Завдання 158
Прочитайте вираз, назвіть основу та показник степеня:
1) 96 — «дев’ять у шостому степені», основа степеня — 9, показник степеня — 6
2) 2,47 — «дві цілих чотири десятих у сьомому степені», основа степеня — 2,4, показник степеня — 7
3) 0,35 — «нуль цілих три десятих у п’ятому степені», основа степеня — 0,3, показник степеня — 5
4) (–8)2 — «мінус вісім у квадраті», основа степеня — –8, показник степеня — 2
5) (–0,6)3 — «мінус нуль цілих шість десятих у кубі», основа степеня — –0,6, показник степеня — 3
6) (–а)11 — «мінус а в одинадцятому степені», основа степеня — –а, показник степеня — 11
7) 731 — «сімдесят три у першому степені», основа степеня — 73, показник степеня — 1
8) (Зр)12 — «три пе у дванадцятому степені», основа степеня — Зр, показник степеня — 12
Завдання 159
Спростіть вираз, замінивши добуток однакових множників степенем:
|
1) 5 • 5 • 5 • 5 = 54 2) (–7) • (–7) • (–7) = (–7)3 3) a • a • a • a • a = a5 4) 2m • 2m • 2m • 2m • 2m = (2m)5 |
5) x2 • x2 • x2 • x2 = (x2)4 6) y • y • … • y = y10 7) 0,4 • 0,4 • … 0,4 = 0,4k 8) c • c • … • c (m разів)= cm |
Завдання 160
|
1) c • c • c • c • c • c • c • c = c8 2) 5b • 5b • 5b = (5b)3 |
3) (–x) • (–x) • … • (–x) (19 разів) = (–x)19 4) (a + b) • (a + b) • … • (a + b) (d разів) = (a + b)d |
Завдання 161
Користуючись означенням степеня, подайте у вигляді добутку степінь:
1) 116 = 11 • 11 • 11 • 11 • 11 • 11
2) 0,14 = 0,1 • 0,1 • 0,1 • 0,1
3) (–1/6)2 = (–1/6) • (–1/6)
4) (5c)3 = 5c • 5c • 5c
5) (–3,6)7 = (–3,6) • (–3,6) • (–3,6) • (–3,6) • (–3,6) • (–3,6) • (–3,6)
6) (а + b)5 = (а + b) • (а + b) • (а + b) • (а + b) • (а + b)
Завдання 162
Користуючись означенням степеня, подайте у вигляді добутку степінь:
|
1) 37 = 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 2) (2 1/7)4 = 2 1/7 • 2 1/7 • 2 1/7 • 2 1/7 |
3) (c + d)3 = (c + d) • (c + d) • (c + d) 4) (a – b)2 = (a – b) • (a – b) |
Завдання 163
|
1) 0,62 = 0,36 2) 06 = 0 |
3) (–9)2 = 81 4) 112 = 1 |
5) (–1)12 = 1 6) (2/3)2 = 4/9 |
Завдання 164
1) 83 = 8 • 8 • 8 = 512
2) 1,53 = 1,5 • 1,5 • 1,5 = 3,375
3) (–1,9)2 = –1,9 • (–1,9) = 3,61
4) (1/9)3 = 1/9 • 1/9 • 1/9 = 1/729
5) (–0,6)3 = –0,6 • (–0,6) • (–0,6) = –0,216
6) (3/4)4 = 3/4 • 3/4 • 3/4 • 3/4 = 81/256
7) (–0,01)3 = –0,01 • (–0,01) • (–0,01) = –0,000001
8) (–1 1/3)5 = (–4/3)5 = (–4/3) • (–4/3) • (–4/3) • (–4/3) • (–4/3) = –1024/243 = –4 52/243
Завдання 165
1) 72 = 7 • 7 = 49
2) 0,53 = 0,5 • 0,5 • 0,5 = 0,125
3) 1,22 = 1,2 • 1,2 = 1,44
4) (–1)7 = (–1) • (–1) • (–1) • (–1) • (–1) • (–1) • (–1) = –1
5) (–0,8)3 = (–0,8) • (–0,8) • (–0,8) = –0,512
6) (1/6)4 = (1/6) • (1/6) • (1/6) • (1/6) = 1/1296
Завдання 166
|
a |
2 |
–2 |
10 |
–10 |
0,1 |
–0,1 |
1/2 |
–1/2 |
|
a2 |
4 |
4 |
100 |
100 |
0,01 |
0,01 |
0,25 |
0,25 |
|
a3 |
8 |
–8 |
1000 |
–1000 |
0,001 |
–0,001 |
0,125 |
–0,125 |
|
a4 |
16 |
16 |
10000 |
10000 |
0,0001 |
–0,0001 |
0,0625 |
0,0625 |
Завдання 167
|
a |
–6 |
6 |
–0,4 |
0,4 |
3 |
0,03 |
1/2 |
–1 |
0 |
|
10a2 |
360 |
360 |
1,6 |
1,6 |
90 |
0,009 |
2,5 |
10 |
0 |
|
(10a)2 |
3600 |
3600 |
16 |
16 |
900 |
0,09 |
25 |
100 |
0 |
Завдання 168
Площа Кримського півострова — найбільшого півострова України — дорівнює 2,55 • 104 км2. Виразіть цю площу натуральним числом у квадратних кілометрах.
