ГДЗ Бевз Алгебра 7 клас Завдання 894– 926 § 21 Розв’язування задач за допомогою рівнянь НУШ 2024 відповіді до підручника

Завдання 894

а) приклад абстрактної задачі; Знайди два числа, сума яких дорівнює 10, а різниця 2.

б) приклад прикладної задачі. Майстер і учень виточили разом 72 деталі. Скільки деталей виточив кожний окремо, якщо майстер виточив на 10 деталей більше?

Завдання 895

1) До однієї прикладної задачі можна побудувати декілька моделей. Так

2) Іноді знайдений математичний розв’язок прикладної задачі не відповідає змісту її умови, а отже, не є її розв’язком. Так

Завдання 896

Знайди два числа, сума яких дорівнює 3, а різниця 1.

Нехай перше число дорівнює х, тоді друге число (1 + х). Складаємо рівняння:

х + (1 + х) = 3

2х + 1 = 3

2х = 3 – 1

2х = 2

х = 1 – перше число;

1 + 1 = 2 – друге число.

Відповідь: 1 і 2.

Завдання 897

Знайди два числа, якщо одне з них у 4 рази більше за друге, а їх сума дорівнює 10.

Нехай перше число дорівнює х, тоді друге число 4х. Складаємо рівняння:

х + 4х = 10

5х = 10

х = 2 – перше число;

4 • 2 = 8 – друге число.

Відповідь: 2 і 8.

Завдання 898

Знайди числа x і y, якщо x + y = 25 і x = y.

Підставимо значення змінної у в перше рівняння, одержимо:

у + у = 25

2у = 25

у = 12,5

х = у = 12,5

Відповідь: 12,5 і 12,5.

Завдання 899

Учень задумав число. Якщо від нього відняти 7 і результат поділити на 3, то одержимо 5. Яке число задумав учень?

Розв'язання

Нехай учень задумав число х. Складаємо рівняння:

(х – 7) : 3 = 5

х – 7 = 15

х = 15 + 7

х = 22

Відповідь: учень задумав число 22.

Завдання 900

а) Знайдіть число, половина якого більша за його третю частину на 0,5. Зробіть перевірку.

Розв'язання

Нехай шукане число х, тоді половина його – 1/2 х, а третина його – 1/3 х. Складаємо рівняння:

1/2х – 1/3х = 0,5 |•6

3х – 2х = 3

х = 3

Відповідь: число 3.

Перевірка: 1/2 • 3 – 1/3 • 3 = 3/2 – 1 = 3/2 – 2/2 = 1/2 = 0,5

б) Сума двох чисел дорівнює 13,6, а різниця становить 1,6. Знайдіть ці числа.

Нехай перше число дорівнює х, тоді друге число – (х – 1,6). Складаємо рівняння:

х + (х – 1,6) = 13,6

х + х – 1,6 = 13,6

2х – 1,6 = 13,6

2х = 13,6 + 1,6

2х = 15,2

х = 7,6 – перше число;

7,6 – 1,6 = 6 – друге число.

Відповідь: 7,6 і 6.

Перевірка: 7,6 + 6 = 13,6 і 7,6 – 6 = 1,6

в) Сума двох чисел дорівнює 105, а їх відношення становить 1 : 2. Знайдіть ці числа.

Нехай на одну частину припадає х, тоді перше число становить х, а друге – 2х. Складаємо рівняння:

х + 2х = 105

3х = 105

х = 35 – перше число;

2 • 35 = 70 – друге число.

Відповідь: 35 і 70.

Перевірка: 35 + 70 = 105

Завдання 901

Поле площею 430 га поділено на дві частини так, що одна з них на 130 га більша за іншу. Знайди площу кожної частини.

Розв'язання

Нехай площа меншої частини поля х га, тоді більшої частини – (х + 130) га. Складаємо рівняння:

х + (х + 130) = 430

2х + 130 = 430

2х = 430 – 130

2х = 300

х = 150 (га) – площа меншої частини поля;

150 + 130 = 280 (га) – площа більшої частини поля.

Відповідь: 150 га і 280 га.

Завдання 902

Мотузку завдовжки 84 м розрізали на дві частини, одна з яких утричі довша за іншу. Знайди довжину кожної частини.

