Завдання 219
|
1) m5m4 = m(5+4) = m9 2) xx7 = x(1+7) = x8 3) a3a3 = a(3+3) = a6 4) 6863 = 6(8+3) = 611 5) y3y5y9 = y(3+5+9) = y17 6) c8c9c = c(8+9+1) = c18 |
7) (b – c)10 (b – c)6 = (b – c)(10+6) = (b – c)16 8) 112 • 114 • 116 = 11(2+4+6) = 1112 9) x4xx11x2 = x(4+1+11+2) = x18 10) (ab)5 (ab)15 = (ab)(5+15) = (ab)20 11) (2x + 3y)6 (2x + 3y)14 = (2x + 3y)(6+14) = (2x + 3y)20 12) (–xy)2(–xy)7(–xy)9 = (–xy)(2+7+9) = (–xy)18 |
Завдання 220
|
1) a5a8 = a(5+8) = a13 2) a2a2 = a(2+2) = a4 3) a9a = a(9+1) = a10 |
4) aa2a3 = a(1+2+3) = a6 5) (m + n)13 (m + n) = (m + n)(13+1) = (m + n)14 6) (cd)8(cd)18(cd) = (cd)(8+18+1) = (cd)27 |
Завдання 221
Замініть зірочку таким степенем з основою a, щоб виконувалася рівність:
|
1) a6a8 = a14 |
2) aa6 = a7 |
3) a10a6a2 = a18 |
Завдання 222
Подайте вираз a12 у вигляді добутку двох степенів з основами a, один з яких дорівнює:
1) a12 = a(6+6) = a6 • a6
2) a12 = a(4+8) = a4 • a8
3) a12 = a(3+9) = a3 • a9
4) a12 = a(5+7) = a5 • a7
5) a12 = a(1+11) = a • a11
Завдання 223
Подайте у вигляді степеня частку:
|
1) a12 : a3 = a(12–3) = a9 2) b6 : b = b(6–1) = b5 |
3) c7 : c6 = c(7–6) = c 4) (a + b)8 : (a + b)4 = (a + b)(8–4) = (a + b)4 |
Завдання 224
1) 77 : 75 = 7(7–5) = 72 = 49
2) 1018 : 1014 = 10(18–14) = 104 = 10000
3) 0,69 : 0,66 = 0,6(9–6) = 0,63 = 0,216
4) (–1 1/8)5 : (–1 1/8)3 = (–1 1/8)(5–3) = (–1 1/8)2 = (–9/8) = 81/64 = 1 17/64
Завдання 225
|
1) m10 : m2 = m(10–2) = m8 |
2) x5 : x4 = x(5–4) = x |
3) y18 : y6 = y(18–6) = y12 |
Завдання 226
Подайте у вигляді степеня з основою m вираз:
|
1) (m5)3 = m15 2) (m3)4 = m12 |
3) ((m2)4)6 = (m8)6 = m48 4) (m7)2 • (m4)9 = m14 • m36 = m50 |
Завдання 227
Подайте у вигляді степеня з основою n вираз:
|
1) (n2)8 = n16 2) (n9)5 = n45 |
3) ((n3)2)10 = (n6)10 = n60 4) (n12)4 • (n21)2 = n48 • n42 = n90 |
Завдання 228
Подайте степінь у вигляді добутку степенів:
|
1) (ab)6 = a6b6 2) (mnp)5 = m5n5p5 3) (3c)7 = 37 • c7 |
4) (–8xy)3 = (–8)3 • x3y3 5) (–0,2cd)4 = (–0,2)4 • c4d4 6) (3/7kt)9 = (3/7)9 • k9t9 |
Завдання 229
|
1) (ax)2 = a2x2 2) (xyz)12 = x12y12z12 |
3) (7m)8 = 78 • m8 4) (–0,3bc)11 = (–0,3)11 • b11c11 |
Завдання 230
Подайте у вигляді степеня вираз:
|
1) a3b3 = (ab)3 2) –m7 = (–m)7 3) 9m2n2 = (3mn)2 |
4) 64x3y3 = (4xy)3 5) –27/343 c3d3 = (–3/7 cd)3 6) 0,0001k4p4 = (0,1kp)4 |
Завдання 231
Подайте у вигляді степеня вираз:
|
1) x12y12 = (xy)12 2) –125m3n3 = (–5mn)3 |
3) 32p5q5 = (2pq)5 4) 1000000000a9b9c9 = (10abc)9 |
Завдання 232
Знайдіть і виправте помилки, які зробив Василь Ледащенко, перетворюючи вирази, що містять степені:
