Завдання 522
Закінчіть розкладання многочлена на множники:
1) 3m + 3n + mx + nx = (3m + 3n) + (mx + nx) = 3(m + n) + x(m + n) = (m + n)(3 + x)
2) 8c – 8 – ac + a = (8c – 8) + (–ac + a) = 8(c – 1) – a(c – 1) = (c – 1)(8 – a)
3) 4ab + 8b + 3a + 6 = (4ab + 8b) + (3a + 6) = 4b(a + 2) + 3(a + 2) = (a + 2)(4b + 3)
4) a²b + 2c² – abc – 2ac = a²b – abc + 2c² – 2ac = (a²b – abc) + (2c² – 2ac) =
= ab(a – c) + 2c(c – a) = ab(a – c) – 2c(a – c) = (a – c)(ab – 2c)
Завдання 523
Закінчіть розкладання многочлена на множники:
1) 5a + 5c – ab – bc = (5a + 5c) + (–ab – bc) = 5(a + c) – b(a + c) = (a + c)(5 – b)
2) xy + 2y – x – 2 = (xy + 2y) + (–x – 2) = y(x + 2) – 1(x + 2) = (x + 2)(y – 1)
3) x3 + x2 + x + 1 = (x3 + x2) + (x + 1) = x2(x + 1) + 1(x + 1) = (x + 1)(x2 + 1)
Завдання 524
Подайте у вигляді добутку многочленів вираз:
1) a(b + c) + 4b + 4c = a(b + c) + 4(b + c) = (a + 4)(b + c)
2) x(y – 8) + 6y – 48 = x(y – 8) + 6(y – 8) = (x + 6)(y – 8)
3) m(n – 2) + n – 2 = m(n – 2) + 1(n – 2) = (m + 1)(n – 2)
4) x(m – n) + n – m = x(m – n) – (m – n) = (x – 1)(m – n)
Завдання 525 Розкладання на множники
1) b(p – k) + cp – ck = b(p – k) + c(p – k) = (b + c)(p – k)
2) a(b + 9) + b + 9 = a(b + 9) + 1(b + 9) = (a + 1)(b + 9)
3) a(c – 6) + 5c – 30 = a(c – 6) + 5(c – 6) = (a + 5)(c – 6)
4) 7 – x + y(x – 7) = 7 – x + y(x – 7) = –(x – 7) + y(x – 7) = (y – 1)(x – 7)
Завдання 526
1) ma + mb + 4a + 4b = m(a + b) + 4(a + b) = (m + 4)(a + b)
2) 5a – 5b + ap – bp = 5(a – b) + p(a – b) = (5 + p)(a – b)
3) 3x + cy + cx + 3y = 3(x + y) + c(x + y) = (3 + c)(x + y)
4) 7m + mn + 7 + n = 7(m + 1) + n(m + 1) = (m + 1)(7 + n)
5) a – 1 + ab – b = a(1 + b) – 1(1 + b) = (a – 1)(1 + b)
6) xy + 8y – 2x – 16 = y(x + 8) – 2(x + 8) = (y – 2)(x + 8)
7) ab + ac – b – c = a(b + c) – 1(b + c) = (a – 1)(b + c)
8) 3p – 3k – 4ap + 4ak = 3(p – k) – 4a(p – k) = (3 – 4a)(p – k)
Завдання 527
1) ay – 3y – 4a + 12 = y(a – 3) – 4(a – 3) = (y – 4)(a – 3)
2) 9a + 9 – na – n = 9(a + 1) – n(a + 1) = (9 – n)(a + 1)
3) 6x + ay + 6y + ax = 6(x + y) + a(x + y) = (6 + a)(x + y)
4) 8x – 8y + xz – yz = 8(x – y) + z(x – y) = (8 + z)(x – y)
5) mn + m – n – 1 = m(n + 1) – 1(n + 1) = (m – 1)(n + 1)
6) ab – ac – 2b + 2c = b(a – 2) – c(a – 2) = (b – c)(a – 2)
Завдання 528
1) a3 + a2 + a + 1 = (a² + 1)(a + 1)
2) x5 – 3x3 + 4x2 – 12 = x3(x2 – 3) + 4(x2 – 3) = (x2 – 3)(x3 + 4)
3) c6 – 10c4 – 5c2 + 50 = c4(c2 – 10) – 5(c2 – 10) = (c2 – 10)(c4 – 5)