Розв'язання

Нехай довжина меншої частини х м, тоді більшої – 3х м. Складаємо рівняння:

х + 3х = 84

4х = 84

х = 21 (м) – довжина меншої частини мотузки;

21 • 3 = 63 (м) – довжина більшої частини мотузки.

Відповідь: 21 м і 63 м.

Завдання 903

Периметр прямокутника дорівнює 118 см, одна його сторона на 12 см довша за іншу. Знайдіть довжини сторін прямокутника.

Розв'язання

Нехай менша сторона прямокутника дорівнює х см, тоді більша сторона – (х + 12) см. Складаємо рівняння:

(х + х + 12) • 2 = 118

(2х + 12) • 2 = 118

4х + 24 = 118

4х = 118 – 24

4х = 94

х = 94 : 4

х = 23,5 (см) – менша сторона прямокутника;

23,5 + 12 = 35,5 (см) – більша сторона прямокутника.

Відповідь: 23,5 см і 35,5 см.

Завдання 904

В другому басейні людей у два рази більше, ніж у першому. Якщо з другого басейну перемістити 15 людей у перший, то в обох басейнах людей стане порівну. Скільки людей у кожному басейні?

Розв'язання

Нехай в першому басейні плаває х людей, тоді в другому – 2х людей. Складаємо рівняння:

2х – х = 15

х = 15 (л.) – в першому басейні;

15 • 2 = 30 (л.) – в другому басейні.

Відповідь: 15 людей і 30 людей.

Завдання 905

В другому кошику яблук у три рази більше, ніж у першому. Коли з другого кошика переклали 8 яблук у перший, то в обох кошиках яблук стало порівну. Скільки яблук було у кожному кошику спочатку?

Розв'язання

Нехай в першому кошику х яблук, тоді в другому – 3х яблук. Складаємо рівняння:

3х – х = 8

2х = 8

х = 4 (ябл.) – в першому кошику;

4 • 3 = 12 (ябл.) – в другому кошику.

Відповідь: 4 яблука і 12 яблук.

Завдання 906

Купили два відрізи тканини загальною довжиною 50 м. Скільки метрів тканини в кожному рулоні, якщо в одному з них на 10 м тканини більше, ніж у другому?

Розв'язання

Нехай в меншому відрізі тканини х м, тоді в більшому (х + 10) м. Складаємо рівняння:

х + (х + 10) = 50

2х + 10 = 50

2х = 50 – 10

2х = 40

х = 20 (м) – в меншому відрізі;

20 + 10 = 30 (м) – в більшому відрізі.

Відповідь: 20 м і 30 м.

Завдання 907

В Оксани й Івана грошей було порівну. Коли Оксана витратила 48 грн, а Іван 87 грн, то в Оксани грошей залишилося у чотири рази більше, ніж у Івана. Скільки грошей було у кожного з них спочатку?

Розв'язання

Нехай спочатку в кожного було по х грн, тоді в Оксани залишилося (х – 48) грн, а в Івана – (х – 87) грн. Складаємо рівняння:

х – 48 = 4(х – 87)

х – 48 = 4х – 348

х – 4х = 48 – 348

–3х = –300

х = –300 : (–3)

х = 100 (грн) – було грошей в кожного спочатку.

Відповідь: по 100 грн.

Завдання 908

Для благодійної ярмарки Остап і Катруся сплели однакову кількість браслетів. Коли Остап продав 6 браслетів, а Катруся 15, то в Остапа залишилося браслетів у два рази більше, ніж у Катрусі. Скільки браслетів сплів кожен?

Розв'язання

Нехай сплели кожен по х браслетів, тоді в Остапа залишилося (х – 6) браслетів, а в Катрусі – (х – 15) браслетів. Складаємо рівняння:

х – 6 = 2(х – 15)

х – 6 = 2х – 30

х – 2х = 6 – 30

–х = –24

х = (–24) : (–1)

х = 24 (бр.) – сплів кожен.

Відповідь: по 24 браслети.

Завдання 909

Три трактористи зорали разом 72 га. Перший зорав на 6 га більше за другого, а другий на 9 га більше за третього. Скільки гектарів зорав кожний тракторист?