Розв'язання
2,55 • 104 км2 = 2,55 • 10000 км2 = 25500 км2 — площа Кримського півострова.
Відповідь: 25500 км2 .
Завдання 169
Відстань від Землі до Сонця дорівнює 1,495 • 1011 м.Виразіть цю відстань натуральним числом у метрах.
Розв'язання
1,495 • 1011 м = 1,495 • 100 000 000 000 м = 149 500 000 000 м — відстань від Землі до Сонця.
Відповідь: 149 500 000 000 м.
Завдання 170
Площа материків і островів Землі становить 1,49 • 108 км2, а площа океанів — 3,61 • 108 км2. Виразіть ці площі натуральними числами у квадратних кілометрах.
Розв'язання
1) 1,49 • 108 км2 = 1,49 • 100 000 000 км2 = 149 000 000 км2 — площа материків і островів Землі;
2) 3,61 • 108 км2 = 3,61 • 100 000 000 км2 = 361 000 000 км2 — площа океанів.
Відповідь: 149 000 000 км2, 361 000 000 км2.
Завдання 171
1) 82 – 110 = 64 – 1 = 63
2) 0,3 • 24 = 0,3 • 16 = 4,8
3) (4,2 – 4,1)4 • 252 = 0,14 • 625 = 0,0001 • 625 = 0,0625
Завдання 172
1) 43 + З5 = 64 + 243 = 307
2) 0,63 – 0,43 = 0,216 – 0,064 = 0,152
3) 0,12 • 54 = 0,12 • 625 = 75
Завдання 173 Вирази
1) якщо х = 0,1, то x2 – х3 = 0,12 – 0,13 = 0,01 – 0,001 = 0,009
2) якщо а = 0,4, то 15a2 = 15 • 0,42 = 15 • 0,16 = 2,4
3) якщо x = 0,8, y = 0,6, тоді = (0,8 – 0,6)5 = 0,25 = 0,00032
4) якщо а = 0,6, b = 0,5, тоді а2b3 = 0,62 • 0,53 = 0,36 • 0,125 = 0,045
5) якщо х = 5 , y = 3, тоді (х2 – у2) : (х – у) = (52 – З2) : (5 – 3) = (25 – 9) : 2 = 16 : 2 = 8
6) якщо х = 5, y = 3, то (х2 – у2) : х – у = (52 – З2) : 5 – 3 = (25 – 9) : 5 – 3 = 16 : 5 – З =
= 3,2 – 3 = 0,2
7) якщо x = 5, y = 3, то x2 – y2 : (х – у) = 52 – З2 : (5 – 3) = 25 – 9 : 2 = 25 – 4,5 = 20,5
8) якщо x = 5, у = 3 ,то х2 – у2 : х – у = 52 – 32 : 5 – 3 = 25 – 9 : 5 – 3 = 25 – 1,8 – 3 = 20,2
Завдання 174
1) Якщо с = 2, то 16 – с3 = 16 – 23 = 16 – 8 = 8
2) якщо х = 0,125, то (16x)6 = (16 • 0,125)6 = 26 = 64
3) якщо а = 10, b = 0,1, то а3b2 = 103 • 0,12 = 1000 • 0,01 = 10
4) якщо а = 3, то 4а4 – а = 4 • З4 – 3 = 4 • 81 – 3 = 324 – 3 = 321
Завдання 175
1) (–5,8)2 > 0; Додатне число більше від 0
2) 0 > (–3,7)3; Від'ємне число менше від 0
3) (–12)7 < (–6)4; Від'ємне число менше від додатного
4) –88 < (–8)8; Від'ємне число менше від додатного
5) (–17)6 = 176; Однакові додатні числа рівні
6) (–34)5 > (–39)5. Основа першого виразу більша
Завдання 176
1) 0 < (–1,9)10; Нуль менше від додатного числа
2) 0 > (–76)15; Нуль більше від від'ємного числа
3) (–0,1)12 > (–12)25; Додатнє число більше від від'ємного
