Завдання 1288
Обчисліть значення добутку, використовуючи формулу (a – b)(a + b) = а² – b²:
1) 19 • 21 = (20 – 1) • (20 + 1) = 20² – 1 = 400 – 1 = 399
2) 98 • 102 = (100 – 2) • (100 + 2) = 100² – 2² = 10000 – 4 = 9996
3) 2 2/3 • 3 1/3 = (3 – 1/3) • (3 + 1/3) = 3² – (1/3)² = 9 – 1/9 = 8 9/9 – 1/9 = 8 8/9
4) 7,9 • 8,1 = (8 – 0,1) • (8 + 0,1) = 8² – 0,1² = 64 – 0,01 = 63,99
Завдання 1289 Рівняння
|
1) 4х(7 + 9х) – (6х + 5)(6х – 5) = 39 28х + 36х² – 36х² + 25 = 39 28х + 25 = 39 28х = 14 х = 0,5 |
2) (х – 8)(х + 10) – (х + 7)(х – 7) = 5х – 31 х² + 10х – 8х – 80 – х² + 49 = 5х – 31 2х – 31 = 5х – 31 2х – 5х = 0 3х = 0 х = 0 |
Завдання 1290
Доведіть, що значення виразу тотожно дорівнює нулю.
(а + b – с)(а – b) + (b + с – а)(b – с) + (с + а – b)(с – а) =
= а² – аb + аb – b² – ас + bс + b² – bс – bc – c² – ab + ас + c² – ас + ас – а² – bс + аb = 0
Завдання 1291
Знайдіть значення виразу:
1) 43² – 23² = (43 – 23)(43 + 23) = 20 • 66 = 1320
2) 256² – 244² = (256 – 244)(256 + 244) = 12 • 500 = 6000
3) 7,2² – 2,8² = (7,2 – 2,8)(7,2 + 2,8) = 4,4 • 10 = 44
Завдання 1292
1) (39² – 33²)/(24² – 12²) = ((39 – 33)(39 + 33))/((24 – 12)(24 + 12)) =
= (6 • 72)/(12 • 36) = (1 • 6)/(1 • 6) = 1
2) (5,3² – 1,7²)/(2,65² – 0,85²) = ((5,3 – 1,7)(5,3 + 1,7))/((2,65 – 0,85)(2,65 + 0,85)) =
= (3,6 • 7)/(1,8 • 3,5) = (2 • 1)/(1 • 0,5) = 4
Завдання 1293 Рівняння
|
1) З6х² – (3х – 27)² = 0 (6х – 3х + 27)(6х + 3х – 27) = 0 (3х + 27)(9х – 27) = 0 3х + 27 = 0 або 9х – 27 = 0 3х = –27 9х = 27 х = –9 х = 3 |
2) (4х – 7)² – (2х + 17)² = 0 (4х –7 – 2х –17)(4х – 7 + 2х + 17) = 0 (2х – 24)(6х + 10) = 0 2х – 24 = 0 або 6х + 10 = 0 2х = 24 6х = –10 х = 12 х = –5/3 |
Завдання 1294
Доведіть, що при будь–якому натуральному значенні n значення виразу:
1) (4n + 19)² – (3n – 5)² ділиться націло на 7;
(4n + 19)² – (3n – 5)² = (4n + 19 – Зn + 5)(4n + 19 + Зn – 5) = (n + 24)(7n + 14) =
= 7(n + 24)(n + 2), отже, вираз ділиться націло на 7, бо містить множник 7.
2) (2n + 5)² – (2n – З)² ділиться націло на 16.
(2n + 5)² – (2n – З)² = (2n + 5 – 2n + 3)(2n + 5 + 2n – 3) = 8(4n + 2) = 16(2n + 1),
отже, вираз ділиться націло на 16, бо містить множник 16.
Завдання 1295
Доведіть, що при будь–якому натуральному значенні n значення виразу кратне 6.