Розв'язання

Нехай третій зорав х га, тоді другий – (х + 9) га, а перший – (х + 9 + 6) = (х + 15) га. Складаємо рівняння:

х + (х + 9) + (х + 15) = 72

х + х + 9 + х + 15 = 72

3х + 24 = 72

3х = 72 – 24

3х = 48

х = 48 : 3

х = 16 (га) – зорав третій трактор;

16 + 9 = 25 (га) – зорав другий трактор;

16 + 15 = 31 (га) – зорав перший трактор.

Відповідь: 31 га, 25 га, 16 га.

Завдання 910

У трьох класах 79 учениць. У другому — на 3 учениці більше, ніж у першому, а в третьому — на 2 учениці менше, ніж у першому. Скільки учениць у кожному класі?

Розв'язання

Нехай в першому класі х учениць, тоді в другому – (х + 3) учениці, а в третьому – х – 2 га. Складаємо рівняння:

х + (х + 3) + (х – 2) = 79

х + х + 3 + х – 2 = 79

3х + 1 = 79

3х = 79 – 1

3х = 78

х = 78 : 3

х = 26 (уч.) – в першому класі;

26 + 3 = 29 (уч.) – в другому класі;

26 – 2 = 24 (уч.) – в третьому класі.

Відповідь: 26 учнів, 29 учнів, 24 учні.

Завдання 911

За 3 дні було здійснено 56 доставок їжі. У перший день було здійснено на 12 доставок менше, ніж у другий, а в третій — удвічі більше, ніж у перший. Скільки доставок було здійснено кожного дня?

Розв'язання

Нехай у перший день було здійснено х доставок, тоді в другий – (х + 12) доставок, а в третій – 2х доставок. Складаємо рівняння:

х + (х + 12) + 2х = 56

4х + 12 = 56

4х = 56 – 12

4х = 44

х = 44 : 4

х = 11 (д.) – здійснено в перший день;

11 + 12 = 23 (д.) – здійснено в другий день;

11 • 2 = 22 (д.) – здійснено в третій день.

Відповідь: 11 доставок, 23 доставки, 22 доставки.

Завдання 912

Поле площею 860 га поділено на 3 ділянки так, що сума площ двох перших ділянок дорівнює площі третьої, а площа другої ділянки в 1,5 рази більша за площу першої. Знайди площі ділянок.

Розв'язання

Нехай площа першої ділянки х га, тоді другої – 1,5х га, а третьої – (х + 1,5х) доставокх. Складаємо рівняння:

х + 1,5х + (х + 1,5х) = 860

5х = 860

х = 860 : 5

х = 172 (га) – площа першої ділянки;

172 • 1,5 = 258 (га) – площа другої ділянки;

258 + 172 = 430 (га) – площа третьої ділянки.

Відповідь: 172 га, 258 га, 430 га.

Завдання 913

Батько в 5 разів старший за сина, а син на 32 роки молодший від батька. Скільки років кожному з них?

Розв'язання

Нехай синові х років, тоді батькові – 5х років. Складаємо рівняння:

5х – х = 32

4х = 32

х = 32 : 8

х = 8 (р.) – років синові;

8 • 5 = 40 (р.) – рокеів батькові.

Відповідь: 8 років, 40 років

Завдання 914

Матері 38 років, а доньці — 12. Коли донька була чи буде втричі молодшою від матері? А вдвічі?

Розв'язання

Нехай донька втричі молодшою від матері буде через х років, тоді матері зараз (38 + х) років, а доньці – (12 + х) років. Складаємо рівняння.

38 + х = (12 + х) • 3

38 + х = 36 + 3х

х – 3х = 36 – 38

–2х = –2

х = –2 : (–2)

х = 1

Відповідь: через рік донька буде втричі молодшою від матері.

Нехай донька вдвічі молодшою від матері буде через х років, тоді матері зараз (38 + х) років, а доньці – (12 + х) років. Складаємо рівняння.

38 + х = (12 + х) • 2

38 + х = 24 + 2х

х – 2х = 24 – 38

–х = –14

х = –14 : (–1)

х = 14

Відповідь: через чотирнадцять років дочка буде вдвічі молодшою від матері.

Завдання 915

A father is 40 years old and his son is 10. In how many years will the son be three times younger than the father?

Розв'язання

Нехай син втричі молодшим від батька буде через х років, тоді батькові зараз (40 + х) років, а синові – (10 + х) років. Складаємо рівняння.