4) (–4 7/9)9 > (–5 8/11)9. Основа першого виразу більша
Завдання 177
1) З2 + 42= 72; Неправильно, бо 9 + 16 = 15, 72 = 49, 15 ≠ 49
2) 52 + 122 = 132; Правильно, бо 25 + 144 = 169
3) 12 + З2 + 52 + 72 + 92 = 132; Неправильно, бо 1 + 9 + 25 + 49 + 81 = 165; 132 = 169; 165 ≠ 169
4) (1 + 2 + З)2 = 13 + 23 + З3. Правильно, бо 62 = 36; 1 + 8 + 27 = 36, 36 = 36
Завдання 178
Доведіть, що 12 + 22 + 42 + 62 + 82 = 112.
12 + 22 + 42 + 62 + 82 = 1 + 4 + 16 + 36 + 64 = 121; 112 = 121; 121 = 121
Завдання 179
Порівняйте з нулем значення виразів: 2100; (−2)100; –2100; –(–2)100. Чи є серед цих виразів такі, що набувають рівних значень?
|
2100 > 0; Додатне число більше від 0 (–2)100 > 0; Додатне число більше від 0 |
–2100 < 0; Від'ємне число менше від 0 –(–2)100 < 0. Від'ємне число менше від 0 |
|
Рівних значень набувають вирази: 2100 і (–2)100; –2100 і –(–2)100. |
|
Завдання 180
Порівняйте з нулем значення виразів: 5101; −5101; (–5)101; –(–5)101. Чи є серед цих виразів такі, що набувають рівних значень?
|
5101 > 0; Додатне число більше від 0 –5101 < 0; Від'ємне число менше від 0 |
(–5)101 < 0; Від'ємне число менше від 0 –(–5 )101 > 0 Додатне число більше від 0 |
|
Рівних значень набувають вирази: 5101 і –(–5)101; –5101 і (–5)101. |
|
Завдання 181
Розташуйте в порядку спадання значення виразів:
|
1) 0,33; 0,32; 0,3 |
2) (–0,4)3; –0,4; (–0,4)2 |
Завдання 182 (Домашня практична робота)
(–1/9)1 = –1/9 Х, (–1/9)2 = 1/81 А, (–1/9)3 = –1/729 А, (1/9)1 = 1/9 Н, (1/9)3 = 1/729 Л, (–1/9)4 = 1/6561 Р
У порядку зростання значень: –1/9 х, (–1/9)3 А, (–1/9)4 Р, (1/9)3 Л, (–1/9)2 А, (1/9)1 Н,
ХАРЛАН — прізвище видатної української спортсменки, олімпійської чемпіонки.
Знайдіть в інтернеті відомості про те, у якому виді спорту вона виступає та які спортивні досягнення має.
Завдання 183
Порівняйте з нулем значення виразу:
|
1) (–4)7 • (–12)9 > 0, бо (–47) < 0, (–129) < 0 2) (–5)6 • (–17)11 < 0, бо (–56) > 0, (–17)11 < 0 |
3) (–14)4 • (–25)14 > 0, бо (–14)4 > 0, (–25)14 > 0 4) (–7)9 • 06 = 0, бо 06 = 0 |
Завдання 184
Порівняйте з нулем значення виразу:
1) (–2)14 • (–3)15 • (–4)16 < 0, бо 214 > 0, (–3)15 < 0, 416 > 0
2) (–5)17 • (–6)18 • (–7)19 > 0, бо (–5)17 < 0, 618 > 0, (–7)19 < 0
Завдання 185
1) числа 16; 64; 256 у вигляді степеня з основою 4;
16 = 4 • 4 = 42; 64 = 4 • 4 • 4 = 43; 256 = 4 • 4 • 4 • 4 = 44
2) числа 0,09; 0,027; 0,00243 у вигляді степеня з основою 0,3.
