Інші завдання дивись тут ...

12. Види кутів. Вимірювання кутів

Розв’язуємо усно

Завдання 1. Назвіть два числа, одне з яких:

1) на 27 більше за друге (303 = 27)

2) на 15 менше від другого (4530 = 15)

3) у 7 разів менше від другого (42 : 6 = 7)

4) у 3 рази більше за друге (21 : 7 = 3)

 

Завдання 2. Годинник спішить на 10 хв і зараз показує 10 год 8 хв. Яка година насправді?

Розв'язання.

Насправді час на 10 хв менший.

1 спосіб.

 10 год 08 хв

 _9 год 68 хв

          10 хв

  9 год 58 хв ‒ година насправді.

2 спосіб.

10 год 08 хв = (9 год + 1 год) + 08 хв =

= 9 год + (60 хв + 8 хв) = 9 год 68 хв

9 год 68 хв ‒ 10 хв = 9 год + (68 хв ‒

- 10 хв) = 9 год 58 хв ‒ година насправді.

Відповідь: насправді 9 год 58 хв.

 

Завдання 3. Годинник відстає на 7 хв і зараз показує 16 год 55 хв. Яка година насправді?

Розв'язання.

Насправді час на 7 хв більший.

1 спосіб.

+16 год 55 хв

             7 хв

  16 год  62 хв

  17 год  02 хв ‒ година насправді.

2 спосіб.

16 год 55 хв + 7 хв=16 год +(55 хв + 7 хв)=

= 16 год + 62 хв = 16 год +(60 хв + 2 хв) =

= (16 год + 1 год) + 2 хв =

= 17 год 2 хв ‒ година насправді.

Відповідь: насправді 17 год 2 хв.

 

Завдання 4. Які з даних рівнянь не мають коренів:

1) 2х = х (нема кореня)

2) 0х = 0 (корінь будь‒яке число)

3) 3 ‒ х = 3 (корінь 0)

4) 0х = 6 (нема кореня)

5) х • х = х (корінь 1, 0)

6) х + 6 = 7 + х (нема кореня)

7) 8х = 0 (корінь 0)

8) 3 ‒ х = 2 (корінь 1)

9) 1 • х = 5 (корінь 5)

 

Завдання 5. Для озеленення вулиці завдовжки 3 км на одному її боці посадили дерева на відстані 20 м одне від одного. Скільки дерев було посаджено? Чому дорівнює відстань між першим і п’ятим деревами?

Розв'язання.

3 км = 3000 м

1) 3000 : 20 = 150 (в.) ‒ відрізків між деревами на вулиці.

2) 150 + 1 = 151 (д.) ‒ дерев посаджено.

3) 5 ‒ 1 = 4 (в.) ‒ відрізків між першим і п’ятим деревами.

4) 20 • 4 = 80 (м.) ‒ відстань між першим і п’ятим деревами.

Відповідь: посаджено 150 дерев, відстань між першим і п’ятим деревами дорівнює 80 м.

 

Вправи

Вправа 300.° Накресліть: 1) гострий кут EFC; 2) прямий кут ORT; 3) тупий кут D; 4) розгорнутий кут КАР.

Розв'язання.

 

Вправа 301.° Знайдіть на рисунку 97 гострі, тупі та прямі кути.

Розв'язання.

а) Прямий кут А

    Гострі кути С, М

    Тупий кут К

б) Прямий кут О

    Гострий кут Р

    Тупі кути Т, Q

Вправа 302.° Які з даних кутів гострі, тупі, прямі, розгорнуті: <A = 96°, <B = 84°, < S = 180°, <D = 90°, <R = 162°, <E = 60°, <Q = 100°, <M = 72°?

Розв'язання.

Гострі кути <B = 84°, <E = 60°, <M = 72°

Тупі кути <A = 96°, <R = 162°, <Q = 100°

Прямі кути <D = 90°

Розгорнуті кути <S = 180°

 

Вправа 303.° Знайдіть, користуючись транспортиром, градусну міру кутів, зображених на рисунку 98. Визначте вид кожного кута.

