Завдання 1162 Почленне додавання частин рівнянь:
|
1) 2x – у = 6 3x + у = 4 5x = 10 |
2) 4x – 7у = 8 6у – 4x = 1 –y = 9 |
Завдання 1163
На яке число треба помножити обидві частини першого рівняння системи, щоб у рівняннях коефіцієнти при змінній у стали протилежними числами:
|
1) 4x + у = 7 Помножити на 6 5x – 6у = 30 |
2) 2x + 4у = 9 Помножити на –5 3x + 20у = 40 |
Завдання 1164
|
1) 3x + 7у = 21 Помножити на –1 3x – 9у = –2 |
2) 7x + 3у = 8 Помножити на –4 28x – 5у = 12 |
Завдання 1165
На яке число треба помножити обидві частини першого рівняння системи, а на яке — обидві частини другого рівняння, щоб у рівняннях коефіцієнти при змінній у стали протилежними числами:
|
1) 2x – 6у = 7 |•(–4) 5x + 4у = 3 |• 6 |
2) 7x + 6у = 22 |•(–3) 35x + 9у = 34 |• 2 |
Завдання 1166 Розв’яування системи рівнянь методом додавання
|
1) {x + у = 6 x – у = 8 2x = 14 x = 7 7 + y = 6 y = –1 Корінь (7;–1) |
2) {3x + у = 14 5x – у = 10 8x = 24 x = 3 3 • 3 + y = 14 9 + y = 14 y = 5 Корінь (3;5) |
3) {2x – 9у = 11 7x + 9у = 25 9x = 36 x = 4 2 • 4 – 9y = 11 8 – 9y = 11 9y = –3 y = –1/3 Корінь (4;–1/3) |
4) {–6x + у = 16 6x + 4у = 34 5y = 50 y = 10 –6x + 10 = 16 –6x = 6 x = –1 Корінь (–1;10) |
Завдання 1167
|
1) {4x – у = 20 4x + у = 12 8x = 32 x = 4 4 • 4 – y = 20 16 – y = 20 y = –4 Корінь (4;–4) |
2) {9x + 17у = 52 26x – 17у = 18 35x = 70 x = 2 9 • 2 + 17y = 52 18 + 17y = 52 17y = 34 y = 2 Корінь (2;2) |
Завдання 1168
|
1) {8x + у = 8 |•(–1) 12x + у = 4 {–8x – y = –8 12x + y = 4 4x = –4 x = –1 12 • (–1) + y = 4 –12 + y = 4 y = 16 Корінь (–1;16) |
4) {10x + 2у = 12 |:2 –5x + 4у = –6 {5x + y = 6 –5x + 4y = –6 5y = 0 y = 0 –5x + 0 = –6 –5x = –6 x = 1,2 Відповідь:(1,2;0) |
7) {3x – 4у = 16 |•3 5x + 6у = 14 |•2 {9x – 12y = 48 10x + 12y = 18 9x = 76 x = 4 5 • 4 + 6y = 14 20 + 6y = 14 6y = –6 y = –1 Корінь (4;–1) |
|
2) {7x – 5у = 29 |•(–1) 7x + 8у = –10 {–7x + 5y = –29 7x + 8y = –10 13y = –39 y = –3 7x + 8 • (–3) = –10 7x – 24 = –10 7x = 14 x = 2 Корінь (2;–3) |
5) {3x – 2у = 1 |•(–4) 12x + 7у = –26 {–12x + 8y = –4 12x + 7y = –26 15y = –30 y = –2 12x + 7 • (–2) = –26 12x – 14 = –26 12x = –12 x = –1 Корінь (–1; –2) |
8) {2x + 3у = 6 |•3 3x + 5у = 8 |•(–2) {6x + 9y = 18 –6x – 10y = –16 –y = 2 y = –2 3x + 5 • (–2) = 8 3x – 10 = 8 3x = 18 x = 6 Корінь (6;–2) |
|
