Завдання 139 Властивості додавання і множення
Які властивості арифметичних дій дають можливість стверджувати, що дані вирази є тотожно рівними:
1) вирази аb + сd і сd + аb Переставна властивість додавання;
2) вирази (a + 1) + b і а + (1 + b) Сполучна властивість додавання;
3) вирази a · 4b і 4аb Переставна властивість множення;
4) вирази (x + 2)(х + 3) і (3 + х)(2 + х) Переставна властивість додавання і множення;
5) вирази 7(а – 4) і 7a – 28 Розподільна властивість множення.
Завдання 140
Чи є тотожністю рівності?
1) 2x – 12 = 2(x – 6); 2(х – 6) = 2х – 2 • 6 = 2х – 12 — тотожність
2) a – b = –(b – a); –(b – а) = –b + а = а – b — тотожність
3) 3m + 9 = 3(m + 9); 3(m + 9) = Зm + 3 • 9 = Зm + 27 — не є тотожністю
4) (a + b) • 1 = a + b; (а + b) • 1 = а • 1 + b • 1 = а + b — тотожність
5) (a + b) • 0 = a + b; (a + b) • 0 = 0, 0 ≠ a + b — не є тотожністю
6) (a – a)(b + b) = 0; (а – а)(b + b) = 0 • 2b = 0 — тотожність
7) 3a – a = 3; 3a – a = а(3 – 1) = 2a — не є тотожністю
8) 4x + 3x = 7x; 4х + Зх = (4 + 3)х = 7х — тотожність
9) a – (b + c) = a – b + c; a – (b + c) = a – b – c — не є тотожністю
10) m + (n – k) = m + n – k; m + (n – k) = m + n – k — тотожність
11) 4a – (3a – 5) = a + 5; 4а – ( За – 5) = 4а – За + 5 = a + 5 — тотожність
12) (a – 5) (a + 3) = (5 – a) (3 + a). (a – 5) (a + 3) = (5 – a) (3 + a) — не є тотожністю
Завдання 141
Чи є тотожно рівними вирази:
1) 8 (a – b + c) і 8a – 8b + 8c; 8(а – b + с) = 8а – 8b + 8с — тотожно рівні
2) –2 (x – 4) і –2x – 8; –2(x – 4) = –2x + 8 — не є тотожно рівними;
3) (5a – 4) – (2a – 7) і 3a – 11. (5a – 4) – (2a – 7) = 5a – 4 – 2a + 7 = 3а + 3 — не є тотожно рівними
Завдання 142
Порівняйте значення виразів a2 і |a| при a = –1; 0; 1.
Якщо а = –1, тоді а2 = (–1)2 = 1, |а| = |–1| = 1, отже, a2 = |а|
Якщо а = 0, тоді а2 = (0)2 = 0, |а| = |0| = 0, отже, a2 = |а|
Якщо а = 1, тоді а2 = (1)2 = 1, |а| = |1| = 1, отже, a2 = |а|
Чи можна стверджувати, що рівність a2 = |a| є тотожністю? Ні, бо рівність виконується не для всіх а, наприклад, якщо а = 4, 42 = 16 і |а| = |4| = 4, а 16 ≠ 4.
Завдання 143
Якому з наведених виразів тотожно дорівнює вираз –3a + 8b – a – 11b:
1) –4a + 3b;
2) –3a + 3b;
3) –4a – 3b; Бо –За + 8b – a – 11b = –4а – 3b
4) –3a – 3b?
Завдання 144
Серед виразів –10a + 7; –10a – 7; –14a + 7;–14a – 7 знайдіть такий, який тотожно дорівнює виразу –12a + (7 – 2a).
–12а + (7 – 2а) = –12а + 7 – 2а = –14а + 7
Відповідь: –14а + 7
Завдання 145 Тотожність
1) –5x – 6(9 –2x) = –5x – 54 + 12x = 7x – 54 —тотожність доведена
2) 1/3(12 – 0,6y) + 0,3y = 4 – 0,2y + 0,3y = 0,1y + 4 — тотожність доведена
3) 3(7 – а) – 7(1 – За) = 21 – За – 7 + 21а = 14 + 18а — тотожність доведена
4) (6х – 8) – 5x – (4 – 9x) = 6х – 8 – 5х – 4 + 9x = 10х – 12 — тотожність доведена
5) 3(2,1m – n) – 0,9(7m + 2n) = 6,3m – 3n – 6,3m – 1,8n = –4,8n — тотожність доведена
6) 2/3 (–3/8x + 6) – 1/6(24 – 1 1/2 x) = –2/3 • 3/8x + 2/3 • 6 – 1/6 • 24 + 1/6 • 3/2 x =
= –1/4x + 4 – 4 + 1/4x = 0 – тотожність доведена.