(n² – 3n + 1)² – n4 – 8n2 + 3n + 5 = (n² – 3n + 1)(n² – 3n + 1) – n4 – 8n2 + 3n + 5 =
= n4 – 3n3 + n² – 3n3 + 9n² – 3n + n² – 3n + 1 – n4 – 8n2 + 3n + 5 = –6n3 + 3n² – 3n + 6 =
= (6 – 6n3) + (3n² – 3n) = 6(1 – n3) + 3n(n – 1)
Вираз 6(1 – n3) кратний 6 і вираз 3n(n – 1) кратний 6, бо вираз n(n – 1) кратний 2,
отже, вираз 6(1 – n3) + 3n(n – 1) — кратний 6.
Завдання 1296
Доведіть, що при будь–якому натуральному значенні n значення виразу кратне 4.
16n4 – (4n² – 2n – 1)² + 8n + 1 = 16n4 – (4n² – 2n – 1)(4n² – 2n – 1) + 8n + 1 =
= 16n4 – (16n4 – 8n3 – 4n² – 8n3 + 4n² + 2n – 4n² + 2n + 1) + 8n + 1 =
= 16n4 – 16n4 + 8n3 + 4n² + 8n3 – 4n² – 2n + 4n² – 2n – 1 + 8n + 1 =
= 16n3 + 4n² + 4n = 4(4n3 + n² + n) — кратне 4.
Завдання 1297
При якому значенні а рівняння (а – 3)(а + 5) х = а² – 9:
(а – 3)(а + 5)х = (а – 3)(а + 3)
1) якщо а = 3, то рівняння набуває вигляду 0x = 0 і має безліч коренів;
2) якщо а = –5, то рівняння набуває вигляду 0х = 16 і не має коренів;
3) якщо а ≠ –5 і а ≠ 3, то рівняння (а – З)(a + 5)х = (а – 3)(а + 3) — має один корінь.
Завдання 1298
Використовуючи формулу квадрата суми або формулу квадрата різниці, обчисліть:
1) 69² = (70 – 1)² = 70² – 2 • 70 • 1 + 1² = 4900 – 140 + 1 = 4761
2) 91² = (90 + 1)² = 90² + 2 • 90 • 1 + 1² = 8100 + 180 + 1 = 8281
3) 52² = (50 + 2)² = 50² + 2 • 50 • 2 + 2² = 2500 + 200 + 4 = 2704
4) 97² = (100 – 3)² = 100² – 2 • 100 • 3 + 3² = 10000–600 + 9 = 9409
5) 299² = (300 – 1)² = 300² – 2 • 300 • 1 + 1² = 90000 – 600 + 1 = 89401
6) 10,2² = (10 + 0,2)² = 10² + 2 • 10 • 0,2 + 0,2² =100 + 4 + 0,04 = 104,04
Завдання 1299
На скільки значення виразу (3а² – 2) – (3а² – 1)(3а + 1) + 12а² більше за число 2?
(3а² – 2)² – (3а² – 1)(3а + 1) + 12а² – 2 = 9а4 – 12а² + 4 – (9а4 – 1) + 12а² – 2 =
= 9а4 – 12а² + 4 – 9а4 + 1 + 12а² – 2 = 3. Значення виразу більше за число 2 на 3.
Завдання 1300
Доведіть, що не існує натурального значення n, при якому значення виразу (8n + 5) (2n + 1) – (4n + 1)² ділилося б націло на 5.
(8n + 5)(2n + 1) – (4n + 1)² = 16n² + 8n + 10n + 5 – (16n² + 8n + 1) =
= 16n² + 8n + 10n + 5 – 16n² – 8n – 1 = 10n + 4
Перший доданок 10n суми 10n + 4 ділиться націло на 5, а другий доданок 4 не ділиться націло на 5, тому сума 10n + 4 не ділиться націло на 5 ні при яких натуральних значеннях змінної.
Завдання 1301
Чи існує таке натуральне значення n, при якому значення виразу (2n – 3)(2n + 3) – (n + З)² не ділилося б націло на З?
(2n – 3)(2n + 3) – (n + З)² = 4n² – 9 – (n² + 6n + 9) = 4n² – 9 – n² – 6n – 9 =
= Зn² – 6n – 18 = 3(n² – 2n – 6) — ділиться націло на 3 при всіх натуральних значеннях n.
