Інші завдання дивись тут ...

§ 36. Середнє арифметичне.

Питання.

Питання 1. Що називають середнім арифметичним кількох чисел? Середнім арифметичним кількох чисел називають частку від ділення суми цих чисел на кількість доданків.

Питання 2. Наведіть приклади середніх величин. Середня швидкість, середня маса, середня продуктивність праці, середня ціна.

 

Розв’язуємо усно

Задача 1. Заповніть ланцюжок обчислень.

6,3 : 0,9 = 7 7 – 1,4 = 5,6 5,6 : 8 = 0,7 0,7 • 0,15 = 0,105

Задача 2. Порівняйте числа:

1) 39/100 < 0,41

2) 4/5 = 0,8; 4/5 > 0,75

3) 0,3 < 31/100

4) 1/5 = 0,2;  1/5 < 0,5

5) ½ = 0,5;  ½ > 0,499

6) 9/10 = 0,9; 894/1000 = 0,894;  9/10 > 0,894

 

Задача 3. Знайдіть четверту частину різниці 5,2 - 2,4.

Розв'язання.

(5,2 – 2,4) : 4 = 2,8 : 4 = 0,7

 

Задача 4. Знайдіть п’яту частину добутку 1,8 • 1,5.

Розв'язання.

(1,8 • 1,5) : 5 = 2,7 : 5 = 0,54

 

Задача 5. Від села до станції 2 км. Чи встигне пішохід на поїзд, якщо вийде із села за 0,6 год до відходу поїзда та буде рухатися зі швидкістю 2,5 км/год?

Розв'язання.

1 спосіб.

1) 2,5 • 0,6 = 1,5 (км) – пройде відстань за 0,6 год.

1,5 < 2

2 спосіб.

1) 2 : 2,5 = 0,8 (год) – потрібно часу, щоб дійти до станції.

0,6 < 0,8

Відповідь: не встигне на поїзд.

 

Вправи

Вправа 1038. Знайдіть середнє арифметичне чисел:

1) 10,3 і 9,1; 2) 2,8; 16,9 і 22.

Розв'язання.

1) (10,3 + 9,1) : 2 = 19,4 : 2 = 9,7

2) (2,8 + 16,9 + 22) : 3 = 41,7 : 3 = 13,9

 

Вправа 1039. Знайдіть середнє арифметичне чисел:

1) 4,2 і 2,1;     2) 3,9; 6; 9,18 і 15,8.

Розв'язання.

1) (4,2 + 2,1) : 2 = 6,3 : 2 = 3,15

2) (3,9 + 6 + 9,18 + 15,8) : 4 = 34,88 : 4 = 8,72

 

Вправа 1040. Протягом тижня о 8 год ранку Сашко вимірював температуру повітря. Він отримав такі результати: 20 °С; 18 °С; 16 °С; 15 °С; 14 °С; 17 °С; 19 °С. Знайдіть середнє значення проведених вимірювань.

Розв'язання.

(20 + 18 + 16 + 15 + 14 + 17 + 19) : 7 = 119 : 7 = 17 (°С) – середня температура.

Відповідь: середня температура 17 °С.

 

Вправа 1041. Знайдіть середню оцінку учнів вашого класу з математики за лютий. У разі потреби округліть до одиниць.

Підказка. Знайти суму усіх оцінок за лютий, результат поділити на кількість оцінок, округлити результат до одиниць. 

 

Вправа 1042.* Поїзд рухався 4 год зі швидкістю 64 км/год і 5 год зі швидкістю 53,2 км/год. Знайдіть середню швидкість поїзда на всьому шляху.

Розв'язання.

1) 64 • 4 = 256 (км) – відстань пройшов за 4 год.

2) 53,2 • 5 = 266 (км) – відстань пройшов за 5 год.

3) 256 + 266 = 522 (км) – вся відстань.

4) 4 + 5 = 9 (год) – увесь час.

