Завдання 1486

Координати точок: А(1;5); B(–3,5)

 

Завдання 1488

1) –26 – 38 + 45 = –19

2) –1,5 • (–0,8) + 0,27 = 1,47

3) –7,2 : (–9) – 1,08 = –0,28

4) 2,5 • (–1,4) • 3 • (–4) = 42

5) 5,9 • (–0,7) + 1,1 • (–0,7) =  –4,9

6) (–7 + 5)³ – (–3,5)² = 20,25

7) (–2 4/5 + 1 2/15 – 1/3) • (–15) = 30

8) –8 3/8 • 4/7 – 1 3/8 : (–1,75) = –67/14 + 11/14 56/14 = 4

 

Завдання 1489

Доведіть, що значення виразу 4(k – 6) – 3(5 – 2k) – 10k не залежать від значень k.

4(k – 6) – 3(5 – 2k) – 10k = 4k – 24 – 15 + 6k – 10k = –39

 

Завдання 1493 Рівняння

Поле, площа якого 152 га, засіяли пшеницею і житом, до того ж пшеницею засіяли втричі більшу площу, ніж житом. Скільки гектарів поля засіяли пшеницею і скільки — житом?

Розв'язання

1 спосіб

Нехай житом засіяли х га, тоді пшеницею — 3х га. Складаємо рівняння:

х + 3х = 152

4х = 152

х = 38 (га) – засіяли житом;

3 • 38 = 114 (га) – засіяли пшеницею.

2 спосіб

1) 1 + 3 = 4 (ч.) – всього частин;

2) 152 : 4 = 38 (га) – складає одна частина або засіяли жита;

3) 38 • 3 = 114 (га) – засіяли пшеницею.

Відповідь: 114 га; 38 га.

 

Завдання 1495

У першому пакеті цукру на 720 г менше, ніж у другому. Скільки грамів цукру в кожному пакеті, якщо в першому його в 4 рази менше, ніж у другому?

Розв'язання

1 спосіб

Нехай в першому пакеті х г, тоді в другому — 4х г. Складаємо рівняння:

4х – х = 720

3х = 720

х = 240 (г) – в першоому пакеті;

4 • 240 = 960 (г) – в другому пакеті.

2 спосіб

1) 4 + 1 = 3 (ч.) – на стільки менше частин;

2) 720 : 3 = 240 (г) – складає одна частина або цукру в першому пакеті;

3) 4 • 240 = 960 (г) – в другому пакеті.

Відповідь: 240 г; 960 г.

 

Завдання 1496

За блокнот, 2 лінійки і циркуль заплатили 52 грн. Блокнот утричі, а циркуль в 1,5 раза дорожчі за лінійку. Знайдіть ціни блокнота, лінійки і циркуля.

Розв'язання

1 спосіб

Нехай лінійка коштує х грн, тоді блокнот – 3х грн, а циркуль – 1,5х грн. Складаємо рівняння:

3х + 2х + 1,5х = 52

6,5х = 52

х = 8 (грн) – ціна лінійки;

3 • 8 = 24 (грн) – ціна блокнота;

1,5 • 8 = 12 (грн) – ціна циркуля.

2 спосіб

1) 3 + 1,5 + 2 = 6,5 (ч.) – всього частин;

2) 52 : 6,5 = 52 (грн) – складає одна частина або ціна лінійки;

3) 3 • 8 = 24 (грн) – ціна блокнота;

4) 1,5 • 8 = 12 (грн) – ціна циркуля.

Відповідь: 24 грн, 8 грн, 12 грн.

 

Завдання 1497

У двох коробках 350 г цукерок, до того ж у першій — на 50 г більше, ніж у другій. Знайдіть масу цукерок у кожній коробці.

Розв'язання

1 спосіб

Нехай в другій коробці х г, тоді в першій — (х + 50) г. Складаємо рівняння:

х + х + 50 = 350

2х = 300

х = 150 (г) – в другій коробці;

150 + 50 = 200 (г) – в першій коробці.

2 спосіб

1) 350 – 50 = 300 (г) – порівно;

2) 300 : 2 = 150 (г) – в другій коробці;

3) 150 + 50 = 200 (г) – в першій коробці.

Відповідь: 200 г; 150 г.

 

Завдання 1498

Три розділи підручника займають 220 сторінок. У першому розділі на 12 сторінок більше, ніж у другому, і на 4 сторінки менше, ніж у третьому. Скільки сторінок займає кожний із цих розділів?