3) {x – 3у = 5 |•3 4x + 9у = 41 {3x – 9y = 15 4x + 9y = 41 7x = 56 x = 8 4 • 8 + 9y = 41 32 + 9y = 41 9y = 9 y = 1 Корінь (8;1) |
6) {3x + 8у = 13 |•2 2x – 3у = 17 |•(–3) {6x + 16y = 26 –6x + 9y = –51 25y = –25 y = –1 2x – 3 • (–1) = 17 2x + 3 = 17 2x = 14 x = 7 Корінь (7;–1) |
9) {5u – 7v = 24 |•7 7u + 6v = 2 |•(–5) {35u – 49v = 168 –35u – 30v = –10 –79v = 158 v = –2 7u + 6 • (–2) = 2 7u – 12 = 2 7u = 14 u = 2 Корінь (2;–2) |
Завдання 1169
|
{–5х + 7у = 2 |•(–1) 8х + 7у = 15 {5x – 7y = –2 8x + 7y = 15 13x = 13 x = 1 8 • 1 + 7y = 15 8 + 7y = 15 7y = 7 y = 1 Корінь (1;1) |
{5х + у = 7 |•4 7х – 4у = –1 {20x + 4y = 28 7x – 4y = –1 27x = 27 х = 1 7 • 1 – 4y = –1 7 – 4y = –1 –4y = –8 y = 2 Корінь (1;2) |
{5х – 2у = 16 |•3 8х + 3у = 38 |•2 {15x – 6y = 48 16x + 6y = 76 31x = 124 x = 4 8 • 4 + 3y = 38 32 + 3y = 38 3y = 6 y = 2 Корінь (4;2) |
{4a + 6b = 9 |•3 3a – 5b = 2 |•(–4) {12a + 18b = 27 –12a + 20b = –8 38b = 19 b = 0,5 3a – 5 • 0,5 = 2 3a – 2,5 = 2 3a = 4,5 a = 1,5 Корінь (1,5;0,5) |
|
{9х – 6у = 24 |•(–1) 9х + 8у = 10 {–9x + 6y = –24 9x + 8y = 10 14y = –14 y = –1 9х + 8 • (–1) = 10 9x – 8 = 10 9x = 18 x = 2 Корінь (2;–1) |
{6х – 5у = 23 2х – 7у=13 |•(–3) {6x – 5y = 23 –6x + 21y = –39 16y = –16 y = –1 6x – 5 • (–1) = 23 6x + 5 = 23 6x = 18 x = 3 Корінь (3;–1) |
{5х – 4у = 10 |•2 2х – 3у =–3 |•(–5) {10x – 8y = 20 –10x + 15y = 15 7y = 35 y = 5 2x – 3 • 5 = –3 2x – 15 = –3 2x = 12 x = 6 Корінь (6;5) |
{9m – 13n=22 |•(–2) 2m + 3n =–1 |•9 {–18m + 26n = –44 18m + 27n = –9 53n = –53 n = –1 2m – 3 • (–1) = –1 2m + 3 = –1 2m = 2 m = 1 Корінь (1;–1) |
Завдання 1170
Знайдіть, не виконуючи побудови, координати точки перетину прямих:
|
1) {у = 2 – 3x |•(–3) 2x + 3у = 7 {–9x – 3y = –6 2x + 3y = 7 –7x = 1 x = –1/7 y = 2 – 3 • (–1/7) = 2 3/7 y = 2 + 3/7 = 2 3/7 Точка (–1/7; 2 3/7) |
2) {5x + 6у = –20 |•(–2) 2x + 9у = 25 |•5 {–10x – 12y = 40 10x + 45y = 125 33y = 165 y = 5 2x + 9 • 5 = 25 2x + 45 = 25 2x = –20 x = –10 Точка (–10;5) |
Завдання 1171
|
1) {2x – 3у = 8 |•7 7x – 5у = –5 |•(–2) {14x – 21y = 56 –14x + 10y = 10 –11y = 66 y = –6 2x – 3 • (–6) = 8 2x + 18 = 8 2x = –10 x = –5 Точка (–5;–6) |
2) 9x + у = 3 |•(–3) 8x + 3у = –10 –27x – 3y = –9 8x + 3y = –10 –19x = –19 x = 1 9 • 1 + y = 3 9 + y = 3 y = –6 Точка (1;–6)
|
Завдання 1172
При яких значеннях а і b графік рівняння ax + by = 8 проходить через точки A(1;3) і B(2;–4)?
