Завдання 35
Чи тотожні вирази:
а) 2а + а і 3а; 2а + а = 3а, 3а = 3а – тотожні
б) х + 2х – 3х і 0; х + 2х – 3х = 0, 0 = 0 – тотожні
в) 8с – 3с і 5с; 8с – 3с = 5с, 5с = 5с – тотожні
г) ах + ах + ах і 3ах; ах + ах + ах =3ах, 3ах = 3ах – тотожні
ґ) 7ху – 2х і 5у; 7ху – 2х ≠ 5у – не тотожні
д) –3с + 9 і 9 – 3с; –3с + 9 = 9 – 3с, 9 – 3с = 9 – 3с – тотожні
е) р²р і р3; р²р = р(2+1)=р3, р3 = р3 – тотожні
є) х + х² + х3 + х4 і х5; х + х² + х3 + х4 ≠ х5– не тотожні
ж) а – с і с – а; а – с = –(–а + с) = –(с – а) , –(с – а) ≠ с – а – не тотожні
з) –а² і (–а)²; (–а)² = а², (–а)² ≠ а² – не тотожні
и) 4а + р і 5ар; 4а + р ≠ 5ар – не тотожні
і) х – 2а і –2а + х; х – 2а =–2а + х, –2а + х = –2а + х – тотожні
Завдання 36
Який із виразів не тотожний виразу 2x – y?
4(у – 2х) + 10х – 5у = 4у – 8х + 10х – 5у = 2х – у, 2х – у ≠ у – 2х + 3
Відповідь: В
Завдання 37
Якому з виразів тотожно дорівнює вираз 3(2а + с) – 3с?
3(2а + с) – 3с = 6а + 3с – 3с = 6а
Відповідь: Б
Завдання 38
Чи є рівність (m + 2) – (m – 2) = 0 тотожністю?
(m + 2) – (m – 2) = 0
m + 2 – m + 2 = 0
4 ≠ 0
Відповідь: не є тотожністю.
Завдання 39
Наведи контрприклад, щоб довести, що рівність (с – 2)3 = с3 – 8 не є тотожністю.
Наприклад с = 3, тоді
(3 – 2)3 = 33 – 8
13 = 27 – 8
1 ≠ 19
Завдання 40
Спрости вираз, замінивши його тотожно рівним виразом
а) 2с + 3с – 5 = 5с – 5
б) 3x – 4x + x = 0x = 0
в) 12n – 17 – 2n = 12n – 2n – 17 = 10n – 17
г) 19с – 3с + 8 = 16с + 8
ґ) 63 – 23р + 32р = 63 + 32р – 32р = 63 + 9р
д) 4x + 65 – 10x = 65 – 10x + 4х = 65 – 6x
Завдання 41
а) –4 + 3а – 7а = –4 – 7а + 3а = –4 – 4а
б) 9 – 23x + 40x = 9 + 40х – 23х = 9 + 17x
в) –4 – 12 + 8ас = –16 + 8ас
Завдання 42
Перший/перша з гравців/гравчинь записує вираз зі змінною, другий/друга — ще один вираз з цією ж змінною, третій/третя — число і знаки дій між записаними виразами, а четвертий/четверта — спрощує утворений вираз.
3х + 2 і 5x – 1 і 4.
3х + 2 – (5x – 1) • 4 = 3х + 2 – 20x + 4 = 6 – 17x
Завдання 43
a) 19x – 4(x + 5) = 15х;
19x – 4(x + 5) = 19x – 4x – 20 = 15x – 20, 15x – 20 ≠ 15х – не є тотожністю
б) 7(2 – 3x) + 21 = = 14;
7(2 – 3x) + 21 = 35 – 21х, 35 – 21х ≠ 14 – не є тотожністю
в) 2,5 + 5(a – 1,5) – a = 4а – 5;
2,5 + 5(a – 1,5) – a = 2,5 + 5a – 7,5 – а = 4а – 5, 4а – 5 = 4а – 5 – є тотожністю
г) –2(x + 5) + 3(x – 7) = х + 11;
–2(x + 5) + 3(x – 7) = –2x – 10 + 3x – 21 = x – 31, x – 31 ≠ х + 11 – не є тотожністю
Завдання 44
a) 35 + 7(x – 1) – 28 = 7х;
35 + 7(x – 1) – 28 = 35 + 7x – 7 – 28 = 7x, 7х = 7х – є тотожністю
б) –3(2у + 1) + 6 = –3;
–3(2у + 1) + 6 = –6у – 3 + 6 = –6у + 3, –6у + 3 ≠ –3 – не є тотожністю
в) –13 – 3(5 – 6x) + 6x = 12х – 28;
–13 – 3(5 – 6x) + 6x = –13 – 15 + 18x + 6x = –28 + 24x, 24х – 28 ≠ 12х – 28 – не є тотожністю
г) 1,5(5 – 2x) + 5(1,1 + x) = 13 + 2х;
1,5(5 – 2x) + 5(1,1 + x) = 7,5 – 3x + 5,5 + 5x = 13 + 2x, 13 + 2х = 13 + 2х – є тотожністю
Завдання 45
Доведіть тотожність.
