...

§ 3. ОЗНАКИ ПОДІЛЬНОСТІ НА 9, 3

     Запишемо ряд чисел, кратних числу 9: 9; 18; 27; 36; 45; 54; 63; 72; 81; 90; 99; 108...

Ознака подільності на 9. На 9 діляться ті й тільки ті числа, сума цифр яких ділиться на 9.

Ознака подільності на З. На 3 діляться ті й тільки ті числа, сума цифр яких ділиться на 3.

Можна вважати, що числа, які діляться на 9, ді­ляться і на 3. Проте обернене твердження не є правильним: числа, що ді­ляться на 3, не завжди діляться на 9.

      Узагалі, якщо кожний доданок ділиться на дане число, то їх сума ділиться на дане число; якщо один із доданків не ділиться на дане число, а сума всіх інших доданків ділиться на дане число, то сума не ділиться на дане число.

 

Завдання 80'. Назвіть будь-які три числа, які діляться: 1) на 9; 2) на 3.

Розв’язання: 1) 9, 27, 81              2) 3, 21, 27

 

Завдання 81'. Чи правильно завершено твердження: «На 9 діляться ті й тіль­ки ті числа, ... 1) добуток цифр яких ділиться на 9»;    2) сума цифр яких ділиться на 9»; 3) останньою цифрою яких є цифра 9»?

Розв’язання: 1) ні              2) так          3) ні

 

Завдання 82'. Чи правильно завершено твердження: «На 3 діляться ті й тільки ті числа, ... 1) останньою цифрою яких є цифра З»;   2) останньою цифрою яких є цифра 9»;   3) сума цифр яких ділиться на З»?

Розв’язання: 1) ні       2) ні           3) так

 

Завдання 83°. Дано числа: 35; 44; 49; 53; 66; 111; 126; 135. Скільки серед даних чисел: 1) діляться на 9;             2) не діляться на 9?

Розв’язання: 1) 126, 135                                  2) 35, 44, 49, 53, 66, 111

 

Завдання 84°. Дано натуральні числа від сімдесяти до ста двадцяти. Випи­шіть ті з них, які діляться на 9.

Розв’язання:

72, 81, 90, 99, 108, 117

 

Завдання 85°. Дано натуральні числа від дев'яноста до ста тридцяти трьох. Випишіть ті з них, які діляться на 9.

Розв’язання: 90, 99, 108, 117, 126

 

Завдання 86°. Дано числа: 23; 24; 37; 39; 44; 48; 56; 59; 63; 73. Випишіть ті з них, які діляться на 3.

Розв’язання: 24, 39, 48, 63

 

Завдання 87°. Дано числа: 17; 23; 35; 43; 45; 51; 71; 88. Скільки серед даних чисел: 1) діляться на 3; 2) не діляться на З?

Розв’язання: 1) два (45, 51)              2) шість (17, 23, 35, 43, 71, 88)

 

Завдання 88°. Дано натуральні числа від сорока одного до шістдесяти. Ви­пишіть ті з них, які діляться на 3.

Розв’язання: 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60

 

Завдання 89°. Дано натуральні числа від сімдесяти семи до ста двох. Випи­шіть ті з них, які діляться на 3.

Розв’язання: 78, 81, 84, 87, 90, 93, 96, 99, 102

 

Завдання 90°. Назвіть будь-які чотири трицифрові числа, які: 1) діляться на 9; 2) діляться на 3.

Розв’язання: 1) 135, 441, 900                             2) 363, 450, 243

 

Завдання 91°. Назвіть будь-які три чотирицифрові числа, які: 1) діляться на 9; 2) діляться на 3.

Розв’язання: 1) 9000,  1251,  5040                         2) 3000, 3123, 5403

 

Завдання 92°. На координатному промені позначте точки, координатами яких є числа від одного до тринадцяти, кратні числу: 1) 9; 2) 3.

Розв’язання:

1) A(9)                                  

2) A(3), B(6), C(9), D(12)

 

Завдання 93°. На координатному промені позначте п'ять точок, координата­ми яких є числа, кратні числу 9 або числу 3.

Розв’язання:

A(3), B(9), C(15), D(18), E(21) 

 

Завдання 94°. Допишіть зліва до числа 70 таку цифру, щоб отримане число ділилося: 1) на 9;             2) на 3.

Розв’язання: 1) 270                                2) 570

 

Завдання 95°. Допишіть справа до числа 131 таку цифру, щоб отримане чис­ло ділилося: 1) на 9;             2) на 3.