{a + 3b = 8 |•(–2)
2a – 4b = 8
{–2a – 6b = –16
2a – 4b = 8
–10b = –8
b = 0,8
a + 3 • 0,8 = 8
a + 2,4 = 8
a = 5,6
Завдання 1173
При яких значеннях m і n графік рівняння mx – ny = 6 проходить через точки C (2;–1) і D(–6;5)?
{2m + n = 6 |•5
–6m – 5n = 6
{10m + 5n = 30
–6m – 5n = 6
4m = 36
m = 9
2 • 9 + n = 6
18 + n = 6
n = –12
Завдання 1174
Запишіть рівняння прямої у = kx + b, яка проходить через точки:
|
1) M(2;1) і K(–3;2); {1 = 2k + b 2 = –3k + b |•(–1) {2k + b = 1 3k – b = –2 5k = –1 k = –0,2 2 • (–0,2) + b = 1 –0,4 + b = 1 b = 1,4 y = –0,2x + 1,4 |
2) P(–4;5) і Q(4;–3). {5 = –4k + b –3 = 4k + b 2b = 2 b = 1 5 = –4k + 1 k = –1 y = –x + 1
|
Завдання 1175
Запишіть рівняння прямої у = kx + b, яка проходить через точки:
|
1) A(3;2) і B(–1;4); {2 = 3k + b 4 = –k + b {3k + b = 2 k – b = –4 4k = –2 k = –0,5 3 • (–0,5) + b = 2 –1,5 + b = 2 b = 3,5 y = –0,5x + 3,5 |
2) C(–2;–3) і D(1;6). {–3 = –2k + b 6 = k + b {2k – b = 3 k + b = 6 3k = 9 k = 3 3 + b = 6 b = 3 y = 3x + 3 |
Завдання 1176
|
1) {2(4х – 5) – 3(3 + 4у) = 5 7(6у – 1) –(4 + 3х) = 21у – 86 {8x – 10 – 9 – 12y = 5 42y – 7 – 4 – 3x = 21y – 86 {8x – 12y = 24 |:4 –3 + 21y = –75 |:3 {2x – 3y = 6 –x + 7y = –25 |•2 {2x – 3y = 6 –2x + 14y = –50 11y = –44 y = –4 2x – 3 • (–4) = 6 2x + 12 = 6 2x = –6 x = –3 Корінь (–3; –4) |
2) {–2(2х+1) + 2,5 = 3(у + 2) – 8х 8 – 5(4 – х) = 6у – (5 – х) {–4x – 2 + 2,5 = 3y + 6 – 8x 8 – 20 + 5x = 6y – 5 + x {4x – 3y = 5,5 4x – 6y = 7 {4x – 3y = 5,5 –x + 6y = –7 |•(–1) 3y = –1,5 y = –0,5 4x – 3 • (–0,5) = 5,5 4x + 1,5 = 5,5 4x = 4 x = 1 Корінь (1; –0,5)
|
|
3) {x/2 – y/3 = 3 |•6 3x/4 + 5у/6 = 4 |•12 {3x – 2y = 18 |•(–3) 9x – 10y = 48 {–9x + 6y = –54 9x – 10y = 48 –4y = –6 y = 1,5 9x – 10 • 1,5 = 48 9x – 15 = 48 9x = 63 x = 7 Корінь (7;1,5) |
4) {(x + 2)/6 – (у – 3)/15 = 1 |•30 (x + 2,5)/9 – (у + 3)/6 = 1/3 |•18 {5(x + 2) – 2(y – 3) = 30 2(x + 2,5) – 3(y + 3) = 6 {5x + 10 – 2y + 6 = 30 2x + 5 – 3y – 9 = 6 {5x – 3y = 10 | • 3 2x – 3y = 10 |• (–2) {15x – 6y = 42 –4x + 6y = –20 11x = 22 x = 2 2 • 2 – 3y = 10 4 – 3y = 10 –3y = 6 y = –2 Корінь (2;–2) |
Завдання 1177
|
1) {0,2x – 0,3(2у +1) = 1,5 3(x +1) + 3у = 2у – 2 {0,2x – 0,6y – 0,3 = 1,5 3x + 3 + 3y = 2y – 2 {0,2x – 0,6y = 1,8 |:0,2 3x + y = –5 {x – 3y = 9 9x + 3y = –15 |•12 10x – 6 x = –0,6 –0,6 – 3y = 9 –3y = 9,6 y = –3,2 Корінь (–0,6;–3,2) |