Розв'язання.

<АМК = 30° (гострий кут); <FTC = 35° (гострий кут); <BOP = 120° (тупий кут); 

<HQR = 90° (прямий кут); <SNE = 125° (тупий кут); <XYZ = 45° (гострий кут)

 

Вправа 304. Знайдіть, користуючись транспортиром, градусну міру кутів, зображених на рисунку 99. Визначте вид кожного кута.

Розв'язання.

<BCQ = 110° (тупий кут); <EFM = 40° (гострий кут); <PRT = 130° (тупий кут); <AKS = 70° (гострий кут)

 

Вправа 305.° Накресліть кут, градусна міра якого дорівнює:

1) 38°; 2) 124°; 3) 92°; 4) 90°; 5) 87°; 6) 54°; 7) 170°; 8) 65°. Визначте вид кожного кута.

Розв'язання.

Гострі кути 1) 38°; 5) 87°; 6) 54°; 8) 65°

Тупі кути 2) 124°; 3) 92°; 7) 170°

Прямий кут 4) 90°

 

Вправа 306. Проведіть промінь. Відкладіть від цього променя кут, градусна міра якого дорівнює: 1) 40°; 2) 130°; 3) 68°; 4) 164°. Визначте вид кожного з побудованих кутів.

Розв'язання.

Гострі кути 1) 40°; 3) 68°

Тупі кути 2) 130°; 4) 164°.

 

Вправа 307.° На рисунку 100 <CMK = 132°, а кут АМК — розгорнутий. Обчисліть величину кута АМС.

Відомо: <CMK = 132°, <АМК=180°. Знайти: <AMC -?

Розв'язання:

<АМС + <СМК = <АМК 

<АМС = <АМК ‒ <СМК = 180° ‒ 132° = 48°

 

Вправа 308. На рисунку 101 кут АОК — прямий, <COP = 54°, а кут СОК — розгорнутий. Обчисліть величину кута АОР.

Відомо: <AOK = 90°, <COP = 54°, <COK = 180° 

Знайти: <AOP - ?

Розв'язання:

<СОК = <CОP + <AОK + <АОР

<АОР = <СОК ‒ <АОК ‒ <СОР = 180° ‒ 90° ‒ 54° = 36° 

 

Вправа 309.° Який із кутів, зображених на рисунку 102, найбільший? найменший?

Розв'язання.

Найбільший кут С, найменший кут D.

 

Вправа 310 Накресліть кут CDE, який дорівнює 152°. Променем DA розділіть його на два кути так, щоб <CDA = 98°. Обчисліть величину кута ADE.

Розв'язання.

Відомо: <СDE = 152°, <CDA = 98°

Знайти: <ADE - ?

Розв'язання:

<CDE = <СDА + <АDЕ, звідси <АDЕ = <СDЕ ‒ <СDА = 152° ‒ 98° = 54°

 

Вправа 311 Накресліть кут ABC, який дорівнює 106°. Променем BD розділіть цей кут на два кути так, щоб <ABD = 34°. Обчисліть величину кута DBC.

Розв'язання.

Відомо: <ABC = 106°, <ABD = 34°

Знайти: <DBC - ?

Розв'язання:

<АВС = <АВD + <DВС

<DВС = <АВС ‒ <АВD = 106° ‒ 34° = 72°

 

Вправа 312. 3 вершини прямого кута ВОМ (рис. 103) проведено промені ОА і ОС так, що <BOC = 74°, <AOM = 62°. Обчисліть величину кута АОС.

Відомо: <BOM = 90°, <BOC = 74°, <AOM = 62°

Знайти: <AOC - ?

