ГДЗ Бевз Алгебра 7 клас Завдання 576 – 612 § 14 Різниця і сума кубів НУШ 2024 відповіді до підручника

Інші завдання дивись тут...

Завдання 576 Неповний квадрат:

а) суми виразів а і c; a² + ac + c²

б) різниці виразів а і c? a² – ac + c²

Завдання 577 Спрощення виразу

а) (x – 1)(x² + x + 1) = x³ – 1

б) (а² – а + 1)(а + 1) = а³ + 1

Завдання 578 Вирази

Якщо m = –1, тоді (2m + 1)(4m² – 2m + 1) = 8m³ + 1 = 8 • (–1)³ + 1 = –7, тому Г –7

Завдання 579

Правильна рівність: В а³ – 27 = (а – 3)(а² + 3а + 9)

Завдання 580 Розклад на множники

x³ – 8 = (x – 2)(x² + 2x + 4), тому Г (х – 2)(х² + 2х + 4)

Завдання 581

а) n³ – 1 = (n – 1)(n² + n + 1)

б) c³ + 27 = (c + 3)(c² – 3c + 9)

Завдання 582

а) a³ – c³ = (a – c)(a² + ac + c²)

б) x³ + 8 = (x + 2)(x² – 2x + 4)

в) 1 – p³ = (1 – p)(1 + p + p²)

г) c³ – 64x³ = (c – 4x)(c² + 4cx + 16x²)

ґ) n⁶ – 1 = (n² – 1)(n^4 + n² + 1)

д) 27a³ + b³ = (3a + b)(9a² – 3ab + b²)

е) a³ – 8m³n³ = (a – 2mn)(a² + 2amn + 4m²n²)

є) –z³ – p³ = –(z + p)(z² – zp + p²)

ж) 1/125 + y³z⁹ = (1/5 + yz³)(1/25 – 1/5yz³ + y²z⁶)

з) 1/8 + c³ = (1/2 + c)(1/4 – 1/2c + c²)

и) 8/27x³ + 1 = (2/3x + 1)(4/9x² – 2/3x + 1)

і) 27/64 + z³ = (3/4 + z)(9/16 – 3/4z + z²)

Завдання 583

а) p³ + q³ = (p + q)(p² – pq + q²)

б) 1 – a³ = (1 – a)(1 + a + a²)

в) c³ + 8x³ = (c + 2x)(c² – 2cx + 4x²)

г) a³ – 8 = (a – 2)(a² + 2a + 4)

ґ) 27 + m³ = (3 + m)(9 – 3m + m²)

д) 64a³ – n³ = (4a – n)(16a² + 4an + n²)

е) –125 – z³ = –(5 + z)(25 – 5z + z²)

є) 27x⁶ – a³y³ = (3x² – ay)(9x⁴ + 3a²xy² + a²y⁴)

ж) 1/1000 – a⁶ = (1/10 – a²)(1/100 + 1/10a² + a⁴)

з) 1/8a³x³ – c³ = (1/2ax + c)(1/4a²x² – 1/2acx + c²)

и) 1/64a³ – x^3y³ = (1/4a – xy)(1/16a² + 1/4axy + x²y²)

і) 8/27 – a³x³z³ = (2/3 – axz)(4/9 + 2/3axz + a²x²z²)

Завдання 584

а) (a – x)(a² + ax + x²) = a³ – x³

в) (2a – n)(4a² + 2an + n²) = 8a³ – n³

б) (b + 2)(b² – 2b + 4) = b³ + 8

ґ) (9x² – 15x + 25)(3x + 5) = 27x³ + 125

Завдання 585

а) (a – 2)(a² + 2a + 4) = a³ – 8

в) (x – a²)(x² + a²x + a⁴) = x³ – a⁶

ґ) (2 – y)(4 + 2y + y²) = 8 – y³

б) (y + m)(y² – ym + m²) = y³ + m³

г) (a⁴ + 1)(a⁸ – a⁴ + 1) = a¹² + 1

д) (25 – 10m + 4m²)(5 + 2m) = 125 + 8m³

Завдання 586 Вирази

а) якщо x = 5,73, тоді (x + 1)(x² – x + 1) – x³ = x³ + 1 – x³ = 1

б) якщо z = 0,2, тоді (z – 2)(z² + 2z + 4) + 8 = z³ – 8 + 8 = z³ = (0,2)³ = 0,008

Завдання 587

а) If x = 0,5, then (x – 3)(x² + 3x + 9) + 27 = x³ – 27 + 27 = x³ = (0,5)³ = 0,125