40 + х = (10 + х) • 3

40 + х = 30 + 3х

х – 3х = 30 – 40

–2х = –10

х = –10 : (–2)

х = 5

Відповідь: через п'ять років син стане втричі молодшим від батька.

Завдання 916

Скільки років тій Сороці, що за Галку старша вдвічі, а в позаминулім році старшою була утричі?

Розв'язання

Нехай зараз Галці буде х років, тоді Сороці – 2х років. У позаминулому році Галці було (х – 2) роки, а Сороці – (2х – 2) років. Складаємо рівняння:

2х – 2 = 3(х – 2)

2х – 2 = 3х – 6

2х – 3х = –6 + 2

–х = –4

х = –4 : (–1)

х = 4 (р.) – років Галці;

4 • 2 = 8 (р.) – років Сороці.

Відповідь: 8 років і 4 роки.

Завдання 917

Скільки років матері й доньці, якщо в позаминулому році донька була молодшою від матері в 5 разів, а в наступному буде молодшою в 4 рази?

Розв'язання

Нехай у позаминулому році доньці було х років, тоді матері – 5х років. У наступному році доньці буде (х + 3) років, а матері – (5х + 3) років. Складаємо рівняння:

5х + 3 = 4(х + 3)

5х + 3 = 4х + 12

5х – 4х = 12 – 3

х = 9 (р.) – років доньці в позаминулому році;

9 • 5 = 45 (р.) – років матері в позаминулому році;

Оскільки поточний рік є на 2 роки більший, ніж позаминулий, додамо 2 роки кожному..

9 + 2 = 11 (р.) – років доньці;

45 + 2 = 47 (р.) – років матері.

Відповідь: 45 років і 11 років.

Завдання 918

Кількість поверхів одного будинку відноситься до кількості поверхів іншого будинку, як 8 : 5. Скільки поверхів у кожному будинку, якщо в першому їх на 12 більше, ніж у другому?

Розв'язання

Нехай коефіцієнт пропорційності n, тоді в одному будинку 8n поверхів, а в іншому – 5n поверхів. Складаємо рівняння:

8n + 12 = 5n

8n – 5n = 12

3n = 12

n = 12 : 3

n = 4

8 • 4 = 32 (п.) – поверхів в одному будинку;

5 • 4 = 20 (п.) – поверхів в іншому будинку.

Відповідь: 32 поверхи і 20 поверхів.

Завдання 919

Мати на 20 років старша за сина, а їх роки відносяться, як 7 : 2. Скільки років матері?

Розв'язання

Нехай коефіцієнт пропорційності n, тоді матері 7n років, а синові – 2n роки. Складаємо рівняння:

7n – 2n = 20

5n = 20

т = 20 : 5

n = 4

7 • 4 = 28 (р.) – років матері;

2 • 4 = 8 (р.) – років доньці.

Відповідь: 28 років і 8 років.

Завдання 920

Поїзд проходить відстань від A до B за 3 год. Якби він їхав зі швидкістю на 10 км/год більшою, то в дорозі був би на пів години менше. Знайди відстань між A і B. Заповни порожні клітинки таблиці, склади рівняння та розв’яжи задачу.

	s, км	v, км/год	t, год
I	3х	х	3
II	2,5(х + 10)	х + 10	2,5

Розв'язання

Нехай відстань від А до В поїзд проходить зі швидкістю х год, тоді за три години пройде відстань 3х км. Зі збільшеною швидкістю на 10 км, тобто (х + 10) км/год, подолав би на пів години менше, тобто за 2,5 год подолає відстань 2,5(х + 10) км. Складаємо рівняння:

3х = 2,5(х + 10)

3х = 2,5х + 25

3х – 2,5х = 25

0,5х = 25

х = 25 : 0,5

х = 250 : 5

х = 50 (км/год) – швидкість поїзда;

50 • 3 = 150 (км) – відстань між А і В.

Відповідь: 150 км.

Завдання 921

Швидкість катера в стоячій воді відноситься до швидкості течії річки, як 25 : 2. За течією катер ішов 3 год 50 хв. Скільки часу потрібно йому, щоб повернутися назад?

Розв'язання

Нехай власна швидкість катера 25х км/год, а течії річки 2х км/год. Швидкість катера за течією річки (25х + 2х) км/год, а проти течії річки – (25х – 2х) км/год.