|
a) 3c – 3(c – 1) = 3 3с – 3с + 3 = 3 3 = 3 |
б) 2xy + 2(3 – xy) = 6 2ху + 6 – 2ху = 6 6 = 6 |
|
в) 15х = 9 – 3(3 – 5х) 15х = 9 – 9 + 15х 15х = 15х |
г) 1 – 2х = 5 – 2(х + 2) 1 – 2х = 5 – 2х – 4 1 – 2х = 1 – 2х |
Завдання 46
Prove the identity.
|
a) 8х = 6 + 2(4х – 3) 8х = 6 + 8х – 6 8х = 8х |
б) 5(2х + у) = 10(х + у) – 5у 10x + 5у = 10x + 10у – 5у 10x + 5у = 10x + 5у |
|
в) 7 = 12х – (–7 + 12х) 7 = 12x + 7 – 12x 7 = 7 |
г) 3с – 3(1 + с – х) = 3х – 3 3с – 3 – 3с + 3х = 3х – 3 3х – 3 = 3х – 3 |
Завдання 46
1) Що означає вираз:
a) 35t (км) – відстань проїхав І автомобіль;
б) 45t (км) – відстань проїхав ІІ автомобіль.
2) Запишіть вираз для знаходження:
а) загальної відстані, що проїдуть машини разом;
35t + 45t = 80t
б) на скільки більше довжина червоного маршруту, ніж синього?
45t – 35t = 10t
Завдання 48
Для перевезення дітей до оздоровчого табору замовлено 5 автобусів по а місць у кожному, 3 автобуси по b місць у кожному та мікроавтобус, у якому 13 місць. Запиши формулу для знаходження тієї кількості дітей (N), яких можна перевезти на цих автобусах за один раз.
Короткий запис
5 автобусів по а місць – ?
3 автобуси по в місць – ?
Мікроавтобус – 13 м
Разом – ?
N = 5a + 3b + 13
Завдання 49
Група туристів повинна спуститися вниз вздовж річки. Для цього туристам було надано а човнів на 4 особи кожен, b човнів на 3 особи кожен та k плотів, які вміщали 15 осіб. Запиши формулу для знаходження тієї кількості (M) туристів, яких можна перевезти цими засобами.
Короткий запис
а човнів на 4 особи – ?
b човнів на 3 особи –?
k плотів – 15 осіб
Разом – ?
M = 4a + 3b + 15
Завдання 50
Група велосипедистів виїхала з міста А до міста В, при цьому перші р год вони їхали зі швидкістю 12 км/год, наступні k год — зі швидкістю 10 км/год та останню годину зі швидкістю 8 км/год. Запиши формулу для знаходження відстані s між містами А та В.
Короткий запис
р год – 12 км/год
k год – 10 км/год
1 год – 8 км/год
S – ?
S = 12p + 10k + 8
Завдання 51
Спрости вираз.