Розв'язання

Нехай в першому розділі х сторінок, тоді в першому — (х – 12) сторінок,  а в третьому — (х + 4) сторінок. Складаємо рівняння:

х + х – 12 + х + 4 = 220

3х = 228

х = 76 (с.) – у першому розділі;

76 – 12 = 64 (с.) – у другому розділі;

76 + 4 = 80 (с.) – у третьому розділі;

Відповідь: 76, 64 і 80 сторінок.

 

Завдання 1499

Біля новобудови на трьох ділянках посадили 49 дерев: на першій ділянці — в 1,2 раза більше, ніж на другій, а на другій — на 1 дерево менше, ніж на третій. Скільки дерев посадили на кожній ділянці?

Розв'язання

Нехай на другій ділянці посадили х дерев, тоді на першій — 1,2х дерев,  а в третьому — (х + 1) с. Складаємо рівняння:

х + 1,2х + х + 1 = 49

3,2х = 48

х = 15 (д.) – на другій ділянці;

1,2 • 15 = 18 (д.) – на першій ділянці;

15 + 1 = 16 (д.) – на третій ділянці.

Відповідь: 18, 15 і 16 дерев.

 

Завдання 1500

На першій полиці книжок удвічі більше, ніж на другій. Після того як з першої полиці переставили на другу 2 книжки, на першій полиці книжок стало в 1,5 раза більше, ніж на другій. Скільки книжок було на кожній полиці спочатку?

Розв'язання

Нехай на другій полиці було х книжок, тоді на першій — 2х книжок. Складаємо рівняння:

2х – 2 = 1,5(х + 2)

0,5х = 5

х = 10 (кн.) – на другій полиці;

2 • 10 = 20 (кн.) – на першій полиці.

Відповідь: 20 і 10 книжок.

 

Завдання 1501

З міста А о 8 год виїхав автобус, а о 9 год услід за ним — автомобіль, швидкість якого на 20 км/год більша за швидкість автобуса. Автомобіль прибув до міста В о 13 год 30 хв, а автобус — о 14 год. 1) Знайдіть швидкості автомобіля й автобуса. 2) О котрій годині автомобіль наздогнав автобус? 3) На якій відстані від міста А відбулася їх зустріч?

Розв'язання

1) 14 – 8 = 6 (год) – автобус в дорозі;

2) 13,5 – 9 = 4,5 (год) – автомобіль в дорозі;

3) Нехай швидкість автобуса х км/год, тоді швидкість автомобіля (х + 20) км/год. Складаємо рівняння:

6х = 4,5(х + 20)

6х = 4,5х + 90

1,5х = 90

х = 60 (км/год) – швидкість автобуса;

4) 60 + 20 = 80 (км/год) – швидкість автомобіля;

5) Нехай автомобіль наздожене автобус через х годин. Складаємо рівняння:

60х = 80(х – 1)

60х = 80х – 80

–20х = –80

х = 4 (год)

6) 8 + 4 = 12 (год) – час, коли автомобіль наздожене автобус;

7) 60 • 4 = 240 (км) – відстань від пункту А, коли відбулася їх зустріч.

Відповідь: 1) 60 км/год, 80 км/год; 2) о 12 год; 3) 240 км.

 

Завдання 1502

Теплохід пройшов шлях між двома пристанями проти течії річки за 5,5 год, а зворотний шлях — за 4,5 год. Швидкість течії дорівнює 3 км/год. Знайдіть відстань між пристанями.

Розв'язання

1) Нехай швидкість теплохода х км/год, тоді за течією — (х + 3) км/год, а проти течії — (х – 3) км/год. Складаємо рівняння:

5,5(х – 3) = 4,5(х + 3)

5,5х – 16,5 = 4,5х + 13,5

х = 30 (км/год) – швидкість теплохода;

2) 4,5 • (30 + 3) = 148,5 (км) – відстань між пристанями.

Відповідь: 148,5 км.

 

Завдання 1503

Задача Піфагора. Коли в Піфагора запитали, скільки в нього учнів, він відповів: «Половина моїх учнів вивчає прекрасну математику, четверта частина досліджує таємниці вічної природи, сьома частина вправляється в силі ... . Додайте до них ще трьох юнаків, з яких Теон має найкращі здібності. Стільки учнів веду я до розуміння вічної істини». Скільки учнів було в Піфагора?

Розв'язання

1 спосіб

1) 1 – (1/2 + 1/4 + 1/7) = 28/28 – 14/28 – 7/28 – 4/28 = 3/28 – становлять юнаки;

2) 3 : 3/28 = 3 • 28/3 = 28 (уч.) – було в школі Піфагора.

2 спосіб

Нехай в Піфагора х учнів. Складаємо рівняння:

х – 1/2 х – 1/4 х – 1/7 х = 3

28/28 х – 14/28 х – 7/28 х – 4/28 х = 3

3/28 х = 3

х = 3 : 3/28

х = 3 • 28/3

х = 28

Відповідь: 28 учнів.

