Завдання 1016 Рівняннями з двома змінними
|
1) 2x + у = 8 2) x + у + z = 0 3) a² – 3b = 8 |
4) a² – 3b = 8c 5) xy + 1 = 2 6) 5m – 3n = 6 |
7) x3 – 8x = 100 8) x3 – 8у = 100 9) x3 – 8xy = 100 |
Завдання 1017
Чи є пара чисел (–2; 3) розв’язком рівняння:
1) 4x + 3у = 1; Так, бо 4 • (–2) + 3 • 3 = 1
2) x² + 5 = у²; Так, бо (–2)² + 5 = 3²
3) xy = 6? Ні, бо –2 • 3 = –6
Завдання 1018
Які з пар чисел є розв’язками рівняння:
1) x² + 5у – 6 = 0;
Пара чисел (0;1) не є розв’язком, бо 0² + 5 • 1 – 6 = 5 – 6 = –1
Пара чисел (5;–4) не є розв'язком, бо 5² + 5 • (–4) – 6 = 25 – 20 – 6 = –1
Пара чисел (0;1,2) є розв'язком, бо 0² + 5 • (1,2) – 6 = 0
Пара чисел (–1;1) є розв'язком, бо –1² + 5 • 1 – 6 = 0
Пара чисел (1;–1) не є розв'язком, бо 1² + 5 • (–1) – 6 = –10
2) xy + x = 0?
Пара чисел (0;1) є розв’язком, бо 0 • 1 + 0 = 0
Пара чисел (5;–4) не є розв'язком, бо 5 • (–4) + 5 =–20 + 5 = –15
Пара чисел (0;1,2) є розв'язком, бо 0 • 1,2 + 0 = 0
Пара чисел (–1;1) не є розв'язком, бо –1 • 1 + (–1) = –2
Пара чисел (1;–1) є розв'язком, бо 1 • (–1) + 1 = 0
Завдання 1019
Чи належить графіку рівняння 2х² – у + 1 = 0 точка:
Точка A(–3;–17) не належить графіку, бо 2 • (–3)² – (–17) + 1 = 36
Точка B(2;9) належить графіку, бо 2 • 2² – 9 + 1 = 0
Точка C(–2;9) належить графіку, бо 2 • (–2)² – 9 + 1 = 0
Точка D(–1;4) не належить графіку, бо 2 • (–1)² – 4 + 1 = –1
Завдання 1020
Доведіть, що графік рівняння ху – 12 = 0 не проходить через точку:
Графік не проходить через точку A(3;–4), бо 3 • (–4) – 12 = –24
Графік не проходить через точку B(–2;6), бо –2 • 6 – 12 = –24
Графік не проходить через точку C(7;2), бо 7 • 2 – 12 = 2
Завдання 1021
Чи проходить через початок координат графік рівняння:
1) 12x + 17у = 0; Проходить через початок координат, бо 12 • 0 + 17 • 0 = 0
2) x² – xy + 2 = 0; Не проходить через початок координат, бо 0² – 0 • 0 + 2 = 2
3) x3 – 4y = у² + 3x? Проходить через початок координат, бо 03 – 4 • 0 = 0² + 0 • x; 0 = 0
Завдання 1022, 1023
Укажіть які–небудь три розв’язки рівняння:
|
1) x – у = 10; (20;10), (30;20), (12;2) 2) x = 4у; (4;1), (8;2), (12;3) 3) 2x² + у = 20. (1;18), (2;12), (3;2) |
1) x + у = 1; (1;0), (0;1); (–2;3) 2) 5x – у = 2. (1;3), (0;–2), (2;8) |
Завдання 1024, 2025
|
Графік рівняння 4x + 3у = 30 проходить через точку A(6;b). Чому дорівнює значення b? 4 • 6 + 3 • b = 30 3b = 30 – 24 3b = 6 b = 2 |
Графік рівняння 7x – 5у = 47 проходить через точку B(a;–1). Чому дорівнює значення a? 7 • a – 5 • (–1) = 47 7a = 47 – 5 7a = 42 a = 6 |
Завдання 1026
Знайдіть координати точок перетину з осями координат графіка рівняння:
|
1) x + y = 2 З віссю Оу (х = 0) 0 + y = 2 y = 2 З віссю Ох (у = 0) x + 0 = 2 x = 2 Точки (0;2) і (2;0) |
3) x² + у² = 9 З віссю Оу (х = 0) 0² + y² = 9; y = 3 або y = –3 З віссю Ох (у = 0) x² + 0² = 9 x = 3 або x = –3 Точки (0;3), (0;–3), (3;0) і (–3;0) |
|
2) x3 – у = 1 З віссю Оу (х = 0) 03 – y = 1 y = –1 З віссю Ох (у = 0) x3 – 0 = 1 x = 1 Точки (0;–1) і (1;0) |
4) |x| – у = 5 З віссю Оу (х = 0) |0| – y = 5 y = –5 З віссю Ох (у = 0) |x| – 0 = 5 x = 5 або x = –5 Точки (0;–5), (5;0) і (–5;0) |
Завдання 1027
Знайдіть координати точок перетину з осями координат графіка рівняння:
|