0,09 = 03 • 0,3 = 0,32; 0,027 = 03 • 0,3 • 03 • = 0,33; 0,00243 = 0,3 • 0,3 • 03 • 0,3 • 03 = 035
Завдання 186
Числа у вигляді степеня з показником, більшим за 1, і з найменшою за модулем основою.
1) 10000 = 10 • 10 • 10 • 10 = 104
2) –32 = (–2) • (–2) • (–2) • (–2) • (–2) = (–2)5
3) 0,125 = 0,5 • 0,5 • 0,5 = 0,53
4) –0,00001 = (–0,1) • (–0,1) • (–0,1) • (–0,1) • (–0,1) = (–0,1)5
5) –8/343 = (–2/7) • (–2/7) • (–2/7) = (–2/7)3
Завдання 187
|
1) квадрат різниці чисел 7 і 5; (7 – 5)2 = 22 = 4 2) різниця квадратів чисел 7 і 5; 72 – 52 = 49 – 25 = 24 |
3) куб суми чисел 4 і 3; (4 + 3)3 = 73 = 343 4) сума кубів чисел 4 і 3. 43 + З3 = 64 + 27 = 91 |
Завдання 188
|
1) сума куба числа 5 і квадрата числа 8; 53 + 82 = 125 + 64 = 189 2) куб різниці чисел 9 і 8; (9 – 8)3 = 13 = 1 |
3) сума квадратів чисел 2,5 і 0,25; 2,52 + 0,252 = 6,25 + 0,0625 = 6,3125 4) квадрат суми чисел 7,8 і 8,2. (7,8 + 8,2)3 = 162 = 256 |
Завдання 189
Скільки в 1 км міститься:
1) метрів; 1 км = 1000 м = 103 м
2) сантиметрів; 1 км = 1000 м = 100 000 см = 105 см
3) міліметрів? 1 км = 100 000 см = 1 000 000 мм = 106 мм.
Завдання 190
Яке число треба підставити замість зірочки, щоб утворилася правильна рівність:
|
1) 1 га = 100 а |
2) 1 га = 1000 м² |
3) 1 а = 100 м² |
4) 1 га = 100000000 см² |
Завдання 191
Швидкість світла у вакуумі дорівнює 300 000 км/с.
1) Запишіть цю величину, використовуючи степінь числа 10.
300 000 км/с = 3 • 100 000 км/с = 3 • 105 км/с
2) Виразіть швидкість світла в метрах за секунду; запишіть результат, використовуючи степінь числа 10.
300000 км/с = 300000000 м/с = 3 • 100 000 000 м/с = 3 • 108 м/с.
Завдання 192
Скільки в 1 м² міститься:
1) квадратних дециметрів;
1 м2 = 100дм2 = 102 дм2
2) квадратних сантиметрів;
1 м2 = 10 000 см2 = 104 см2
3) квадратних міліметрів?