4) y3 – 18 + 6y2 – 3y = (y3 – 3y) + (6y2 – 18) = y(y2 – 3) + 6(y2 – 3) = (y + 6)(y2 – 3)
5) a² – ab + ac – bc = a(a – b) + c(a – b) = (a + c)(a – b)
6) 20a3bc – 28ac2 + 15a2b2 – 21bc = 4ac(5a2b – 7c) + 3b(5a2 – 7c) = (5a2b – 7c)(4ac + 3b)
7) x²y² + xy + axy + a = (xy + a)(xy + 1)
8) 24x6 – 44x4y – 18x2y3 + 33y4 = 4x4(6x2 – 11y) – 3y3(6x2 – 11y) = (6x2 – 11y)(4x4 – 3y3)
Завдання 529
1) 8c3 – 2c2 + 4c – 1 = (2c2 + 1)(4c – 1)
2) x2y + x + xy2 + y = x(xy + 1) + y(xy + 1) = (x + y)(xy + 1)
3) 9a²b – 3a² + 3b² – b = 3a²(3b – 1) + b(3b – 1) = (3a² + b)(3b – 1)
4) 8a² – 2ab – 4ac + bc = 2a(4a – b) – c(4a – b) = (2a – c)(4a – b)
5) 2b3 – 7b2c – 4b + 14c = b2(2b – 7c) – 2(2b – 7c) = (2b – 7c)(b2 – 2)
6) 6x5 + 4x2y2 – 9x3y – 6y3 = 2x2(3x3 – 2y2) – 3y(3x3 + 2y2) = (3x3 + 2y2)(2x2 – 3y)
Завдання 530
3найдіть значення виразу, розклавши його на множники:
1) 2a3 – 3a2 – 2ab + 3b = (a2 – b)(2a – 3)
Якщо a = 0,5, b = 2,25, тоді (0,5² – 2,25)(2 • 0,5 – 3) = (0,25 – 2,25)(1 – 3) = (–2) • (–2) = 4
2) xy + y² – 12x – 12y = (x + y)(y – 12)
Якщо x = 10,8, y = –8,8, тоді (10,8 – 8,8)(–8,8 – 12) = (2)(–20,8) = –41,6
3) 27x3 – 36x2 + 6x – 8 = (9x2 + 2)(3x – 4)
Якщо x = –1 1/3, тоді (9(–4/3)² + 2)(3(–4/3) – 4) = (16 + 2)(–8) = 18(–8) = –144
Завдання 531
3найдіть значення виразу, розклавши його на множники:
1) 2a + b + 2a² + ab = (2a + b) + a(2a + b) = (2a + b)(1 + a)
Якщо a = –3, b = 4, тоді (2 • (–3) + 4)(1 + (–3)) = (–2) • (–2) = 4
2) 3x3 – x2 – 6x + 2 = x2(3x – 1) – 2(3x – 1) = (3x – 1)(x2 – 2)
Якщо x = 2/3, тоді (3 • 2/3 – 1)((2/3)² – 2) = (2 – 1)(4/9 – 2) = –1 5/9
Завдання 532
Закінчіть обчислення значення виразу:
1) 38,14 • 12,26 +12,26 • 11,86 – 24,37 • 2,26 – 2,26 • 25,63 =
= (38,14 • 12,26 + 12,26 • 11,86) + (–24,37 • 2,26 – 2,26 • 25,63) =
= 12,26 • (38,14 + 11,86) – 2,26 • (24,37 + 25,63) = 12,26 • 50 – 2,26 • 50 =
= 50 • (12,26 – 2,26) = 50 • 10 = 500
2) 0,7 • 2,48 – 0,3 • 1,62 – 0,4 • 2,48 + 0,3 • 3,14 =
= (0,7 • 2,48 – 0,4 • 2,48) + (0,3 • 3,14 – 0,3 • 1,62) =
= 2,48 • (0,7 – 0,4) + 0,3 • (3,14 – 1,62) = 2,48 • 0,3 + 0,3 • 1,52 =
= 0,3 • (2,48 + 1,52) = 0,3 • 4 = 1,2
Завдання 533
Обчисліть, не використовуючи калькулятора:
1) 3,74² + 3,74 • 2,26 – 3,74 • 1,24 – 2,26 • 1,24 =
= 3,74(3,74 + 2,26) – 1,24(3,74 + 2,26) = (3,74 + 2,26)(3,74 – 1,24) = 6 • 2,5 = 15
2) 58,7 • 1,2 + 36 • 3,52 – 34,7 • 1,2 – 2,32 • 36 =