а) 2х + 4 + 2(х + 4) + 4(х – 8) = 2х + 4 + 2х + 8 + 4х – 32 = 8x – 20
б) –(5а – с + 2) + 3а – с + 2 = –5а + c – 2 + 3а – c + 2 = –2а
в) 5(12а – 23х) – 8(6х – 13а) = 60а – 115х – 48х + 104а = 164а – 163х
г) –6(ас – 4) + 3(7 – 2ас) = –6ас + 24 + 21 – 6ас = –12ас + 45
Завдання 52
а) 2(х² – 3) – 4(17 – 4х²) = 2х² – 6 – 68 + 16х² = 18х² – 74
б) 4(х² – 3) – х(4х – 5) = 4x² – 12 – 4x² + 5х = 5х – 12
в) с(3 – 2с) + 3(с – 2с²) = 3с – 2с² + 3с – 6с² = 6с – 8с²
г) 2у – 3 – 2(а + у – 1) = 2y – 3 – 2а – 2y + 2 = –1 – 2а
Завдання 53
|
а) 2(х – 3) – 5(х – 4) = 14 – 3х 2х – 6 – 5х + 20 = 14 – 3х –3х + 14 = –3х + 14 |
б) 3(2а – 1) – 2(3а – 1) = –1 6a – 3 – 6a + 2 = –1 –1= –1 |
|
в) 5(0,5 + 2х) – 5(1,1 – х) = 15х – 3 2,5 + 10x – 5,5 + 5х = 15х – 3 15х – 3 = 15х – 3 |
г) 9(х – 1) – 3(2х – 3) = 3х 9х – 9 – 6х + 9 = 3х 3х = 3х |
Завдання 54
a) 9х – 4(х + 5) – 1 = 7(х – 3) – 2х
9х – 4х – 20 – 1 = 7х – 21 – 2х
5х – 21 = 5х – 21
б) –2(2а + 5) = 5(2а – 9) – 7(2а – 5)
–4а – 10 = 10a – 45 – 14а + 35
–4а – 10 = –4а – 10
в) 0,5(а + b + с) – 0,5(а – b + с) – (а + b – с) =
= 0,5a + 0,5b + 0,5c – 0,5a + 0,5b – 0,5c – а – b + с = 0,5b + 0,5с – 0,5а = с – а
Завдання 55
а) 3(а + с + х) – 2(а + с – x) – (а – c + x) = 2(с + 2x)
3a + 3c + 3x – 2a – 2c + 2x – a + c – х = 2с + 4х
2с + 4х = 2с + 4х
б) 2х + 2 = 2(x² + х + 1) – (х² – х + 1) – (x² + х – 1)
2х + 2 = 2x² + 2x + 2 – x² + x – 1 – x² – x + 1
2x + 2 = 2х + 2
Завдання 56
а) 1 – (1 – (1 – с)) і 1 – с;
1 – (1 – (1 – с)) = 1 – (1 – 1 + с) = 1 – с, 1 – с = 1 – с – тотожні вирази
б) a – b + 1 – 2(b + 1) і 2(a – b – 1) – (a + b – 1).
a – b + 1 – 2(b + 1) = a – b + 1 – 2b – 2 = a – 3b – 1
2(a – b – 1) – (a + b – 1) = 2a – 2b – 2 – a – b + 1 = a – 3b – 1
a – 3b – 1 = a – 3b – 1 – тотожні вирази
Завдання 57
а) 0,5(x + y) – 0,5(x – у) – у і 0;
0,5(x + y) – 0,5(x – у) – у = 0,5x + 0,5y – 0,5x + 0,5у – у = 0, 0 = 0 – тотожні вирази
б) n – (1 – (n – (1 – n))) = 3n – 2.
n – (1 – (n – (1 – n))) = n – (1 – (n – 1 + n)) = n – (1 – (2n – 1)) = n – (1 – 2n + 1) =
= n – 1 + 2n – 1 = 3n – 2, 3n – 2 = 3n – 2 – тотожні вирази
Завдання 58
Замініть у тотожності 3x – 2 = 2(x – 1) + x змінну x виразом:
a) x = c + 3
3(c + 3) – 2 = 2(c + 3 – 1) + c + 3
3c + 9 – 2 = 2c + 4 + c + 3
3c + 7 = 3c + 7 – є тотожністю
б) x = ac – 1
3(ac – 1) – 2 = 2(ac – 1 – 1) + ac – 1
3ac – 3 – 2 = 2ac – 4 + ac – 1
3ac – 5 = 3ac – 5 – є тотожністю
в) x = m + 5
3(m + 5) – 2 = 2(m + 5 – 1) + m + 5
3m + 15 – 2 = 2m + 8 + m + 5
3m + 13 = 3m + 13 – є тотожністю
Завдання 59
У тотожності 5х + Зх = 8х замініть змінну х виразом а² – ас + с².