1 м2 = 1 000 000 мм2 = 106 мм2
Завдання 193
|
Планета |
Марс |
Сатурн |
Меркурій |
Юпітер |
|
Відстань від Сонця, км |
2,28•108 |
1,427•109 |
5,79•107 |
7,781•108 |
|
У порядку спадання відстаней: 1,427•109; 7,781•108; 2,28•108; 5,79•107 |
||||
Завдання 194
|
Держава |
Марс |
Сатурн |
Меркурій |
Юпітер |
|
Площа держави, км2 |
3,013•105 |
5•102 |
2,6•103 |
9,3•104 |
|
У порядку зростання площ: 5•102; 2,6•103; 9,3•104; 3,013•105 |
||||
Завдання 195
Які із чисел –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3 є коренями рівняння:
|
1) х4 = 16 (–3)4 = 81 ≠ 16 Ні (–2)4 = 16; 16 = 16 Так (–1)4 = 1 ≠ 16 Ні 04 = 0 ≠ 16 Ні 14 = 1 ≠ 16 Ні 24 = 16; 16 = 16 Так 34 = 81 ≠ 16 Ні |
3) х2 + х = 2 (–3)2 + (–3) = 9 – 3 = 6; 6 ≠ 2 Ні (–2)2 + (–2) = 4 – 2 = 2; 2 = 2 Так (–1)2 + (–1) = 1 – 1 = 0 ≠ 2 Ні 02 + 0 = 0 ≠ 2 Ні 12 + 1 = 1 + 1 = 2; 2 = 2 Так 22 + 2 = 4 + 2 = 6 ≠ 2 Ні З2 + 3 = 9 + 3 = 12 ≠ 2 Ні |
|
2) х5 = –243 (–З)5 = –243; –243 = –243 Так (–2)5 = –32 ≠ –243 Ні (–1)5 = –1 ≠ –243 Ні 05 = 0 ≠ –243 Ні 15 = 1 ≠ –243 Ні 25 = 32 ≠ –243 Ні 35 = 243 ≠ –243 Ні |
4) х3 + х2 = 6х. (–З)3 + (–3)2 = –18; 6 • (–3) = –18; Так (–2)3 + (–2)2 = –4; 6 • (–2) = –12; –4 ≠ –12 Ні (–1)3 + (–1)2 = 0; 6 • (–1) = –6; 0 ≠ –6 Ні 03 + 02 = 0; 6 • 0 = 0; 0 = 0 Так 13 + 12 =1 + 1 = 2; 6 • 1 = 6; 2 ≠ 6 Ні 23 + 22 = 12; 6 • 2 = 12; Так З3 + З2 = 36; 6 • 3 = 18; 36 ≠ 18 Ні |
Завдання 196
При якому значенні x дорівнює нулю значення виразу:
|
1) (2х – З)2 = 0 2х – 3 = 0 2х = 3 х = 1,5 |
2) (х + 4)^4 = 0 х + 4 = 0 х = –4 |
3) (6х – 1)^5 = 0 6х – 1 = 0 6х = 1 х = 1/6 |
Завдання 197 Рівняння
1) х10 = –1 — коренів не має, бо х10 ≥ 0 при будь-якому х;
2) (х – 5)4 = –16 — рівняння коренів не має, бо (х – 5)4 ≥0 при будь-якому х.
Завдання 198
При яких натуральних значеннях n є правильною нерівність 8 < 3n < 85?
31 = 3; 32 = 9; З3 = 27; З4 = 81; 35 = 243
Нерівність 8 < 3n < 85 є правильною, якщо n = 2; 3; 4.
Завдання 199
При яких натуральних значеннях m є правильною нерівність 0,7 < 0,4m < 0,5?
0,41 = 0,4; 0,42 = 0,16; 0,43 = 0,064
Нерівність 0,07 < 0,4m < 0,5 є правильною, якщо n = 1; 2.
Завдання 200
Доведіть, що вираз x2 + (x – 1)2 набуває лише додатних значень.
Вираз х2 набуває лише невід'ємних значень, а (х – 1)2 набуває лише додатних значень та значення 0, коли х = 1. Сума двох чисел, одне з яких невід'ємне, а друге додатне, завжди додатна.
Завдання 201
Доведіть, що вираз (x + 1)2 + |x| набуває лише додатних значень.
Вираз (х + 1)2 набуває лише невід'ємних значень, |x| набуває невід'ємних значень при х = –1, (х + 1)2 = 0; |x| = 1; при х = 0 (х + 1)2 = 1, |x| = 0. Сума (х + 1)2 + |x| найменшого значення 1 набуває при х = –1 і х = 0, тому завжди є додатна.
Завдання 202
Доведіть, що не має додатних коренів рівняння:
1) 2x2 + 5x + 2 = 0;
Якщо х — додатне, тоді вираз 2х2 + 5х + 2 > 0, отже, не має додатних коренів.
2) x4 + 3x3 + 4x2 + 3x + 1 = 0.
Якщо х — додатне, тоді вираз x4 + 3x3 + 4x2 + 3x + 1 > 0, отже, не має додатних коренів.