2) {(15x – 3у)/4 + (3x + 2у)/6 = 3 |•12 (3x + у)/3 – (x – 3у)/2 = 6 |•6 {3(15x – 3y) + 2(3x + 2y) = 36 2(3x + y) – 3(x – 3y) = 36 {45x – 9y + 6x + 4y = 36 6x + 2y – 3x + 9y = 36 {51x – 5y = 36 3x + 11y = 36 |•(–17) {51x – 5y = 36 –51x – 187y = –612 –192y = –576 y = 3 3x + 11 • 3 = 36 3x + 33 = 36 3x = 3 x = 1 Корінь (1;3) |
Завдання 1178
|
1) {(x – 3)² – 4у = (x + 2)(x + 1) – 6 (x – 4)(у + 6) = (x + 3)(у – 7) + 3 {x² – 6x + 9 – 4y = x² + 3x + 2 – 6 xy + 6x – 4y – 24 = xy – 7x + 3y – 21 + 3 {x² – x² – 6x – 3x – 4y = 2 – 6 – 9 xy – xy + 6x + 7x – 4y – 3y = –21 + 3 + 24 {–9x – 4y = –13 |•(–7) 13x – 7y = 6 |•4 {63x + 28y = 91 52x – 28y = 24 115x = 115 x = 1 –9 • 1 – 4у = –13 –4y = –4 y = 1 Корінь (1;1) |
|
2) {(x – у)(x + у) – x(x + 10) = у(5 – у) + 15 (x+1)² + (у –1)2 = (x + 4)² + (у + 2)² – 18 {x² – y² – x² – 10x = 5y – y² + 15 x² + 2x + 1 + y² – 2y + 1 = x² + 8x + 16 + y² + 4y + 4 – 18 {x² – y² – x² + y² – 10x – 5y = 15 x² – x² + y² – y² + 2x – 8x – 2y – 4y = 16 + 4 – 18 – 1 – 1 {–10x – 5y = 15 |:(–5) –6x – 6y = 0 |:6 {2x + y = –3 –x – y = 0 x = –3 –3 – y = 0 y = 3 Корінь (–3;3) |
Завдання 1179
|
1) {(2x + 1)² – (2x – у)(2x + у) = (у + 8)(у –10) 4x(x – 5) – (2x – 3)(2x – 9) = 6у – 104 {4x² + 4x + 1 – 4x² + y² = y² – 10y + 8y – 80 4x² – 20x – 4x² + 18x + 6x – 27 = 6y – 104 {4x² + 4x – 4x²+ y² – y² + 10y – 8y = –80 – 1 4x² – 20x – 4x² + 18x + 6x – 6y = –104 + 27 {4x + 2y = –81 4x – 6y = –77 |•(–1) {4x + 2y = –81 –4x + 6y = 77 8y = –4 y = –0,5 4x + 2 • (–0,5) = –81 4x – 1 = –81 4x = –80 x = –20 Корінь (–20; –0,5) |
|
2) {(x – 2)(x² + 2x + 4) – x(x – 4)(x + 4) = 20 – 20у (3x – 2)(4у + 5) = 2у(6x –1) – 58 {x3 – 8 – x(x² – 16) = 20 – 20y 12xy + 15x – 8y – 10 = 12xy – 2y – 58 {x3 – x3 + 16x + 20y = 20 + 8 12xy + 15x – 8y – 12xy + 2y = –58 + 10 {16x + 20y = 28 |:4 15x – 6y = –48 |:3 {4x + 5y = 7 |•2 5x – 2y = –16 |•5 {8x + 10y = 14 25x – 10y = –80 33x = –66 x = –2 5 • (–2) – 2y = –16 –10 – 2y = –16 –2y = –6 y = 3 Корінь (–2;3) |
Завдання 1180
Чи має розв’язок система рівнянь:
|
1) {2x + у = 5 3x – 4у = 24 x – 2у = 9 |
2) {2x + 3у = –1 3x + 5у = 1 5x + 9y = 5 |
|
{2x + у = 5 |•4 3x – 4у = 24 {8x + 4y = 20 3x – 4у = 24 11x = 44 x = 4 2 • 4 + у = 5 y = –3 4 – 2 • (–3) = 4 + 6 = 10 ≠ 9 Система не має розв’язку |