а) x = a – b
5(a – b) + 3(a – b) = 8(a – b)
5a – 5b + 3a – 3b = 8a – 8b
8a – 8b = 8a – 8b – є тотожністю
б) х = а² – ас + с²
5(а² – ас + с²) + 3(а² – ас + с²) = 8(а² – ас + с²)
5а² – 5ас + 5с² + 3а² – 3ас + 3с² = 8а² – 8ас + 8с²
8а² – 8ас + 8с² = 8а² – 8ас + 8с² – є тотожністю
Завдання 60
Довжина прямокутника дорівнює а см, а ширина — на с см менша. Запишіть у вигляді виразу периметр прямокутника.
а (см) – довжина;
а – с (см) – ширина;
2(а + а – с) (см) – периметр.
P = 2(а + а – с) = 2(2а – с) (см).
Завдання 61
Основа рівнобедреного трикутника дорівнює а см, а бічна сторона — на 2 см довша. Чому дорівнює периметр трикутника?
а (см) – основа;
а + 2 (см) – бічна сторона;
2(а + 2) (см) – дві бічні сторони.
P = a + 2(a + 2) = a + 2a + 4 = 3a + 4
Завдання 62
Запиши у вигляді тотожності твердження:
а) сума двох взаємно протилежних чисел дорівнює нулю; –х + х = 0
б) добуток двох взаємно обернених чисел дорівнює 1; 1/x • x = 1
в) добуток двох чисел дорівнює добутку протилежних до них чисел. xy = –x • (–y)
Завдання 63
Запишіть у вигляді тотожності твердження:
а) квадрати протилежних чисел — рівні; x² = (–x)²
б) куби протилежних чисел — протилежні числа; x3 = –(–x)3
в) квадрат будь–якого числа дорівнює квадрату модуля цього числа; x² = |x|²
г) модуль куба будь–якого числа дорівнює кубу модуля цього числа. |x|3 = |x3|
Завдання 64
Заповни таблицю
Чи тотожні вирази 2(x² – 4) + 6 і 2x² – 2?
|
x |
–2 |
–1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
2(x² – 4) + 6 |
6 |
0 |
–2 |
0 |
6 |
16 |
30 |
48 |
|
2x² – 2 |
6 |
0 |
–2 |
0 |
6 |
16 |
30 |
48 |
2(x² – 4) + 6 = 2x² – 2 – вирази тотожні.
2((–2)² – 4) + 6 = 2(4 – 4) + 6 = 2 • 0 + 6 = 0 + 6 = 6
2 • (–2)² – 2 = 2 • 4 – 2 = 8 – 2 = 6
2((–1)² – 4) + 6 = 2(1 – 4) + 6 = 2 • (–3) + 6 = –6 + 6 = 0
2 • (–1)² – 2 = 2 • 1 – 2 = 2 – 2 = 0
2(0² – 4) + 6 = 2(0 – 4) + 6 = 2 • (–4) + 6 = –8 + 6 = –2
2 • 0² – 2 = 2 • 0 – 2 = 0 – 2 = –2
2(1² – 4) + 6 = 2(1 – 4) + 6 = 2 • (–3) + 6 = –6 + 6 = 0
2 • 1² – 2 = 2 • 1 – 2 = 2 – 2 = 0
2(2² – 4) + 6 = 2(4 – 4) + 6 = 2 • 0 + 6 = 0 + 6 = 6
2 • 2² – 2 = 2 • 4 – 2 = 8 – 2 = 6
2(3² – 4) + 6 = 2(9 – 4) + 6 = 2 • 5 + 6 = 10 + 6 = 16
2 • 3² – 2 = 2 • 9 – 2 = 18 – 2 = 16
2(4² – 4) + 6 = 2(16 – 4) + 6 = 2 • 12 + 6 = 24 + 6 = 30
2 • 4² – 2 = 2 • 16 – 2 = 32 – 2 = 30
2(5² – 4) + 6 = 2(25 – 4) + 6 = 2 • 21 + 6 = 42 + 6 = 48
2 • 5² – 2 = 2 • 25 – 2 = 50 – 2 = 48
Завдання 65
Заповніть таблицю.