3 год 50 хв = 3 год + 50/60 год = 3 год + 5/6 год = 3 5/6 год

За цей час катер пройшов за течією річки відстань 3 5/6 • (25х + 2х) км.

Щоб знайти час, за який катер здолає цю відстань проти течії, треба відстань поділити на швидкість проти течії:

3 5/6 (25х + 2х) : (25х – 2х) = 23/6 • 27х : 23х = 27/6 = 9/2 = 4,5 (год)

Відповідь: 4,5 год.

Завдання 922

Із двох міст, відстань між якими 450 км, одночасно виїхали назустріч один одному два автомобілі й зустрілися через 3 год (мал. 21.12). По скільки кілометрів проїхали вони до зустрічі, якщо один їхав зі швидкістю, на 10 км/год більшою, ніж інший?

Розв'язання

Нехай швидкість першого автомобіля х км/год, тоді швидкість другого – (х + 10) км/год. За 3 год перший проїде 3х км, а другий – 3(х + 10) км. Складаємо рівняння:

3х + 3(х + 10) = 450

3х + 3х + 30 = 450

6х = 450 – 30

6х = 420

х = 420 : 6

х = 70 (км/год) – швидкість першого автомобіля;

70 • 3 = 210 (км) – проїхав перший поїзд;

3 • (70 + 10) = 3 • 80 = 240 (км) – проїхав другий поїзд.

Відповідь: 210 км і 240 км.

Завдання 923

Із міст A і B, відстань між якими 210 км, одночасно виїхали назустріч один одному два автомобілі й зустрілися через півтори години. Знайди швидкості автомобілів, якщо до зустрічі перший автомобіль проїхав на 30 км більше, ніж другий.

Розв'язання

Нехай до зустрічі перший автомобіль проїхав х км, тоді другий – (210 – х) км. Складаємо рівняння:

х – (210 – х) = 30

х – 210 + х = 30

2х = 30 + 210

2х = 240

х = 240 : 2

х = 120 (км) – проїхав перший автомобіль до зустрічі;

210 – 120 = 90 (км) – проїхав другий автомобіль до зустрічі;

120 : 1,5 = 80 (км/год) – швидкість першого автомобіля;

90 : 1,5 = 60 (км/год) – швидкість другого автомобіля.

Відповідь: 80 км/год і 60 км/год.

Завдання 924

Велосипедист їхав 2 год ґрунтовою дорогою, 1 год — асфальтованою і проїхав 28 км. Знайди його швидкість на кожній ділянці шляху, якщо асфальтованою дорогою він їхав зі швидкістю, на 4 км/год більшою, ніж ґрунтовою.

Розв'язання

Нехай швидкість на ґрунтовій дорозі х км/год, тоді на асфальтованій – (х + 4) км/год. За 2 год по ґрунтовій дорозі проїхав 2х км, а за 1 год по асфальтовій – (х + 4) км. Складаємо рівняння:

2х + (х + 4) = 28

3х + 4 = 28

3х = 28 – 4

3х = 24

х = 24 : 3

х = 8 (км/год) – швидкість грунтовою дорогою;

8 + 4 = 12 (км/год) – швидкість асфальтованою дорогою.

Відповідь: 8 км/год і 12 км/год.

Завдання 925

Катер у стоячій воді йде зі швидкістю 20 км/год. Швидкість течії річки становить 2 км/год. Знайди відстань між двома пристанями, якщо рейс туди й назад катер здійснює за 5 год. Заповни порожні клітинки таблиці, склади рівняння та розв’яжи задачу.

	s, км	v, км/год	t, год
За течією	22х	22	х
Проти течії	18(5 – х)	18	5 – х

Розв'язання

22х = 18(5 – х)

22х = 90 – 18х

22х + 18х = 90

40х = 90

х = 90 : 40

х = 2,25 (год) – час руху за течією річки;

2,25 • 22 = 49,5 (км) – відстань між пристанями.

Відповідь: 49,5 км.

Завдання 926

Катер у стоячій воді проходить 16 км за 1 год, швидкість течії річки дорівнює 2 км/год. Знайди відстань між двома пристанями, якщо в один бік катер проходить її на пів години швидше, ніж в інший.