Завдання 1302 Рівняння
1) 3(х – 7)² – 2(х + 7)(х – 2) = (х + 11)(х – 4) + 101
3(х² – 14х + 49) – 2(х² – 2х + 7х – 14) = (х² – 4х + 11х – 44) + 101
3(х² – 14х + 49) – 2(х² + 5х – 14) = (х² + 7х – 44) + 101
3x² – 42x + 147 – 2x² – 10х + 28 = х² + 7х – 44 + 101
x² – 52x + 175 = х² + 7х + 57
x² – x² – 52x – 7х = 57 – 175
–59х = –118
х = 2
2) 2х (х + З)² – 3х(х – 1)(х + 8) = х²(–х – 9) + 21
2х(х² + 6х + 9) – 3х(х² + 8х – х – 8) = –x3 – 9x² + 21
2х(х² + 6х + 9) – 3х(х² + 7х – 8) = –x3 – 9x² + 21
2х3 + 12х² + 18х – 3х3 – 21х² + 24х + х3 + 9x² = 21
2х3 + 12х² + 18х – 3х3 – 21х² + 3х² + 24х + х3 + 9x² = 21
42х = 21
х = 0,5
3) у(2у – 5)(2у + 5) – 4у(у + 6)² = 13 – 48у²
у(4у² – 25) – 4у(y² + 12у + 36) = 13 – 48y²
4y3 – 25у – 4y3 – 48y² – 144у + 48y² = 13
–169у = 13
у = –13/169
у = –1/13
Завдання 1303
Подайте у вигляді квадрата двочлена вираз:
1) (а + 4)² – 2(а + 4) + 1 = ((а + 4) – 1)² = (а + 4 – 1)² = (а + З)²
2) (3b + 2)² + 4(3b + 2) + 4 = ((3b + 2) + 2)² = (3b + 2 + 2)² = (3b + 4)²
3) (3у + 8)² + (4у + 6)² + 4у = (9y² + 48у + 64) + (16y² + 48у + 36) + 4у =
= 25y² + 100у + 100 = (5y)² + 2 • 5 • 10 • у + (100)² = (5у + 10)²
4) (х – 5у)² + (х + 12y)² – х(х – 12у) =
= (х² – 10ху + 25y²) + (х² + 24ху + 144y²) – х² + 12xу = х² + 26ху + 169y² =
= х² + 2 • 1 • 13 • ху + (13y)² = = (х + 13у)²
Завдання 1304
Суму якого одночлена та тричлена 4а² – 6ab + 9b² можна розкласти на множники за формулою квадрата двочлена? Знайдіть ще три таких одночлени.
4а² – 6ab + 9b² + (–6ab) = 4а² – 12ab + 9b² =
= (2а)² – 2 • 2 • 3 • ab + (3b)² = (2а – 3b)²
1) 4а² – 6ab + 9b² + 18ab = 4а² + 12ab + 9b² =
= (2а)² + 2 • 2 • 3 • ab + (3b)² = (2а + 3b)²
2) 4а² – 6ab + 9b² + (–3a²) = а² – 6ab + 9b² =
= а² + 2 • 1 • 3 • ab + (3b)² = (а + 3b)²
3) 4а² – 6ab + 9b² + (–6,75b²) = 4а² – 6ab + 2,25b² =
= (2а)² + 2 • 2 • 1,5 • ab + (1,5b)² = (2а + 1,5b)²
Завдання 1305
Доведіть, що не має коренів рівняння:
|
1) х² – 8х + 18 = 0 (х² – 8х + 16) + 2 = 0 (х – 4)² + 2 = 0 (х – 4)² = –2 Рівняння не має коренів |
2) х² + х + 1 = 0 x² + x + 1 = 0 x² + x + 1/4 – 1/4 + 1 = 0 (x + 1/2)² + 3/4 = 0 (x + 1/2)² = –3/4 Рівняння не має коренів |
Завдання 1306 Розклад на множники
1) 1/64a8 – b6 = (1/8 a4)2 – (b3)2 = (1/8 a4 – b3)(1/8 a4 + b3)
2) а3b6с9 + 8 = (аb2с3)3 + 23 = (аb2с3 + 2)(а2b4с6 – 2аb2с3 + 4)
3) х21y4 – m12n15 = (x7y8)3 – (m4n5)3 = (х7y8 – m4n5)(x14y16 + x7y8m4n5 + m8n10)
4) а6b6 + 1 = (а²b²)3 + 13 = (а²b² + 1)(a4b4 – a²b² + 1)
Завдання 1307
На скільки значення виразу менше від числа 10?
