Завдання 245, 246
|
Поділи число 30 на частини, пропорційні числам 1 і 2.
Розв'язання
х + 2х = 30
3х = 30
х = 30 : 3
х = 10 – перша частина;
2 • 10 = 20 – друга частина.
Відповідь: 10 і 20.
|
Поділи число 50 на частини, пропорційні числам 2 і 3.
Розв'язання
2х + 3х = 50
5х = 50
х = 50 : 5
х = 10 – перша частина;
5 • 10 = 50 – друга частина.
Відповідь: 10 і 50.
|
Завдання 247
Поділи число 60 на частини у відношенні:
|
а) 1 і 2;
х + 2х = 60
3х = 60
х = 60 : 3
х = 20
2 • 20 = 40,
тому 20 і 40.
|
б) 2 і 3;
2х + 3х = 60
5х = 60
х = 60 : 5
х = 12
2 • 12 = 24
3 • 12 = 36,
тому 24 і 36.
|
в) 1 і 9;
х + 9х = 60
10х = 60
х = 60 : 10
х = 6
9 • 6 = 54,
тому 6 і 54.
|
г) 3 і 7;
3х + 7х = 60
10х = 60
х = 60 : 10
х = 6
3 • 6 = 18
7 • 6 = 42,
тому 18 і 42.
|
ґ) 5 і 7.
5х + 7х = 60
12х = 60
х = 60 : 12
х = 5
5 • 5 = 25
7 • 5 = 35,
тому 25 і 35.
|
Завдання 248
Поділи число 100 на частини у відношенні:
|
а) 2 : 8;
2х + 8х = 100
10х = 100
х = 100 : 10
х = 10
2 • 10 = 20
8 • 10 = 80,
тому 20 і 80.
|
б) 3 : 7;
3х + 7х = 100
10х = 100
х = 100 : 10
х = 10
3 • 10 = 30
7 • 10 = 70,
тому 30 і 70.
|
в) 1 : 4;
х + 4х = 100
5х = 100
х = 100 : 5
х = 20
4 • 20 = 80,
тому 20 і 80.
|
г) 2 : 3;
2х + 3х = 100
5х = 100
х = 100 : 5
х = 20
2 • 20 = 40
3 • 20 = 60,
тому 40 і 60.
|
ґ) 7 : 13.
Розв'язання
7х + 13х = 100
20х = 100
х = 100 : 20
х = 5
7 • 5 = 35
13 • 5 = 65,
тому 35 і 65.
|
Завдання 249
Рейку завдовжки 18 м розрізали на дві частини, довжини яких пропорційні числам 4 і 5. Знайди довжину меншої частини рейки. Б 8 м.
Розв'язання
4х + 5х = 18
9х = 18
х = 18 : 9
х = 2
4 • 2 = 8
Відповідь: довжина меншої рейки 8 м.
Завдання 250, 251
|
Поділи число 3000 на дві частини, пропорційні числам 2 і 3.
Розв'язання
2х + 3х = 3000
5х = 3000
х = 3000 : 5
х = 600
2 • 600 = 1200 – перша частина;
3 • 600 = 1800 – друга частина.
Відповідь: 1200 і 1800.
|
Поділи число 1001 на три частини, пропорційні числам 1, 2 і 4.
Розв'язання
х + 2х + 4х = 1001
7х = 1001
х = 1001 : 7
х = 143 – перша частина;
2 • 143 = 286 – друга частина;
4 • 143 = 572 – третя частина.
Відповідь: 143; 286; 572.
|
Завдання 252, 253
|
Знайди три числа, пропорційні числам 3, 5 і 8, якщо найбільше з них дорівнює 224.
Розв'язання
3х + 5х + 8х = 224
16х = 224
х = 224 : 16
х = 14
3 • 14 = 42 – перше число;
5 • 14 = 70 – друге число;
8 • 14 = 112 – третє число.
Відповідь: 42; 70; 112.
|
Знайди чотири числа, які пропорційні числам 2, 3, 8 і 11, якщо найменше з них дорівнює 90.
Розв'язання
2х + 3х + 8х + 11х = 90
24х = 90
х = 90 : 24
х = 3,75
2 • 3,75 = 7,5 – перше число;
3 • 3,75 = 11,25 – друге число;
8 • 3,75 = 30 – третє число;
11 • 3,75 = 41,25 – четверте число.