5) 522 : 9 = 58 (км/год) – середня швидкість поїзда на всьому шляху.

Відповідь: середня швидкість поїзда на всьому шляху 58 км/год.

 

Вправа 1043.* Автомобіль їхав 3 год зі швидкістю 56,4 км/год і 4 год зі швидкістю 62,7 км/год. Знайдіть середню швидкість автомобіля на всьому шляху.

Розв'язання.

1) 56,4 • 3 = 169,2 (км) – відстань проїхав автомобіль за 3 год.

2) 62,7 • 4 = 250,8 (км) – відстань проїхав зв 4 год.

3) 169,2 + 250,8 = 420 (км) – вся відстань.

4) 3 + 4 = 7 (год) – увесь час.

5) 420 : 7 = 60 (км/год) – середня швидкість автомобіля на всьому шляху.

Відповідь: середня швидкість автомобіля на всьому шляху дорівнює 60 км/год.

 

Вправа 1044.* Середнє арифметичне чисел 7,8 і х дорівнює 7,2. Знайдіть число х.

Розв'язання.

(7,8 + х) : 2 = 7,2

7,8 + х = 7,2 • 2

7,8 + х = 14,4

х = 14,4 – 7,8 

х = 6,6

 

Вправа 1045. Середнє арифметичне чисел 6,4 і у дорівнює 8,5. Знайдіть число у.

Розв'язання.

(6,4 + у) : 2 = 8,5

6,4 + у = 8,5 • 2

6,4 + у = 17

у = 17 – 6,4 

у = 10,6

 

Вправа 1046.* Середнє арифметичне двох чисел, одне з яких у 4 рази менше від другого, дорівнює 10. Знайдіть ці числа.

Розв'язання.

Нехай х – перше число, тоді 4х – друге число. Складемо рівняння

(х + 4х) : 2 = 10

5х = 10 • 2

5х = 20

х = 20 : 5

х = 4 – перше число.

4х = 4 • 4 = 16 – друге число.

Відповідь: перше число 4, друге 16. 

 

Вправа 1047.* Середнє арифметичне двох чисел, одне з яких на 4,6 більше за друге, дорівнює 8,2. Знайдіть ці числа.

Розв'язання.

Нехай х – перше число, тоді (х + 4,6) – друге число. Складемо рівняння

(х + х + 4,6) : 2 = 8,2

2х + 4,6 = 8,2 • 2

2х + 4,6 = 16,4

2х = 16,4 – 4,6

2х = 11,8

х = 11,8 : 2

х = 5,9 – перше число.

х + 4,6 = 5,9 + 4,6 = 10,5 – друге число.

Відповідь: перше число 5,9, друге 10,5. 

 

Вправа 1048.* Беручи участь у математичній олімпіаді, Дмитрик розв’язав 10 задач. За кожну задачу він міг отримати не більше 12 балів. За перші вісім задач хлопчик отримав середню оцінку 7 балів. Скільки балів отримав Дмитрик за кожну з решти двох задач, якщо середня кількість балів за одну розв’язану задачу становила 8?

Розв'язання.

1) 10 • 8 = 80 (б.) – балів отримав за 10 задач.

2) 7 • 8 = 56 (б.) – сума балів перших 8 задач.

3) 80 – 56 = 24 (б.) – балів отримав за 2 задачі.

4) 24 : 2 = 12 (б.) – балів отримав за кожну з решти двох задач.

Відповідь: за кожну з решти двох задач Дмитрик отримав 12 балів.  

 

Вправа 1049.** Автомобіль їхав 3,4 год по шосе зі швидкістю 90 км/год і 1,6 год по ґрунтовій дорозі. З якою швидкістю їхав автомобіль по ґрунтовій дорозі, якщо середня швидкість на всьому шляху становила 75,6 км/год?

Розв'язання.

1) 3,4 + 1,6 = 5 (год) – увесь час.

2) 75,6 • 5 = 378 (км) – увесь шлях.

