Завдання 462 Многочлен
|
1) a + (b – 5) = a + b – 5 3) x – (p – 1) = x – p + 1 |
2) y + (3 – m + t) = y + 3 – m + t 4) c – (–b² + 1) = c + b² – 1 |
Завдання 463 Сума многочленів
1) 2x2 + 3x3 – 1 + 5x3 + 3x2 + 7 = 8x3 + 5x2 + 6
2) a3 + 3a2 + 1 + 2a2 – 5 + 6 – 5a2 = a3 + 2
Завдання 464
1) 3m3 + 5m2 – 7 + 2m3 + 6 = 5m3 + 5m2 – 1
2) b2 + 3b – 1 + 2b – 3b2 + 2b2 + 7 = 5b + 6
Завдання 465 Pізниця многочленів
1) 4p3 + 7p2 – p – (2p2 + p) = 4p3 + 7p2 – p – 2p2 – p) = 4p3 + 5p2 – 2p
2) m2 + 2m – 1 – (m3 + 2m – 1) = m2 + 2m – 1 – m3 – 2m + 1 = m2 – m3
Завдання 466
1) 2a3 – 3a2 + 7 – (a3 – 5a2 – 8) = 2a3 – 3a2 + 7 – a3 + 5a2 + 8 = a3 + 2a2 + 15
2) c4 + c3 – 2 – (c3 + 2c2 – 2) = c4 + c3 – 2 – c3 – 2c2 + 2 = c4 – 2c2
Завдання 467 Cума і різниця виразів:
1) x + y + x – y = 2x
x + y – (x – y) = x + y – x + y = 2y
2) x – y + (–x + y) = x – y – x + y = 0
x – y – (–x + y) = x – y + x – y = 2x – 2y
3) –x – y + y – x = –2x
–x – y – (y – x) = –x – y – y + x = –2y
4) x – y + y – x = 0
x – y – (y – x) = x – y – y + x = 2x – 2y
Завдання 468
1) 2a – b + 2a + b = 4a
2a – b – (2a + b) = 2a – b – 2a – b = –2b
2) 2a – b + (–2a + b) = 2a – b – 2a + b = 0
2a – b – (–2a + b) = 2a – b + 2a – b = 4a – 2b
3) –2a – b + 2a + b = 0
–2a – b – (2a + b) = –2a – b – 2a – b = –4a – 2b
4) 2a – b + b – 2a = 0
2a – b – (b – 2a) = 2a – b – b + 2a = 4a – 2b
Завдання 469 Многочлен стандартного вигляду
1) 3x2 – 2x + 1 + 3x2 – 4 = 6x2 – 2x – 3
3x2 – 2x + 1 – (3x2 – 4) = 3x2 – 2x + 1 – 3x2 + 4 = –2x + 5
2) 2x + 1 + (–3x2 – 2x – 1) = 2x + 1 – 3x2 – 2x – 1 = –3x2
2x + 1 – (–3x2 – 2x – 1) = 2x + 1 + 3x2 + 2x + 1 = 3x2 + 4x + 2
3) a + 5b + 3a – 5b = 4a
a + 5b – (3a – 5b) = a + 5b – 3a + 5b = –2a + 10b
4) m2 – 2mn – n2 + m2 + n2 = 2m2 – 2mn
m2 – 2mn – n2 – (m2 + n2) = m2 – 2mn – n2 – m2 – n2 = –2mn – 2n2
Завдання 470
1) 5y2 + 2y – 10 + 3y2 – y + 7 = 8y2 + y – 3
5y2 + 2y – 10 – (3y2 – y + 7) = 5y2 + 2y – 10 – 3y2 + y – 7 = 2y2 + 3y – 17
2) 5m3 – m + 3 + 4m2 + m – 4 = 5m3 + 4m2 – 1
5m3 – m + 3 – (4m2 + m – 4) = 5m3 – m + 3 – 4m2 – m + 4 = 5m3 – 4m2 – 2m + 7
3) 5p2 – 2pq – 7q2 + 3p2 + 2pq + 5q2 = 8p2 – 2q2
5p2 – 2pq – 7q2 – (3p2 + 2pq + 5q2) = 5p2 – 2pq – 7q2 – 3p2 – 2pq – 5q2 =
= 2p2 – 4pq – 12q2
Завдання 471 Спрощення виразу
1) (1 + 2p) + (p2 – p) = 1 + 2p + p2 – p = p2 + p + 1
2) (5a2 + a3) – (– a + 5a2) = 5a2 + a3 + a – 5a2 = a3 + a
3) (x2 – 5x) + (5x – 13) = x2 – 5x + 5x – 13 = x2 – 13
4) (3b3 – 5b2) – (5 + 3b3 – 2b2) = 3b3 – 5b2 – 5 – 3b3 + 2b2 = –3b2 – 5
Завдання 472 Перетворіть на многочлен стандартного вигляду:
1) (5ab2 – 12ab – 7a2b) – (15ab + 8a2b) = 5ab2 – 12ab – 7a2b – 15ab – 8a2b =
= 5ab2 – 27ab – 15a2b
2) ((3/5)a3b2 – (3/4)ab2) – ((–5/8)b2a – (7/10)b2a3)=
= 0,6a3b2 – 0,75ab2 + 0,625b2a + 0,7b2a3 = 1,3a3b2 – 0,125 ab2
3) (x + y – z) – (–2x + 3y – z) – (–5y + 4z + x) =
