Завдання 576 Неповний квадрат:
|
а) суми виразів а і c; a² + ac + c² |
б) різниці виразів а і c? a² – ac + c² |
Завдання 577 Спрощення виразу
|
а) (x – 1)(x2 + x + 1) = x3 – 1 |
б) (а2 – а + 1)(а + 1) = а3 + 1 |
Завдання 578 Вирази
Якщо m = –1, тоді (2m + 1)(4m² – 2m + 1) = 8m3 + 1 = 8 • (–1)3 + 1 = –7, тому Г –7
Завдання 579
Правильна рівність: В а3 – 27 = (а – 3)(а2 + 3а + 9)
Завдання 580 Розклад на множники
x3 – 8 = (x – 2)(x² + 2x + 4), тому Г (х – 2)(х² + 2х + 4)
Завдання 581
|
а) n3 – 1 = (n – 1)(n² + n + 1) |
б) c3 + 27 = (c + 3)(c² – 3c + 9) |
Завдання 582
а) a3 – c3 = (a – c)(a² + ac + c²)
б) x3 + 8 = (x + 2)(x² – 2x + 4)
в) 1 – p3 = (1 – p)(1 + p + p²)
г) c3 – 64x3 = (c – 4x)(c² + 4cx + 16x²)
ґ) n6 – 1 = (n² – 1)(n^4 + n² + 1)
д) 27a3 + b3 = (3a + b)(9a² – 3ab + b²)
е) a3 – 8m3n3 = (a – 2mn)(a² + 2amn + 4m²n²)
є) –z3 – p3 = –(z + p)(z² – zp + p²)
ж) 1/125 + y3z9 = (1/5 + yz3)(1/25 – 1/5yz3 + y2z6)
з) 1/8 + c3 = (1/2 + c)(1/4 – 1/2c + c²)
и) 8/27x3 + 1 = (2/3x + 1)(4/9x² – 2/3x + 1)
і) 27/64 + z3 = (3/4 + z)(9/16 – 3/4z + z²)
Завдання 583
а) p3 + q3 = (p + q)(p² – pq + q²)
б) 1 – a3 = (1 – a)(1 + a + a²)
в) c3 + 8x3 = (c + 2x)(c² – 2cx + 4x²)
г) a3 – 8 = (a – 2)(a² + 2a + 4)
ґ) 27 + m3 = (3 + m)(9 – 3m + m²)
д) 64a3 – n3 = (4a – n)(16a² + 4an + n²)
е) –125 – z3 = –(5 + z)(25 – 5z + z²)
є) 27x6 – a3y3 = (3x² – ay)(9x4 + 3a²xy² + a²y4)
ж) 1/1000 – a6 = (1/10 – a²)(1/100 + 1/10a² + a4)
з) 1/8a3x3 – c3 = (1/2ax + c)(1/4a²x² – 1/2acx + c²)
и) 1/64a3 – x^3y3 = (1/4a – xy)(1/16a² + 1/4axy + x²y²)
і) 8/27 – a3x3z3 = (2/3 – axz)(4/9 + 2/3axz + a²x²z²)
Завдання 584
|
а) (a – x)(a² + ax + x²) = a3 – x3 в) (2a – n)(4a² + 2an + n²) = 8a3 – n3 |
б) (b + 2)(b² – 2b + 4) = b3 + 8 ґ) (9x² – 15x + 25)(3x + 5) = 27x3 + 125 |
Завдання 585
|
а) (a – 2)(a² + 2a + 4) = a3 – 8 в) (x – a2)(x2 + a2x + a4) = x3 – a6 ґ) (2 – y)(4 + 2y + y²) = 8 – y3 |
б) (y + m)(y² – ym + m²) = y3 + m3 г) (a4 + 1)(a8 – a4 + 1) = a12 + 1 д) (25 – 10m + 4m²)(5 + 2m) = 125 + 8m3 |
Завдання 586 Вирази
а) якщо x = 5,73, тоді (x + 1)(x² – x + 1) – x3 = x3 + 1 – x3 = 1