Відповідь: 7,5; 11,25; 30; 41,25.
|
Завдання 254
Мотузку завдовжки 12 м розрізали на дві частини, довжини яких відносяться як 2 до 3. Знайди довжини одержаних частин мотузки.
Розв'язання
2х + 3х = 12
5х = 12
х = 12 : 5
х = 2,4
2 • 2,4 = 4,8 (м) – перша частина мотузки;
3 • 2,4 = 7,2 (м) – друга частина мотузки.
Відповідь: 4,8 м і 7,2 м.
Завдання 255
Поле площею 100 га поділили на дві частини, площі яких пропорційні числам 2 і 3. Знайди площі цих частин.
Розв'язання
2х + 3х = 100
5х = 100
х = 100 : 5
х = 20
2 • 20 = 40 (га) – площа першої частини поля;
3 • 20 = 60 (га) – площа другої частини поля;
Відповідь: 40 га і 60 га.
Завдання 256, 257
|
Знайди довжини сторін трикутника, якщо вони пропорційні числам 2, 3 і 4, а периметр трикутника дорівнює 36 см.
Розв'язання
2х + 3х + 4х = 36
9х = 36
х = 36 : 9
х = 4
2 • 4 = 8 (см) – перша сторона;
3 • 4 = 12 (га) – друга сторона;
4 • 4 = 16 (га) – третя сторона.
Відповідь: 8 см; 12 см; 16 см.
|
Знайдіть довжини сторін чотирикутника, якщо вони пропорційні числам 2, 3, 4 і 5, а периметр чотирикутника дорівнює 105 см.
Розв'язання
2х + 3х + 4х + 5х = 105
14х = 105
х = 105 : 14
х = 7,5
2 • 7,5 = 15 – перша сторона;
3 • 7,5 = 22,5 – друга сторона;
4 • 7,5 = 30 – третя сторона;
5 • 7,5 = 37,5 – четверта сторона.
Відповідь: 15 см; 22,5 см; 30 см; 37,5 см.
|
Завдання 258
Для виготовлення порцеляни беруть 25 частин білої глини, 2 частини піску і 1 частину гіпсу. Скільки кожного з цих матеріалів треба взяти, щоб отримати 280 кг суміші, з якої
виготовляють порцеляну?
Розв'язання
25х + 2х + х = 280
28х = 105
х = 280 : 28
х = 10 (кг) – потрібно гіпсу;
25 • 10 = 250 (кг) – потрібно вбілої глини;
2 • 10 = 20 (кг) – потрібно піску.
Відповідь: 250 кг; 20 кг; 10 кг.
Завдання 259
Скільки частин кожного з компонентів потрібно взяти для приготування коктейлю? Скільки кожного з компонентів потрібно взяти, щоб приготувати 1,25 л коктейлю?
Розв'язання
Щоб приготувати 1,25 л коктейлю, треба взяти цукровий сироп, апельсиновий сік і лимонний сік у відношенні 2 : 2 : 1.
Розв'язання
2х + 2х + х = 1,25
5х = 1,25
х = 1,25 : 5
х = 0,25 (л) – лимонний сік;
2 • 0,25 = 0,5 (л) – цукровий сироп чи апельсиновий сік.
Відповідь: 0,5 л; 0,5 л; 0,25 л.
Завдання 260
Щоб виготовити замазку, беруть вапно, житнє борошно й олійний лак у відношеннях, зображених на малюнку. Скільки потрібно взяти кожного матеріалу, щоб отримати 4,2 кг замазки?
Розв'язання
Щоб приготувати 4,2 кг замазки, треба взяти вапно, житнє борошно і лак у відношенні 3 : 2 : 2.
Розв'язання
3х + 2х + 2х = 4,2
7х = 4,2
х = 4,2 : 7
х = 0,6
3 • 0,6 = 1,8 (кг) – вапно;
2 • 0,6 = 1,2 (кг) – житнє борошно чи лак.
Відповідь: 1,8 кг; 1,2 кг; 1,2 кг.
Завдання 261, 262
|
Знайди довжини сторін чотирикутника, якщо вони пропорційні числам 2, 4, 5 і 8, а сума найбільшої і найменшої сторін дорівнює 30 см.
