Завдання 551 Тотожність
|
1) (b – c)(b + c) = b² – c²; Так 2) (m + n)(m – n) = m² + n²; Ні |
3) (x + y)(y – x) = y² – x²; Так 4) (p – q)(p + q) = (p – q)². Ні |
Завдання 552
(7a – 2b)(7a + 2b) = (7a)² – (2b)² = 49a² – 4b², тому 3) 49a²– 4b².
Завдання 553
Закінчіть перетворенія виразу в многочлен:
1) (с – 8)(с + 8) = с² – 8² = c² – 64
2) (5x – 7y²)(5x + 7y²) = (5x)² – (7y²)² = 25x² – 49y4
3) (a4 + b3)(b3 – a4) = (b3 + a4)(b3 – a4) = (b3)² – (a4)² = b6 – a8
4) (–9xy – z)(9xy – z) = –(9xy + z)(9xy – z) = –((9xy)² – z²) = –(81x²y² – z²) = –81x²y² + z²
Завдання 554
1) (2ab + 3)(2ab – 3) = (2ab)² – 3² = 4a²b² – 9
2) (6m² – 11p5)(11p5 + 6m²) = (6m² – 11p5)(6m² + 11p5) = (6m²)² – (11p5)2 = 36m4 – 121p10
Завдання 555 Множення многочленів
|
1) (m – n)(m + n) = m² – n² 2) (x – 1)(x + 1) = x² – 1 3) (9 – y)(9 + y) = 81 – y² 4) (3b – 1)(3b + 1) = 9b² – 1 5) (10m – 7)(10m + 7) = 100m² – 49 |
6) (4a – b)(b + 4a) = 16a² – b² 7) (5b + 1)(1 – 5b) = 1 – 25b² 8) (3x – 5y)(3x + 5y) = 9x² – 25y² 9) (13c – 10d)(13c + 10d) = 169c² – 100d² 10) (8m + 11n)(11n – 8m) = –64m² + 121n² |
Завдання 556
|
1) (c – 2)(c + 2) = c² – 4 2) (12 – x)(12 + x) = 144 – x² 3) (3x + y)(3x – y) = 9x² – y² 4) (6x – 9)(6x + 9) = 36x² – 81 |
5) (x + 7)(7 – x) = –x² + 49 6) (5a – 8b)(5a + 8b) = 25a² – 64b² 7) (8m + 2)(2 – 8m) = –64m² + 4 8) (13c – 14d)(14d + 13c) = 169c² – 196d² |
Завдання 557
1) (a²– 3)(a² + 3) = a4 – 9
2) (5 + b²)(b² – 5) = b4 – 25
3) (3x – 2y²)(3x + 2y²) = 9x² – 4y4
4) (10p3 – 7k)(10p3 + 7k) = 100p6 – 49k²
5) (4x² – 8y3)(4x² + 8y3) = 16x4 – 64y6
6) (11a3 + 5b²)(5b² – 11a3) = –121a6 + 25b4
7) (7 – xy)(7 + xy) = 49 – x²y²
8) (8a3b – 1/3 ab²)(8a3b + 1/3 ab²) = 64a6b2 – 1/9 a2b4
Завдання 558
|
1) (x3 + 4)(x3 – 4) = x6 – 16 2) (ab – c)(ab + c) = a²b² – c² 3) (x – y²)(y² + x) = x2 – y4 |
4) (3m² – 2c)(3m² + 2c) = 9m4 – 4c2 5) (6a3 – 8b)(6a3 + 8b) = 36a6 – 64b2 6) (5n4 – m4)(5n4 + m4) = 25n8 – m8 |
Завдання 559
1) (2a – b)(2a + b) + b² = 4a² – b² + b² = 4a²
2) 10x² + (y – 5x)(y + 5x) = 10x² + (y² – 25x²) = 10x² + y² – 25x² = y² – 15x²
3) 64m² – (8m + 9)(8m – 9) = 64m² – (64m² – 81) = 64m² – 64m² + 81 = 81
4) 3a(a – b) – (3a + 2b)(3a – 2b) = 3a² – 3ab – (9a² – 4b²) = 3a² – 3ab – 9a² + 4b² =
= –6a² – 3ab + 4b²
Завдання 560
1) (9a – 2)(9a + 2) – 18a² = 81a² – 4 – 18a² = 63a² – 4
2) 25m² – (5m – 7)(5m + 7) = 25m² – (25m² – 49) = 25m² – 25m² + 49 = 49
3) 4x(3x – 10y) – (4x + y)(4x – y) = 12x² – 40xy – (16x² – y²) = 12x² – 40xy – 16x² + y² =
= –4x² – 40xy + y²
Завдання 561
На який вираз треба помножити двочлен 0,Зх3 – ху2, щоб їхній добуток дорівнював двочлену 0,09х6 –х2у4.