б) якщо z = 0,2, тоді (z – 2)(z² + 2z + 4) + 8 = z3 – 8 + 8 = z3 = (0,2)3 = 0,008
Завдання 587
а) If x = 0,5, then (x – 3)(x² + 3x + 9) + 27 = x3 – 27 + 27 = x3 = (0,5)3 = 0,125
б) If а = 1,02, then (а + 5)(а² – 5а + 25) – a3 = a3 + 125 – a3 = 125
Завдання 538 Рівняння
|
a) (x – 1)(x² + x + 1) = 2x + х3 x3 – 1 = 2x + x3 2x = –1 x = –1 : 2 х = –0,5 |
б) (y + 2)(y² – 2y + 4) = y3 + 2y y3 + 8 = y3 + 2y 8 = 2y y = 4 |
|
в) (1 + y)(y² – y + 1) – y3 = 5y 1 + y3 – y3 = 5y 1 = 5y y = 1 : 5 у = 0,2 |
г) (x + 1)(x² – x + 1) = x(5 + x²) x3 + 1 = 5x + x3 5x = 1 x = 1 : 5 х = 0,2 |
Завдання 589
|
a) (x – 3)(x² + 3x + 9) + 3x = x3 x3 – 27 + 3x = x3 3x = 27 x = 9 |
б) (z – 4)(16 + 4z + z²) = z(z² – 4) z3 – 64 = z3 – 4z 4z = 64 z = 16 |
Завдання 590
а) (0,5a² + b)(0,25a4 – 0,5a²b + b²) = 0,125a6 + b3
б) (4m – m²)(m4 + 4m3 + 16m²) = 64m3 – m6
Завдання 591
а) (3a – 2b)(9a² + 6ab + 4b²) = 27a3 – 8b3
б) (0,2a – xy)(0,04a² + 0,2axy + x²y² = 0,008a3 – x3y3
Завдання 592
а) (x + 3)(x² – 3x + 9) – x3 – x = x3 + 27 – x3 – x = 27 – x
Якщо x = 2,5, тоді 27 – 2,5 = 24,5
б) (2x – 3y)(4x² + 6xy + 9y²) + 27y3 = 8x3 – 27y3 + 27y3 = 8x3
Якщо x = 1 і y = –3,8, тоді 8 •13 = 8
в) 28y3 + (5x – y)(25x² + 5xy + y²) – 61x3 = 28y3 + 125x3 – y3 – 61x3 = 64x3 + 27y3
Якщо x = 3/4 і y = 1 2/3, тоді 64 • (3/4)3 + 27 • (5/3)3 = 64 • (27/64) + 27 • (125/27) = 27 + 125 = 152
г) (х + 2)(х² – 2х + 4) + (1 – х)(1 + х + х²) = x3 + 8 + 1 – x3
Якщо х = –0,7, тоді (–0,7)3 + 8 + 1 – (–0,7)3 = 9
Завдання 593
а) (1 + 2x)(4x2 – 2x + 1) – 3x3 = 1 + 8x3 – 3x3 = 5x3 + 1
Якщо x = 1/5, тоді 5(1/5)3 + 1 = 5 • 1/125 + 1 = 1/25 + 1 = 1,04
б) 5x3 + (3x + 2y)(9x2 – 6xy + 4y2) + 19y3 = 5x3 + 27x3 + 8y3 + 19y3 = 32x3 + 27y3
Якщо x = 1/2, y = 1 2/3, тоді 32 • (1/2)3 + 27 • (1 2/3)3 = 32/8 + 27 • (5/3)3 = 4 + 125 = 129
в) Якщо x = –0,4, тоді (x – 3)(x2 + 3x + 9) – (x + 2)(x2 – 2x + 4) = x3 – 27 – x3 – 8 = –35
Завдання 594 Рівняння
|
а) (x2 + 1)(x4 – x2 + 1) = 1 x6 + 1 = 1 x6 = 0 x = 0 |
|
б) (х + 3)(х² – 3х + 9) – (х – 5)(х² + 5х + 25) = 4(20 – х) x3 + 27 – x3 + 125 = 80 – 4x 4x = 80 – 27 – 125 4x = –72 x = –18 |