1) a4a3 = a12 — при множенні степенів з однаковими основами показники потрібно додавати, а не множити; a4a3 = a7
2) а • а = 2а — множення однакових чисел дає квадрат числа, а не подвоєне число як при додаванні; а • а = a2
3) (а3)2 = а9 — при піднесенні степеня до степеня показники потрібно множити, а не підносити один показник степеня до іншого; (а3)2 = а6
4) З2 • 52 = 154 — при множенні степенів з однаковими показниками потрібно множити лише основи, а показник залишати без змін; З2 • 52 = 152
5) 22 • 73 = 145 — добуток степенів з різними основами і показниками не спрощується, тому множити їх основи або додавати показники неправильно 22 • 73 = 4 • 21 = 84
6) (2а)4 = 8а4 — неправильно обчислено значення виразу 24; (2а)4 = 24а4
7) 3 • 43 = 123 — добуток степенів з різними основами і показниками не сrпрощується, тому множити їхні основи неправильно; 3 • 43 = 3 • 64 = 192
8) а7b7 = (аb)14 — при множенні степенів з однаковими показниками показник результату потрібно залишити без змін; а7b7 = (аb)7
9) а3b2 = (ab)6 — добуток степенів з різними основами і показниками не спрощується, тому множити їхні основи і показники неправильно; а3b2
Завдання 233
Подайте вираз у вигляді степеня та обчисліть його значення (у разі потреби скористайтеся таблицею степенів чисел 2 і 3, розміщеною на форзаці підручника):
|
1) 23 • 24 = 27 = 128 2) (32)3 = 36 = 729 3) 0,2 • 0,22 • 0,23 = 0,26 = 0,000064 4) 0,512 • 212 = (0,5 • 2)12 = 112 = 1 |
5) 212 : 28 = 24 = 16 6) (34)5 : 319 = 320 : 319 = 3 7) (1/3)9 • 99 = (1/3 • 9)9 = 39 = 19683 8) 2,55 • 405 = (2,5 • 40)5 = 1005 = 10000000000 |
Завдання 234
|
1) 22 • 23 = 25 = 32 2) (22)3 = 26 = 64 3) 32 • 3 • 33 = 36 = 729 |
4) 0,38 : 0,35 = 0,33 = 0,027 5) 79 • (1/14)9 = (7 • 1/14)9 = (1/2)9 = 1/512 6) 12,53 • 83 = (12,5 • 8)3 = 1003 = 1000000
|
Завдання 235 Спростити вираз
|
1) –x • x2 = –x3 2) (–x)2 • x = x2 • x = x3 |
3) –x • (–x)2 = –x • x2 = –x3 4) (–x) • (–x)2 • (–x) = x • x2 • x = x4 |
Завдання 236
|
1) (–a)2 • a3 = a2 • a3 = a5 2) –a2 • a3 = –a5 |
3) a2 • (–a)3 = –a2 • a3 = –a5 4) –a2 • (–a)3 = a2 • a3 = a5 |
Завдання 237
1) (–a5)2 = –(a5)2 = –a10
2) (–a3)3 = –(a3)3 = –a9
3) (–a4)7 • (–a2)6 = (a4)7 • (a2)6 = a28 • a12 = a40
Завдання 238
1) ((–a6)5)9 = (a6)5)9 = (a30)9 = a270
2) ((–a11)2)3 = –((a11)2)3 = –(a22)3 = –a66
Завдання 239
Замість зірочки запишіть такий вираз, щоб виконувалася рівність:
|
1) (c5)4 = c20 |
2) (c7)2 = c14 |
3) (c8)n = c8n |
4) (cn)7 = c7n |
Завдання 240
Подайте степінь a7 у вигляді добутку двох степенів з основою a всіма можливими способами.