{2x + 3у = –1 |•(–5) 3x + 5у = 1 |•3 {–10x – 15y = 5 9x + 15у = 3 –x = 8 x = –8 2 • (–8) + 3y = –1 –16 + 3y = –1 3y = 15 y = 5 5 • (–8) + 9 • 5 = –40 + 45 = 5 Система має розв’язок (–8; 5) |
Завдання 1181
Розв’яжіть систему рівнянь:
|
1) {6x + 5у = 10 8x – 5у = 32 3x + 10у = –7 |
2) {x – 2у = 1 2x + у = 7 4x + у = 14 |
|
{6x + 5у = 10 8x – 5у = 32 14x = 42 x = 3 18 + 5y = 10 5y = –8 y = –1,6 3 • 3 + 10 • (–1,6) = 9 – 16 = –7 Система має розв’язок (3;–1,6) |
{2x + у = 7 4x + у = 14 |•(–1) { 2x + y = 7 –4x – у = –14 –2x = –7 x = 3,5 2 • 3,5 + у = 7 7 + y = 7 y = 0 3,5 – 2 • 0 = 3,5 ≠ 1 Система не має розв’язку |
Завдання 1182
Запишіть систему лінійних рівнянь із двома змінними, графіки яких зображено на рисунку 73.
|
а) у = kх + b Рожева пряма проходить через точки: (0;4) і (3;1). 4 = 0 • k + b b = 4 у = kх + 4 1 = 3k + 4 3k = –3 k = –1 Отже, рівняння: у = –х + 4 Блакитна пряма проходить через точки: (0;–2) і (3;1). –2 = 0 • k + b b = –2 у = kх – 2 1 = 3k – 2 3k = 3 k = 1 Отже, рівняння: у = х – 2 Маємо систему рівнянь: {y + x = 4 y – x = –2 |
в) у = kх + b Рожева пряма проходить через точки: (0;2) і (3;0). 2 = 0 • k + b b = 2 у = kх + 2 0 = 3k + 2 3k = –2 k = –2/3 Отже, рівняння: у = –2/3 х + 2 Блакитна пряма проходить через точки: (0;–1) і (3;1). –1 = 0 • k + b b = –1 у = kх – 1 1 = 3k – 1 k = 2/3 Отже, рівняння: у = 2/3 х – 1 Маємо систему рівнянь: {y + 2/3 x = 2 y – 2/3 x = –1 |
|
б) у = kх + b Рожева пряма проходить через точки: (0;4) і (1;2). 4 = 0 • k + b b = 4 у = kх + 4 2 = k + 4 k = –2 Отже, рівняння: у = –2х + 4 Блакитна пряма проходить через точки: (–3;0) і (1;2). –3 = 0 • k + b b = –3 у = kх – 3 2 = k – 3 k = 5 Отже, рівняння: у = 5х – 3 Маємо систему рівнянь: {y + 2x = 4 y – 5x = –3 |
г) у = kх + b Рожева пряма проходить через точки: (0;3) і (–3;4). 3 = 0 • k + b b = 3 у = kх + 3 4 = –3k + 3 –3k = 1 k = –1/3 Отже, рівняння: у = –1/3 х + 3 Блакитна пряма проходить через точки: (–2;0) і (–3;4). {0 = –2k + b |•(–1) 4 = –3k + b {0 = 2k – b 4 = –3k + b 4 = –k k = –4 0 = –4 • 2 + b b = 8 Отже, рівняння: у = –4х + 8 Маємо систему рівнянь: {y + 1/3 x = 3 y + 4x = 8 |
Завдання 1183
Запишіть систему лінійних рівнянь із двома змінними, графіки яких зображено на рисунку 74.