Розв'язання
8х + 2х = 30
5х = 30
х = 30 : 5
х = 6
2 • 6 = 12 (см) – перша сторона;
4 • 6 = 24 (см) – друга сторона;
5 • 6 = 30 (см) – третя сторона;
8 • 6 = 48 (см) – четверта сторона.
Відповідь: 12 см; 24 см; 30 см; 48 см.
|
Знайди довжини сторін чотирикутника, якщо вони пропорційні числам 1, 3, 3 і 5, а найдовша сторона більша за найкоротшу на 12 см.
Розв'язання
5х – х = 12
4х = 12
х = 12 : 4
х = 3
1 • 3 = 3 (см) – перша сторона;
3 • 3 = 9 (см) – друга чи третя сторони;
5 • 3 = 15 (см) – четверта сторона.
Відповідь: 3 см; 9 см; 9 см; 15 см.
|
Завдання 263
Знайди три числа, пропорційні числам 2, 4 і 7, середнє арифметичне яких дорівнює 52.
Розв'язання
(2х + 4х + 7х) : 3 = 52
2х + 4х + 7х = 156
13х = 156
х = 156 : 13
х = 12
2 • 12 = 24 – перше число;
4 • 12 = 48 – друге число;
7 • 12 = 84 – третє число.
Відповідь: 24; 48; 84.
Завдання 264
Сторони двох квадратів відносяться як 5 : 6. Як відносяться їх периметри? А площі?
Розв'язання
Один квадрат має сторону довжиною 5х, а інший — 6х.
1) 5х • 4 = 20х – периметр одного квадрата;
2) 6х • 4 = 24х – периметр іншого квадрата;
3) 20х/24х = 5/6 – відношення їх периметрів;
4) 5х • 5х = 25х² – площа одного квадрата;
5) 6х • 6х = 36х² – площа іншого квадрата;
6) 25х²/36х² = 25/36 - відношення їх площ.
Відповідь: 5/6; 25/36.
Завдання 265
Акціонерне підприємство володіє пакетом акцій вартістю 5 млн грн. 30% всіх акцій були розподілені між співробітниками, а решту продали 3 компаніям. Вартість придбаних акцій компаніями А, Б і В відносяться як 1 : 2 : 4. На скільки більше грошей витратила на покупку акцій компанія В, ніж А?
Розв'язання
1) 5 – 5 • 0,3 = 3,5 (млн. грн) – вартість акцій, що розподілені між компаніями;
2) х + 2х + 4х = 3,5
7х = 3,5
х = 3,5 : 7
х = 0,5 (млн грн) – витратила компанія А;
4 • 0,5 = 2 (млн грн) – витратила компанія В;
2 – 0,5 = 1,5 (млн грн) – на стільки більше витратила компанія В, ніж А.
Відповідь: на 1,5 млн грн.
Завдання 266
|
1 — Б, 2 — В; 3 — А; 4 — Д
|
|
|
1) 1 : 2 : 3
х + 2х + 3х = 180°
6х = 180°
х = 180° : 6
х = 30°
2 • 30 = 60°
3 • 30 = 90°
Кути 30°, 60°, 90,
тому прямокутний (Б)
|
2) 3 : 5 : 10
3х + 5х + 10х = 180°
18х = 180°
х = 180° : 18
х = 10°
3 • 10 = 30°
5 • 10 = 50°
10 • 10 = 100°
Кути 30°, 50°, 100°,
тому тупокутний (В)
|
|
3) 2 : 3 : 4
2х + 3х + 4х = 180°
9х = 180°
х = 180° : 9
х = 20°
2 • 20 = 40°
3 • 20 = 60°
4 • 20 = 80°
Кути 40°, 60°, 80°,
тому гострокутний (А).
|
4) 5 : 5 : 8
5х + 5х + 8х = 180°
18х = 180°
х = 180° : 18
х = 10°
5 • 10 = 50°
8 • 10 = 80°
Кути 50°, 50°, 80°,
тому рівнобедрений
гострокутний (Д).
|
Завдання 267, 268
|
Побудуй кут АОВ, градусна міра якого дорівнює 70°. Проведи промінь ОМ так, щоб градусні міри кутів АОМ і МОВ були пропорційні числам 3 і 4.