|
в) (х – 2)(х² + 2х + 4) – х(х + 3)(х – 3) = 1 x3 – 8 – x3 + 9x = 1 9x = 1 + 8 9x = 9 x = 1 |
|
г) (4х2 – 1)(4x2 – 2x + 1) = 8x3(2x – 1) (2x – 1)(2x + 1)(4x2 – 2x + 1) = 8x3(2x – 1) (2x – 1)(8x3 + 1) = 8x3(2x – 1) 16x4 + 2x – 8x3 – 1 = 16x4 – 8x3 2x – 1 = 0 2x = 1 x = 2 |
Завдання 595
|
а) (x3 + 3)(x6 – 3x3 + 9) – 26 = 0 x9 + 27 – 26 = 0 x9 + 1 = 0 x = –1 |
|
б) (х – 2)(х2 + 2х + 4) – (х + 4)(х2 – 4х + 16) = 6(2х – 9) x3 – 8 – x3 – 64 = 12x – 54 12x = –8 – 64 + 54 12x = –18 x = –1,5 |
|
в) (х + 5)(х2 – 5х + 25) – х(х – 4)(х + 4) = –3 x3 + 125 – x3 + 16x = –3 16x = –3 – 125 x = –128 : 16 x = –8 |
|
г) (x2 – 4)(x2 – 2x + 4) = x3(x – 2) (x – 2)(x + 2)(x2 – 2x + 4) = x3(x – 2) (x – 2)(x3 + 8) = x3(x – 2) x4 + 8x – 2x3 – 16 = x4 – 2x3 8x – 16 = 0 8x = 16 х = 2 |
Завдання 596
а) 3273 – 2273 = (327 – 227)(3272 + 327 • 227 + 2272) = 100(3272 + 327 • 227 + 2272) – ділиться на 100
б) 7373 + 2633 = (737 + 263)(7372 – 737 • 263 + 2632) = 1000(7372 – 737 • 263 + 2632) – ділиться на 1000, отже, вираз ділиться на 103
в) 1283 – 8 = (128 – 2)(1282 + 128 • 2 + 16) = 126(1282 + 128 • 2 + 16) – ділиться на 126
г) 9^6 – 1 = (92 – 1)(94 + 81 • 1 + 1) = 80 • (94 + 82) – ділиться на 80
Завдання 597
а) 7233 – 2233 = (723 – 223)(7232 + 723 • 223 + 2232) = 500(7232 + 723 • 223 + 2232) – ділиться на 500
б) 3523 + 6483 = (352 + 648)(3522 – 352 • 648 + 6482) = 1000(3522 – 352 • 648 + 6482) – ділиться на 103
в) 726^3 – 64 = (726 – 4)(7262 + 726 • 4 + 16) = 722(7262 + 726 • 2 + 16) – ділиться на 722
г) 7^6 + 1 = (49 + 1)(492 – 49 + 1) = 50(492 – 50) – ділиться на 50
Завдання 598
а) (a + 2)3 – 8 = ((a + 2) – 2)((a + 2)² + 2(a + 2) + 4) = a(a² + 4a + 4 + 2a + 4 + 4) =
= a(a² + 6a + 12)
б) (z – 1)3 + z3 = ((z – 1) + z)((z – 1)² – (8 – 1)z + z²) = = (2z – 1)(z² – 2z + 1 – z² + z + z²) =
= (2z – 1)(z² – z + 1)
Завдання 599
а) 8 – (a – 2)3 = 23 – (a – 2)2 = (2 – a + 2)(4 + 2(a – 2) + (a – 2)2) =
= (4 – a)(4 + 2a – 4 + a2 – 4a + 4) = (4 – a)(a2 – 2a + 4)