10 – (27а3 + 4 – (9а² – За + 1)(3а + 1)) = 10 – 27а3 – 4 + (За + 1)(9a² – За + 1) =
= 10 – 27а3 – 4 + 27а3 + 1 = 7. Значення виразу менше від числа 10 на 7.
Завдання 1308 Рівняння
|
1) (х – 2)(x² + 2х + 4)=х3 + 24х х3 – 23 = х3 + 24х х3 – 8 = х3 + 24х х3 – х3 – 24х = 8 –24х = 8 х = –1/3 |
2) (3 – 2х)(9 + 6х + 4х²) – 2х(5 – 2х)(5 + 2х)=7 З3 – (2х)3 – 2х(25 – 4x²) = 7 27 – 8х3 – 50х + 8х3 = 7 –50х = –20 х = 0,4 |
Завдання 1309
Чи ділиться значення виразу 373 + 233 націло на 60?
З73 + 233 = (37 + 23)(37² – 37 • 23 + 23²) = 60 • (37² – 37 • 23 + З²) — ділиться націло на 60.
Завдання 1310
Чи ділиться значення виразу 6543 – 5543 націло на 200?
6543 – 5543 = (654 – 554)(654² + 654 • 554 + 554²) = 100 • (654² – 654 • 554 + 554²) — ділиться націло на 200, бо має множником число 100 і значення виразу в дужках – парне число.
Завдання 1311 Розклад на множники
1) (а – b)(a + b) – с(с – 2b) = a² – b² – с² + 2bс = а² – (b² – 2bс + с²) = а² – (b – с)² =
= (а – b + с)(а + b – c)
2) (b – с)(b + с) – а(а + 2с) = b² – с² – а² – 2ас = b² – (а² + 2ас + с²) = b² – (а + с)² =
= (b – а – с)(b + а + с)
Завдання 1312
З поданих чотирьох виразів лише три можна розкласти на множники. Знайдіть ці вирази та розкладіть їх на множники:
1) 9mх – 6nх + 6mу – 4nу = 3х(3m – 2n) + 2y(3m – 2n) = (3m – 2n) (3х + 2у)
2) З6х² – 24х + 4 – у² = (6х – 2)² – у² = (6х – 2 – у)(6х – 2 + у)
3) 4а + 3 + а² + 2b – b² = (а² + 4а + 4) – (b² – 2b + 1) = (а + 2)² – (b – 1)² =
= (а + 2 – b + 1)(а + 2 + b – 1) = (а – b + 3)(а + b + 1)
Завдання 1313
Подайте у вигляді добутку чотирьох множників вираз, де n — натуральне число.
1) а5 – а4 – 16а + 16 = а4(а – 1) – 16(а – 1) = (а – 1)(а4 – 16) = (а – 1)((а²)² – 4²) =
= (а – 1)(a² – 4)(а² + 4) = (а – 1)(a² – 2²)(а² + 4) = (a – 1)(а – 2)(а + 2)(а² + 4)
2) а2nb2n – b2n – а2n + 1 = b2n(а2n – 1) – (а2n – 1) = (а2n – 1)(b2n – 1) =
= ((аn)2 – 12)((bn)2 – 12) = (аn – 1)(аn + 1)(bn – 1)(bn + 1)
Завдання 1314
1) 1,87² – 1,13² + 6 • 1,13 = (1,87 – 1,13)(1,87 + 1,13) + 6 • 1,13 = 0,74 • 3 + 6 • 1,13 =
= 3 • (0,74 + 2 • 1,13) = 3 • (0,74 + 2,26) = 3 • 3 = 9
2) 1,6283 – 1,2 • 1,628 • 1,228 – 1,2283 = (1,6283 – 1,2283) – 1,2 • 1,628 • 1,228 =
= (1,628 – 1,228)(1,628² + 1,628 • 1,228 + 1,228²) – 1,2 • 1,628 • 1,228 =
= 0,4 • (1,628² + 1,628 • 1,228 + 1,228²) – 1,2 • 1,628 • 1,228 =
= 0,4 • (1,628² + 1,628 • 1,228 + 1,228² – 3 • 1,628 • 1,228) =
=0,4 • (1,628² – 2 • 1,628 • 1,228 + 1,228²) = 0,4 • (1,628 – 1,228)² = 0,4 • 0,4² =