1) 2x – 3у = 6 З віссю Оу (х = 0) 2 • 0 – 3y = 6 y = –2 З віссю Ох (у = 0) 2x – 3 • 0 = 6 х = 6 : 2 x = 3 Точки (0;–2) і (3;0) |
2) x² + у = 4 З віссю Оу (х = 0) 0² + y = 4 y = 4 З віссю Ох (у = 0) x² + 0 = 4 x = 2 або x = –2 Точки (0; 4), (2; 0) і (–2; 0) |
3) | x | + | у | = 7 З віссю Оу (х = 0) |0| + |y| = 7 y = –7 або y = 7 З віссю Ох (у = 0) |x| + |0| = 7 x = –7 або x = 7 Точки (0; 7), (0; –7), (7; 0) і (–7; 0) |
Завдання 1028
Складіть яке–небудь рівняння з двома змінними розв’язком якого є пара чисел:
|
1) x = 1, у = 2; 2x + 3y = 7 |
2) x = –3, у = 5; x² – y = 4 |
3) x = 10, у = 0. |x| + 4y = 10 |
Завдання 1029
Складіть яке–небудь рівняння з двома змінними, графік якого проходить через точки:
|
1) A(–2;2); 2x + 2y = 0 |
2) B(4;–1); x² + 5y = 11 |
3) C (0;0). |x| + y² = 0 |
Завдання 1030, 1031
Придумайте три рівняння, графіки яких проходять через точку:
|
M(6;–3) |
K(0;4) |
|
1) x + 2y = 0 2) 2x – y² = 3 3) |x| + |y| = 9 |
1) 5x + 2y = 8 2) 2x3 – y = –4 3) x + |y| = 4 |
Завдання 1032
Чи належать графіку рівняння x4 – у = –2 точки, що мають від’ємну ординату?
Якщо точки мають від’ємну ординату, тоді x4 – у > 0 і x4 – у ≠ –2. Отже, графіку не належать точки, які мають від’ємну ординату.
Завдання 1033
Чи проходить графік рівняння x + у² = –4 через точки, що мають додатну абсцису?
Якщо точки мають додатну абсцису, то x + у² > 0 і x + у² ≠ –4. Отже, графік не проходить через точки, які мають додатну абсцису.
Завдання 1034 Розв’язки рівняння
1) y² = x²; Так, наприклад, розв'язок (0;0)
2) y² = –x²; Так, наприклад, розв'язок (0;0)
3) xy = 0; Так, наприклад, розв'язок (0;0)
4) x² + y² = 25; Так, наприклад, розв'язок (3;4)
5) x² + y² = –25; Ні, бо сума невід’ємних чисел не є від’ємною
6) x² – y² = –9; Так, наприклад (4;5)
7) | x | + | у | = 1; Так, наприклад (1; 0)
8) | x | + | у | = 0; Так, наприклад (0; 0)
9) | x | + | у | = –1? Ні, бо сума невід’ємних чисел не є від’ємною
Завдання 1035 Рівняння
|
1) x² + y²=0 x² = 0, y² = 0 x = 0, y = 0 (0; 0) |
2) (x + 2)² + (y – 3)² = 0 (x + 2)² = 0, (y – 3)² = 0 x + 2 = 0, y – 3 = 0 x = –2, y = 3 (–2; 3) |
3) x4 + y6 = –4 Розв'язків немає |
Завдання 1036
Скільки розв’язків має рівняння:
1) x² + (y – 2)² = 0; х = 0 і у – 2 = 0. Один розв’язок: (0;2)
2) (x + 3)² + (у – 1)² = 0; x + 3 = 0 і у – 1 = 0. Один розв’язок: (–3;1)
3) 9x² + 16y² = 0; (3x)² + (4y)² = 0; 3х = 0 і 4у = 0 Один розв’язок: (0;0)
4) (x² + y²)y = 0; уx² = 0 і y3= 0; Безліч розв’язків, де y = 0, а x – будь–яке число
5) xy = 2; у = 2/х, де х ≠ 0; Безліч розв’язків виду (x;2/x)
6) |x + 1| + |y| = 0; х + 1 = 0 і у = 0; Один розв’язок (–1;0)
7) x² +|у| = –100; Немає розв’язків, бо сума невід’ємних чисел не є від’ємною
8) x + y = 2; у = 2 – х, де х – будь–яке число. Безліч розв’язків виду (x;2 – x)
Завдання 1037
Наведіть приклад рівняння зі змінними x і у:
1) має один розв’язок рівняння (x – 1)² + (y + 2)² = 0
2) не має розв’язків рівняння (x – 2)² + (y + 3) = –1
3) має безліч розв’язків рівняння x² + y² = 1
4) будь–яка пара чисел є розв'язком рівняння 0x + 0y = 0
Завдання 1038
Що являє собою графік рівняння:
1) (x – 1)² + (y + 5)² = 0; x – 1 = 0 і y + 5 = 0. Точка з координатами (1;–5)
3) 4x + у = у + 4x; 0x + 0у = 0. Усі точки площини, бо (х;у) – будь–які.