|
а) у = kх + b Рожева пряма проходить через точки: (0;3) і (2;3). 3 = 0 • k + b b = 3 у = kх + 3 3 = 2k + 3 2k = 0 k = 0 Отже, рівняння: у = 3 Блакитна пряма проходить через точки: (0;0) і (2;3). 0 = 0 • k + b b = 0 у = kх 3 = 2k k = 3/2 Отже, рівняння: у = 3/2 х Маємо систему рівнянь: {y = 3 y = 3/2 х |
в) у = kх + b Рожева пряма проходить через точки: (0;3) і (–2;–3). 3 = 0 • k + b b = 3 у = kх + 3 –3 = –2k + 3 –2k = –6 k = 3 Отже, рівняння: у = 3х + 3 Блакитна пряма проходить через точки: (0;–2) і (–2;–3). –2 = 0 • k + b b = –2 у = kх – 2 –3 = –2k – 2 –2k = –1 k = 0,5 Отже, рівняння: у = 0,5х – 2 Маємо систему рівнянь: {y – 3x = 3 y – 0,5x = –2 |
Завдання 1184
При якому значенні k пряма y = kx + 2 проходить через точку перетину прямих 3x + 5у = 5 і 7x – 4у = 43?
{3x + 5у = 5 |•7
7x – 4у = 43 |•(–3)
{21x + 25y = 35
–21x + 12у = –129
47y = –94
y = –2
3x + 5 • (–2) = 5
3x – 10 = 5
3x = 15
x = 5
Координати точки перетину (5;–2) підставляємо в рівняння:
y = kx + 2
–2 = 5k + 2
5k = –4
k = –0,8
Завдання 1185
При якому значенні а має розв’язок система рівнянь
{8x – 7у = 21
5x – 3у = 20
ax + 2у = 24
8x – 7у = 21 |•5
5x – 3у = 20 |•(–8)
40x – 35y = 105
–40x + 24y = –160
–11y = –55
y = 5
8x – 35 = 21
8x = 56
x = 7
Координати точки перетину (7;5) підставляємо в рівняння:
ax + 2у = 24
7а + 2 • 5 = 24
7a + 10 = 24
7a = 14
a = 2
Завдання 1186 Рівняння
|
1) (x + у)² + (x – 3)²=0 x – 3 = 0
х = 3 і x + y = 0 3 + y = 0 y = –3 (3;–3) |
3) |x – 3у – 6| + (9x + 6у – 32)²=0 {x – 3у – 6 = 0 |•2 9x + 6y – 32 = 0 {2x – 6y – 12 = 0
9x + 6y – 32 =0 11x – 44 = 0 11x = 44 х = 4 4 – 3y – 6 = 0 –3y = 2 y = –2/3 (4;–2/3) |
|
2) (x + 2у – 3)² + x² – 4xy + 4у²=0 (x + 2у – 3)² + (x – 2у)² = 0 {x + 2y – 3 = 0 x – 2y = 0 2x – 3 = 0 2х = 3 x = 1,5 1,5 – 2y = 0 2y = 1,5 y = 0,75 (1,5;0,75) |
4) x² + у² + 10x – 12у + 61 = 0 (x² + 10x + 25) + (y² – 12y + 36) = 0 (x + 5)² + (y – 6)² = 0 {x + 5 = 0 y – 6 = 0 {x = –5 y = 6 (–5;6) |
|
5) 25x² + 10у² – 30xy + 8у + 16 = 0 (25x² – 30xy + 9y²) + (y² + 8y + 16) = 0 (5x – 3y)² + (y + 4)² = 0 y + 4 = 0 у = –4 5x – 3y = 0 5x – 3 • (–4) = 0 5x + 12 = 0 5х = –12 x = –2,4 (–2,4;–4) |
|
Завдання 1187 Рівняння
|
1) (x – 2у)² + (у – 5)² = 0 y – 5 = 0 у = 5 x – 2y = 0 x – 2 • 5 = 0 x – 10 = 0 x = 10 (10;5) |