Розв'язання:

1 спосіб

<СОМ = <ВОМ ‒ <ВОС  = 90° ‒ 74° = 16°

<АОС = <АОМ ‒ <СОМ = 62° ‒ 16° = 46°

2 спосіб

<АОВ = <ВОМ ‒ <АОМ = 90° ‒ 62° = 28°

<АОС = <ВОС ‒ <АОВ = 74° ‒ 28° = 46°

3 спосіб

<ВОС +  <АОМ - це сума величин кутів <ВОА і <СОМ і 2 рази велиина кута <АОС.

<АОС = (<ВОС + <АОМ) - <ВОМ = (74° + 62°) - 90° 136° ‒ 90° = 46°

 

Вправа 313. З вершини розгорнутого кута АСР (рис. 104) проведено промені СТ і CF так, що <ACF = 158°, <TCP = 134°. Обчисліть величину кута TCF.

Відомо: <ACP = 180°, <ACF = 158°, <TCP = 134°

Знайти: <TCF - ?

Розв'язання.

1 спосіб

<FCP = <ACP ‒ <ACF = 180° ‒ 158° = 22°

<TCF = <TCP ‒ <FCP = 134° ‒ 22° = 112°

2 спосіб

<ACT = <ACP ‒ <TCP = 180° ‒ 134° = 46°

<TCF = <ACF ‒ <ACT = 158° ‒ 46° = 112°

3 спосіб

<ACF +  <TCP - це сума величин кутів <ACT і <FCP і 2 рази величина кута <TCF.

<TCF = (<ACF + <TCP) - <ACP = (158° + 134°) - 180° 292° ‒ 180° = 112°

 

Вправа 314.* Чи правильне твердження:

1) будь‒який кут, менший від тупого, — гострий (ні, прямий кут теж менший від тупого кута);

2) кут, менший від розгорнутого, — тупий (ні, гострий і прямий кути теж менші від розгорнутого кута);

3) бісектриса тупого кута ділить його на два гострих кути (так, тупий кут менший від 180°, тому бісектриса ділить його на два рівні кути, кожен з яких є меншим від 90°);

4) сума градусних мір двох гострих кутів більша за 90° (ні, наприклад, 10° + 20° < 90°);

5) кут, більший за прямий, — тупий (ні, розгорнутий кут більший за прямий).

 

Вправа 315 Знайдіть градусну міру кута між стрілками годинника,

якщо вони показують: 1) 3 год; 2) 6 год; 3) 4 год; 4) 11 год; 5) 7 год.

Розв'язання.

1 спосіб

Хвилинна стрілка завжди вказує на цифру 0, а годинна стрілка переміщається від 0 до 6, тому маємо половину циферблату або кут 180°

1) 180° : 6 • 3 = 90° 

2) 180° : 6 • 6 = 180° 

3) 180° : 6 • 4 = 120° 

4) Кут між стрілками о 11 год дорівнює куту між стрілками о 1 год.

180° : 6 • 1 = 30°

5) Кут між стрілками о 11 год дорівнює куту між стрілками о 5 год.

180° : 6 • 5 = 150°

2 спосіб

360° : 12 = 30° - на стільки градусів зміщується щогодини годинникова стрілка.

1) 30° • 3 = 90° 

2) 30° • 6 = 180° 

3) 30° • 4 = 120° 

4) Кут між стрілками о 11 год дорівнює куту між стрілками о 1 год.

30° • 1 = 30°

5) Кут між стрілками о 11 год дорівнює куту між стрілками о 5 год.

30° • 5 = 150°

 

Вправа 316. Промінь ВК є бісектрисою кута CBD, <ABK = 146° (рис. 105). Обчисліть градусну міру кута CBD.

Відомо: <AВК = 146°, <СВК = <КВD

Знайти: <CBD - ?

Розв'язання.

<СВК = <АВС ‒ <АВК = 180° ‒ 146° = 34°

<СВD = 2 • <СВК = 2 • 34° = 68°

 

Вправа 317.* Промінь ОА є бісектрисою кута СОМ, <COM = 54° (рис. 106). Обчисліть градусну міру кута АОВ.