|
а7 = а • а6 |
а7 = а2 • а5 |
а7 = а3 • а4 |
а7 = а4 • а3 |
а7 = а5 • а2 |
а7 = а6 • а |
Завдання 241
Подайте у вигляді степеня вираз:
|
1) ana5 = a(n+5) |
2) aan = a(1+n) |
3) a3an = a(3+n) |
4) (a3)n = a(3n) |
5) (an)2 • (a5)n = a7n |
Завдання 242
|
1) 24 • 24 = 28 |
2) 24 + 24 = 2 • 24 = 25 |
3) 2n • 2n = 22n |
4) 2n + 2n = 2 • 2n=2(n+1) |
Завдання 243
|
1) 35 + 35 + 35 = 3 • 35 = 36 |
2) 4k + 4k + 4k + 4k = 4 • 4k = 4k+1 |
Завдання 244
Доведіть, що коли сторону квадрата збільшити в n разів, то його площа збільшиться в n2 разів.
Розв'язання
Нехай сторона квадрата дорівнює х, тоді його площа дорівнює х2. Сторона збільшеного квадрата дорівнює nх, а його площа — (nх)2. Площа квадрата збільшилася в
(nх)2 : х2 = n2x2 : х2 = n2
Відповідь: площа збільшилася в n2 разів.
Завдання 245
У скільки разів збільшиться об’єм куба, якщо його ребро збільшити в m разів?
Розв'язання
Нехай ребро куба дорівнює х, тоді його об’єм дорівнює х3. Ребро збільшеного куба дорівнюватиме mх, а його об’єм — (mх)3. Об’єм куба збільшиться в
(mх)3 : х3 = m3x3 : х3 = m3
Відповідь: об'єм куба збільшиться у m3 разів.
Завдання 246
Запишіть у вигляді степеня з показником 2 вираз:
|
1) a2b6 = (ab3)2 2) x8y14 = (x4y7)2 |
3) x4y10z18 = (x2y5z9)2 4) 4m12n16 = (2m6n8)2 |
5) 81c10d32p44 = (9c5d16p22)2 |
Завдання 247
Запишіть у вигляді степеня з показником 3 вираз:
|
1) a3b6 = (ab2)3 2) x9y15 = (x3y5)3 |
3) 8x12y18z24 = (2x4y6z8)3 4) 0,001m30n45 = (0,1m10n15)3 |
Завдання 248
Подайте у вигляді степеня з основою 5 вираз:
|
1) 1256 = (53)6 = 518 |
2) (254)2 = 258 = (52)8 = 516 |
Завдання 249
Подайте у вигляді степеня з основою –5 вираз:
|
1) 6255 = ((–5)4)5 = (–5)20 |
2) ((–25)2)3 = 256 = ((–5)2)6 = (–5)12 |
Завдання 250
Подайте у вигляді степеня з основою 2 вираз:
1) 89 • 45 = (23)9 • (22)5 = 227 • 210 = 237
2) 32 • 166 • 643 = 25 • (24)6 • (26)3 = 25 • 224 • 218 = 247
Завдання 251
Знайдіть значення виразу:
1) (64)4 : (65)3 = 616 : 615 = 6
2) 83 : 44 = (23)3 : (22)4 = 29 : 28 = 2
3) (714 • (72)3)/((73)6 • 72) = (714 • 76)/(718 • 72) = 720/720 = 1
4) (253 • 1252)/510 = ((52)3 • (53)2)/510 = (56 • 56)/510 = 512/510 = 52 = 25
5) (38 • 78)/217 = ((3 • 7)8)/217 = 218/217 = 21
6) (59 • 46)/206 = (59 • 46)/((4 • 5)6 ) = (59 • 46)/(46 • 56 ) = 53 = 125