б) If а = 1,02, then (а + 5)(а² – 5а + 25) – a³ = a³ + 125 – a³ = 125

Завдання 538 Рівняння

a) (x – 1)(x² + x + 1) = 2x + х³ x³ – 1 = 2x + x³ 2x = –1 x = –1 : 2 х = –0,5	б) (y + 2)(y² – 2y + 4) = y³ + 2y y³ + 8 = y³ + 2y 8 = 2y y = 4
в) (1 + y)(y² – y + 1) – y³ = 5y 1 + y³ – y³ = 5y 1 = 5y y = 1 : 5 у = 0,2	г) (x + 1)(x² – x + 1) = x(5 + x²) x³ + 1 = 5x + x³ 5x = 1 x = 1 : 5 х = 0,2

Завдання 589

a) (x – 3)(x² + 3x + 9) + 3x = x³

x³ – 27 + 3x = x³

3x = 27

x = 9

б) (z – 4)(16 + 4z + z²) = z(z² – 4)

z³ – 64 = z³ – 4z

4z = 64

z = 16

Завдання 590

а) (0,5a² + b)(0,25a⁴ – 0,5a²b + b²) = 0,125a⁶ + b³

б) (4m – m²)(m⁴ + 4m³ + 16m²) = 64m³ – m⁶

Завдання 591

а) (3a – 2b)(9a² + 6ab + 4b²) = 27a³ – 8b³

б) (0,2a – xy)(0,04a² + 0,2axy + x²y² = 0,008a³ – x³y³

Завдання 592

а) (x + 3)(x² – 3x + 9) – x³ – x = x³ + 27 – x³ – x = 27 – x

Якщо x = 2,5, тоді 27 – 2,5 = 24,5

б) (2x – 3y)(4x² + 6xy + 9y²) + 27y³ = 8x³ – 27y³ + 27y³ = 8x³

Якщо x = 1 і y = –3,8, тоді 8 •1³ = 8

в) 28y³ + (5x – y)(25x² + 5xy + y²) – 61x³ = 28y³ + 125x³ – y³ – 61x³ = 64x³ + 27y³

Якщо x = 3/4 і y = 1 2/3, тоді 64 • (3/4)³ + 27 • (5/3)³ = 64 • (27/64) + 27 • (125/27) = 27 + 125 = 152

г) (х + 2)(х² – 2х + 4) + (1 – х)(1 + х + х²) = x³ + 8 + 1 – x³

Якщо х = –0,7, тоді (–0,7)³ + 8 + 1 – (–0,7)³ = 9

Завдання 593

а) (1 + 2x)(4x² – 2x + 1) – 3x³ = 1 + 8x³ – 3x³ = 5x³ + 1

Якщо x = 1/5, тоді 5(1/5)³ + 1 = 5 • 1/125 + 1 = 1/25 + 1 = 1,04

б) 5x³ + (3x + 2y)(9x² – 6xy + 4y²) + 19y³ = 5x³ + 27x³ + 8y³ + 19y³ = 32x³ + 27y³

Якщо x = 1/2, y = 1 2/3, тоді 32 • (1/2)³ + 27 • (1 2/3)³ = 32/8 + 27 • (5/3)³ = 4 + 125 = 129

в) Якщо x = –0,4, тоді (x – 3)(x² + 3x + 9) – (x + 2)(x² – 2x + 4) = x³ – 27 – x³ – 8 = –35

Завдання 594 Рівняння

а) (x² + 1)(x⁴ – x² + 1) = 1

x⁶ + 1 = 1

x⁶ = 0

x = 0

б) (х + 3)(х² – 3х + 9) – (х – 5)(х² + 5х + 25) = 4(20 – х)

x³ + 27 – x³ + 125 = 80 – 4x

4x = 80 – 27 – 125

4x = –72

x = –18

в) (х – 2)(х² + 2х + 4) – х(х + 3)(х – 3) = 1

x³ – 8 – x³ + 9x = 1

9x = 1 + 8

9x = 9

x = 1

г) (4х² – 1)(4x² – 2x + 1) = 8x³(2x – 1)

(2x – 1)(2x + 1)(4x² – 2x + 1) = 8x³(2x – 1)

(2x – 1)(8x³ + 1) = 8x³(2x – 1)