Завдання 146
1) –0,2(4b – 9) + 1,4b = –0,8b + 1,8 + 1,4b = 0,6b + 1,8 — тотожність доведена;
2) (5а – 3b) – (4 + 5а – Зb) = 5а – 3b – 4 – 5а + 3b = –4 — тотожність доведена;
3) 5(0,4x – 0,3) + (0,8 – 0,6x) = 2х – 1,5 + 0,8 – 0,6x = 1,4х – 0,7 — тотожність доведена;
4) 1/9(Зу – 27) – 2(1/12y – 1,5) = 1/3y – 3 – 1/6y + 3 = 1/6y — тотожність доведена.
Завдання 147
Які з наведених рівностей є тотожностями:
1) (2а – Зb)2 = (3b – 2a)2; (2а – Зb)2= (–(3b – 2а))2 = (3b – 2a)2 — тотожність;
2) (a – b)3 = (b – а)3 ; (a – b)3 = (a – b)(a – b)(a – b) = (a2 – ab – ab + b2) (a – b) =
= a3 – a2b – a2b + ab2 – a2b + ab2 + ab2 – b3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 — не є тотожністю;
3) |а + 5| = а + 5; |а + 5| = а + 5 або |а + 5| = –(а + 5) = 5 – а — не є тотожністю;
4) |а – b| = |b – а|; |а – b| = |–(b – а)| = |b – а| — тотожність;
5) |а2 + 4| = a2 + 4; оскільки а2 + 4 > 0 для усіх а, тому |а2 + 4| = а2 + 4 — тотожність;
6) |а + b| = |а| + |b| не є тотожністю, бо, наприклад, якщо а = 6, b = –5 , то
|а + b|= |6 – 5|= |1|= 1, |a| + |b| = |6| + |–5| = 6 + 5 = 11 і 1 ≠ 11;
7) |а – 1| = |а| – 1 не є тотожністю, бо, наприклад, якщо а = 0, то
|а – 1| = |0 – 1| = |–1| = 1, |a| – 1 = |0| – 1 = –1 і 1 ≠ –1;
8) a2 – b2 = (а – b)2 не є тотожністю, бо, наприклад, якщо а = 2, b = 1, то
а2 – b2 = 22 – 12 = 4 – 1 = 3, (а – b)2 = (2 – 1)2 = 12 = 1 і 3 ≠ 1.
Завдання 148
Запишіть у вигляді рівності твердження.
1) сума протилежних чисел дорівнює нулю; а + (–а) = 0
2) добуток даного числа та числа 1 дорівнює 1; а • 1 = 1
3) добутком даного числа та числа –1 є число, протилежне даному; а • (–1) = –а
4) модулі протилежних чисел рівні; |а| = |–а|
5) різниця протилежних чисел дорівнює нулю. а – (–а) = 0
Які із цих рівностей є тотожностями? а + (–а) = 0; а • (–1) = –а; |а| = |–а|
Завдання 149
Доведіть тотожність:
1) 4(2 – Зm) – (6 – m) – 2(3m + 4) = 8 – 12m – 6 + m – 6m – 8 = –17m – 6 — тотожність доведена;
2) 2а(3 – b) – 3b(а – 2) – 5(ab + а + b) = 6а – 2ab – 3ab + 6b – 5аb – 5а – 5b =
= а + b – 10аb — тотожність доведена;
3) 6(5а – 3) + (10 – 20а) – (6а – 4) = 30а – 18 + 10 – 20а – 6а + 4 = 4а – 4.
5а – (За – (2а – 4)) = 5а – (За – 2а + 4) = 5а – а – 4 = 4а – 4.
4а – 4 = 4а – 4 — тотожність доведена.
Завдання 150
1) (Зm – 7) • 0,6 – 0,8(4m – 5) – (–1,7 – 1,4m) = 1,8m – 4,2 – 3,2m + 4 + 1,7 + 1,4m =
= 1,5 — тотожність доведена;
2) 7а(3b + 4с) – 3а(b + 1/3с) = 21аb + 28ас – 3аb – ас = 18аb + 27ас = 9а(2b + Зс) — тотожність доведена.
Завдання 151
Доведіть, що не є тотожністю рівності.