Розв’язання: 1) 1314                              2) 1311

 

Завдання 96°. Допишіть зліва до числа 128 таку цифру, щоб отримане число ділилося: 1) на 9;           2) на 3.

Розв’язання:   1) 7128                            2) 1128

 

Завдання 97°. У числі 1*21 замість зірочки вставте таку цифру, щоб отримане число ділилося: 1) на 9;       2) на 3.

Розв’язання: 1) 1521                        2) 1221

 

Завдання 98° У числі 50*9 замість зірочки вставте таку цифру, щоб отримане число ділилося: 1) на 9;    2) на 3.

Розв’язання:  1) 5049                     2) 5019

 

Завдання 99°. Знайдіть значення виразу 5 • 103 + 8 • 102 + 7 • 10 + 1 та вкажіть, чи ділиться отримане число: 1) на 9; 2) на 3.

Розв’язання:

5 • 103 + 8 • 102 + 7 • 10 + 1 = 515 + 816 + 70 + 1 = 1402

1) ні     2) ні

 

Завдання 100°. Знайдіть значення виразу 2 • 103 + 5 • 102 + 8 • 10 + 3 та вка­жіть, чи ділиться отримане число: 1) на 9; 2) на 3.

Розв’язання: 

2 • 103 + 5 • 102 + 8 • 10 + 3 = 206 + 510 + 80 + 3 = 799

1) ні            2) ні

 

Завдання 101. На фабриці розфасовують цукерки в коробки по 9 штук у кож­ну. Чи може так статися, що в ящику з коробками виявиться: 1) 243 цукерки; 2) 424 цукерки; 3) 513 цукерок?

Розв’язання:

1) так        2) ні       3) так

 

Завдання 102. Скільки з чисел від ста до двохсот таких, що діляться: 1) на 9;   2) на 3.

Розв’язання:

1) одинадцять (108, 117, 126, 135, 144, 153, 162, 171, 180, 189, 198)

2) тридцять три (102, 105, 108, 111, 114, 117, 120, 123, 126, 129, 132, 135, 138, 141, 144, 147, 150, 153, 156, 159, 162, 165, 168, 171, 174, 177, 180, 183, 186, 189, 192, 195, 198)

 

Завдання 103. Чи можна, використовуючи тільки цифри 2 і 3, записати числа, які діляться:   1) на 9;  2) на 3?  Якщо так, то наведіть приклад.

Розв’язання:   2) 3222, 2322, 2232, 2223       1) 3222, 2322, 2232, 2223, 32223, 2223333             

                    

Завдання 104. Запишіть найбільше трицифрове число, яке ділиться: 1) на 9; 2) на 3.

Розв’язання:  1) 999                      2) 999

 

Завдання 105. Запишіть найменше чотирицифрове число, яке ділиться: 1) на 9;  2) на 3.

Розв’язання: 1) 1008                   2) 1002

 

Завдання 106. Використовуючи тільки однакові цифри, запишіть усі можливі трицифрові числа, які діляться: 1) на 9;       2) на З;          3) і на 3, і на 5.

Розв’язання:

1) 999           

2) 333, 444,  555, 666, 777, 888, 999

3) 555

 

Завдання 107. У числі 1**37 замість зірочок вставте такі цифри, щоб отримане число ділилося: 1) на 9;    2) на 3.

Розв’язання:

1) 10737, 11637, 12537, 13437, 14337, 15237, 16137, 17037

2) 11037, 10137, 10437, 11337, 12237, 13137, 14037

 

Завдання 108. У числі 8*5*0 замість зірочок вставте такі цифри, щоб отримане число ділилося: 1) на 9;    2) на 3.

Розв’язання:

1) 85500, 80550

2) 82500, 80520, 81510, 80550, 85500, 81540, 84510,  82530, 83520.

 

Завдання 109. Складіть усі можливі п'ятицифрові числа, які містять три п'ятірки й діляться на 9.

Розв’язання:

55512, 55521, 51255, 52155, 55125, 55215, 12555, 21555.

55503, 55530, 53055, 50355, 55305, 55035, 30555, 35055, 35505, 35550

 

Завдання 110. Складіть усі можливі чотирицифрові числа, які містять дві п'ятірки й діляться на 3.