2) (4x + 2у – 5)² + |4x – 6у + 7| = 0 {4x + 2y – 5 = 0 |•(–1) 4x – 6y + 7 = 0 {–4x + 6y – 7 = 0 4x + 2y – 5 = 0 8y – 12 = 0 8у = 12 y = 1,5 4x – 9 + 7 = 0 x = 0,5 (0,5;1,5) |
|
3) 50x² + 4у² – 28xy + 16x + 64 = 0 (49x² – 28xy + 4y²) + (x² + 16x + 64) = 0 (7x – 2y)² + (x + 8)² = 0 x + 8 = 0 x = –8 7x – 2y = 0 7 • (–8) – 2y = 0 –56 – 2y = 0 2y = –56 у = –28 (–8;–28) |
|
Завдання 1188
|
1) {2/x + 5/y = 15 3/x + 8/y = 23 Нехай 1/x = u, 1/y = v, тоді: {2u + 5v = 15 |•3 3u + 8v = 23 |•(–2) {6u + 15v = 45 –6u – 16v = –46 –v = –1 v = 1 2u + 5 = 15 2u = 10 u = 5 1/x = 5 1/y = 1 x = 0,2 y = 1 (0,2;1) |
2) {5/(2x – 3y) + 10/(3x – 2y) = 3 20/(3x – 2y) – 15/(2x – 3y) = 1 Нехай 1/(2x – 3y) = u, 1/(3x – 2y) = v, тоді: {5u + 10v = 3 |•3 20v – 15u = 1 {15u + 30v = 9 –15u + 20v = 1 50v = 10 v = 0,2 5u + 2 = 3 5u = 1 u = 0,2 {1/(2x – 3y) = 0,2 1/(3x – 2y) = 0,2 {0,4x – 0,6y = 1 0,6x – 0,4y = 1 {2x – 3y = 5 |•3 3x – 2y = 5 |•(–2) {6x – 9y = 15 –6x + 4y = –10 –5y = 5 y = –1 2x + 3 = 5 2x = 2 x = 1 (1;–1) |
Завдання 1189
|
1) {1/x – 7/y = 6 2/x + 3/y = 46 Нехай 1/x = u, 1/y = v, тоді: {u – 7v = 6 |•(–2) 2u + 3v = 46 {–2u + 14v = –12 2u + 3v = 46 17v = 34 v = 2 u – 14 = 6 u = 20 x = 0,05 y = 0,5 (0,05;0,5) |
2) {9/(x + 4y) – 6/(5x – y) = –2 3/(x + 4y) + 18/(5x – y) = 1 Нехай 1/(x + 4y) = u, 1/(5x – y) = v, тоді: {9u – 6v = –2 |•3 3u + 18v = 1 {27u – 18v = –6 3u + 18v = 1 30u = –5 u = –1/6 3/2 – 6v = –2 v = 1/12 1/(x + 4y) = –1/6 1/(5x – y) = 1/12 x + 4y = –6 | • (–5) 5x – y = 12 –5x – 20y = 30 5x – y = 12 –21y = 42 y = –2 x – 8 = –6 x = 2 (2;–2) |
ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ
Завдання 1190
Після того як вода в чайнику закипіла, його вимкнули. На рисунку 75 зображено графік зміни температури води в чайнику. Користуючись графіком, визначте:
1) якою була температура води через 10 хв після вимкнення чайника; 70℃
2) через скільки хвилин після вимкнення температура води становила 30 °С; 50 хв
3) за скільки хвилин температура води знизилася від 60 °С до 40 °С. 30 – 15 = 15 (хв)
Завдання 1191
Оптова ціна коробки цукерок — 130 грн. Роздрібна ціна в магазині на 30 % вища за оптову. Яку найбільшу кількість таких коробок можна купити в магазині, маючи 2500 грн?
Розв'язання
130 • 1,3 = 169 (грн) – роздрібна ціна;
2500 : 169 = 14,79 ≈ 14 (к.) – можна купити в магазині.
Відповідь: 14 коробок.