(0,Зх3 – ху²)(0,Зх3 + ху²) = (0,Зх3)2 – (ху2)2 = 0,09х6 – х2у4
Завдання 562
На який вираз треба помножити многочлен 7t4 + 9р5, щоб їхній добуток дорівнював многочлену 49t8 – 81р10?
(7t4 + 9р5)(7t4 – 9р5) = (7t4)2 – (9р5)2 = 49t8 – 81р10
Завдання 563
Які одночлени треба поставити замість зірочок, щоб виконувалася тотожність:
1) (3b – 12a)( 3b + 12a) = 9b² – 144a
2) (4d – 5c)(4d + 5c) = 16d² – 25c²
3) (0,7p + 1/3 m4)(1/3 m4 – 0,7p) = 1/9 m8 – 0,49p²
4) (3m2 + n3)(3m2 – n3) = 9m4 – n6
Завдання 564
Поставте замість зірочок такі одночлени, щоб виконувалася тотожність:
1) (8a2b – 5c3)(8a2b + 5c3) = 64a4b2 – 25c6
2) (1/15 a² – 1/12 x4y5)(1/15 a² + 1/12 x4y5) = 1/225 a4 – 1/144 x8y10
Завдання 565
1) a(a – 2)(a + 2) = a(a² – 4) = a3 – 4a
2) –3(x + 3)(x – 3) = –3(x² – 9) = –3x² + 27
3) 7b²(b + 4)(4 – b) = 7b²(16 – b²) = 112b2 – 7b4
4) (c – d)(c + d)(c² + d²) = (c² – d²)(c² + d²) = c4 – d4
5) (2a – 1)(2a + 1)(4a² + 1) = (4a² – 1)(4a² + 1) = 16a4 – 1
6) (c3 – 5)(c3 + 5)(c6 + 25) = (c6 – 25)(c6 + 25) = c12 – 625
Завдання 566
1) 5b(b – 1)(b + 1) = 5b(b² – 1) = 5b3 – 5b
2) (c + 2)(c – 2) • 8c² = (c² – 4) • 8c² = 8c4 – 32c2
3) (m – 10)(m² + 100)(m + 10) = (m² – 100)(m² + 100) = m4 – 10000
4) (a2 + 1)(a2 – 1)(a4 + 1) = (a4 – 1)(a4 + 1) = a8 – 1
Завдання 567
1) (an – 4)(an + 4) = a2n – 16
2) b2n + c3n)(b2n – c3n) = b4n – c6n
3) (x4n + yn+2)(yn+2 – x4n) = y2n+4 – x8n
4) (an+1 – bn–1)(an+1 + bn–1) = a2n+2 – b2n–2
Завдання 568
1) (4x – 7у)(4x + 7у) + (7x – 4у)(7x + 4у) = 16x² – 49y² + 49x² – 16y² = 65x² – 65y²
2) (a – 2)(a + 3) + (6 – a)(a + 6) = a² + 3a – 2a – 6 + 36 – a² = a + 30
3) (8a – 3)(8a + 3) – (7a + 4)(8a – 4) = 64a² – 9 – (56a² – 28a + 32a – 16) =
= 64a² – 9 – 56a² – 4a + 16 = 8a² – 4a + 7
4) 0,6m(2m – 1)(2m + 1) + 0,3(6 + 5m)(6 – 5m) = 0,6m(4m² – 1) + 0,3(36 – 25m²) =
= 2,4m3 – 0,6m + 10,8 – 7,5m²
5) (7 – 2x)(7 + 2x) – (x – 8)(x + 8) – (4 – 3x)(5 + 3x) = 49 – 4x² – (x² – 64) – (20 – 3x – 9x²) =
= 49 – 4x² – x² + 64 – 20 + 3x + 9x² = 93 + 3x + 4x²
6) –b2c(4b – c2)(4b + c2) + 16b4c = –b²c(16b² – c4) + 16b4c = –16b4c + b²c5 + 16b4c = b2c5
Завдання 569
1) (b + 7)(b – 4) + (2b – 6)(2b + 6) = b² – 4b + 7b – 28 + 4b² – 36 = 5b² + 3b – 64
2) (x + 1)(x – 1) – (x + 5)(x – 5) + (x + 1)(x – 5) = x² – 1 – (x² – 25) + (x² – 5x + x – 5) =