 

Завдання 1504

a ⊥ b, b || c

Завдання 1505

1) точки перетину прямої з осями координат: D(0;2) i E(2;0)

2) точка, абсциса якої дорівнює –1: С(–1;3)

3) точка, ордината якої дорівнює –2: F(4;–2)

 

Завдання1506

1) Початкова температура 2°С. Найменша температура –2°С;

2) якщо t = 3, тоді температура –1°С, якщо t = 4,5, тоді температура 0,5 °С;

3) температура дорівнювала –1 °С при t = 1,5 та t = 3;

4) підвищувалася температура на проміжку з t = 2 до t = 5,

   знижувалася температура на проміжку з t = 0 до t = 2,

   була від’ємною на проміжку з t = 1 до t = 4.

 

Завдання 1507

Дано два натуральні числа m і n. Доведіть, що число mn(m + n) є парним.

Число m — парне, а n — непарне, то їх добуток mn – парне число, тому парне mn(m + n)

Числа m і n — непарні, то їх сума (m + n) — парне число, тому парне mn(m + n).

Числа m і n — парні, то їх сума (m + n) і їхній добуток mn — парні числа, тому парне mn(m + n).

 

Завдання 1508 Ознаки подільності чисел

Доведіть, що коли p — просте число, більше за 3, то число (p – 1)(p + 1) ділиться на:

1) 3; Якщо p = 5, тоді (p – 1) (p + 1) = (5 – 1) (5 + 1) = 4 • 6 = 24, а 24 ділиться на 3.

2) 8; Якщо p = 5, тоді (p – 1) (p + 1) = (5 – 1) (5 + 1) = 4 • 6 = 24, а 24 ділиться на 8.

3) 24. Якщо p = 5, тоді (p – 1) (p + 1) = (5 – 1) (5 + 1) = 4 • 6 = 24, а 24 ділиться на 24.

 

Завдання 1509

У кожному великому бутлі є 9 л води, а в кожному малому — 7 л. Чи можна взяти кілька великих і кілька малих бутлів так, щоб у них разом містилося 50 л води?

Розв'язання

9х + 7у = 50, якщо х = 4, у = 2

Відповідь: так, можна взяти 4 бутлі по 9 л і 2 бутлі по 7 л.

 

Завдання 1510

Знайдіть усі прості числа x та y, для яких є правильною рівність:

1) 3x – y = 12;

у = 3х – 12; у = 3(х – 4); х – 4 = 1, звідси х = 5, у = 1

2) x + y = 31;

х = 2, у = 29 або х = 29 у = 2

3) x² – y² = 21;

(х – у) (х + у) = 21. Може бути 4 варіанти:

1) х – у = 1; х + у = 21; х = 1 + у; 1 + 2у = 21; 2у = 20; у = 10, тому не підходить;

2) х – у = 21; х + у = 1; оскільки (х + у) > (х – у), тому не підходить;

3) х – у = 7; х + у = 3; оскільки (х + у) > (х – у), тому не підходить;

4) х – у = 3; х + у = 7; х = 3 + у; 3 + 2у = 7; 2у = 4; у = 2; х = 5.

 

Завдання 1511

Чи можна числа –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4 записати в клітинках таблиці розміру 3 х 3 так, щоб сума чисел кожного рядка таблиці була додатною, а кожного стовпця — від’ємною? Ні, не можна, бо сума всіх чисел дорівнює 0.

 

Завдання 1512

Доведіть, що за допомогою цифр 1, 2, 3, 4, 5 і 6, узятих по одному разу, не можна записати шестицифрове число, яке було б квадратом цілого числа. 

Будь-яке шестицифрове число, записане за допомогою цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, узятих по одному разу, буде мати суму цифр: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21, причому вона, а значить і шестизначне число ділиться на 3, але не ділиться на 9. Отже, жодне з можливих таких чисел не буде квадратом цілого числа, що й треба було довести.

 

Завдання 1513

Добуток десяти цілих чисел дорівнює 1. Чи може сума цих чисел дорівнювати 0? Ні

 

Завдання 1514

На столі лежить 9 цукерок. Петро і Дарина грають у таку гру: вони по черзі підходять до столу і беруть одну або дві цукерки. Щоб перемогти в грі, потрібно взяти останню цукерку. Хто з них може забезпечити собі перемогу, якщо перший підхід робить Петро? Дарина, якщо постійно братиме таку кількість цукерків, щоб отримувати в сумі 3 з цукерками, які візьме  Петро. 

Інші завдання дивись тут...