Завдання 1334
Туристка подолала маршрут завдовжки 110 км за три дні. Другого дня вона пройшла на 5 км менше, ніж першого, а третього дня — 3/7 відстані, пройденої за перші два дні. Знайдіть, скільки кілометрів проходила туристка щодня.
Розв'язання
Нехай першого дня туристка пройшла х км, тоді другого — (х – 5) км, а третього — 3/7(2х – 5) км. Складаємо рівняння:
х + (х – 5) + 3/7(2х – 5) = 110
х + х – 5 + 6/7 х – 2 1/7 = 110
2 6/7 х = 117 1/7
20/7 х = 820/7
х = 820/7 : 20/7
х = 41 (км) – пройшов першого дня;
41 – 5 = 36 (км) – пройшов другого дня;
3/7 • (2 • 41 – 5) = 3/7 • 77 = 3 • 11 = 33 (км) – пройшов третього дня.
Відповідь: 41 км; 36 км; 33 км.
Завдання 1335
Із двох станцій, відстань між якими дорівнює 360 км, одночасно вирушили назустріч один одному два поїзди. Швидкість одного з них на 10 км/год менша від швидкості другого. Знайдіть швидкість кожного поїзда, якщо вони зустрілися через 2,4 год після початку руху.
Розв'язання
Нехай швидкість першого поїзда — х км/год, тоді другого — (х + 10) км/год. Складаємо рівняння:
2,4(х + х + 10) = 360
2,4х + 2,4х + 24 = 360
4,8х + 24 = 360
4,8х = 336
х = 70 (км/год) – швидкість першого поїзда;
70 + 10 = 80 (км/год) – швидкість другого поїзда.
Відповідь: 70 км/год; 80 км/год.
Завдання 1336
Два автомобілі їдуть назустріч один одному. Швидкість першого дорівнює 75 км/год, що становить 5/6 швидкості другого. Другий автомобіль виїхав на 1,6 год пізніше, ніж перший. Через скільки годин після виїзду другого автомобіля вони зустрінуться, якщо початкова відстань між ними становила 615 км?
Розв'язання
75 : 5/6 = 90 (км/год) – швидкість другого автомобіля.
Нехай другий автомобіль був в дорозі х год, тоді перший — (х + 1,6) год. Складаємо рівняння:
90х + 75(х + 1,6) = 615
90х + 75х + 120 = 615
165х = 495
х = 3 (год) – час, коли зустрінуться.
Відповідь: через З год.
Завдання 1337
Вантажівка проїхала ґрунтовою дорогою на 210 км більше, ніж асфальтованою, причому довжина асфальтованої дороги становила 2/9 довжини ґрунтової. Час руху вантажівки асфальтованою дорогою становив 20 % часу руху ґрунтовою. Знайдіть швидкість руху вантажівки кожною з доріг, якщо всього вона була в дорозі 7,2 год.
Розв'язання
Нехай вантажівка рухалася х год ґрунтовою дорогою, тоді асфальтованою дорогою — 0,2х год. Складаємо рівняння:
х + 0,2х = 7,2
1,2х = 7,2
х = 6 (год) – рухалася ґрунтовою дорогою;
0,2 • 6 = 1,2 (год) – рухалася асфальтованою дорогою.
Нехай довжина ґрунтової дороги становить у км, тоді довжина асфальтованої – 2/9у км. Складаємо рівняння:
у – 2/9у = 210
7/9у = 210
у = 270 (км) – довжина ґрунтової дороги;
2/9 • 270 км = 60 (км) – довжина асфальтованої дороги;
270 : 6 = 45 (км/год) – швидкість по ґрунтовій дорозі;
60 : 1,2 = 50 (км/год) – швидкість по асфальтованій дорозі.
Відповідь: 45 км/год; 50 км/год.
Завдання 1338
Від села до станції Оксана може доїхати на велосипеді за 3 год, а дійти пішки — за 7 год. Її швидкість пішки на 8 км/год менша, ніж швидкість на велосипеді. З якою швидкістю їздить Оксана на велосипеді? Яка відстань від села до станції?
Розв'язання
Нехай швидкість Оксани пішки х км/год, тоді на велосипеді — (х + 8) км/год. Складаємо рівняння:
7х = 3(х + 8)
7х = 3х + 24
4х = 24
х = 6 (км/год) – швидкість пішки;
6 + 8 = 14 (км/год) – швидкість на велорсипеді;
14 • 3 = 42 (км) – відстань від села до станції.
Відповідь: 14 км/год; 42 км.
Завдання 1339
З одного міста в протилежних напрямках вирушили два пішоходи. Перший пішохід вийшов на 2,5 год раніше від другого та йшов зі швидкістю 8 км/год. Швидкість другого становила 75 % швидкості першого. Через скільки годин після початку руху другого пішохода відстань між ними стала 41 км?
Розв'язання
8 • 0,76 = 6 (км/год) – швидкість другого пішохода;
Нехай перший пішохід був в дорозі х год, тоді другий — (х + 2,5) год. Складаємо рівняння:
6х + 8(х + 2,5) = 41
6х + 8х + 20 = 41
14х = 21
х = 1,5 (год) – час, коли відстань між пішоходами стала 41 км.