= x² – 1 – x² + 25 + x² – 4x – 5 = x² – 4x + 19
3) 81a8 – (3a2 – b3)(9a4 + b6)(3a2 + b3) = 81a8 – (9a4 – b6)(9a4 + b6) = 81a8 – (81a8 – b12) =
= b12
Завдання 570
|
1) 8x(3 + 2x) – (4x + 3)(4x – 3)=9x – 6 24x + 16x² – 16x² + 9 = 9x – 6 24 + 16x² – 16x² – 9x = –6 – 9 15x = –15 x = –1 |
3) (6x + 7)(6x – 7) + 12x=12x(3x + 1) – 49 36x² – 49 + 12x = 36x² + 12x – 49 36x² + 12x – 36x² – 12x = –49 + 49 0x = 0 – коренем є будь–яке число
|
|
2) 7x – 4x(x – 5)=(8 – 2x)(8 + 2x) + 27x 7x – 4x² + 20x = 64 – 4x² + 27x 7x – 4x² + 20x + 4x² – 27x = 64 0x = 64 – не має коренів |
4) (x – 2)(x + 2)(x2 + 4)(x4 + 16)=x8 + 10x (x² – 4)(x² + 4)(x^4 + 16) = x^8 + 10x (x4 – 16)(x4 + 16) = x8 + 10x x8 – 256 = x8 + 10x x8 – x8 – 10x = 256 –10x = 256 x = –25,6 |
Завдання 559
1) (x – 17)(x + 17) = x² + 6x – 49
x² – 289 = x² + 6x – 49
x² – x² – 6x = –49 + 289
–6x = 240
x = –40
2) (1,2x – 4) (1,2x + 4) – (1,3x – 2) (1,3x + 2) = 0,5x (8 – 0,5x)
1,44x² – 16 – (1,69x² – 4) = 4x – 0,25x²
1,44x² – 16 – 1,69x² + 4 = 4x – 0,25x²
1,44x² – 1,69x² – 4x + 0,25x² = 16 – 4
–4x = 12
x = –3
Завдання 572
Доведіть, що значення виразу не залежить від значення змінної (змінних):
1) (x – 9)(x + 9) – (x + 19)(x – 19) = x² – 81 – (x² – 19²) = x² – 81 – x² + 361 = 280
2) (2a – b)(2a + b) + (b – c)(b + c) + (c – 2a)(c + 2a) = 4a² – b² + b² – c² + c² – 4a² = 0
Завдання 573
Доведіть, що при будь–якому натуральному n значення виразу ділиться націло на 12.
(7n + 8)(7n – 8) – (5n + 10)(5n – 10) = 49n3 – 64 – (25n2 – 100) = 49n2 – 64 – 25n2 + 100 =
= 24n² + 36 = 12(n² + 3) – ділиться націло на 12.
Завдання 574
Доведіть, що не існує такого натурального числа n, при якому значення виразу ділиться націло на 8.
(4n + 3)(9n – 4) – (6n – 5)(6n + 5) – 3(n – 2) = (4n + 3)(9n – 4) – (6n – 5)(6n + 5) – 3(n – 2) =
= 36n² – 16n + 27n – 12 – (36n² – 25) – 3n + 6 = 36n² – 16n + 27n – 12 – 36n² + 25 + 3n – 6=
= 14n + 7. Число 14n + 7 є непарним, тому не існує такого натурального числа n, при якому значення виразу ділилось би націло на 8.
Завдання 575
Доведіть, що при будь–якому натуральному n значення виразу ділиться націло на 7.
(9n – 4)(9n + 4) – (8n – 2)(4n + 3) + 5(6n + 9) = 81n² – 16 – (32n² + 24n – 8n – 6) + 30n + 45=
= 81n² – 16 – 32n² – 24n + 8n + 6 + 30n + 45 = 49n² + 14n + 35 = 7(7n² + 2n + 5) – ділиться націло на 7.
