщається 2 рибини. На підсмажування рибини з одного боку потрібна 1 хв. Як за 3 хв підсмажити 3 рибини з обох боків?

Розв'язання

 

Вправа 1022

На малюнку зафарбовано фігуру Ф — частину круга радіуса 2 см. Знайди площу фігури Ф і довжину лінії, яка її обмежує

1) S = 2пr = 2 • п • 2 = 4π см² – площа круга;

2) Замальована частина круга дорівнює незамальованій, тобто половина площі:

4п : 2 = 2п = 2 • 3,14 = 6,28 (см²) – площа фігури Ф;

3) Лінія, що обмежує фігуру Ф, скла­дається з трьох півкіл, довжини яких 2π, π і π, тому

2п + п + п = 4п = 4 • 3,14 = 12,56 (см) – довжина лінії, що обмежує фігуру Ф.

Відповідь: 6,28 см²; 12,56 см.

 

 

Вправа 1023

Замостити підлогу рівними паркетинами можна так, як показано на малюнку. Якими ще способами можна замостити підлогу такими паркетинами?

1–ий спосіб	2–ий спосіб

Вправа 1024

Знайди площу блакитної фігури, якщо точки A, B, C, D — вершини квадрата і AB = 5 см.

Розглядувану фігуру можна розрізати на частини, з яких складається квадрат, що дорівнює квадрату ABCD.

5 см • 5 см = 25 см² – площа кожної клітинки даної сітки.

Вправа 1025

Постав замість однакових букв однакові цифри, замість різних букв — різні цифри:

Двоцифрове число, тільки піднесене до квад­рата може дати трицифрове число. Тому в усіх трьох випадках показник степеня дорівнює 2.

а) куб = пі^л; 289 = 17²

б) акт = пі^к; 324 = 18²

в) кок = xx^х. 484 = 22²

 

Вправа 1026

Будильник відстає щогодини на пів хвилини. Пів години тому він відставав на 3 хв, а тепер показує рівно 2 год. О  котрій годині він відставатиме на 5 хв?

 

Вправа 1027

Стародавня задача. У  харчевні обідали 23 чоловіків і жінок. Кожен чоловік заплатив за обід 5 копійок, кожна жінка — 4 копійки, а всі разом — 1 карбованець. Скільки серед них було чоловіків і скільки жінок?

Розв'язання

Нехай чоловіків було х осіб, тоді жінок — (23 – х) осіб. За обід всі чоловіки заплатили 5х копійок, а всі жінки — 4(23 – х) копійок, а разом заплатили 1 карбованець, або 100 копійок. Складаємо рівняння.

5х + 4(23 – х) = 100

5х + 92 – 4х = 100

х = 100 – 92

х = 8 (осіб) – було чоловіків;

23 – 8 = 15 (осіб) – було жінок.

Відповідь: 8 чоловіків  і 15 жінок.

 

Вправа 1028

Олені тепер 24 роки. А коли їй було стільки років, скільки тепер Марії, то Марії років було удвічі менше, ніж тепер Олені. Скільки років Марії?

Розв'язання

Нехай це було х років тому, тоді Марія була удвічі менша від Олени, тому їй було 24 : 2 = 12 років, а в той час Олені — (24 – х) років. Зараз Марії (12 + х) років і за умовою задачі дорівнює (24 – х) років. Складаємо рівняння.

12 + х = 24 – х

х + х = 24 – 12

2х = 12

х = 6 (р.) – минуло років;

12 + 6 = 18 (р.), або 24 – 6 = 18 (р.) – вік Марії зараз.

Відповідь: тепер Марії 18 років.

 

Вправа 1029

Задача для кмітливих. Микола і Петро з синами рибалили. Микола спіймав стільки риб, скільки його син Василь, а Петро — втричі більше, ніж його син. Всього вони впіймали 35 рибин. Як звати сина Петра? Скільки рибин він упіймав?

Розв'язання

Петро разом із сином упіймали парну кількість рибин, бо 3n + n = 4n. Стільки ж рибин спіймали разом Микола і його син Василь. Оскільки всього вони впіймали 35 рибин – непарну кількість, то рибалили не вчотирьох. Це могло бути тільки тоді, коли Микола — син Петра і батько Василя. Якщо Василь і Петро впіймали по х ри­бин, то Петро 3х, а разом 35 рибин. Складаємо рівняння.

х + х + 3х = 35

5x = 35

x = 35 : 5

х = 7

Відповідь: син Петра – Микола, він упіймав 7 рибин.

 

Вправа 1030

Скільки неділь може бути в одному році?

Розв'язання

Невисокосний рік має 365 днів, тому 365 : 7 = 52 (ост. 1), отже, маємо 52 тижні та 1 день.

Високосний рік має 366 днів, тому 366 : 7 = 52 (ост. 2), отже, маємо 52 тижні та 2 дні.

У кожному тижні — одна неділя. Остача 1 або 2 дні може припасти на неділю. Тому всього рік може мати 52 або 53 неділі.

Відповідь: 52 або 53 неділі.

 

Вправа 1031

В одному місяці три неділі випали на парні дати. Який день тижня був 20 числа того місяця?

Розв'язання

Нехай дата неділі першого в місяці тижня дорівнює а. Тоді всі неділі цього місяця припадають на такі дати: а, а + 7, а + 14, а + 21, а + 28. Парні дати чергуються з непарними, тому якщо їх три, то це дати: а, а + 14, а + 28.

Оскільки 21 < а + 28 < 31, то а = 2, а + 14 = 2 + 14 = 16. Якщо число 16 – неділя, то число 20 припадає на четвер.

 

Вправа 1032

Чотири брати — Максим, Олег, Євген і Тарас — ловили карасів. Олег і Тарас зловили стільки ж рибин, скільки Максим і Євген; Максим зловив більше карасів, ніж Євген; Максим з Тарасом зловили риби менше, ніж Олег і Євген. Скільки риби зловив кожен з братів, якщо Олег зловив 3 карасі?

Розв'язання

Нехай Максим, Євген і Тарас упіймали відповідно х, у і z карасів, а Олег – 3. Тоді

3 + z = x + y, х > у і х + z < 3 + у. З цих умов випливає, що 

3 > х > у > z. Це можливо тільки за умови, коли х = 2, у = 1, z = 0.

Відповідь: Максим зловив 2 карасі, Євген зловив 1 карася, а Тарас не зловив жодного карася.

 

Вправа 1033

Число закінчується цифрою 2. Якщо переставити цю цифру на початок числа, то воно подвоїться. Знайди це число.

 

Вправа 1034

По горизонталі:

5. Перелік цін. Цінник

6. Одиниця площі. Гектар

8. Величина. Час

9. Фігура, утворена обертанням прямокутника навколо сторони. Циліндр

10. Латинська буква. Ікс

11. Геометрична фігура. Кут

12. Четверте просте число. Сім

14. Рівність двох відношень. Пропорція

15. Два числа або предмети. Пара

16. Давня міра відстані.

17. Член дробу. Знаменник

19. Знак числа або дії. Мінус

 20. Найпростіша геометрична фігура. Точка

 21. Натуральне число. Сорок

По вертикалі:

1. Частина відрізка.

2. Французький математик, творець системи координат. Декарт

3. Число, більше за 500. Сімсот

4. Відрізок у крузі. Радіус

7. Інша назва частки. Відношення

11. Другий степінь. Квадрат

13. Компонент дії множення. Множник

17. Символ, позначка. Знак

18. Межа круга. Коло

Інші завдання дивись тут...