= 0,4 • 0,16 = 0,064
3) 0,793 + 3 • 0,79 • 0,21 + 0,213 = (0,793 + 0,213) + 3 • 0,79 • 0,21 =
= (0,79 + 0,21)(0,79² – 0,79 • 0,21 + 0,21²) + 3 • 0,79 • 0,21 =
= 1 • (0,79² – 0,79 • 0,21 + 0,21²) + 3 • 0,79 • 0,21 = 0,79² + 2 • 0,79 • 0,21 + 0,21² =
= (0,79 + 0,21)² = 1
Завдання 1315
Доведіть, що значення виразу ділиться націло:
1) на 18;
1710 – 3 • 724 + 3 • 725 + 179 = (1710 + 179) + (3 – 725 – 3 • 724) =
= 179(17 + 1) + 3 • 724(7 – 1) = 18 • 179 + 18 • 724 = 18 • (179 + 724) — ділиться націло на 18
2) на 36.
1710 – 3 • 724 + 3 • 725 + 179 = (1710 + 179) + (3 • 725 – 3 • 724) =
= 179(17 + 1) + 3 • 724(7 – 1) = 18 • 179 + 18 • 724 = 18 • (179 + 724) — ділиться націло на 36, бо має множник 18 і значення виразу в дужках, як сума двох непарних чисел, є парним числом.
Завдання 1316
Доведіть, що різниця куба натурального числа та самого цього числа ділиться націло на 6.
Нехай натуральне число дорівнює n.
n3 – n = n(n² – 1) = n(n – 1)(n + 1) = (n – 1)n(n + 1) – із трьох послідовних натуральних чисел n – 1, n і n + 1 одне завжди ділиться на 3 і одне парне, тому значення цього виразу ділиться націло на 6.
Завдання 1317
Доведіть, що сума добутку трьох послідовних натуральних чисел і середнього із цих чисел дорівнює кубу середнього числа.
Нехай три послідовні числа дорівнюють (n – 1), n, (n + 1), з них, середнє число n, а їхня сума:
(n – 1)n(n + 1) + n = n(n – 1)(n + 1) + n = n(n² – 1) + n = n3 – n + n = n3
Завдання 1318
Нехай x + y = a, xy = b. Доведіть, що:
1) x² + y² = a² – 2b;
х² + у² = х² + 2ху + у² – 2ху = (х + у)² – 2ху
Якщо х + у = а, ху = b, то (х + у)² – 2ху = а² – 2b
2) x3 + y3 = a3 – 3ab;
х3 + у3 = (х + y)(x² – ху + у²) = (х + у)(х² + 2ху + у² – 3ху) = (х + у)((х + у)² – 3ху)
Якщо х + у = а, ху = b, то (х + у)((х + у)² – 3ху) = а(а² – 3b) = а3 – 3аb
3) x4 + y4 = a4 – 4a²b + 2b².
х4 + y4 = ((х²)² + 2х²y² + (у²)²) – 2x²y² = (х² + y²)² – 2х²y² =
= (х² + 2ху + у² – 2ху)² – 2x²y² = ((х + у)² – 2ху)² – 2(ху)²
Якщо х + у = а, ху = b, то ((х + у)² – 2ху)² – 2(ху)² = (а² – 2b)² – 2b² =
= а4 – 4a²b + 4b² – 2b² = а4 – 4а²b + 2b²
Завдання 1319
Доведіть, що при будь–якому натуральному значенні n значення виразу дорівнює квадрату деякого натурального числа.
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = (n(n + 3))((n + 1)(n + 2)) + 1 =
= (n² + 3n)(n² + 2n + n + 2) + 1 = (n² + 3n)(n² + 3n + 2) + 1 =
= (n² + 3n)² + 2(n² + 3n) + 1 = (n² + 3n + 1)²