3) 90 • 3,4 = 306 (км) – відстань пройшов за 3,4 год по шосе.

4) 378 – 306 = 72 (км) – відстань пройшов за 1,6 год по ґрунтовій дорозі.

5) 72 : 1,6 = 45 (км/год) – швидкість автомобіля по ґрунтовій дорозі.

Відповідь: швидкість автомобіля по ґрунтовій дорозі 45 км/год.

 

Вправа 1050.* Було куплено 2 кг цукерок одного виду по 64 грн за кілограм, 4 кг цукерок другого виду по 82 грн і ще 3 кг цукерок третього виду. Середня ціна куплених цукерок становила 88 грн за кілограм. Скільки коштував кілограм цукерок третього виду?

Розв'язання.

1) 2 + 4 + 3 = 9 (кг) – кілограмів цукерок куплено.

2) 88 • 9 = 792 (грн) – вартість усіх цукерок.

3) 64 • 2 = 128 (грн) – вартість цукерок по ціні 64 грн.

4) 82 • 4 = 328 (грн) – вартість цукерок по ціні 82 грн.

5) 128 + 328 = 456 (грн) – вартість цукерок по ціні 64 грн і 82 грн разом.

6) 792 – 456 = 336 (грн) – вартість цукерок третього виду.

7) 336 : 3 = 112 (грн) – ціна цукерок третього виду.

Відповідь: кілограм цукерок третього виду коштував 112 грн.

 

Вправа 1051.** Середнє арифметичне чотирьох чисел дорівнює 2,1, а середнє арифметичне трьох інших чисел — 2,8. Знайдіть середнє арифметичне цих семи чисел.

Розв'язання.

1) 2,1 • 4 = 8,4 – сума чотирьох чисел.

2) 2,8 • 3 = 8,4 – сума трьох чисел.

3) 8,4 + 8,4 = 16,8 – сума семи чисел.

4) 16,8 : 7 = 2,4 – середнє арифметичне цих семи  чисел.

Відповідь: середнє арифметичне цих семи чисел дорівнює 2,4.

 

Вправа 1052.* Середнє арифметичне семи чисел дорівнює 10,2, а середнє арифметичне трьох інших чисел — 6,8. Знайдіть середнє арифметичне цих десяти чисел.

Розв'язання.

1) 10,2 • 7 = 71,4 – сума семи чисел.

2) 6,8 • 3 = 20,4 – сума трьох чисел.

3) 71,4 + 20,4 = 91,8 – сума десяти чисел.

4) 91,8 : 10 = 9,18 – середнє арифметичне цих десяти чисел.

Відповідь: середнє арифметичне цих десяти чисел дорівнює 9,18.

 

Вправа 1053.** Середній вік 11 футболістів команди становить 22 роки. Під час гри одного з футболістів було виведено з поля, після чого середній вік гравців, які залишилися, став дорівнювати 21 року. Скільки років футболісту, який залишив поле?

Розв'язання.

1) 22 • 11 = 242 (р.) – сума років 11 футболістів.

2) 21 • 10 = 210 (р.) – сума років 10 футболістів, що залишилися на полі.

3) 242 – 210 = 32 (р.) – років футболісту, котрий залишив поле.

Відповідь: футболістові, котрий залишив поле, 32 роки. 

 

Вправа 1054.* На скільки середнє арифметичне всіх парних чисел від 1 до 1000 включно більше за середнє арифметичне всіх непарних чисел від 1 до 1000 включно?

Розв'язання.

Маємо 500 парних (2,4,6,8, …,1000) чисел.

Маємо 500 непарних чисел (1,3,5,7,…,999). 

Кожне парне число на 1 більше від непарного.

Нехай х – сума непарних чисел, тоді (х + 500) – сума парних чисел. 