Розв’язання:

5502, 5520, 5025, 5205, 2055, 2505, 2550

5508, 5580, 5085, 5805, 8055, 8505, 8550

5511, 5115, 1155, 5151, 1551, 1515

5514, 5541, 5145, 5415, 1455, 4155, 4551, 4515

  

Завдання 111*. Андрій задумав деяке трицифрове число. Відомо, що це чис­ло ділиться на 9, кожна його цифра ділиться на 3, а сума перших двох його цифр дорівнює третій цифрі. Яке число задумав Андрій? Скільки розв'язків має задача?

Розв’язання: 

Це числа 369, 639. Задача має два розв'язки.

 

Завдання 112*. Скільки чисел першої сотні не діляться ані на 9, ані на З?

Розв’язання:

В першій сотні є 100 цифр.

 

Завдання 113*. Серед усіх чотирицифрових чисел, запис яких містить тільки цифри 1, 3 і 0, випишіть ті, які діляться: 1) на 18; 2) на 6.

Розв’язання:

Чотирицифровими числами, запис яких містить тільки цифри 1, 3, 0, є наступні числа:

1003, 1013, 1030, 1031, 1033, 1103, 1130, 1300, 1301, 1303, 1310, 1330, 3001, 3010, 3011, 3013, 3100, 3101, 3103, 3110, 3130, 3301, 3310

1)

2)

 

Завдання 114*. Сергійко забув першу цифру коду *85228, але пам'ятав, що все шестицифрове число ділиться на 3. Скільки варіантів кодів потріб­но перебрати хлопчику, щоб відкрити дверцята камери схову?

Розв’язання:

Оскільки сума цифр числа повинна ділитися на 3, тому кодами будуть числа

285228, 585228, 885228.

Відповідь : 3 варіанти

 

Завдання 115*. Запишіть найменше і найбільше чотирицифрове число, яке ділиться і на 3, і на 5.

Розв’язання:

Оскільки найбільшим чотирицифровим числом є число 9999, змінимо його так, щоб останньою цифрою була 0, а сума цифр ділилася на 3, тоді  найбільше шукане число – 9990.

Оскільки найменшим чотирицифровим числом є число 1000, змінимо його так, щоб останньою цифрою була 5, а сума цифр ділилася на 3, тоді  найменше шукане число – 1005.

 

 

Завдання 116. Андрій переміг у конкурсі юних поетів й отримав винагороду в розмірі 822 грн. Він вирішив поділитися грошима з татом і ма­мою. Чи зможуть вони поділити премію Андрія порівну? Скільки грошей дістанеться кожному?

Розв’язання:

Так, можуть оскільки сума цифр числа 822 ділиться на 3.

822 : 3 = 274 (грн.) - грошей дістанеться кожному.

Відповідь: 274 грн. 

 

Завдання 117. Мама доручила Тетянці купити 3 кг яблук і дала їй 25 грн. Тетянка принесла додому яблука і здачу — 1 грн 62 к. Чи правиль­но їй дали здачу?

Розв’язання:

2500 : 3 = 833 (ост 1)- правильна здача 31 коп.

Відповідь: Здачу дали неправильно.

 

Завдання 118. Знайдіть суму своїх річних оцінок за 5-й клас. Чи ділиться отримане число: 1) на 9; 2) на З?

Розв’язання:

1) Якщо сума цифр такого числа буде ділитися на 9 , то число буде ділитися на 9.

2) Якщо сума цифр такого числа буде ділитися на 3, то число буде ділитися на 3.

 

Завдання 119. На скільки сума чисел 104, 72 і 13, 16 менша від числа 154, 36 і більша за число 89, 28?

Розв’язання:

154,36 – (104,72 + 13,16) = 154,36 - 117,88 = 36,48

(104,72 + 13,16) – 89,28 = 117.88 - 89.28 = 28,6

 

Завдання 120. 3 одного порту в інший одночасно вийшли пароплав і катер. Швид­кість пароплава — 32,4 км/год, а швидкість катера — 35,8 км/год. Яка відстань буде між ними через 4,5 год після початку руху?

Розв’язання:

1 спосіб.

35,8 – 32,4 = 3,4 (км) - відстань між ними через 1 годину від початку руху..

3,4 • 4,5 = 15,3 (км) - відстань між ними через 4,5 годин від початку руху..

2 спосіб.

35,8 • 4,5 = 161,1 (км) - проїхав відстань катер.

32,4 • 4,5 = 145,8 (км) - проїхав відстань пароплав.

161,1 – 145,8 = 15,3 (км) відстань між ними через 4,5 год від початку руху. 

Відповідь: 15,3 кілометрів.

 

...