Завдання 203
Доведіть, що не має від’ємних коренів рівняння:
1) x4 – 5x3 + 6x2 – 7x + 5 = 0;
Якщо х — від'ємне, тоді x4 > 0; –5x3 > 0; 6x2 > 0; – 7x > 0, а сума x4 – 5x3 + 6x2 – 7x + 5 > 0, отже, не має від'ємних коренів.
2) x8 + x4 + 1 = x7 + x3 + x.
Якщо х — від'ємне, тоді x8 + x4 + 1 > 0, а x7 + x3 + x < 0. Оскільки не можуть бути одночасно рівними додатне і від'ємне число, тому рівняння не має від’ємних коренів.
Завдання 204
1) рівність х2 + у2 = 0 є правильною, якщо х = 0 і у = 0;
2) рівність (х – 1)4 + (у + 2)6 = 0 є правильною, якщо х – 1 = 0 і у + 2 = 0, або х = 1 і у = –2
Завдання 205
При яких значеннях x і y є правильною рівність x8 + (y – 3)2?
Рівність x8 + (у – З)2 = 0 є правильною, якщо х = 0 і у – 3 = 0, або х = 0 i у = 3
Завдання 206
При якому значенні змінної набуває найменшого значення вираз:
1) x2 + 7; Вираз набуває найменшого значення 7, якщо х = 0
2) (x – 1)4 + 16? Вираз набувє найменшого значення 16, якщо х = 1
Завдання 207
При якому значенні змінної набуває найбільшого значення вираз:
1) 10 − x2; Вираз набуває найбільшого значення 10, якщо х = 0
2) 24 – (x + 3)6? Вираз набуде найбільшого значення 24, якщо х = –3
Завдання 208
Доведіть, що значення виразу:
1) 101101+ 103103 ділиться націло на 2;
Кожний доданок суми 101101 + 10З103 є непарним числом, тому сума є парним числом і ділиться націло на 2
2) 167 + 158 – 119 ділиться націло на 10;
Запис числа 167 закінчується цифрою 6, числа 158 — цифрою 5, а числа 119 — цифрою 1. Тоді значення виразу 167 + 158 – 119 закінчується цифрою 0 (6 + 5 – 1 = 10) і ділиться націло на 10
3) 1010 – 7 ділиться націло на 3.
1010 – 7 = 10000000000 – 7 = 9999999993. Сума цифр числа ділиться на 3, значить, і саме число ділиться націло на 3.
Завдання 209
Доведіть, що значення виразу 10100 + 8 ділиться націло на 9.
Запис числа 10100 + 8 містить цифру 1, цифру 8 і цифри — нулі, тоді число ділиться націло на 9, бо сума цифр 1 + 8 = 9
Завдання 210
Доведіть, що при будь–якому натуральному значенні n значення виразу ділиться націло на 5.
1) 6n – 1;
Запис числа 6n закінчується цифрою 6, а запис числа 6n – 1 цифрою 5. Отже, вираз 6n – 1 ділиться націло на 5 за будь–якого натурального значення n.
2) 111n – 6.
Запис числа 111n закінчується цифрою 1, а запис числа 111n – 6 цифрою 5. Отже, вираз 111n – 6 ділиться націло на 5 за будь–якого натурального значення n.
Завдання 211
(3 1/3 • 1,3 – 7,2 • 2/27 – 9,1 : 3,5) : 2/5 = 3
1) 3 1/3 • 1,3 = 10/3 • 13/10 = 13/3 = 4 1/3
2) 7,2 • 2/27 =7 2/10 • 2/27 = 72/10 • 2/27 = 8/15
3) 9,1 : 3,5 = 9 1/10 : 3 5/10 = 91/10 : 35/10 = 91/10 • 10/35 = 13/5 = 2 3/5
4) 4 1/3 – 8/15 = 4 5/15 – 8/15 = 3 20/15 – 8/15 = 3 12/15 = 3 4/5
5) 3 4/5 – 2 3/5 = 1 1/5
6) 1 1/5 ; 2/5 = 6/5 : 2/5 = 6/5 • 5/2 = 6/2 = 3
Завдання 212
Михайло та Катерина збирали гриби. Михайло зібрав у 5 разів менше грибів, ніж Катерина. Яку частину всіх грибів зібрала Катерина? 5/6
Завдання 213
До зливку сплаву масою 400 кг, що містить 15 % міді,додали 25 кг міді. Яким став відсотковий вміст міді в новому зливку?