16x⁴ + 2x – 8x³ – 1 = 16x⁴ – 8x³

2x – 1 = 0

2x = 1

x = 2

Завдання 595

а) (x³ + 3)(x⁶ – 3x³ + 9) – 26 = 0

x⁹ + 27 – 26 = 0

x⁹ + 1 = 0

x = –1

б) (х – 2)(х² + 2х + 4) – (х + 4)(х² – 4х + 16) = 6(2х – 9)

x³ – 8 – x³ – 64 = 12x – 54

12x = –8 – 64 + 54

12x = –18

x = –1,5

в) (х + 5)(х² – 5х + 25) – х(х – 4)(х + 4) = –3

x³ + 125 – x³ + 16x = –3

16x = –3 – 125

x = –128 : 16

x = –8

г) (x² – 4)(x² – 2x + 4) = x³(x – 2)

(x – 2)(x + 2)(x² – 2x + 4) = x³(x – 2)

(x – 2)(x³ + 8) = x³(x – 2)

x⁴ + 8x – 2x³ – 16 = x⁴ – 2x³

8x – 16 = 0

8x = 16

х = 2

Завдання 596

а) 327³ – 227³ = (327 – 227)(327² + 327 • 227 + 227²) = 100(327² + 327 • 227 + 227²) – ділиться на 100

б) 737³ + 263³ = (737 + 263)(737² – 737 • 263 + 263²) = 1000(737² – 737 • 263 + 263²) – ділиться на 1000, отже, вираз ділиться на 10³

в) 128³ – 8 = (128 – 2)(128² + 128 • 2 + 16) = 126(128² + 128 • 2 + 16) – ділиться на 126

г) 9^6 – 1 = (9² – 1)(9⁴ + 81 • 1 + 1) = 80 • (9⁴ + 82) – ділиться на 80

Завдання 597

а) 723³ – 223³ = (723 – 223)(723² + 723 • 223 + 223²) = 500(723² + 723 • 223 + 223²) – ділиться на 500

б) 352³ + 648³ = (352 + 648)(352² – 352 • 648 + 648²) = 1000(352² – 352 • 648 + 648²) – ділиться на 103

в) 726^3 – 64 = (726 – 4)(726² + 726 • 4 + 16) = 722(726² + 726 • 2 + 16) – ділиться на 722

г) 7^6 + 1 = (49 + 1)(49² – 49 + 1) = 50(49² – 50) – ділиться на 50

Завдання 598

а) (a + 2)³ – 8 = ((a + 2) – 2)((a + 2)² + 2(a + 2) + 4) = a(a² + 4a + 4 + 2a + 4 + 4) =

= a(a² + 6a + 12)

б) (z – 1)³ + z³ = ((z – 1) + z)((z – 1)² – (8 – 1)z + z²) = = (2z – 1)(z² – 2z + 1 – z² + z + z²) =

= (2z – 1)(z² – z + 1)

Завдання 599

а) 8 – (a – 2)³ = 2³ – (a – 2)² = (2 – a + 2)(4 + 2(a – 2) + (a – 2)²) =

= (4 – a)(4 + 2a – 4 + a² – 4a + 4) = (4 – a)(a² – 2a + 4)

б) (x + y)³ – y³ = (x + y – y)((x + y)² + (x + y)y + y²) = x(x² + 2xy + y² + xy + y² + y²) =

= x(x² + 3xy + 3y²)

в) (3 – 2x)³ + 8x³ = (3 – 2x + 2x)((3 – 2x)² – 2x(3 – 2x) + 4x²) = 3(12x² – 18x + 9)

г) (3 – a)³ – (a – 2)³ = (3 – a – a + 2)((3 – a)² + (3 – a)(a – 2) + (a – 2)²) =

= (5 – 2a)(9 – 6a + a² + 3a – 6 – a² + 2a + a² – 4a + 4) = (5 – 2a)(a² – 5a + 7)

Завдання 600

а) x³ – y³ – x + y = (x – y)(x² + xy + y²) – (x – y) = (x – y)(x² + xy + y² – 1)

б) x³ + y³ – x² + xy – y² = (x + y)(x² – xy + y²) – (x² – xy + y²) = (x² – xy + y²)(x + y – 1)

в) x³ – 5x² + 5x – 1 = x³ – 1 – 5x(x – 1) = (x – 1)(x² + x + 1) – 5x(x – 1) =

= (x – 1)(x² + x + 1 – 5x) = (x – 1)(x² – 4x + 1)

г) x³ – 8y³ + x²y + 2xy² + 4y³ = (x – 2y)(x² + 2xy + 4y²) + y(x² + 2xy + 4y²) =

= (x² + 2xy + 4y²)(x – y)

Завдання 601

а) а³ + b³ – а – b = (a + b)(a² – ab + b²) – (a + b) = (a + b)(a² – ab + b² – 1)