б) (x + y)3 – y3 = (x + y – y)((x + y)2 + (x + y)y + y2) = x(x2 + 2xy + y2 + xy + y2 + y2) =
= x(x2 + 3xy + 3y2)
в) (3 – 2x)3 + 8x3 = (3 – 2x + 2x)((3 – 2x)2 – 2x(3 – 2x) + 4x2) = 3(12x2 – 18x + 9)
г) (3 – a)3 – (a – 2)3 = (3 – a – a + 2)((3 – a)2 + (3 – a)(a – 2) + (a – 2)2) =
= (5 – 2a)(9 – 6a + a2 + 3a – 6 – a2 + 2a + a2 – 4a + 4) = (5 – 2a)(a2 – 5a + 7)
Завдання 600
а) x3 – y3 – x + y = (x – y)(x2 + xy + y2) – (x – y) = (x – y)(x2 + xy + y2 – 1)
б) x3 + y3 – x² + xy – y² = (x + y)(x² – xy + y²) – (x² – xy + y²) = (x² – xy + y²)(x + y – 1)
в) x3 – 5x2 + 5x – 1 = x3 – 1 – 5x(x – 1) = (x – 1)(x2 + x + 1) – 5x(x – 1) =
= (x – 1)(x2 + x + 1 – 5x) = (x – 1)(x² – 4x + 1)
г) x3 – 8y3 + x2y + 2xy2 + 4y3 = (x – 2y)(x2 + 2xy + 4y2) + y(x2 + 2xy + 4y2) =
= (x² + 2xy + 4y²)(x – y)
Завдання 601
а) а3 + b3 – а – b = (a + b)(a2 – ab + b2) – (a + b) = (a + b)(a2 – ab + b2 – 1)
б) a3 – b3 – a2 – ab – b2 = (a – b)(a2 + ab + b2) – (a2 + ab + b2) =
= (a – b)(a2 + ab + b2 – a – b – 1)
в) а3 – 3а2 – 3а + 1 = (a + 1)(a2 – a + 1) – 3a(a + 1) = (a + 1)(a2 – a + 1 – 3a) =
= (a + 1)(a2 + 3ac + 9c2
г) а3 – 27с3 – а2с – 3ас2 – 9с3 = (a – 3c)(a2 + 3ac + 9c2) – c(a2 + 3ac + 9c2) =
= (a – 3c – c)(a2 + 3ac + 9c2) = (a – 40c)(a2 + 3ac + 9c2)
Завдання 602
а) x9 – y3n = (x3 – yn)(x6 + x3yn + y2n)
б) a3m – 3 + b21 = (am – 1 + b7)(a2m – 2 – am – 1 • b7 + b14)
в) a18n + 9 – c36 – 3n = (a6n + 3) – c12 – n)(a12n + 6 + a6n + 3 • c12 – n + c24 – 2n)
г) x12n – 3 + 64y27 + 3n = (x4n – 1 + 4y9 + n)(x8n – 2 – x4n – 1 • 4y9 + n + 1618 + 2n)
Завдання 603
а) a6 + b3p = (a² + bp)(a4 + a2bp + b2p)
б) a3m + 6 – b12 = (am + 2 – b4)(a2m + 4 + am + 2 • b4 + b8)
в) a15m + 3 + b33 – 3m = (a5m + 1 + b11 – m)(a10m + 2) – a5m + 1 • b11 – m + b22 – 2m)
г) a9n – 6 – 27b6 – 12n = (a3n – 2 – 3b2 – 4n)(a6n – 4 + a3n – 2 • 3b2 – 4n + 9b4 – 8n)
Завдання 604 Тотожність
а) a3 – b3 – (a – b)(a2 + b2) = ab(a – b)
а) a3 – b3 – (a – b)(a² + b²) = (a – b)(a² + ab + b²) – (a – b)(a² + b²) =
= (a – b)(a² + ab + b² – a² – b²) = ab(a – b)
Завдання 605
Доведи, що три останні цифри числа 19933 + 73 – нулі.