Розв'язання
1) 0,15 • 400 = 60 (кг) – маса міді у 400 кг сплаву;
2) 60 + 25 = 85 (кг) – маса міді у новому сплаві;
3) 400 + 25 = 425 (кг) – маса нового сплаву;
4) 85 : 425 = 0,2 = 20% – відсотковий вміст міді у новому сплаві.
Відповідь: 20%.
Завдання 214
В одному мішку було 80 кг цукру, а в другому — 60 кг. З першого мішка взяли в 3 рази більше цукру, ніж із другого, після чого в другому мішку залишилося цукруу 2 рази більше, ніж у першому. Скільки кілограмів цукру взяли з кожного мішка?
Розв'язання
Нехай з другого мішка взяли цукру х кг, тоді з першого мішка — Зх кг. У першому мішку цукру залишилося (80 – Зх) кг , а в другому — (60 – х) кг. Складаємо рівняння:
2(80 – Зх) = 60 – х
160 – 6х = 60 – х
–6х + х = 60 – 160
–5х = –100
х = 20 (кг) – взяли цукру з другого мішка;
3 • 20 = 60 (кг) – взяли цукру з першоо мішка.
Відповідь: 60 кг; 20 кг.
Завдання 215
|
1) 9 (2х – 1) – 5(11 – х) = 3(х + 4) 18x – 9 – 55 + 5x = Зх + 12 18х + 5х – Зх = 12 + 9 + 55 20х = 76 x = 3,8 |
2) 5х – 26 = 12x – 7(х – 4) 5х – 26 = 12 x – 7х + 28 5х – 12 х + 7х = 28 + 26 0х = 54 — коренів не має. |
Завдання 216
Відомо, що одне із чисел a, b і c додатне, друге — від’ємне, а третє дорівнює нулю, причому |a| = b2(b – c).Визначте, яке із чисел є додатним, яке від’ємним і яке дорівнює нулю.
Жодне з чисел а і b не дорівнює нулю, бо у протилежному випадку з рівності |a| = b2(b – с) слідувало б, що усі числа дорівнюють нулю. Отже, с = 0. Якщо с = 0, то: |a| = b2(b – с) = b2(b – 0) = b3. З рівності |a| = b3 слідує, що b > 0. Отже, а < 0.
Відповідь: Число а — від ємне, b — додатне, с — дорівнює нулю.
Завдання 217
Порівняйте значення виразів:
1) 22 • 23 = 25, бо 22 • 23 = 4 • 8 = 32; 25 = 32
2) 42 • 41 = 43, бо 42 • 41 = 16 • 4 = 64; 43 = 64
3) (33)2 = 36, бо (33)2 = 272 = 729; 36 = 729
4) ((1/2)3)3 = (1/2)9, бо ((1/2)3)3 = (1/8)3 = 1/4096; (1/2)9= 1/4096
5) 53 • 23 = (5 • 2)3, бо 53 • 23 = 125 • 8 = 1000; (5 • 2)3 = 103 = 1000
6) (0,25 • 4)2 < 0,25 • 42, бо (0,25 • 4)2 = 12 = 1; 0,25 • 42 = 0,25 • 16 = 4
Завдання 218
У деякому місті від будь–якої станції метро можна доїхати до будь–якої іншої станції (можливо, з пересадками).Доведіть, що існує станція, яку можна закрити (без права проїзду через неї), і при цьому від будь–якої станції з тих, що залишилися, можна буде доїхати до будь–якої іншої. Задача сформульована некоректно. Існує приклад, який спростовує те, що з будь– якої станції з тих, що залишилися, можна буде проїхати до будь–якої іншої станції без права проїзду через закриту станцію. Нехай, наприклад, станції метро розміщені так, що з кожної станції можна їхати лише до станції А, робити там пересадку і їхати до потрібної станції. У цьому випадку при закритті станції A усе метро буде паралізованим — із жодної станції з тих, що залишилися, не можна буде нікуди доїхати.