2) |x + 9| + |у – 8| = 0; x + 9 = 0 і у – 8 = 0. Точка з координатами (–9;8)
4)(x – 1)(у + 5) = 0; x – 1 = 0 або у + 5 = 0. Дві прямі х = 1 і у = –5
Завдання 1039
1) (x + 2)² + y² = 0; x + 2 = 0 і y = 0. Графіком є точка з координатами (–2:0)
2) |х| + (у – 3)² = 0; х = 0 і у – 3 = 0. Графіком є точка з координатами (0:3)
3) xy = 0; Графіком є дві осі координат Ох і Оу
4)(x + 1) (у – 1) = 0; x + 1 = 0 або у – 1 = 0. Графіком є дві прямі х = –1 і у = 1
5) xy – 2у = 0; у(х – 2) = 0; у = 0 і х – 2 = 0. Графіком є дві прямі х = 2 і у = 0
Завдання 1040
1) |x – 4| + |у – 4| = 0; x – 4 = 0 і у – 4 = 0; Графіком є точка з координатами (4;4)
2) (x – 4)(у – 4) = 0; x – 4 = 0 або у – 4 = 0; Графіком є дві прямі х = 4 і у = 4
3) xy + x = 0; x(y + 1) = 0; x = 0 або у + 1 = 0 Графіком є дві прямі х = 0 і у = –1
Завдання 1041
Знайдіть усі пари (x;у) натуральних чисел, які є розв’язками рівняння:
|
1) 2x + 3у = 5; (1;1) |
2) x + 5у = 16. (11;1), (6;2), (1;3) |
Завдання 1042
Знайдіть усі пари (x;у) цілих чисел, які є розв’язками рівняння |x| + |у| = 2.
x = 0, то y = –2 або y = 2;
y = 0, то x = 2, або x = –2
x = –1, то y = –1 або y = 1
x = 1, то y = –1 або y = 1;
Відповідь: (0;–2), (0;2), (2;0), (–2;0), (–1;–1), (–1;1), (1;–1), (1;1),
Завдання 1043
Знайдіть усі пари (x;у) цілих чисел, які є розв’язками рівняння x² + у² = 5.
x = –2, то y = –1 або y = 1;
x = –1, то y = –2 або y = 2
x = 0, то y – не існує цілого числа;
x = 1, то y = –2 або y = 2
x = 2, то y = –1 або y = 1
Відповідь: (–2;–1), (–2;1), (–1;–2), (–1;2), (1;–2), (1;2), (2;–1), (2;1)
Завдання 1044
Катерині треба заплатити за математичний довідник 29 грн. У неї є монети тільки по 2 грн і по 5 грн. Скількома способами вона може розрахуватися за покупку без здачі?
Розв'язання
Нехай Катерині треба заплатити за математичну енциклопедію x купюр по 2 грн і y купюр по 5 грн. Складаємо рівняння:
2x + 5y = 29, звідси 5у = 29 – 2х
х – натуральне число, тому 29 – 2х < 29, значить 5у < 29; у < 29 : 5; у < 5,8
Оскільки у – натуральне число, то може приймати значення 1, 2, 3, 4, 5.
Якщо у = 1, то 2х + 5 • 1 = 29, 2х = 24; х = 12 – підходить.
Якщо у = 2, то 2х + 5 • 2 = 29, 2х = 19; х = 9,5 – не підходить, не є натуральним.
Якщо у = 3, то 2х + 5 • 3 = 29, 2х = 14; х = 7 – підходить.