Завдання 252
1) 1005 : 10002 = (102)5 : (103)2 = 1010 : 106 = 104 = 10000
2) (310 • (33)5)/((35)4 • 3) = (310 • 315)/(320 • 3) = 325/321 = 34 = 81
3) (43 • 162)/212 = ((22)3 • (24)2)/212 = (26 • 28)/212 = 214/212 = 22 = 4
4) 4510/(58 • 319) = ((5 • 9)10)/(58 • 319) = (510 • 910)/(58 • 319) =
= (52 • (32)10)/319 = (52 • 320)/319 = 25 • 3 = 75
Завдання 253
1) (1 1/6)9 • (6/7)10 = (7/6)9 • (6/7)9 • 6/7 = (7/6 • 6/7)9 • 6/7 = 19 • 6/7 = 6/7
2) 514 • 0,212 = 52 • 512 • 0,212 = 52 • (5 • 0,2)12 = 52 • 112 = 25
3) (–1 1/3)5 • (3/4)8 = –(4/3)5 • (3/4)5 • (3/4)3 = –(4/3 • 3/4)5 • (3/4)3 = –15 • 27/64 = –27/64
Завдання 254
1) 105 • 0,17 = 105 • 0,15 • 0,12 = (10 • 0,1)5 • 0,12 = 15 • 0,01 = 0,01
2) 1,914 • (10/19)15 = (19/10)14 • (10/19)14 • 10/19 = (19/10 • 10/19)14 • 10/19 = 114 • 10/19 = 10/19
Завдання 255 Порівняння виразів
|
1) (–5)21 • (–5) = (–5)22 = 522 (–5)24 = 524 522 < 524 |
3) (–8)5 • (–8)4 = (–8)9 = –89 (–8)8 = 88 –89 < 88 |
|
2) (–7)8 • (–7)7 = (–7)15 = –715 (–7)17 = –717 –715 > –717 |
4) (–6)3 • (–6)9 = (–6)12 = 612 (–6)13 = –613 612 > –613 |
Завдання 256
Замініть зірочку таким степенем, щоб виконувалася рівність:
|
1) 8 • * = 28 23 • * = 28 23 • 25 = 28 |
2) an • * = a3n+2 an • a2n+2 = a3n+2 |
Завдання 257
Запишіть вираз 324 у вигляді степеня з певною основою.
|
1) 324 = (33)8 |
2) 324 = (312)2 |
3) 324 = (32)12 = 912 |
4) 324 = (34)6 = 816 |
Завдання 258
Запишіть вираз 248 у вигляді степеня з певною основою.
|
1) 248 = (24)12 |
2) 248 = (216)3 |
3) 248 = (23)16 = 816 |
4) 248 = (26)8 = 648 |
Завдання 259 Рівняння
|
1) x7 = 614 x7 = (62)7 x7 = 367 x = 36 |
2) х4 = 512 х4 = (53)4 х4 = 1254 або х4 = (–125)4 х = 125 або х = –125 |
Завдання 260 Порівняння виразів
|
1) 2300 = (23)100 = 8100 3200 = (32)100 = 9100 8100 < 9100 |
3) 2720 = (272)10 = 72910 1130 = (113)10 = 133110 72910 < 133110 |
|
2) 418 = (42)9 = 169 169 < 189 |
4) 310 • 58 = 32 • 38 • 58 = 9 • 158 159 = 15 • 158 9 • 158 < 15 • 158 |
Завдання 261
|
1) 1040 = (104)10 = 1000010 1000010 < 1000110 |
3) 812 = (82)6 = 646 646 > 596 |
|
2) 512 = (53)4 = 1254 1244 < 1254 |
4) 614 = 62 • 612 = 36 • 612 216 • З12 = 24 • 212 • З12 = 16 • 612 36 • 612 > 16 • 612 |
Завдання 262
Відомо, що сума 625 + 625 + ... + 625 дорівнює 5101. Скільки доданків у цій сумі?