Завдання 1192 Значення виразу
1) (а² + 1)² + (а – 1)(а² + 1) – а² = а4 + 2а² + 1 + а3 + а – а² – 1 – а² = а4 + а3 + а
Якщо а = –2, то а4 + а3 + а – (–2)4 + (–2)3 – 2 = 16 – 8 – 2 = 6
2) (а – 1)(a² + 1)(а + 1) – (а² + 1)² = (a – 1)(а + 1)(а² + 1) – (а² + 1)² =
= (а² – 1)(a² + 1) – (a² + 1)² = а4 – 1 – а4 – 2a² – 1 = –2 – 2а²
Якщо а = 1/2, то –2 – 2а² = –2 – 1/2 = –2,5
Задача 1193
На математичній олімпіаді учасникам і учасницям було запропоновано розв’язати 12 задач. За кожну правильно розв’язану задачу нараховували 5 балів, а за нерозв’язану — знімали 3 бали. Скільки задач розв’язала правильно учениця, яка отримала в підсумку 36 балів?
Розв'язання
Нехай учень розв’язав правильно х задач, тоді неправильно він розв’язав (12 – х) задач. Складаємо рівняння:
5х – 3(12 – х) = 36
5х – 36 + 3х = 36
8х = 72
х = 9 (з.) – учениця розв’язала правильно.
Відповідь: 9 задач.
Задача 1194
(Задача з німецького фольклору.) За який час лев, вовк і собака можуть з’їсти трьох овець, якщо лев один може з’їсти вівцю за 1 год, вовк — за 3 год, а собака — за 6 год?
Розв'язання
За 1 год лев з’їдає 1 вівцю, вовк — 1/3 вівці, а собака — 1/6 вівці.
1) 1 + 1/3 + 1/6 = 6/6 + 2/6 + 1/6 = 9/6 = 3/2 (в.) – можуть з’їсти за 1 год разом;
2) 3 : 3/2 = 2 (год) – за стільки часу можуть з’їсти трьох овець.
Відповідь: за 2 год.
Завдання 1195
Доведіть, що різниця квадратів двох довільних натуральних чисел, кожне з яких не ділиться націло на 3, є кратною 3.
Нехай обидва натуральні числа при діленні на 3 дають однакові остачі 1 або 2. Отримаємо:
а) (3n – 1)² – (3m – 1)² = (Зn – 1 – Зm + 1)(3n – 1 + 3m – 1) = (Зn – 3m)(3n + 3m – 2) = 3(n – m)(3n + Зm²) — кратне 3;
б) (3n – 2)² – (Зm – 2)² = (Зn – 2 – Зm + 2)(3n – 2 + 3m – 2) = (Зn – 3m)(3n + 3m – 4) = 3(n – m)(3n + Зm – 4) — кратне 3.
Якщо обидва натуральні числа при діленні на 3 дають різні остачі, то отримаємо:
(Зn – 1)² – (Зm – 2)² = (Зn – 1 – 3m + 2)(3n – 1 + 3m – 2) = (3n – 3m + 1)(3n + 3m – 3) = 3(3n – Зm + 1)(n + m – 1) — кратне 3.
Завдання 1196 Ознаки подільності чисел
У саду дерев більше за 90, але менше від 100. Третина всіх дерев — яблуні, а чверть усіх дерев — сливи. Скільки дерев у саду?
Розв'язання
Кількість дерев у саду кратна 3 і 4, а значить, кратна 12. Серед чисел, більших від 90, але менших ніж 100, є лише одне число, кратне 12, це число 96.
Відповідь: у саду 96 дерев.
Завдання 1197
Який із виразів набуває тільки від’ємних значень при будь–якому значенні x:
3) –х² + 8x – 18 = –(x² – 8х + 16) – 2 = –(х – 4)² – 2
УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ
Завдання 1198
Клітинки таблиці розміром 101 х 101 заповнено числами так, що добуток чисел у кожному стовпці є від’ємним. Чи може виявитися, що кількість рядків, добуток чисел у яких додатний, дорівнює 51?
Якщо добуток чисел у стовпці є від’ємним, то кількість від’ємних чисел у цьому стовпці є непарною. Отже, в усій таблиці (у 101 стовпці) кількість від’ємних чисел є непарною. Якби у 51 рядку добуток чисел був додатним, то в кожному з цих рядків було би парне число від’ємних чисел. Тоді на 50 рядків, що залишилися, припало би непарне число від’ємних чисел, що не можливо, бо в кожному з цих 50 рядків повинно бути непарне число від’ємних чисел, а сума 50–и непарних чисел буде парним числом.