Нерівність трикутника – це важлива властивість трикутника.
◊ Теорема (нерівність трикутника). Кожна сторона трикутника менша від суми двох інших його сторін.
Нехай а – сторона трикутника проти кута А, b – сторона трикутника проти кута В, с – сторона трикутника проти кута С.
Маємо нерівності для трикутника щодо суми сторін:
а < b + c
b < a + c
c < a + b
Зазвичай починаємо перевіряти умову від найбільшої сторони.
Наслідок. Кожна зі сторін трикутника більша за різницю двох інших його сторін.
Нехай а – сторона трикутника проти кута А, b – сторона трикутника проти кута В, с – сторона трикутника проти кута С.
Маємо ще нерівності для трикутника щодо різниці сторін:
а > |b – c|
b > |a – c|
c > |a – b|
Кожна сторона трикутника менша від суми двох інших сторін, але більша за модуль їх різниці.
Запишемо подвійні нерівності для кожної сторони.
|b – c| < a < b + c
|a – c| < b < a + c
|a – b|< c < a + b
Приклади застосування нерівності трикутників
Приклад 1
1) Периметр трикутника 15 см. Чи існує такий трикутник зі стороною 8 см.
15 – 8 = 7 (см) – сума інших сторін трикутника.
Оскільки сторона 8 см > 7 см, то не виконується нерівність трикутника про суму сторін. Отже, такий трикутник не існує.
2) Периметр трикутника 16 см. Чи існує такий трикутник зі стороною 8 см.
16 – 8 = 8 (см) – сума інших сторін трикутника.
Оскільки сторона 8 см дорівнює сумі інших двох сторін, то не виконується нерівність трикутника про суму сторін. Отже, такий трикутник не існує.
3) Периметр трикутника 17 см. Чи існує такий трикутник зі стороною 8 см.
17 – 8 = 9 (см) – сума інших сторін трикутника.
Оскільки сторона 8 см < 9 см, то виконується нерівність трикутника про суму сторін. Отже, такий трикутник існує (наприклад, зі сторонами 8 см, 5 см, 4 см).
Приклад 2
1) Чи може трикутник мати сторони 16 см, 5 см і 10 см?
Перевіримо нерівність трикутника щодо суми сторін для найбільшої сторони.
Оскільки 16 см > 5 см + 10 см, то не виконується нерівність трикутника.
Отже, трикутник не може мати такі сторони.
2) Чи може трикутник мати сторони 16 см, 5 см і 11 см?
Перевіримо нерівність трикутника щодо суми сторін для найбільшої сторони.
Оскільки 16 см = 5 см + 11 см, то не виконується нерівність трикутника.
Отже, трикутник не може мати такі сторони.
3) Чи може трикутник мати сторони 16 см, 5 см і 12 см?
Перевіримо нерівність трикутника щодо суми сторін для найбільшої сторони.
Оскільки 16 см < 5 см + 12 см, то виконується нерівність трикутника.
Отже, трикутник може мати такі сторони.
Приклад 3
Дві сторони трикутника дорівнюють 0,5 см і 1,6 см. Знайти довжину третьої сторони, якщо її довжина дорівнює цілому числу сантиметрів.
Нехай невідома сторона трикутника дорівнює a см.
Складемо подвійну нерівність трикутника:
1,6 – 0,5 < a < 1,6 + 0,5
1,1 < a < 2,1
Оскільки a – ціле число, то a = 2 (см).
Відповідь: 2 см.
Приклад 4
1) Дві сторони трикутника дорівнюють 2,5 см і 3,6 см. Знайти довжину третьої сторони, якщо її довжина дорівнює найбільшому цілому числу сантиметрів.
Нехай невідома сторона трикутника дорівнює a см.
Складемо подвійну нерівність трикутника:
3,6 – 2,5 < a < 3,6 + 2,5
1,1 < a < 6,1
Оскільки a = 6 – найбільше ціле число, то a = 6 (см).
Відповідь: 6 см.
2) Дві сторони трикутника дорівнюють 2,5 см і 3,6 см. Знайти довжину третьої сторони, якщо її довжина дорівнює найменшому цілому числу сантиметрів.
Нехай невідома сторона трикутника дорівнює a см.
Складемо подвійну нерівність трикутника:
3,6 – 2,5 < a < 3,6 + 2,5
1,1 < a < 6,1
Оскільки a = 2 – найменше ціле число, то a = 2 (см).
Відповідь: 2 см.
Невиконання нерівності трикутника на практиці означає, наприклад, таке розміщення відрізків.
