Число ділиться на 2, якщо воно парне.
Парні числа закінчуються цифрою 0, 2, 4, 6, 8.
98 ділиться на 2, бо воно парне.
Число ділиться на 3, якщо сума його цифр також ділиться на 3.
453 ділиться на 3, бо сума його цифр 4 + 5 + 3 = 12, а число 12 ділиться на 3.
8913 ділиться на 3, бо сума його цифр 8 + 9 + 1 + 3 = 21, а число 21 ділиться на 3.
Число ділиться на 4
◊ Двоцифрове число ділиться на 4, коли сума подвоєного числа десятків і числа одиниць ділиться на 4.
84 ділиться на 4, бо 8 • 2 + 4 = 20, а число 20 ділиться на 4.
72 ділиться на 4, бо 7 • 2 + 2 = 16, а число 16 ділиться на 4.
◊ Число ділиться на 4, коли його дві останні цифри є нулями.
55800 ділиться на 4, бо його дві останні цифри є нулями.
◊ Багатоцифрове число, більше за двоцифрове, ділиться на 4, коли дві його останні дві цифри утворюють число, яке ділиться на 4.
4524 ділиться на 4, бо число 24 ділиться на 4.
88604 ділиться на 4, бо число 04 ділиться на 4.
4584 ділиться на 4, бо двозначне число 84 ділиться на 4, адже 8 • 2 + 4 = 20, а число 20 ділиться на 4.
99972 ділиться на 4, бо двозначне число 72 ділиться на 4, адже 7 • 2 + 2 = 16, а число 16 ділиться на 4.
Число ділиться на 5, коли остання цифра 5 або 0.
85 ділиться на 5, бо остання цифра 5.
80 ділиться на 5, бо остання цифра 0.
Число ділиться на 6, коли воно ділиться і на 2, і на 3.
Зрозуміло, що мова йде про парне число, сума цифр якого ділиться на 3.
96 ділиться на 6, бо воно парне і сума його цифр 9 + 6 = 15 ділиться на 3.
84 ділиться на 6, бо воно парне і сума його цифр 8 + 4 = 12 ділиться на 3.
Число ділиться на 7
◊ Число ділиться на 7, якщо сума потроєного числа всього десятків та числа одиниць ділиться на 7.
154 ділиться на 7, бо 15 • 3 + 4 = 49, а число 49 ділиться на 7.
252 ділиться на 7, бо 25 • 3 + 2 = 77, а число 77 ділиться на 7.
◊ Число ділиться на 7, якщо сума подвоєного числа без останніх двох цифр та числа, утвореного останніми двома цифрами, ділиться на 7.
168 ділиться на 7, бо 1 • 2 + 68 = 70, а 70 ділиться на 7.
252 ділиться на 7, бо 2 • 2 + 52 = 56, а 56 ділиться на 7
◊ Число ділиться на 7, якщо сума числа без останньої цифри і останньої цифри, помноженої на 5, ділиться на 7.
168 ділиться на 7, бо 16 + 8 • 5 = 56, а число 56 ділиться на 7.
161 ділиться на 7, оскільки 16 + 1 • 5 = 21, а число 21 ділиться на 7.
◊ Для великих чисел. Число уявно розбивають на блоки-числа по три цифри, починаючи з останньої цифри. Якщо різниця суми блоків-чисел, що стоять на парних місцях, і суми блоків-чисел, що стоять на непарних місцях, ділиться на 7, то число ділиться на 7.
Число 41399106 поділимо на блоки-числа: 41 399 106.
399 – (41 + 106) = 252, для зручності перевіримо подільність числа 252 на число 7, оскільки 25 + 2 • 5 = 35, а число 35 ділиться на 7.
Число ділиться на 8
◊ Число, яке менше або рівне 1000, слід тричі поділити на 2.
Зрозуміло, щоб число ділилось на 8, воно має бути парним.
984 : 2 = 432, 432 : 2 = 246, 246 : 2 = 123, отже, 984 ділиться на 8.
684 : 2 = 342, 342 : 2 = 171 – непарне, не ділиться більше на 2, отже не ділиться на 8.