Чи правильна тотожність |a| + 1 = |a+1|
|
a |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
100 |
100 000 |
|
|a| + 1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
101 |
100 001 |
|
|a + 1| |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
101 |
100 001 |
|
Обчислення |
|0 + 1| = |1| = 1 |0| + 1 = 0 + 1 = 1 |1 + 1| = |2| = 2 |1| + 1 = 1 + 1 = 2 |2 + 1| = |3| = 3 |2| + 1 = 2 + 1 = 3 |3 + 1| = |4| = 4 |3| + 1 = 3 + 1 = 4 |
|4 + 1| = |5| = 5 |4| + 1 = 4 + 1 = 5 |5 + 1| = |6| = 6 |5| + 1 = 5 + 1 = 6 |100 + 1| = |101| = 101 |100| + 1 = 100 + 1 = 101 |100 000 + 1| = |100 001| = 100 001 |100 000| + 1 = 100 000 + 1 = 100 001 |
||||||
|a| + 1 = |a+1| – тотожність правильна, при а ≥ 0.
Завдання 66
a) |x + 3| = x + 3;
|x + 3| = х + 3 або |x + 3| = –(х + 3), – (х + 3) ≠ х + 3 – не є тотожністю
б) |x² + 5| = x² + 5;
|x² + 5| = x² + 5 або |(–x)² + 5| = |x² + 5| = x² + 5 – є тотожністю
в) |а – b| • |b – а| = (а – b)².
|а – b| • |b – а| = (a – b) • (a – b) = (а – b)² – є тотожністю
Завдання 67
а) |х – у| = х – у;
|х – у| = х – у або |х – у| = –(х – у), –(х – у) ≠ х – у – не є тотожністю
б) |а + b| = |а| + |b|;
|а + b| = |а| + |b|, якщо а ≥ 0, b ≥ 0 – є тотожністю
в) |х| – |у| = |y| – |х| – не є тотожністю
Завдання 68
Проаналізуй формули та виконай завдання.
|
a) l = 2πR; R = l/2π |
б) V = m/ρ; ρ = m/V m = Vρ |
в) s = vt + l l = s – vt v = (s – l)/t |
Завдання 69
Знайди відповідність між умовою задачі та буквеним виразом до неї.
1 За блокнот та ручку заплатили а грн. Блокнот коштував на b грн дорожче ручки. Скільки гривень коштувала ручка?
Нехай ручка коштувала х грн, тоді блокнот – (х + b) грн, а вся покупка а грн. Складаємо рівняння:
x + b + x = a
2х + b = a
2x = a – b
x = (a – b)/2 (грн) – коштувала ручка.
Відповідь: Г) (a – b)/2
2 Автомобіль та автобус проїхали разом а км. Автобус проїхав на b км менше, ніж автомобіль. Скільки кілометрів проїхав автомобіль?
Нехай автобус проїхав х км, тоді автомобіль – (х + b) км, а вся відстань дорівнює а км. Складаємо рівняння:
x + x + b = a
2х + b = a
2x = a – b
x = (a – b)/2
(a – b)/2 + b = (a – b + 2b)/2 = (a + b)/2 (км) - відстань проїхав автомобіль.
Завдання 70
Розгадай ребуси.
Вдача, мінус, квадрат.
Завдання 71
Із 150 випускників економічного коледжу 10 % було направлено на роботу в банки, 20 % — у заклади торгівлі, а 30 % продовжили навчання в університеті. Скільки випускників ще не працевлаштовано?
Розв'язання
1 спосіб
1) 150 : 100 • 10 = 15 (в.) – направлено на роботу в банки;
2) 150 : 100 • 20 = 30 (в.) – направлено на роботу в заклади торгівлі;
3) 150 : 100 • 30 = 45 (в.) – продовжили навчання в університеті;
4) 150 – (15 + 30 + 45) = 150 – 90 = 60 (в.) – не працевлаштовані.
2 спосіб
1) 150 • 0,1 = 15 (в.) – направлено на роботу в банки;
2) 150 • 0,2 = 30 (в.) – направлено на роботу в заклади торгівлі;
3) 150 • 0,3 = 45 (в.) – продовжили навчання в університеті;
4) 150 – (15 + 30 + 45) = 150 – 90 = 60 (в.) – не працевлаштовані.
Відповідь: 60 випускників.
Завдання 72
Координати точок: A(–1; 4); В(3; 0); С(–4; –2).
Координати перетину з осями координат сторін:
AB: (0; 3); BC: (0; –1); AC: (–3; 0).
Завдання 73
За якої умови правильна пропорція:
|
а) 3 : х = х : 27 х • х = 27 • 3 х² = 81 х = 9 або х = –9 |
б) у : 4 = 16 : у² у • у² = 4 • 16 у3 = 64 у = 4 |