Відомо: <COM = 54°, <COA = <AOM

Знайти: <AOB - ?

Розв'язання.

<АОМ = <СОМ : 2 = 54° : 2 = 27°

<ВОМ = <ВОС ‒ <СОМ = 180° ‒ 54° = 126°

<АОВ = <АОМ + <ВОМ = 27° + 126° = 153°

 

Вправа 318. Проведіть три прямі, що перетинаються в одній точці. Запишіть усі розгорнуті кути, які утворилися при цьому.

Розв'язання.

<AOB, <FOE, <COD

 

Вправа 319.* Проведіть шість прямих, що перетинаються в одній точці. Чи правильно, що серед кутів, які при цьому утворилися, є кут, градусна міра якого менша від 31°?

Розв'язання.

180° : 6 = 30° 

Так.

 

Вправи для повторення

Вправа 320. Заповніть ланцюжок обчислень:

Розв'язання.

1) 4 см • 300 = 1200 см = 120 дм

120 дм ‒ 12 дм = 108 дм

108 дм : 9 = (90 дм + 18 дм) : 9 = 10 дм + 2 дм = 12 дм

12 дм + 3 м = 12 дм + 30 дм = 42 дм

2) 8 хв • 15 = (10 + 5) • 8 хв = 80 хв + 40 хв = 120 хв = 2 год

2 год + 2 год = 4 год

4 год : 6 = (4 • 60 хв) : 6 = 240 хв : 6 = 40 хв

40 хв ‒ 54 с = 39 хв + 1 хв ‒ 54 с = 39 хв + 60 с ‒ 54 с = 39 хв 6 с

 

Вправа 321. Чи правильна нерівність (а + 253) • 7 < (9864 ‒ а) : 4 при а = 124?

Розв'язання.

Якщо а = 124, тоді (а + 253) • 7 = (124 + 253) • 7 = 377 • 7 = 2639

Якщо а = 124, тоді (9864 ‒ а) : 4 = (9864 ‒ 124) : 4 = 9740 : 4 = 2435

2639 > 2435

Відповідь: нерівність неправильна.

 

Вправа 322. У чотирьох стаканах вміщується стільки ж молока, як і в банці. У стакані та банці вміщується разом 1 кг 200 г молока. Скільки грамів молока вміщується у стакані?

Розв'язання.

1 кг 200 г = 1200 г

1 спосіб.

Якщо в 1 банці уміщується 4 стакани молока, тоді 1200 г молока уміщується в 5 стаканах, тоді

1200 : 5 = 240 (г) ‒ молока в 1 стакані.

2 спосіб.

1) 1200 • 4 = 4800 (г) ‒ молока в 4 стаканах і 4 банках, або 5 банках.

2) 4800 : 5 = 960 (г) ‒ молока в 1 банці.

3) 1200 ‒ 960 = 240 (г) ‒ молока в 1 стакані.

Відповідь: у стакані вміщується 240 г молока.

 

Вправа 323. Довжина сухопутного кордону України з Росією, Білоруссю та Молдовою становить 4232 км. Знайдіть довжину кордону України з кожною з цих держав, якщо довжина кордону з Росією і Білоруссю дорівнює 3038 км, а з Росією і Молдовою — 3257 км.

Розв'язання.

1 спосіб

1) 4232 ‒ 3038 = 1194 (км) ‒ довжина кордону з Молдовою.

2) 3257 ‒ 1194 = 2063 (км) ‒ довжина кордону з Росією.

3) 3038 ‒ 2063 = 975 (км) ‒ довжина кордону з Білорусією.

2 спосіб

1) 4232 ‒ 3257 = 975 (км) ‒ довжина кордону з Білорусією.

2) 3038 ‒ 975 = 2063 (км) ‒ довжина кордону з Росією.