Відповідь: через 1,5 год.
Завдання 1340
З міста виїхав автомобіль зі швидкістю 48 км/год. Через півтори години в тому самому напрямку виїхав другий автомобіль, швидкість якого в 13/8 раза більша за швидкість першого. На якій відстані від міста другий автомобіль наздожене перший?
Розв'язання
48 • 13/8 = 78 (км/год) - швидкість другого автомобіля;
Нехай другий автомобіль був в дорозі х год, тоді перший автомобіль — (x + 1,5) год. Складаємо рівняння:
48(х + 1,5) = 66x
48х + 72 = 66x
18x = 72
x = 4 (год) – час руху до зустрічі автомобілів;
66 • 4 = 264 (км) – відстань, коли автобуси зустрінуться.
Відповідь: 264 км.
Завдання 1341
Швидкість легкового автомобіля на 34 км/год більша за швидкість вантажного, тому вже за 3 год легковий автомобіль проїхав на 10 км більше, ніж вантажний за 5 год. Знайдіть швидкість кожного автомобіля.
Розв'язання
Нехай швидкість вантажівки x км/год, тоді легковика — (x + 34) км/год. Складаємо рівняння:
3(x + 34) – 5x = 10
3x + 102 – 5x = 10
2x = 92
х = 46 Км/год) – швидкість вантажівки;
46 + 34 = 80 (км/год) – швидкість легковика.
Відповідь: 46 км/год; 80 км/год.
Завдання 1342
З пункту A до пункту B, відстань між якими 26 км, вийшов пішохід зі швидкістю 4 км/год. Через 12 хв з пункту B до пункту A назустріч йому виїхав велосипедист зі швидкістю 10 км/год. Через скільки годин після виїзду велосипедиста вони зустрілися? Яку відстань до зустрічі подолав кожен з них?
Розв'язання
Нехай пішохід і велосипедист зустрілися через x год, тоді пішохід був в дорозі (х + 12/60) = (х + 0,2) год. Складаємо рівняння:
4(x + 0,2) + 10x = 26
4х + 0,8 + 10х = 26
14х = 25,2
х = 1,8 (год) – час зустрічі;
1,8 • 10 = 18 (км) – проїхав велосипедист до зустрічі;
4 • (1,8 + 0,2) = 4 • 2 = 8 (км) – пройшов пішохід до зустрічі.
Відповідь: 1,8 год; 16 км і 8 км.
Завдання 1343
Теплохід проходить відстань між двома пристанями й повертається назад (без зупинки) за 4,5 год. Швидкість теплохода в стоячій воді становить 18 км/год, а швидкість течії річки — 2 км/год. Знайдіть відстань між пристанями.
Розв'язання
18 + 2 = 20 (км/год) – швидкість теплохода за течією річки;
18 – 2 = 16 (км/год) – швидкість теплохода проти течії річки.
Нехай відстань між пристанями дорівнює х км, тоді теплохід плив за течією річки х/20 год, а проти течії — х/16 год. Складаємо рівняння:
х/20 + х/16 = 4,5
4х/80 + 5х/80 = 4,5
9х/80 = 4,5
0,1125х = 4,5
х = 40
Відповідь: між пристанями 40 км.
Завдання 1344
У три магазини завезли 680 кг апельсинів. Маса апельсинів, завезених у перший магазин, відноситься до маси апельсинів, завезених у другий, як 3 : 5, а в третій завезли на 12 % більше, ніж у другий. Скільки кілограмів апельсинів завезли в кожний магазин?
Розв'язання
Нехай у перший магазин завезли 3х кг, тоді в другий — 5х кг, а в третій — (5х • 1,12) = 5,6х кг. Складаємо рівняння:
3х + 5х + 5,6х = 680
13,6х = 680
х = 50
3 • 50 = 150 (кг) – завезли в перший магазин;
5 • 50 = 250 (кг) – завезли в другий магазин;
5,6 • 50 = 280 (кг) – завезли в третій магазин.
Відповідь: 150 кг; 250 кг; 280 кг.
Завдання 1345
Марічка та Софійка мали розв’язати за літо однакову кількість задач. Проте 28 серпня виявилося, що вони разом розв’язали 285 задач, причому Марічка перевиконала завдання на 8 %, а Софійка ще не розв’язала 18 % задач. Скільки задач мала розв’язати кожна дівчинка?
Розв'язання
Нехай кожна дівчинка мала розв’язати по х задач. Тоді Марічка розв’язала (х + 0,08х) задач, а Софійка — (х – 0,18х) задач. Складаємо рівняння:
х + 0,08х + (х – 0,18х) = 285
1,08х + 0,82х = 285
1,9х = 285
х = 150 (з.) – розв’язала кожна дівчинка.
Відповідь: кожна дівчинка мала розв'язати по 150 задач.