Розв'язання
Нехай у сумі 625 + 625 + ... + 625 є х доданків, тоді вона дорівнюватиме 625x = 54 • х. Складаємо рівняння:
54 • х = 5101
х = 5101 : 54
x = 597 – у сумі доданків.
Відповідь: 597 доданків.
Завдання 263
Якою цифрою закінчується значення виразу (n — натуральне число):
1) 4100 = (42)50 = 1650 — значення виразу закінчується цифрою 6;
2) 34n = (34)n = 81n — значення виразу закінчується цифрою 1;
3) 4n — значення виразу закінчується цифрою 4 або 6;
4) 3n — значення виразу закінчується цифрою 3, або 9, або 7, або 1.
Завдання 264
Якою цифрою закінчується значення виразу (n — натуральне число):
1) 92n = (92)n = 81n — значення виразу закінчується цифрою 1;
2) 74n = (74)n = 2401n — значення виразу закінчується цифрою 1;
3) 72n = (72)n = 49n — значення виразу закінчується цифрою 1 або 9.
Завдання 265
1) 178 = (172)4 = 2894 — значення виразу закінчується цифрою 1, тоді значення виразу 178 + 19 закінчується цифрою 0 і ділиться націло на 10;
2) 6464 = (642)32 = 409632 — значення виразу закінчується цифрою 6, тоді значення виразу 6464 – 1 закінчується цифрою 5 і ділиться націло на 5;
3) 34n = (34)n = 81n — значення виразу закінчується цифрою 1, тоді значення виразу 34n + 14 закінчується цифрою 5 і ділиться націло на 5.
Завдання 266
1) 440 = (42)20 = 1620 — значення виразу закінчується цифрою 6, тоді значення виразу 440 – 1 закінчується цифрою 5 і ділиться націло на 5;
2) 2004171 — значення виразу закінчується цифрою 4, а значення виразу 1712004 — цифрою 1, тоді значення виразу 2004171 + 1712004 закінчується цифрою 5 і ділиться націло на 5.
Завдання 267
Доведіть, що 4825 < 34417.
4825 = 48 • 4824 = 48 • (483)8 = 48 • 1105928;
34417 = 344 • 34416 = 344 • (3442)8 = 344 • 1183368.
Отже, 4825 < 34417.
Завдання 268
Сім’я Федоренків складається із шести осіб: батька, матері, доньки–студентки, двох дітей шкільного віку та дідуся–пенсіонера. Щомісячний бюджет сім’ї формується із заробітної плати батька в розмірі 21 300 грн, заробітної плати матері (22 200 грн), стипендії доньки (1230 грн) та пенсії дідуся (8820 грн). Скільки гривень у місяць припадає на кожного із шести членів сім’ї?
Розв'язання
1) 21 300 + 22 200 + 1230 + 8820 = 53 550 (грн) – бюджет сім’ї;
2) 53 550 : 6 = 8925 (грн) – припадає на одну людину.
Відповідь: на кожного члена сім’ї припадає 8925 грн.
Завдання 269
(Задача з українського фольклору.) Кум Іван спитав у кума Степана: «Скільки в тебе качок?» Кум Степан відповів: «Качок у мене стільки, що як висидять вони мені ще стільки ж каченят, та ще придбаю одну качку, та ще тричі куплю стільки ж, скільки цих качок і каченят, то всього буде їх у мене 100». Скільки качок було в кума Степана?
Розв'язання
Нехай у кума Степана було x качок. Складаємо рівняння:
х + х + 1 + 3(х + х + 1) = 100
2х + 1 + 3х + 3х + 3 = 100
8х + 4 = 100
8х = 96
х = 96 : 8
х = 12 (к.) – було в кума Степана.
Відповідь: 12 качок.
Завдання 270
Малярка може пофарбувати кімнату за 6 год, а маляр — за 4 год. Спочатку малярка працювала 2 год, а потім до неї приєднався маляр. За скільки годин було пофарбовано кімнату?
Розв'язання
Перша малярка за 1 год пофарбує 1/6 частину кімнати, а друга — 1/4 частину.