3) 3257 ‒ 2063 = 1194 (км) ‒ довжина кордону з Молдовою.

3 спосіб

1) 4232 ‒ 3038 = 1194 (км) ‒ довжина кордону з Молдовією.

2) 4232 ‒ 3257 = 975 (км) ‒ довжина кордону з Білорусією.

3) 3038 ‒ 975 = 2063 (км) ‒ довжина кордону з Росією.

4 спосіб

1) 4232 ‒ 3257 = 975 (км) ‒ довжина кордону з Білорусією.

2) 4232 ‒ 3038 = 1194 (км) ‒ довжина кордону з Молдовією.

3) 3257 ‒ 1194 = 2063 (км) ‒ довжина кордону з Росією.

5 спосіб

1) 4232 ‒ 3038 = 1194 (км) ‒ довжина кордону з Молдовією.

2) 4232 ‒ 3257 = 975 (км) ‒ довжина кордону з Білорусією.

3) 4232 - (1194 + 975) = 2063 (км) ‒ довжина кордону з Росією.

Відповідь: довжина кордону з Білорусією 975 км, Молдовою ‒ 1194 км, Росією ‒ 2063 км.

 

Задача від Мудрої Сови.

Вправа 324. Равлик удень піднімається вгору по жердині на З м, а вночі з’їжджає по ній на 2 м вниз. На який день він добереться до вершини жердини, довжина якої дорівнює 20 м?

Розв'язання.

1) 3 ‒ 2 = 1 (м) ‒ відстань за 1 день.

За 17 днів равлик підніметься на 17 м, на 18 день підніметься ще на 3 м, тоді досягне позначку 20 м.

Відповідь: равлик добереться вершини на 18 день.

 

Запитання.

1. Який кут називають розгорнутим? Кут, сторони якого утворюють пряму, називають розгорнутим.

 

2. У яких одиницях вимірюють кути? Величину одиниці виміру кута називають градусом (від лат. gradus — ≪крок≫, ≪сходинка≫) і записують 1°.

 

3. Яка градусна міра розгорнутого кута? 180°.

 

4. Що означає виміряти кут? Це означає підрахувати, скільки одиничних кутів у ньому міститься.

 

5. Як називають прилад, що використовують для вимірювання кутів? Для вимірювання кутів використовують спеціальний прилад — транспортир, який складається зазвичай з півкільця, з’єднаного з лінійкою, його шкала містить 180 поділок.

 

6. Розкажіть, як користуватися транспортиром. Щоб виміряти кут, сумістимо його вершину з центром транспортира так, щоб одна із сторін кута пройшла по лінійці, тоді штрих на шкалі, через який пройде друга сторона, укаже градусну міру (величину) цього кута.

 

7. Які градусні міри мають рівні кути? Рівні кути мають рівні градусні міри.

 

8. Який із двох нерівних кутів уважають більшим? Із двох нерівних кутів більшим будемо вважати той, градусна міра якого більша.

 

9. Яку властивість має величина кута? Якщо між сторонами кута ABC провести промінь BD, то градусна міра кута ABC дорівнюватиме

сумі градусних мір кутів ABD и DBC, тобто <ABC = <ABD + <DBC.

 

10. Який кут називають прямим? Кут , градусна міра якого дорівнює 90°, називають прямим.

 

11. Який кут називають гострим?

Кут , градусна міра якого менша від 90°, називають гострим.

 

12. Який кут називають тупим? Кут , градусна міра якого більша за 90°, але менша від 180°, називають тупим.

 

13. На які кути ділить розгорнутий кут його бісектриса? Бісектриса розгорнутого кута ділить його на два кути, градусна міра кожного з яких дорівнює 90°

 

14. У яких випадках говорять, що від даного променя відкладено даний кут? Якщо дано промінь ОА і побудовано кут ВОА, то говорять, що від променя ОА відкладено кут ВОА.

Інші завдання дивись тут ...