◊ Число, від 1000 і більше, ділиться на 8, коли три його останні цифри — нулі або утворюють число, яке ділиться на 8.
1000 ділиться на 8, бо три останні цифри дорівнюють нулю.
86800 ділиться на 8, бо 800 ділиться на число 8.
88681 не ділиться на 8, бо його останні три цифри утворюють число 681 – непарне, його не можна тричі поділити на 2.
Число ділиться на 9, коли сума його цифр ділиться на 9.
981 ділиться на 9, бо сума його цифр 9 + 8 + 1 = 18 ділиться на 9.
15894 ділиться на 9, бо сума його цифр 1 + 5 + 8 + 9 + 4 = 27 ділиться на 9.
Число ділиться на 10, якщо воно закінчується цифрою 0.
4550 ділиться на 10, бо закінчується цифрою 0.
Число ділиться на 11
◊ Число ділиться на 11, якщо результат різницевого порівняння суми цифр парних позицій та суми цифр непарних позицій ділиться на 11.
3157 ділиться на 11, бо 3 + 5 = 8, 1 + 7 = 8, 8 – 8 = 0, а 0 ділиться на 11.
60918 ділиться на 11, бо 0 + 1 = 1, 6 + 9 + 8 = 23, 23 – 1 = 22, а результат 22 ділиться на 11.
Частковий випадок, якщо сума цифр на парних позиціях дорівнює сумі цифр на непарних позиціях.
3157 ділиться на 11, бо 7 + 1 = 8 = 5 + 3.
1454783 ділиться на 11, бо 3 + 7 + 5 + 1 = 16 = 8 + 4 + 4.
◊ Для великих чисел. Число уявно розбивають на блоки-числа по дві цифри в кожному, починаючи з кінця, сума таких блоків-чисел повинна ділитись на 11.
12573 розіб’ємо на блоки-числа 1 25 73, їхня сума 1 + 25 + 73 = 99 ділиться на 11, значить число ділиться на 11.
Число ділиться на 12
◊ Число ділиться на 12, якщо воно ділиться і на 3, і на 4, зрозуміло, що треба перевірити умову подільності на 3 і на 4.
4536 ділиться на 12, бо задовольняє ознаку подільності на 3 (сума цифр ділиться на 3, адже 4 + 5 + 3 + 6 = 18, а число 18 ділиться на 3). Число також задовольняє ознаку подільності на 4 (останні дві його цифри утворюють число, яке ділиться на 4, адже 36 ділиться на 4).
◊ Ще одна умова, проте незручна для великих чисел. Якщо різниця подвоєного числа без останньої цифри та останньої цифри ділиться на 12.
564 ділиться на 12, бо 56 • 2 – 4 = 108, а число 108 ділиться на 12.
Число ділиться на 13
◊ Число ділиться на 13, якщо сума числа без останньої цифри і останньої цифри, помноженої на 4, ділиться на 13.
273 ділиться на 13, бо 27 + 3 • 4 = 39, а число 39 ділиться на 13.
559 ділиться на 13, оскільки 55 + 9 • 4 = 91, а число 91 ділиться на 13.
◊ Число ділиться на 13, якщо результат різницевого порівняння числа без останньої цифри і останньої цифри, помноженої на 9, ділиться на 13.
273 ділиться на 13, бо 27 – 3 • 9 = 0, а число 0 ділиться на 13.
559 ділиться на 13, бо 9 • 9 – 55 = 26, а число 26 ділиться на 13.
◊ Правило для великих чисел. Число уявно розбивають на блоки-числа по три цифри в кожному, починаючи з кінця, сумують блоки-числа на парних місцях, сумують блоки-числа на непарних місцях. Результат різницевого порівняння повинен ділитись на 13.
5812573 розіб’ємо на блоки-числа 5 614 573. На парному місці тільки один блок-число 614. Знайдемо суми блоків-чисел на непарних місцях: 5 + 573 = 578. Різниця 614 – 578 = 36, а 36 ділиться на 13, значить число ділиться на 13.