Розв'язання
3х + 4х = 70°
7х = 70°
х = 70° : 7
х = 10°
3 • 10° = 30°
4 • 10° = 40°
Відповідь: 30°, 40°.
|
Побудуй кут АОВ, градусна міра якого дорівнює 120°. Проведи промінь ОМ так, щоб градусні міри кутів АОМ і МОВ були пропорційні числам 1 і 3.
Розв'язання
х + 3х = 120°
4х = 120°
х = 120° : 4
х = 30°
3 • 30° = 90°
Відповідь: 30°, 90°.
|
Завдання 269
Троє хлопців працювали на збиранні черешні. Перший зібрав 6 ящиків черешні, другий 8 ящиків, а третій — 9 ящиків. За роботу їм заплатили 1150 грн. Скільки гривень має отримати кожний хлопчик?
Розв'язання
6х + 8х + 9х = 1150
23х = 1150
х = 1150 : 23
х = 50
6 • 50 = 300 (грн) – отримав перший учень;
8 • 50 = 400 (грн) – отримав другий учень;
9 • 50 = 450 (грн) – отримав третій учень.
Відповідь: 300 грн; 400 грн; 450 грн.
Завдання 270
Троє жінок працювали на будівництві будинку. Перша працювала 5 днів по 7 год, друга — 6 днів по 5 год, а третя — 7 днів по 4 год. За роботу їм разом заплатили 18 600 грн. Скільки гривень має отримати кожна з жінок?
Розв'язання
1) 7 • 5 = 35 (год) – працювала перша жінка;
2) 5 • 6 = 30 (год) – працювала друга жінка;
3) 4 • 7 = 28 (год) – працювала третя жінка.
35х + 30х + 28х = 18600
93х = 18600
х = 18600 : 23
х = 200
35 • 200 = 7000 (грн) – отримає перша жінка;
30 • 200 = 6000 (грн) – отримає друга жінка;
28 • 200 = 5600 (грн) – отримає третя жінка.
Відповідь: 7000 грн; 6000 грн; 5600 грн.
Завдання 271
Поділіть число 200 на три частини, пропорційні числам:
|
а) 1/10, 1/5 і 1/5
1/10 х + 1/5 х + 1/5 х = 200
1/10 х + 2/10 х + 2/10 х = 200
5/10 х = 200
х = 200/1 : 5/10
х = 200/1 • 10/5
х = 400 – перша частина;
1/10 • 400 = 40 – друга частина;
1/5 • 400 = 80 – третя частина.
Відповідь: 40; 80; 80.
|
б) 1/2, 3/4 і 5/6
1/2 х + 3/4 х + 5/6 х = 200
6/12 х + 9/12 х + 10/12 х = 200
25/12 х = 200
х = 200/1 : 25/12
х = 200/1 • 12/25
х = 96
1/2 • 96 = 48 – перша частина;
3/4 • 96 = 72 – друга частина;
5/6 • 96 = 80 – третя частина.
Відповідь: 48; 72; 80.
|
Завдання 272
Поділи число 308 на три частини, пропорційні числам:
|
а) 1/18, 1/36 і 1/9
1/18 х + 1/36 х + 1/9 х = 308
2/36 х + 1/36 х + 4/36 х = 308
7/36 х = 308
х = 308/1 : 7/36
х = 308/1 • 36/7
х = 1584
1/18 • 1584 = 88 – перша частина;
1/36 • 1584 = 44 – друга частина;
1/9 • 1584 = 176 – третя частина.
Відповідь: 88; 44; 176.
|
б) 2/3, 3/4 і 5/12
2/3 х + 3/4 х + 5/12 х = 308
8/12 х + 9/12 х + 5/12 х = 308
22/12 х = 308
х = 308/1 : 22/12
х = 308/1 • 12/22
х = 168
2/3 • 168 = 112 – перша частина;
3/4 • 168 = 126 – друга частина;
5/12 • 168 = 70 – третя частина.
Відповідь: 112; 126; 70.
|
Завдання 273
Сума двох чисел дорівнює 360, а відносяться вони як 2/3 : 5/6. Знайди ці числа.
Розв'язання
2/3 х + 5/6 х = 360
4/6 х + 5/6 х = 360
9/6 х = 360
х = 360/1 : 9/6
х = 360/1 • 6/9
х = 240
2/3 • 240 = 160 – перша частина;
5/6 • 240 = 200 – друга частина.