Якщо у = 4, то 2х + 5 • 4 = 29, 2х = 9; х = 4,5 – не підходить, не є натуральним.
Якщо у = 5, то 2х + 5 • 5 = 29, 2х = 4; х = 2 – підходить.
Розв’язками рівняння є три пари чисел: (12;1); (7;3); (2;5).
Відповідь: Катерина може розрахуватись за покупку трьома способами.
Завдання 1045
Учням і ученицям 7 класу на конкурсі з математики було запропоновано задачі з алгебри та з геометрії. За кожну правильно розв’язану задачу з алгебри нараховували 2 бали, а за задачу з геометрії — 3 бали. Максимальна кількість набраних балів могла скласти 24. Скільки було запропоновано задач окремо з алгебри та з геометрії, якщо з кожного із цих предметів була хоча б одна задача? Знайдіть усі можливі відповіді.
Розв'язання
Нехай було запропоновано x задач з алгебри і y задач з геометрії. Складаємо рівняння:
2x + 3y = 24, звідси 3у = 24 – 2х
х – натуральне число, тому 24 – 2х < 24, значить 3у < 24; у < 24 : 3; у < 8
Оскільки у – натуральне число, то може приймати значення 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Якщо у = 1, то 2х + 3 • 1 = 24, 2х = 21; х = 10,5 – не підходить, не є натуральним.
Якщо у = 2, то 2х + 3 • 2 = 24, 2х = 18; х = 9 – підходить.
Якщо у = 3, то 2х + 3 • 3 = 24, 2х = 15; х = 7,5 – не підходить, не є натуральним.
Якщо у = 4, то 2х + 3 • 4 = 24, 2х = 12; х = 6 – підходить.
Якщо у = 5, то 2х + 3 • 5 = 24, 2х = 9; х = 4,5 – не підходить, не є натуральним.
Якщо у = 6, то 2х + 3 • 6 = 24, 2х = 6; х = 3 – підходить.
Якщо у = 7, то 2х + 3 • 7 = 24, 2х = 3; х = 1,5 – не підходить, не є натуральним.
Якщо у = 8, то 2х + 3 • 8 = 24, 2х = 0; х = 0 – не підходить, не є натуральним.
Розв’язками рівняння є пари чисел (9;2); (6;4); (3;6).
Відповідь: могло бути запропоновано: 9 задач з алгебри і 2 задачі з геометрії; 6 задач з алгебри і 4 задачі з геометрії; 3 задачі з алгебри і 6 задач з геометрії.
Завдання 1046 Розв’яжіть рівняння
|
1) x² + у² + 4 = 4у x² + (y² – 4y + 4) = 0 x² + (y – 2)² = 0 x² = 0, (y – 2)² = 0 x = 0, y = 2 (0;–2) |
3) x² + y² + x + y + 0,5 = 0 x² + x + y² + y + 0,5 = 0 (x² + x + 0,25) + (y² + y + 0,25) = 0 (x + 0,5)² + (y + 0,5)² = 0 (x + 0,5)² = 0, (y + 0,5)² = 0 x = –0,5, y = –0,5 (–0,5; –0,5) |
|
2) x² + y² + 2x – 6y + 10 = 0 (x² + 2x + 1) + (y² – 6y + 9) = 0 (x + 1)² + (y – 3)² = 0 (x + 1)² = 0, (y – 3)² = 0 x = –1, y = 3 (–1;3) |
4) 9x² + y² + 2 = 6x 9x² – 6x + y² + 2 = 0 (9x² – 6x + 1) + y² = –1 (3x – 1)² + y² = –1 Розв’язків немає |
Завдання 1047
|
1) x² + 10y + 30 = 10x – y² – 20 x² – 10x + y² + 10y + 50 = 0 (x² – 10x + 25) + (y² + 10y + 25)=0 (x – 5)² + (y + 5)² = 0 (x – 5)² = 0, (y + 5)² = 0 x = 5, y = –5 (5; –5) |
2) 4x² + y² + 4x = 2y – 3 4x² + 4x + y² – 2y + 3 = 0 (4x² + 4x + 1) + (y² – 2y + 1)=–1 (2x + 1)² + (y – 1)² = –1 Розв’язків немає |
Завдання 1048, 1049
Знайдіть координати точок перетину з осями координат.