19933 + 73 = (1993 + 7)(19932 + 7 • 1993 + 72) = 1000(19932 + 7 • 1993 + 72)
Завдання 606
У Діани і Матвія є певна кількість яблук. Доведи, що коли сума їх яблук ділиться на якесь число, то і сума кубів кількості кожного ділиться на те саме натуральне число.
Якщо (x + y) ділиться на якесь число, то x3 + y3 буде ділитися на це ж саме число, тому що x3 + y3 = (x + y)(x2 + xy + y2).
Завдання 607 Ознака подільності числа
Доведи, що різниця кубів двох послідовних натуральних чисел при діленні на 6 завжди дає в остачі 1.
Нехай попереднє число дорівнює х, тоді його куб дорівнює х3.
Тоді наступне за ним число дорівнює (х + 1), а його куб дорівнює (х + 1)3.
Знайдемо їхню різницю:
(x + 1)3 – x3 = x3 + 3x2 + 3x + 1 – x3 = 3x2 + 3x + 1 = 3(x2 + x) + 1.
Вираз 3(x2 + x) – кратний шести, а для виразу 3(x2 + x) + 1 – остача від ділення на шість буде дорівнювати 1.
Завдання 608
Петро з’їв 1/3 всіх яблук та ще 2 яблука. Іван з’їв 1/4 всіх яблук та ще 1 яблуко, а Микола – половину тих яблук, що залишилися. Після цього залишилась 1/6 від тих яблук, що були спочатку. Скільки яблук було спочатку?
Розв'язання
Нехай всього було x яблук, тоді Петро з'їв (1/3 х + 2) яблука, Іван – (1/4 х + 1) яблука,
Микола – (х – (1/3 х + 2) + (1/4 х + 1)) : 2 яблука, а залишилося 1/6 х яблук.
Складаємо рівняння:
x – ((1/3 x + 2) + (1/4 x + 1)) : 2 = 1/6 x
(x – 1/3 x – 2 – 1/4 x – 1) : 2 = 1/6 x
x – 1/3 x – 2 – 1/4 x – 1 = 2 • 1/6 x
x – 1/3 x – 2 – 1/4 x – 1 = 1/3 x
12/12 x – 4/12 x – 2 – 3/12 x – 1 = 4/12 x
12/12 x – 4/12 x – 3/12 x – 4/12 = 3
1/12 x = 3
х = 3 : 1/12
х = 3 • 12/1
x = 36
Відповідь: 36 яблук.
Завдання 609
Доведи, що різниця кубів двох послідовних непарних номерів шаф у спортзалі при діленні на 24 завжди дає в остачі 2.
(2x + 3)3 – (2x + 1)3 = 8x3 + 36x2 + 54x + 27 – 8x3 – 12x2 – 6x – 1 = 24x2 + 48x + 26
Перші два доданки націло діляться на 24, тому залишок дорівнює 0.
А третій доданок ділиться на 24 з остачею 2, тому твердження доведене.
ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ
Завдання 610 Правильне твердження
а) Якщо |а| < b, то a < b;
б) якщо a < |b|, то a < b;
в) якщо |a| < |b|, то a < b.
Завдання 611
Знайди відношення пів різниці 5/6 і 1/3 до їх суми.
((5/6 – 1/3) : 2)/(5/6 + 1/3) = ((5/6 – 3/6) : 2)/(5/6 + 3/6) = (2/6 • 1/2)/(8/6) = 1/6 : 8/6 =
= 1/6 • 6/8 = 1/8
Завдання 612
Скільки кілограмів води треба випарити з 200 кг сухофруктів, що містять 75% води, щоб отримати сухофрукти, що містять 60% води?
Розв'язання
200 кг – 75%
х кг – 60%
1) 200/х = 75/60; x = 200 • 60 : 75; x = 160 (кг) – сухофруктів містять 60 % води;
2) 200 – 160 = 40 (кг) – потрібно випарити води.
Відповідь: 40 кг води.