Завдання 1346
На змаганнях стрільців із лука кожний учасник робив 20 пострілів. За кожний влучний постріл нараховували 15 очок, а за кожний промах знімали 7 очок. Робіну Гуду в око потрапила порошинка, тому він набрав лише 234 очки. Скільки разів Робін Гуд влучив у ціль?
Розв'язання
Нехай Робін Гуд влучив у ціль х разів, тоді промахнувся — (20 – х) разів. За влучення в ціль нарахували 15х очок, а за промахи зняли — 7(20 – х) очок. Складаємо рівняння:
15х – 7(20 – х) = 234
15х – 140 + 7х = 234
22х = 374
х = 17
Відповідь: Робін Гуд влучив в ціль 17 разів.
Завдання 1347
Оля і Толя задумали одне й те саме число. Потім Оля помножила своє число на 4, а Толя до свого числа додав 4. Далі Оля до отриманого результату додала число 3, а Толя свій результат помножив на 3. Після цього вони знову отримали рівні числа. Яке число задумали діти?
Розв'язання
Нехай Оля і Толя задумали число х, тоді Оля після всіх дій отримала число 4х + 3, а Толя — 3(х + 4). Складаємо рівняння:
4х + 3 = 3(х + 4)
4х + 3 = 3х + 12
4х – 3х = 12 – 3
х = 9
Відповідь: діти задумали число 9.
Завдання 1350
Марина задумала два числа, одне з яких на 28 більше за друге. Які числа задумала Марина, якщо 60 % меншого числа становлять 25 % більшого?
Розв'язання
Нехай одне число дорівнює х, тоді друге — (х + 28), причому 60% меншого числа становить 0,6х, а 25% більшого - 0,25(х + 28). Складаємо рівняння:
0,6х = 0,25(х + 28)
0,6х = 0,25х + 7
0,6х – 0,25х = 7
0,35х = 7
х = 20 – менше з чисел, що задумала Марина;
20 + 28 = 48 – менше з чисел, що задумала Марина.
Відповідь: 20 і 48.
Завдання 1351
Івасик-Телесик пас на лузі гусей і кіз, у яких разом було 45 голів і 130 ніг. Скільки гусей і скільки кіз пас Івасик-Телесик?
Розв'язання
Нехай Івасик–Телесик пас х гусей, тоді кіз було 45 – х, бо всіх голів було 45. У гусей 2х ніг, а в кіз — 4(45 - х) ніг, а всього 130 ніг. Складаємо рівняння:
2х + 4(45 – х) = 130
2х + 180 – 4х = 130
–2х = –50
х = 25 (г.) – пас гусей;
45 – 25 = 20 (г.) – пас кіз.
Відповідь: 25 гусей і 20 кіз.
Завдання 1353
Пан Богдан поклав у банк 20 000 грн на два види вкладу, причому по одному виду вкладу йому нараховували 6 % річних, а по другому — 9 %. Через рік чоловік отримав 1440 грн прибутку. Знайдіть, яку суму поклав пан Богдан на кожний вид вкладу.
Розв'язання
Нехай на перший вклад пан Богдан поклав х грн, тоді на другий — (20000 - х) грн. З першого вкладу отримав прибутку 0,6х грн, а з другого — 0,9(2000 – х) грн, разом 1440 грн. Складаємо рівняння:
0,06х + 0,09(20000 – х) = 1440
0,06х + 1800 – 0,09х = 1440
–0,03х = –360
х = 12000 (грн) – поклав на перший вклад;
20000 – 12000 = 8000 (грн) – поклав на другий вклад.
Відповідь: 12000 грн і 8000 грн.
Завдання 1356
На полиці стояли книжки. Спочатку взяли на 2 книжки менше від третини всіх книжок, а потім половину книжок, що залишилися. Після цього на полиці стало 9 книжок. Скільки книжок було
на полиці спочатку?
Розв'язання
Нехай на полиці стояло х книжок, тоді третина всіх книжок - 1/3х, а на 20 менше від третини - (1/3х – 2). Залишилося х - (1/3х - 2) = 2/3х + 2, а половина від них становить (2/3 х + 2) : 2 = 2/3 х : 2 + 2 : 2 = 2/3х * 1/2 + 1 = 1/3х + 1. Складаємо рівняння:
1/3х + 1 = 9
1/3х = 8
х = 24
Відповідь: 24 книжки.
Завдання 1359
У шаховому турнірі брали участь 12 гравців. Турнір проходив за круговою системою, тобто кожний учасник турніру грав з іншими по одному разу. Скільки всього шахових партій було зіграно?
1 спосіб
Пронумеруємо усіх гравців від 1 до 12. Перший гравець зіграв 11 партій з іншими, другий зіграв 10 партій з іншими (партію, зіграну з першим гравцем, ми вже врахували), третій гравець зіграв 9 партій з іншими (партії, зіграні з першими двома гравцями, ми вже врахували), ..., останній гравець зіграв 0 неврахованих партій. Тому всього було зіграно 11 + 10 + 9 + ... + 2 + 1 + 0 = 66 партій.
2 спосіб
12 • 11 : 2 = 66 (п.)
Відповідь: 66 партій.