= 58,7 • 1,2 – 34,7 • 1,2 + 36 • 3,52 – 2,32 • 36 = (58,7 – 34,7) • 1,2 + (3,52 – 2,32) • 36 =
= 24 • 1,2 + 1,2 • 36 = 1,2 • (24 + 36) = 1,2 • 60 = 72
3) 2 4/9 • 3 2/7 + 1 5/7 • 2,8 + 2 5/9 • 3 2/7 + 1 5/7 • 2,2 =
= (2 4/9 • 3 2/7 + 2 5/9 • 3 2/7) + (1 5/7 • 2/8 + 1 5/7 • 2,2) =
= (2 4/9 + 2 5/9) • 3 2/7 + 1 5/7 • (2,8 + 2,2) = 5 • 3 2/7 + 1 5/7 • 5 = 5 • (3 2/7 + 1 5/7) = 5 • 5 = 25
Завдання 534
1) 34,4 • 13,7 – 34,4 • 8,7 – 15,6 • 8,7 +13,7 • 15,6 =
= 34,4 • (13,7 – 8,7) + 15,6 • (–8,7 + 13,7) = 34,4 • 5 + 15,6 • 5 =
= (34,4 + 15,6) • 5 = 50 • 5 = 250
2) 0,63 – 2 • 0,6² • 0,8 + 0,6 • 0,8² – 2 • 0,83 =
= (0,63 + 0,6 • 0,8²) – (2 • 0,6² • 0,8 – 2 • 0,83) =
= 0,6 • (0,62 + 0,8²) – 2 • 0,8 • (0,6² + 0,8²) =
= 0,6 • (0,36 + 0,64) – 2 • 0,8 • (0,36 + 0,64) = 0,6 – 2 • 0,8 = 0,6 – 1,6 = –1
Завдання 535
1) ax² + ay – bx² – by + cx² + cy = (ax² – bx² + cx²) + (ay – by + cy) =
= (a – b + c)x² + (a – b + c)y = (a – b + c)(x² + y)
2) a²b + a + ab² + b + 3ab + 3 = (a²b + ab² + 3ab) + (a + b + 3) =
= ab(a + b + 3) + 1(a + b + 3) = (ab + 1)(a + b + 3)
3) x3 – x² + x²y + x – xy + y = x3 – x² + x + x²y – xy + y =
= x(x² – x + 1) + y(x² – x + 1) = (x + y)(x² – x + 1)
4) m²n + mn – 5 – 5m + n – 5m² = (m²n – 5m²) + (mn – 5m) + (n – 5) =
= m²(n – 5) + m(n – 5) + (n – 5) = (m² + m + 1)(n – 5)
5) x6 – 2x5 + 4x3 – 8x2 + 5x – 10 = x5(x – 2) + 4x2(x – 2) + 5(x – 2) =
= (x5 + 4x2 + 5)(x – 2)
6) a3b + ab2 – abc3 – a2c – bc + c4 = ab(a2 + b – c3) – c(a² + b – c3) =
= (ab – c)(a2 + b – c3)
Завдання 536
1) ab + ac + ad + bx + cx + dx = a(b + c + d) + x(b + c + d) = (a + x)(b + c + d)
2) 7p – 7k – px + kx + k – p = 6p – 6k – px + kx = 6(p – k) – x(p – k) = (6 – x)(p – k)
3) x3y3 – x2y2 + xy – 6 + 6xy – 6x2y2 = x3y3 – x2y2 + xy – 6 + 6xy – 6x2y2 =
= x3y3 – 7x2y2 + 7xy – 6 = xy(x2y2 – xy + 1) – 6(1 – xy + x2y2) =
= (x2y2 – xy + 1)(xy – 6)
4) a5 – a4b + a3b2 – a2b3 + ab4 – b5 = a3(a2 – ab + b2) – b3(a2 – ab + b2) =
= (a3 – b3)(a2 – ab + b2)
Завдання 537
Розкладіть на множники тричлен, подавши попередньо один із його членів у вигляді суми подібних доданків:
1) x² + 8x + 12 = x² + 2x + 6x + 12 = x(x + 2) + 6(x + 2) = (x + 2)(x + 6)
2) x² – 5x + 4 = x² – x – 4x + 4 = x(x – 1) – 4(x – 1) = (x – 4)(x – 1)
3) x² + 7x – 8 = x² + 8x – x – 8 = x(x – 1) – 8(x – 1) = (x + 8)(x – 1)
4) x² – 4x – 5 = x² – 5x + x – 5 = x(x + 1) – 5(x + 1) = (x – 5)(x + 1)
Завдання 538
Розкладіть на множники тричлен:
1) x² + 4x + 3 = x² + x + 3x + 3 = x(x + 1) + 3(x + 1) = (x + 1)(x + 3)
2) x² – 10x + 16 =x² – 2x – 8x + 16 = x(x – 2) – 8(x – 2) = (x – 2)(x – 8)
3) x² + 3x – 18 = x² – 3x + 6x – 18 = x(x – 3) + 6(x – 3) = (x + 6)(x – 3)
4) x² – 4x – 32 =x² + 4x – 8x –32 = x(x + 4) – 8(x + 4) = (x + 4)(x – 8)
Завдання 539 Ознаки подільності числа
Доведіть, що при всіх натуральних значеннях n значення виразу n3 + 3n2 + 2n ділиться націло на 6.
n3 + 3n2 + 2n = n3 + n2 + 2n2 + 2n = n2(n + 1)+ 2n(n + 1) = (n2 + 2n)(n + 1) =
= n(n + 1)(n + 2) – ділиться на шість, бо серед трьох послідовних натуральних чисел n, n + 1, n + 2 є завжди парне, що ділиться на 2, і одне непарне, що ділиться на 3, тому число ділиться націло на 6.
Завдання 540
Розкладіть на множники многочлен.
a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac = a² + b² + c² + ab + ab + bc + bc + ac + ac =
= (a² + ab + ac) + (b² + ab + bc) + (c² + ac + bc) =
= = a(a + b + c) + b(b + a + c) + c(c + a + b) =
= a(a + b + c) + b(a + b + c) + c(a + b + c) = (a + b + c)(a + b + c) = (a + b + c)²
Завдання 541
Доведіть, що при будь–якому натуральному значенні n, яке більше за 1, значення виразу ділиться націло на 10.
3n+2 – 2n + 2 + 3n – 2n = (3n + 2 + 3n) – (2n + 2 + 2n) =
= 3n(32 + 1) – 2n(22 + 1) = 3n • 10 – 2n • 5 = 3n • 5 • 2 – 2n • 5 =
= 3n • 5 • 2 – 2n–1 • 5 • 2 = 5 • 2 (3n – 2n – 1) = 10 • (3n – 2n – 1) – ділиться націло на 10.
Завдання 542
Відомо, що при деяких значеннях x і у виконується рівність x² + у² = 1. Знайдіть при цих самих значеннях x і у значення виразу:
2x4 + 3x2y2 + y4 + y2 = 2x4 + 2x2y2 + x2y2 + y4 + y2 = 2x2(x2 + y2) + y2(x2 + y2) + y2 =
= 2x² • 1 + y² • 1 + y² = 2(x² + y²) = 2 • 1 = 2
ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ
Завдання 543
Ціну на деякий товар спочатку знизили на 20 %, а потім підвищили на 20 %. Як змінилася ціна цього товару порівняно з початковою (підвищилася чи знизилася) і на скільки відсотків?
Розв'язання
Нехай початкова ціна х.
1) х – 0,2х = 0,8х – ціна товару після зниження;
2) 0,8х + 0,2 • 0,8х = 0,8х + 0,16х = 0,96х – ціна товару після підвищення;
3) х – 0,96х = 0,04х – на стільки знизилася ціна;
4) 0,04 • 100% = 4% – на стільки відсотків знизилася ціна.
Відповідь: знизилася на 4%.
Завдання 544
Ціну на деякий товар спочатку підвищили на 10 %, а потім знизили на 30 %. Як змінилася ціна цього товару порівняно з початковою (підвищилася чи знизилася) і на скільки відсотків?