б) a³ – b³ – a² – ab – b² = (a – b)(a² + ab + b²) – (a² + ab + b²) =

= (a – b)(a² + ab + b² – a – b – 1)

в) а³ – 3а² – 3а + 1 = (a + 1)(a² – a + 1) – 3a(a + 1) = (a + 1)(a² – a + 1 – 3a) =

= (a + 1)(a² + 3ac + 9c²

г) а³ – 27с³ – а²с – 3ас² – 9с³ = (a – 3c)(a² + 3ac + 9c²) – c(a² + 3ac + 9c²) =

= (a – 3c – c)(a² + 3ac + 9c²) = (a – 40c)(a² + 3ac + 9c²)

Завдання 602

а) x⁹ – y³ⁿ = (x³ – yⁿ)(x⁶ + x³yⁿ + y²n)

б) a^{3m – 3} + b²¹ = (a^{m – 1} + b⁷)(a^{2m – 2} – a^{m – 1} • b⁷ + b¹⁴)

в) a^{18n + 9} – c^{36 – 3n} = (a⁶ⁿ + 3) – c^{12 – n})(a^{12n + 6} + a^{6n + 3} • c^{12 – n} + c^{24 – 2n})

г) x^{12n – 3} + 64y^{27 + 3n} = (x^{4n – 1} + 4y^{9 + n})(x^{8n – 2} – x^{4n – 1} • 4y^{9 + n} + 16^{18 + 2n})

Завдання 603

а) a⁶ + b^3p = (a² + b^p)(a⁴ + a²b^p + b^2p)

б) a^{3m + 6} – b¹² = (a^{m + 2} – b⁴)(a^{2m + 4} + a^{m + 2} • b⁴ + b⁸)

в) a^{15m + 3} + b^{33 – 3m} = (a^{5m + 1} + b^{11 – m})(a^{10m + 2}) – a^{5m + 1} • b^{11 – m} + b^{22 – 2m})

г) a^{9n – 6} – 27b^{6 – 12n} = (a^{3n – 2} – 3b^{2 – 4n})(a^{6n – 4} + a^{3n – 2} • 3b^{2 – 4n} + 9b^{4 – 8n})

Завдання 604 Тотожність

а) a³ – b³ – (a – b)(a² + b²) = ab(a – b)

а) a³ – b³ – (a – b)(a² + b²) = (a – b)(a² + ab + b²) – (a – b)(a² + b²) =

= (a – b)(a² + ab + b² – a² – b²) = ab(a – b)

Завдання 605

Доведи, що три останні цифри числа 1993³ + 7³ – нулі.

1993³ + 7³ = (1993 + 7)(1993² + 7 • 1993 + 7²) = 1000(1993² + 7 • 1993 + 7²)

Завдання 606

У Діани і Матвія є певна кількість яблук. Доведи, що коли сума їх яблук ділиться на якесь число, то і сума кубів кількості кожного ділиться на те саме натуральне число.

Якщо (x + y) ділиться на якесь число, то x³ + y³ буде ділитися на це ж саме число, тому що x³ + y³ = (x + y)(x² + xy + y²).

Завдання 607 Ознака подільності числа

Доведи, що різниця кубів двох послідовних натуральних чисел при діленні на 6 завжди дає в остачі 1.

(x + 1)³ – x³ = x³ + 3x² + 3x + 1 – x³ = 3x² + 3x + 1 = 3(x² + x) + 1;

Якщо розглянути всі можливі варіанти, наприклад, для x = 0; x = 1; x = 2; x = 3; x = 4; x = 5 стача від ділення буде 1.

Завдання 608

Петро з’їв 1/3 всіх яблук та ще 2 яблука. Іван з’їв 1/4 всіх яблук та ще 1 яблуко, а Микола – половину тих яблук, що залишилися. Після цього залишилась 1/6 від тих яблук, що були спочатку. Скільки яблук було спочатку?

Розв'язання

Нехай всього було x яблук, тоді

(x – 1/3 x – 2 – 1/4 x – 1) : 2 = 1/6 x

(12/12 x – 4/12 x – 3/12 x – 3) = 1/3 x

5/12 x – 4/12 x = 3

1/12 x = 3

x = 36

Відповідь: 36 яблук.

Завдання 609

Доведи, що різниця кубів двох послідовних непарних номерів шаф у спортзалі при діленні на 24 завжди дає в остачі 2.

(2x + 3)³ – (2x + 1)³ = 8x³ + 36x² + 54x + 27 – 8x³ – 12x² – 6x – 1 = 24x² + 48x + 26

Перші два доданки націло діляться на 24, тому залишок дорівнює 0.