Завдання 576
1) 320 • 620 – (1810 – 2)(1810 + 2) = 320 • 620 – (1820 – 4) = 320 • (2 • 3)20 – 1820 + 4 =
= 640 – 640 + 4 = 4
2) (5 + 2817)(5 – 2817) + 1434 • 234 = 52 – 2834 + 1434 • 234 = 25 – 2834 + 2834 = 25
3) 736 • 812 – (1418 + 3)(1418 – 3) = 736 • 236 – (1436 – 9) = (7 • 2)36 – 1436 + 9 =
= 1436 – 1436 + 9 = 9
4) (32 – 1)(32 +1)(34 + 1)(38 + 1)(316 + 1)(332 +1) – 364 =
= (34 – 1)(34 + 1)(38 + 1)(316 + 1)(332 + 1) – 364 =
= (38 – 1)(38 + 1)(316 + 1)(332 + 1) – 364 = (316 – 1)(316 + 1)(332 + 1) – 364 =
= (332 – 1)(332 + 1) – 364 = 364 – 1 – 364 = –1
5) (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) – 232 =
= (2 – 1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) – 232 =
= (22 – 1)0(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) – 232 =
= (24 – 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) – 232 = (28 – 1)(28 + 1)(216 + 1) – 232 =
= (216 – 1)(216 + 1) – 232 = = 232 – 1 – 232 = –1
Завдання 577
1) 8115 – 820 – (630 + 1)(630 – 1) = (34)15 • (23)20 – ((630)2 – 1) = 360 • 260 – 660 + 1 =
= 660 – 660 + 1 = 1
2) 524 – (53 – 2)(53 + 2)(56 + 4)(512 + 16) = 524 – (56 – 4)(56 + 4)(512 + 16) =
= 524 – (512 – 16)(512 + 16) = 524 – (524 – 256) = 524 – 524 + 256 = 256
Завдання 578
Порівняйте значення виразів, не обчислюючи їх:
1) 415 • 425 = (420 – 5)(420 + 5) = 420² – 5²
426 • 414 = (420 + 6)(420 – 6) = 420² – 6²
420² – 5² > 420² – 6²
415 • 425 > 426 • 414
2) 1234 567 • 1234 569 = (1234568 – 1)(1234568 + 1) = 1234568² – 1
1234568² – 1 < 1234 568²
1234 567 • 1234 569 < 1234 568²
Завдання 579
Порівняйте значення виразів, не обчислюючи їх:
1) 253 • 259 = (256 – 3)(256 + 3) = 256² – 3²
252 • 260 = (256 – 4)(256 + 4) = 256² – 4²
256² – 3² > 256² – 4²
253 • 259 > 252 • 260
2) 987 646 • 987 662 = (987654 – 8)(987654 + 8) = 987654 – 8²
987 654² > 987654 – 8²
987 654² > 987 646 • 987 662
ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ
Завдання 580 Найбільший спільний дільник
Олеся й Остап купили однакові ручки. Ціна кожної з них дорівнює цілому числу гривень. Олеся заплатила за ручки 65 гри, а Остап — на 39 грн більше. Скільки коштує одна ручка? Скільки ручок купив Остап?
Розв'язання
39 = 3 • 13, 65 = 5 • 13
НСД(39;65) = 13, тому
1) 65 : 13 = 5 (р.) – ручок купила Олеся;
2) (65 + 39) : 13 = 8 (р.) – ручок купив Остап.
Відповідь: одна ручка коштує 13 грн, а Остап купив 8 ручок.
Завдання 581
Від села до станції Василько може доїхати на велосипеді за 3 год, а дійти пішки — за 7 год. Швидкість руху пішки на 8 км/год менша від швидкості руху на велосипеді. З якою швидкістю їздить Василько на велосипеді? Яка відстань від села до станції?
Розв'язання
Нехай Василько їздить на велосипеді зі швидкістю x км/год, тоді його швидкість руху пішки — (x – 8) км/год. На велосипеді проїхав відстань 3з км, а пройщов пішки — 7(x – 8) км. Складаємо рівняння:
3x = 7(x – 8)
3x = 7x – 56
3x – 7x = –56
–4x = –56
x = 14
3 • 14 = 42 (км) – відстань від села до станції.
Відповідь: 14 км/год; 42 км.
Завдання 582
В одному мішку було 60 кг цукру, а в другому — 100 кг. Коли з другого мішка взяли в 4 рази більше цукру, ніж з першого, то в першому залишилося у 2 рази більше цукру, ніж у другому. Скільки кілограмів цукру взяли з кожного мішка?
Розв'язання
Нехай з першого мішка взяли x кг цукру, тоді з другого — 4x кг. У першому мішку залишилося (60 – x) кг цукру, а у другому — (100 – 4x) кг. Складаємо рівняння:
60 – x = 2(100 – 4x)
60 – x = 200 – 8x
8x – x = 200 – 60
7x = 140
x = 20 (кг) – взяли цукру з першого мішка;
4 • 20 = 80 (кг) – взяли цукру з другого мішка.
Відповідь: 20 кг і 80 кг.
Завдання 583
Один вантажний автомобіль може перевезти зібраний з поля врожай за 10 год, другий — за 12 год, а третій — за 15 год. За скільки годин вони зможуть перевезти врожай, працюючи разом?