Розв'язання
Нехай початкова ціна х.
1) х + 0,1х = 1,1х – ціна товару після підвищення;
2) 1,1х – 0,3 • 1,1х = 1,1х – 0,33х = 0,77х – ціна товару після зниження;
3) х – 0,77х = 0,23х – на стільки знизилася ціна;
4) 0,23 • 100% = 23% – на стільки відсотків знизилася ціна.
Відповідь: знизилася на 23%.
Завдання 545
(Задача з українського фольклору.) Підпасок привів на полонину овець. На полонині були кілки. Якщо до кожного кілка він прив’яже по вівці, то для однієї кілка не вистачить. Якщо ж до кожного кілка він прив’яже по дві вівці, то один кілок залишиться вільним. Скільки овець привів підпасок?
Розв'язання
Нехай на полонині було х кілків. Якщо до кожного кілка підпасок прив’яже по вівці, то для однієї кілка не вистачить, тому овець було (x + 1). Якщо до кожного кілка підпасок прив’яже по дві вівці, то один кілок залишиться вільним, а овець буде 2(x – 1). Складаємо рівняння:
x + 1 = 2(x – 1)
x + 1 = 2x – 2
x – 2x = –2 – 1
–x = –3
x = 3
3 + 1 = 4 (в.) – овець привів підпасок.
Відповідь: 4 вівці.
Завдання 546
Ольга й Дмитро можуть прополоти город, працюючи разом, за 2,4 год. Ольга може зробити це самостійно за 4 год. Скільки часу потрібно Дмитру, щоб самостійно прополоти город?
Розв'язання
Нехай Дмитру треба х год, а вся робота дорівнює 1. Складаємо рівняння:
1/х + 1/4 = 1/2,4
1/х + 1/4 = 1 : 24/10
1/х + 1/4 = 1 • 10/24
1/х + 1/4 = 10/24
1/х = 10/24 – 1/4
1/х = 10/24 – 6/24
1/х = 4/24
х = 1 : 4/24
х = 1 • 24/4
х = 24/4
х = 6
Відповідь: 6 год.
Завдання 547
В одному бідоні було в 4 рази більше молока, ніж у другому. Коли з першого бідона перелили 10 л молока в другий, то об’єм молока в другому бідоні склав 2/3 об’єму молока, що залишилося в першому бідоні. Скільки літрів молока було в кожному бідоні спочатку?
Розв'язання
Нехай молока було в другому бідон x л, тоді в першому — 4x л. Якщо з першого бідона перелили в другий 10 л молока, то в першому стало (4x – 10) л, а в другому (x + 10) л. Складаємо рівняння:
2/3(4x – 10) = x + 10 |• 3
8x – 20 = 3x + 30
8x – 3x = 30 + 20
5x = 50
x = 10 (л) – молока було спочатку в другому бідоні;
4 • 10 = 40 (л) – молока було спочатку в першому бідоні.
Відповідь: 40 л і 10 л.
ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ
Завдання 548 Квадрат одночлена
|
1) (2a)² = 4a² 2) (a2)2 = a4 3) (3b3)2 = 9b6 4) (7x4)2 = 49x8 |
5) (0,3x)² = 0,09x² 6) (0,4y5z2)2 = 0,16y10z4 7) (1/6a²b3c4)2 = 1/36 a4b6c8 8) (1 1/3 m6n)2 = (4/3 m6n)2 = 16/9 m12n2 |
Завдання 449
1) суму чисел а і c; a + c
2) різницю чисел m і n; m – n
3) добуток суми чисел x і у та їхньої різниці; (x + y)(x – y)
4) квадрат різниці чисел x і у; (x – y)²
5) різницю квадратів чисел x і у. x² – y²
УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ
Завдання 550
У турнірі, організованому за олімпійською системою (той, хто програв, — вибуває), беруть участь n тенісистів. Яку кількість матчів треба провести, щоб виявити переможця турніру?
Міркуємо так. Кожна гра призводить до вибування з турніру одного гравця. Щоб виявити переможця турніру, потрібно, щоб з нього вибув n – 1 гравець і для цього потрібно провести (n – 1) матчів.
Відповідь: (n – 1) матчів.