1) 1/6 + 1/4 = 2/12 + 3/12 = 5/12 (ч.) – пофарбують разом за 1 год;
2) 1/6 • 2 = 2/6 = 1/3 (ч.) – пофарбувала малярка за 2 год;
3) 1 – 1/3 = 3/3 – 1/3 = 2/3 (ч.) – залишиться пофарбувати двом;
4) 2/3 : 5/12 = 2/3 • 12/5 = 8/5 = 1,6 (год) – час, за який пофарбували разом;
5) 2 + 1,6 = 3,6 (год) – час, за який пофарбували всю кімнату.
Відповідь: за 3,6 год.
Завдання 271
Від пристані за течією річки відправилася на човні група туристів і туристок, розраховуючи повернутися через 4 год. Швидкість човна в стоячій воді становить 10 км/год, а швидкість течії — 2 км/год. На яку найбільшу відстань туристи й туристки можуть відплисти від пристані, якщо вони хочуть перед тим, як повертатися, зробити зупинку на 2 год?
Розв'язання
Нехай туристи відпливуть від пристані найбільше на х км, тоді за течією річки вони плистимуть x/(10 + 2) = x/12 год, а проти течії — x/(10 – 2) = x/8 год. Складаємо рівняння:
x/12 + x/8 = 4 – 2
x/12 + x/8 = 2
(2х + 3х)/24 = 2
2х + 3х = 2 • 24
5х = 48
х = 48 : 5
х = 9,6
Відповідь: найбільша відстань від пристані 9,6 км.
Завдання 272 Рівняння
|
1) 2,5 – 3х = 3(х – 2,5) – 2 2,5 – 3х = 3х – 7,5 – 2 –3х – 3х = –7,5 – 2 – 2,5 –6х = –12 x = 2 |
2) 17(2 – 3х) – 5(х + 12) = 8(1 – 7х) – 34 34 – 51х – 5х – 60 = 8 – 56х – 34 –51х – 5х + 56х = 8 – 34 – 34 + 60 0х = 0 — коренем рівняння є будь–яке число. |
Завдання 273
У шестицифровому числі перша й четверта, друга й п’ята, третя й шоста цифри однакові. Доведіть, що це число кратне числам 7, 11 і 13.
Шестицифрове число, перша та четверта, друга та п’ята, третя та шоста цифри якого однакові, можна подати у вигляді 100000х + 10000у + 1000z + 100х + 10у + z = 100100x + 10010y + 1001z = 1001(100х + 10у + z) = 7 • 11 • 13 • (100х + 10y + z) — число ділиться на 7, 11 і 13.
Завдання 274
1) 3a • (–1,2)=3 •(–1,2) • a = –3,6a
2) –0,2b • (–0,5) = –0,2 • (–0,5) • b = 0,1b
3) –7a • 9b = –7 • 9 • ab = –63ab
4) 2,4x • 2y = 2,4 • 2 • xy = 4,8xy
5) –3/14m • 7/9n =–3/14 • 7/9 • mn = –1/6mn
6) –1/4a • 4/3b • (–3c) = –1/4 • 4/3 • (–3)abc = abc
Завдання 275
Спростіть вираз 20m • (−0,3n) і знайдіть його значення при m = 5/12, n = –4.
20m • (–0,3n) = 20 • (–0,3) • mn = –6mn
Якщо m = 5/12, n = –4, тоді –6mn = –6 • 5/12 • (–4) = 10
Завдання 276
Трамвайні квитки мають номери від 000 000 до 999 999. Номер називають «щасливим», якщо сума трьох його перших цифр дорівнює сумі трьох останніх. Доведіть, що кількість «щасливих» квитків є парною.
Для будь–якого «щасливого» квитка abcxyz завжди існує відповідний йому ще один «щасливий» квиток xyzabc, бо коли a + b + c = x + y + z, то х + у + z = а + b + с. Тому всі «щасливі» квитки, у яких числа хуz і abc різні існують попарно. «Щасливих» квитків, у яких числа хуz і abc рівні, усього є 1000 — парне число. Отже, кількість усіх «щасливих» квитків є парним числом.