1) (а + 3)2 = а2 + 9;
а2 + 9 = а2 + 32, а а2 + 32 ≠ (a + 3)2, тому не є тотожністю;
2) (b – 1)(b + 1) = (b – 1)b + 1;
(b – 1)(b + 1) = b2 + b – b – 1 = b2 – 1, а b2 – 1 ≠ (b – 1)b + 1, тому не є тотожністю;
3) (с + 1)3 = с3 + 1/(с + 1)3;
(с + 1)3 = (c + 1)(c + 1)(c + 1) = (c2 + c + c + 1)(c + 1) =
= c3 + c2 + c2 + c + c2 + c + c + 1 = с3 + 3c2 + 3c + 1, а с3 + 3c2 + 3c + 1 ≠ с3 + 1/(с + 1)3, тому не є тотожністю;
4) |m| – |n| = |n| – |m|;
|m| – |n| – (|n| – |m|) = |m| – |n| – |n| + |m| = 2|m| – 2|n| ≠ 0, тому не є тотожністю.
Завдання 152
Доведіть, що не є тотожно рівними вирази:
1) 4 – m2 і (2 – m)2
4 – m2 = 22 – m2, а 22 – m2 ≠ (2 – m)2, тому не є тотожно рівними;
2) |–m| і m
|–m| = m справедливо не для всіх значень, а тільки для невід'ємних, тому не є тотожно рівними;
3) m3 + 8 і (m + 2)(m2 + 4)
(m + 2)(m2 + 4) = m3 + 4m + 2m2 + 8, а m3 + 4m + 2m2 + 8 ≠ m3 + 8, тому не є тотожно рівними.
Завдання 153
Пасажирський поїзд проходить відстань між двома станціями за 12 год. Якщо одночасно від цих станцій вирушать назустріч один одному пасажирський і товарнийпоїзди, то вони зустрінуться через 8 год після початку руху. За який час товарний поїзд може подолати відстань між цими станціями?
Розв'язання
Нехай відстань між містами дорівнює х км, тоді швидкість пасажирського поїзда — x/12 км/год, а швидкість зближення поїздів — x/8 км/год.
1) (x/8 – x/12) = (3х/24 – 2x/24) = x/24 (км/год) – швидкість товарного поїзда;
2) х : x/24 = 24 (год) – час, за який товарний поїзд подолає відстань між містами.
Відповідь: 24 год.
Завдання 154
1) Якщо а > 0 і а + b < 0, тоді b < 0;
2) Якщо а > 0 і а + b < 0, тоді |a| < |b|.
Завдання 155
Ціну товару спочатку збільшили на 50 %, а потім зменшили на 50 %. Збільшилася чи зменшилася початкова ціна товару та на скільки відсотків?
Розв'язання
Нехай початкова ціна товару була х грн.
1) х + 0,5х = 1,5х (грн) – збільшена на 50% початкова ціна або нова ціна;
2) 1,5х – 1,5х • 0,5 = 0,75х (грн) – зменшена на 50% нова ціна;
3) х – 0,75х = 0,25х (грн) – на стільки зменшилася початкова ціна;
4) 0,25х : х • 100% = 0,25 • 100% = 25% – на стільки відсотків зменшилася початкова ціна товару.
Відповідь: зменшилась на 25%.
Завдання 156
Загальна довжина річки Дніпро становить 2201 км, з них у межах України — 981 км. Загальна довжина річки Десна становить 1130 км, з них у межах України — 591 км. Яка із цих річок має більший відсоток довжини в межах України?
Розв'язання
1) 981 : 2201 • 100% ≈ 0,446 • 100% = 44,6% — відсоток довжини Дніпра в межах України;
2) 591 : 1130 • 100% ≈ 0,523 • 100% = 52,3% — відсоток довжини Десни в межах України.
Відповідь: відсоток довжини Дніпра в межах України більший.
Завдання 157
На дошці записано числа 1, 2, 3, ..., 10. За один крок дозволено вибрати два числа, до кожного з них додати 5 або від кожного відняти 1. Чи можна за допомогою цих операцій домогтися того, щоб усі числа, записані на дошці, виявилися рівними?
Розв'язання
Сума чисел 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 10 = 55 — є непарним числом. Якщо за один крок до двох чисел додавати 5 чи віднімати 1, то сума усіх чисел нової групи залишиться непарним числом, а сума будь–яких десяти рівних чисел є парним числом.
Відповідь: Не можна.