Розв'язання
Перший автомобіль за 1 год перевезе 1/10 частину зібраного урожаю, другий — 1/12 частину, а третій — 1/15 частину.
1) 1/10 + 1/12 + 1/15 = 15/60 = 1/4 – частину врожаю перевезуть за 1 год разом;
2) 1 : 1/4 = 1 • 4 = 4 (год) – час, за який перевезуть весь урожай, працюючи разом.
Відповідь: за 4 год.
Завдання 584
(Старовинна єгипетська задача.) Кожний із 7 чоловіків має 7 кішок. Кожна кішка з’їдає по 7 мишей, кожна миша за одне літо може знищити 7 ячмінних колосків, а із зерен одного колоска може вирости 7 жмень ячмінного зерна. Маса однієї жмені зерна — 80 г. Скільки жмень зерна щорічно рятують кішки? Скільки це становить тонн зерна? Відповідь округліть до сотих.
Розв'язання
7 • 7 = 7² (жм.) – зерна може знищити одна миша;
7² • 7 = 73 (жм.) – зерна можуть знищити ті миші, яких може з’їсти одна кішка;
73 • 7 = 74 (жм.) – зерна можуть знищити ті миші, яких може з’їсти 7 кішок;
74 • 7 = 75 = 16 807 (жм.) – зерна щорічно рятують завдяки кішкам;
16 807 • 80 = 1 344 560 (г) = 1 344,56 кг ≈ 1,34 т – зерна щорічно рятують завдяки кішкам.
Відповідь: 16 807 жмень або 1,34 т.
Завдання 585 Рівняння
|
1) (4x – 1)/12 – (3x + 1)/8 = x + 1 |•24 2(4x – 1) – 3(3x + 1) = 24(x + 1) 8x – 2 – 9x – 3 = 24x + 24 8x – 9x – 24x = 24 + 2 + 3 –25x = 29 x = –1 4/25 |
2) (3x – 2)/9 – (2x + 1)/6 = (5 – x)/3 |•18 2(3x – 2) – 3(2x + 1) = 6(5 – x) 6x – 4 – 6x – 3 = 30 – 6x 6x – 6x + 6x = 30 + 4 + 3 6x = 37 x = 6 1/6 |
ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ
Завдання 586 Квадрат одночлена
|
1) x6 = (x3)2 2) y4 = (y²)² 3) 4x² = (2x)² 4) 1/9 x4 = (1/3 x²)² |
5) a8b10 = (a4b5)2 6) 0,36x2y12 = (0,6xy6)2 7) 1,21m10n20 = (1,1m5n10)2 8) 1 9/16 a14b16 = (5/4 a7b8)2 |
Завдання 587
Чи можна подати у вигляді різниці квадратів двох одночленів вираз. У разі ствердної відповіді запишіть цю різницю квадратів.
1) a² – 16b² = a² – (4b)²
2) 25c² + 9b² — не можна, оскільки обидва доданки додатні;
3) 100b4 – 25c6 = (10b2)2 – (5c3)2
4) –64 + a10 = (a5)² – 8²
5) –a12 – 49c8 — не можна, оскільки обидва доданки від'ємні;
6) –0,01a4 + 0,04b4 = (0,2b²)² – (0,1a²)²
УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ
Завдання 588
Для перевезення вантажу виділено 4–, 7– і 8–тонні вантажівки. Кожний автомобіль має зробити тільки один рейс. Скільки треба вантажівок кожного виду для перевезення 44 т вантажу?
Розв'язання
5 • 8 + 4 = 44 (т) – можна взяти п'ять 8–тонних вантажівок і одну 4–тонну;
4 • 8 + 3 • 4 = 44 (т) – можна взяти чотири 8–тонних вантажівок і три 4–тонних;
3 • 8 + 5 • 4 = 44 (т) – можна взяти три 8–тонних вантажівок і п'ять 4–тонних;
2 • 8 + 7 • 4 = 44 (т) – можна взяти дві 8–тонних вантажівок і сім штук 4–тонних;
1 • 8 + 9 • 4 = 44 (т) – можна взяти одну 8–тонних вантажівку і дев'ять 4–тонних;
11 • 4 = 44 (т) – можна взяти одинадцять 4–тонних;
2 • 8 + 4 • 7 = 44 (т) – можна взяти дві 8–тонних вантажівок і чотири 7–тонних;
1 • 8 + 4 • 7 + 2 • 4 = 44 (т) – можна взяти одну 8–тонну вантажівку, чотири 7–тонних і дві 4–тонних;
4 • 7 + 4 • 4 = 44 (т) – можна взяти чотири 7–тонних вантажівок, чотири 4–тонних.