Тоді (х : 500) – середнє арифметичне непарних чисел, (х + 500) : 500 – середнє арифметичне усіх парних чисел. Маємо

(х + 500) : 500 – х : 500 = (х + 500 – х) : 500 = 500 : 500 =1 – на стільки середнє арифметичне парних чисел більше, ніж непарних чисел.

 

Вправа 1055.* Сім гномів зібрались увечері навколо вогнища. Виявилося, що зріст кожного гнома дорівнює середньому арифметичному зросту двох його сусідів. Доведіть, що всі гноми були одного зросту.

Розв'язання.

Властивість арифметичної прогресії. 

Якщо би гноми сиділи у порядку зростання росту, тоді виявилося би, що зріст першого (найменшого)  гнома мав би дорівнювати середньому арифметичному другого та сьомого (найвищого), що не є хибною умовою. Усі гноми були одного росту. 

 

Вправи для повторення

Вправа 1056. Знайдіть числа, яких не вистачає в ланцюжку

Розв'язання.

1) 9,88 : а = 3,8

а = 9,88 : 3,8

а = 2,6

3,8 – b = 1,74

b = 3,8 – 1,7

b = 2,06

1,74 • с = 6,09

с = 6,09 : 1,74

с = 3,5

2) 6,2 • х = 17,36

х = 17,36 : 6,2

х = 2,8

17,36 + y = 20,1

y = 20,1 – 17,36

y = 2,74

20,1 : z = 1,5

z = 20,1 : 1,5 

z = 13,4

 

Вправа 1057. Периметр прямокутника дорівнює 36,6 см, а одна із його сторін — 13,8 см. Обчисліть площу прямокутника. 

Розв'язання.

1) 36,6 : 2 = 18,3 (см) – сума довжини та ширини прямокутника.

2) 18,3 – 13,8 = 4,5 (см) – ширина прямокутника.

3) S = 13,8 см • 4,5 см = 62,1 см2 – площа прямокутника.

Відповідь: площа прямокутника 62,1 см2.

 

Вправа 1058. Ширина прямокутного паралелепіпеда дорівнює 7,2 см, що становить 0,8 його довжини та 0,18 його висоти. Обчисліть об’єм паралелепіпеда.

Розв'язання.

Якщо ширина 7,2 см уже становить 8/10 довжини, тоді 

1) 7,2 : 8 • 10 = 9 (см) – довжина паралелепіпеда.

Якщо 7,2 см уже становить 18/100 від висоти, тоді

2) 7,2 : 18 • 100 = 40 (см) – висота паралелепіпеда.

3) V = 7,2 см • 9 см • 40 см = 2592 см3 - об'єм паралелепіпеда.

Відповідь: об'єм паралелепіпеда 2592 см3.

 

Вправа 1059.

1) У 25 банок розлили порівну 32 кг меду. Скільки меду налили в кожну банку? Відповідь округліть до десятих.

Розв'язання.

1) 32 : 25 = 1,28 ≈ 1,3 (кг) – меду налили в кожну банку.

Відповідь: у кожну банку налили приблизно 1,3 кг меду.

2) Між 9 командами розділили порівну 25 кг призових цукерок. Скільки кілограмів цукерок отримала кожна команда? Відповідь округліть до десятих.

Розв'язання.

1) 25 : 9 = 2,777 ≈ 2,8 (кг) – цукерок отримала кожна команда.

Відповідь: кожна команда отримала приблизно 2,8 кг цукерок.

 

Задача від Мудрої Сови

Задача 1060. Одночасно на сковороду можна покласти два карасі. Щоб підсмажити карася з одного боку, потрібна 1 хв. Чи можна за 3 хв підсмажити з двох боків трьох карасів?

Розв'язання.

Маємо 1-карась, 2-карась, 3-карась.

За першу хвилину смажимо перший бік 1-карася, перший 2-карася.

3а другу хвилину забираємо 2-карася, смажимо другий бік 1-карася, перший бік 3-карася.

За третю хвилину смажимо другий бік 2-карася, другий бік 3-карасяя.

Інші завдання дивись тут ...