Число ділиться на 14
◊ Перевіряють умову подільності і на 2, і на 7, зрозуміло, що мова йде про парне число, яке ділиться на 7.
252 ділиться на 14, бо воно парне і ділиться на 7.
◊ Число ділиться на 14, якщо сума подвоєного числа без останніх двох цифр і числа, утвореного останніми двома цифрами, ділиться на 14.
252 ділиться на 14, бо сума 2 • 2 + 52 = 56, а число 56 ділиться на 14.
Число ділиться на 15, якщо воно ділиться і на 3, і на 5.
Зрозуміло, що треба перевірити умову подільності на 3 і на 5.
453615 ділиться на 15, бо задовольняє ознаку подільності на 3 (сума цифр ділиться на 3, адже 4 + 5 + 3 + 6 + 1 + 5 = 21, а число 21 ділиться на 3). Число також задовольняє ознаку подільності на 5 (закінчується цифрою 5).
Число ділиться на 16
◊ Якщо у позиції тисяч парне число, тоді число з останніх трьох цифр повинно ділитися на 16.
452672 ділиться на 16, у позиції тисяч парне число 2, а число 672 ділиться на 16.
◊ Якщо в позиції тисяч непарне число, тоді сума числа з останніх трьох цифр і числа 8 повинна ділитися на 16.
453984 ділиться на 16, у позиції тисяч непарне число 3, шукаємо суму 984 + 8 = 992, а число 992 ділиться на 16.
453604 не ділиться на 16, у позиції тисяч непарне число 3, шукаємо суму 604 + 8 = 612, а число 612 не ділиться на 16.
◊ Число ділиться на 16, якщо до добутку числа без останніх двох цифр і числа 4 додати число, утворене останніми двома цифрами, і результат ділиться на 16.
976 ділиться на 16, бо сума 9 • 4 + 76 = 112, а число 112 ділиться на 16.
Число ділиться на 17
◊ Число ділиться на 17, якщо сума подвоєного числа без останніх двох цифр і числа, утвореного останніми двома цифрами, ділиться на 17.
984 ділиться на 17, бо сума 9 • 2 + 84 = 102, а число 102 ділиться на 17.
◊ Число ділиться на 17, якщо результат різницевого порівняння числа без останньої цифри і добутку останньої цифри на число 5 ділиться на 17.
68 ділиться на 17, бо різниця 8 • 5 – 6 = 34, а число 34 ділиться на 17.
425 ділиться на 17, бо 42 – 5 • 5 = 17, а число 17 ділиться на 17.
Число ділиться на 18, якщо воно ділиться і на 2, і на 9. Зрозуміло, що мова йде про парне число, яке задовольняє умові подільності на 9.
853974 ділиться на 18, бо задовольняє ознаку подільності на 2 (парне, оскільки закінчується цифрою 4). Число також задовольняє ознаку подільності на 9 (сума цифр ділиться на 9, адже 8 + 5 + 3 + 9 + 7 + 4 = 36, а число 36 ділиться на 9).
Число ділиться на 20
◊ Число ділиться на 20, коли воно спочатку ділиться на 10, а потім на 2.
Число ділиться на 20, якщо після ділення на 10, результат – парне число.
4560 ділиться на 20, бо 4560 : 10 = 456, а число 456 – парне, воно ділиться на 2.
◊ Число ділиться на 20, якщо число, утворене двома останніми цифрами, ділиться на 20.
4560 ділиться на 20, бо число 60 ділиться на 20.
Число ділиться на 22, коли воно ділиться і на 2, і на 11.
Зрозуміло, що мова йде про парне число, яке ділиться на 11.
12562 ділиться на 22, бо число парне, і ділиться на 11, бо 2 + 6 = 8, 1 + 5 + 2 = 8, 8 – 8 = 0, а число 0 ділиться на 11.
Число ділиться на 25, коли останні його цифри утворюють число, яке ділиться на 25.
4550 ділиться на 25, бо 50 ділиться на 25.
18475 ділиться на 25, бо 75 ділиться на 25.