|
Кардіоїди (x² + у² + у)² = x² + у² З віссю Оу (х = 0) (0² + у² + у)² = 0² + у² (y² + y)² = y² (y² + y – y)(y² + y + y) = 0 y²(y² + 2y) = 0 y3(y + 2) = 0 y = 0 або y = –2 З віссю Ох (у = 0) (x² + 0² + 0)² = x² + 0² x4 – x² = 0 x²(x² – 1) = 0 x²(x – 1)(x + 1) = 0 x = 0 або x = 1 або x = –1 Відповідь: (0;0), (0;–2); (1;0), (–1;0) |
Еліпса x²/25 + y²/16 = 1 З віссю Оу (х = 0) 0²/25 + y²/16 = 1 y² = 16 y = 4 або y = –4 З віссю Ох (у = 0) x²/25 + 0²/16 = 1 x² = 25 x = 5 або x = –5 Відповідь:(0;–4), (0;4); (–5;0), (5;0). |
ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ
Завдання 1050
У посудину, яка містить 150 мл 8%–го розчину кислоти, додали 90 мл води. Чому дорівнює концентрація кислоти в одержаному розчині?
Розв'язання
1) 150 • 0,08 = 12 (мл) – кислоти в розчині;
2) 150 + 90 = 240 (мл) – одержали розчину;
3) 12 : 240 = 0,05 = 5% – концентрація кислоти в одержаному розчині.
Відповідь: 5 %.
Завдання 1051
|
1) (4x + 1)/5 – (2x – 3)/3 = x – 4 |•15 3(4x + 1) – 5(2x – 3) = 15(x – 4) 12x + 3 – 10x + 15 = 15x – 60 12x – 10x – 15x = –60 – 3 – 15 –13x = –78 x = 6 |
2) (3x – 5)/4 – (5x – 2)/3 = x + 9 |•12 3(3x – 5) – 4(5x – 2) = 12(x + 9) 9x – 15 – 20x + 8 = 12x + 108 9x – 20x – 12x = 108 + 15 – 8 –23x = 115 x = –5 |
Завдання 1052
З міста A до міста B одночасно виїхали легковий і вантажний автомобілі. Через 3,5 год після виїзду легковий автомобіль прибув у місто B, а вантажному залишилося ще проїхати 77 км. Знайдіть відстань між містами, якщо швидкість вантажного автомобіля в 1,4 раза менша від швидкості легкового.
Розв'язання
Нехай відстань між містами дорівнює x км, тоді швидкість легкового автомобіля становить – x/3,5 км/год. Вантажний автомобіль проїхав (x – 77) км, а його швидкість ставить (x – 77)/3,5 км/год. Складаємо рівняння:
x/3,5 = (1,4(x – 77))/3,5
x = 1,4(x – 77)
x = 1,4x – 107,8
x = 269,5 (км) – відстань між містами.
Відповідь: 269,5 км.
Завдання 1053
Чи можна стверджувати, що при будь–якому натуральному парному значенні n значення виразу (5n +10)² – (2n + 4)² ділиться націло на 84?
(5n +10)² – (2n + 4)² = (5n + 10 – 2n – 4)(5n + 10 + 2n + 4) =
= (3n + 6)(7n + 14) = 3 • 7 • (n + 2)(n + 2) = 21(n + 2)².
Якщо n = 2k, то 21(2k + 2)² = 84(k + 1)² – ділиться націло на 84.
Завдання 1054
Відомо, що при деяких значеннях m, n і k значення виразу 3m²n дорівнює 2, а значення виразу n²k4 дорівнює 3. Знайдіть при тих самих значеннях m, n і k значення виразу:
1) (3m²n²k²)² = ((3m²n) • (nk²))² = (3m²n)² • (nk²)² = (3m²n)2 • (n²k4) = 2² • 3 = 12;
2) (–2m²nk²)3 • (0,5n²k)² = –8m6n3k6 • 0,25n4k² = –2m6n7k8 = –2m6n3 • n4k8 =
= –2/27 (3m²n)3 • (n²k4)² = –2/27 • 8 • 9 = –16/3
УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ
Завдання 1055
Порівняйте значення виразів (1 • 2 • 3 •... • 999 • 1000)² і 10001000.
(1 • 2 • 3 •... • 999 • 1000)² = ((1 • 1000) • (2 • 999) • … • (499 • 502) • (500 • 501))² =
= (1 • 1000)² • (2 • 999)² • … • (499 • 502)² • (500 • 501)²;
10001000 = 1000 • … • 1000 = 1000² • 1000² • … • 1000².
Кожний із 500 множників добутку (1 • 1000)² • (2 • 999)² • … • (499 • 502)² • (500 • 501)²
більший від кожного із 500 множників добутку 1000² • 1000² • … • 1000².
Отже (1 • 2 • 3 •... • 999 • 1000)² > 10001000