Відповідь: 160; 200.
Завдання 274
|
Сума трьох чисел дорівнює 24,8. Знайди ці числа, якщо перше з них відноситься до другого як 3 : 5, а друге до третього як 2 : 3.
Розв'язання
3х + 5х + 7,5х = 24,8
15,5х = 24,8
х = 24,8 : 15,5
х = 1,6
3 • 1,6 = 4,8 – перше число;
5 • 1,6 = 8 – друге число;
7,5 • 1,6 = 12 – третє число.
Відповідь: 4,8; 8; 12.
|
Сума трьох чисел дорівнює 170. Знайди ці числа, якщо перше з них відноситься до другого як 2 : 3 а друге до третього як 5 : 3.
Розв'язання
2х + 3х + 1,8х = 170
6,8х = 170
х = 170 : 6,8
х = 25
2 • 25 = 50 – перше число;
3 • 25 = 75 – друге число;
1,8 • 25 = 45 – третє число.
Відповідь: 50; 75; 45.
|
Завдання 276 Ознаки подільності чисел
Доведи, що при кожному натуральному значенні n число 10n + 53 ділиться на 9. Так, бо сума усіх цифр даного числа дорівнює 9.
Завдання 277
Учора в класі присутніх було у 8 разів більше, ніж відсутніх. Сьогодні не прийшли ще два учні, тому відсутні становлять уже 20 % від присутніх. Скільки всього учнів у цьому класі?
Розв'язання
Нехай відсутні х учнів, тоді присутні будуть 8х учнів. Коли 2 учні не прийшли наступного дня, то маємо (х + 2) — відсутніх у класі і (8х - 2) — присутніх. Якщо відсутні становлять 20% від присутніх, то маємо (х + 2) : 0,2 = х : 0,2 + 2 : 0,2 = 5х + 10. Складаємо рівняння:
5х + 10 = 8х – 2
8х – 5х = 10 + 2
3х = 12
х = 12 : 3
х = 4 (учн.) – становлять відсутні;
8 * 4 = 32 (учн.) – присутні;
32 + 4 = 36 (учн.) – у класі.
Відповідь: 36 учнів.
Завдання 278
Знайди периметр трикутника, якщо він більший від однієї сторони на 35 см, від другої — на 45 см, від третьої — на 50 см.
Нехай периметр трикутника х, тоді перша сторона (х - 35) см, друга - (х - 45) см, третя - (х - 50) см. Складаємо рівняння.
(х – 35) + (х – 45) + (х – 50) = х
х – 35 + х – 45 + х – 50 = х
х + х + х – х = 50 + 45 + 35
2х = 130
х = 130 : 2
х = 65
Відповідь: периметр трикутника 65 см.
Вправи для повторення
Завдання 279
Для 10 коней на 30 днів потрібно 9 ц вівса. Скільки вівса потрібно для 24 коней на 36 днів?
Розв'язання
9 ц = 900 кг
1) 900 : 30 = 30 (кг) – потрібно 10 коням на день;
2) 30 : 10 = 3 (кг) – потрібно 1 коневі на 1 день;
3) 3 • 24 = 72 (кг) – потрібно 24 коням на 1 день;
4) 72 • 36 = 2592 (кг) = 25,92 (ц) – потрібно 24 коням на 36 днів.
Відповідь: 25,92 ц.
Завдання 280
Карта, накреслена в масштабі 1 : 25 000, перероблена на карту в масштабі 1 : 10 000. Знайди довжину залізниці на новій карті, якщо на старій вона зображена відрізком завдовжки 15 см.
Розв'язання
1) 1 см — 25 000 см
15 см — х см
1/15 = 25000/х, х = 25000 • 15 : 1; х = 375000 (см)
2) 1 см — 10000 см
х см — 375000 см
1/х = 10000/375000, х = 375000 • 1 : 10000; х = 37,5 (см)
Відповідь: 37,5 см.
Завдання 281
На скільки відсотків сума 3,5 і 2,5 більша за їх різницю?
1) 3,5 + 2,5 = 6 – сума чисел;
2) 3,5 – 2,5 = 1 – різниця чисел;
3) 6 – 1 = 5 – на стільки більша сума;
5/6 • 100 = 500/6 = 83 2/6 = 83 1/3 (%)
Відповідь: на 83 1/3%.