= x + y – z + 2x – 3y + z + 5y – 4z – x = 2x + 3y – 4z
4) (2m – 3n) – (4m – 3mn + 3n2) – (5mn – 5n2 – 3n) =
= 2m – 3n – 4m + 3mn – 3n2 – 5mn + 5n2 + 3n = 2n2 – 2mn – 2m
Завдання 473
1) (15x2 – 3xy) – (12x2 – 5xy + y2) = 15x2 – 3xy – 12x2 + 5xy – y2 = 3x2 + 2xy – y2
2) (5a2b – 12ab + 14ab2) – (–5ab + 14ab2 – 7a2b) =
= 5a2b – 12ab + 14ab2 + 5ab – 14ab2 + 7a2b = 12a2b – 7ab
3) (m + n – 2p) – (–2m + p – 3n) – (4n + 3m – 4p) =
= m + n – 2p + 2m – p + 3n – 4n – 3m + 4p = –2p – p + 4p = p
Завдання 474 Рівняння
|
1) 5x + 2x2 – (2x2 – 10) = 25 5x + 2x2 – 2x2 + 10 = 25 5x + 10 = 2 5x = 15 x = 3 |
2) 5 – x3 – (2x + 7 – x3) = –8 5 – x3 – 2x – 7 + x3 = –8 –2x – 2 = –8 –2x = –6 x = 3 |
Завдання 475
|
1) 5x2 + 7x – (2x + 5x2 – 8) = 8 5x2 + 7x – 2x – 5x2 + 8 = 8 5x + 8 = 8 5x = 0 x = 0 |
2) 2 – 3x3 – (5x – 3x3) = –13 2 – 3x3 – 5x + 3x3 = –13 2 – 5x = –13 –5x = –15 x = 3 |
Завдання 476
Подайте многочлен у вигляді суми двох многочленів, один з яких містить змінну x, а інший її не містить:
1) xa + b – m – xb = (xa – xb) + (b – m)
2) xa2 – 17a + 5x + 10b = (xa2 + 5) + (10b – 17a)
Завдання 477
Запишіть многочлен 5x2 – 9x3 + 7x – x4 – 1 у вигляді суми двочлена і тричлена. Знайдіть два розв'язки задачі.
5x2 – 9x3 + 7x – x4 – 1 = (5x2 – 9x3 + 7x) – (x4 + 1)
5x2 – 9x3 + 7x – x4 – 1 = (5x2 – 9x3 – x4) + (7x – 1)
Завдання 478
Для якого значення x:
1) значення різниці одночлена 5x і многочлена 3x – 5x2 + 12 дорівнює значенню многочлена 7x + 5x2 – 18;
5x – (3x – 5x2 + 12) = 7x + 5x2 – 18
5x – 3x + 5x2 – 12 = 7x + 5x2 – 18
5x – 3x + 5x2 – 7x – 5x2 = –18 + 12
–5x = –6
x = 1,2
2) значення різниці многочленів 5x3 + 3x2 – x і 2x3 – 2x2 + x дорівнює значенню многочлена 5x2 + 3x3 + 14?
5x3 + 3x2 – x – (2x3 – 2x2 + x) = 5x2 + 3x3 + 14
5x3 + 3x2 – x – 2x3 + 2x2 – x = 5x2 + 3x3 + 14
5x3 + 3x2 – x – 2x3 + 2x2 – x – 5x2 – 3x3 = 14
–x – x = 14
–2x = 14
x = –7
Завдання 479
Для якого значення змінної у:
1) сума многочленів 2у3 – 3у + у2 та 5у – 2у3 – у2 + 7 дорівнює 19;
2у3 – 3у + у2 + 5у – 2у3 – у2 + 7 = 19
–3у + 5у + 7 = 19
2у = 12
y = 6
2) різниця двочлена 5у2 – 7у і тричлена 2у2 – 8у + 9 дорівнює двочлену 3у2 – 3у?
5у2 – 7у – (2у2 – 8у + 9) = 3у2 – 3у
5у2 – 7у – 2у2 + 8у – 9 = 3у2 – 3у
5у2 – 7у – 2у2 + 8у – 3у2 + 3у = 9
–7у + 8у + 3у = 9
4y = 9
y = 9/4
у = 2 1/4
Завдання 480
Подайте многочлен у вигляді різниці двох многочленів, перший з яких містить змінну у, а другий її не містить:
1) –ya + yx + x – у – a + 1 = (–ya + yx – y) – (–x + a – 1)
2) –p2 + у2 + 2p – 7у – 1 = (y2 – 7y) – (p2 – 2p + 1)
Завдання 481
Який многочлен стандартного вигляду потрібно записати замість пропусків, щоб одержати тотожність:
1) –(4p + q) = 4p – q
2) –(–4m2 + p2 – 5) = 4m2 – p2 + 5
3) (7m2) + 2m2n – 5mn2 = 7m2 – 3mn2
4) 7a2b + 9a3 + (a2b – 9a3) = 8a2b
5) 3 + 2a2 – 5a + (–15 + 7a2) = 9a2 – 12
6) (9x2 – 4xy + 5) – 4x2 + 2xy = 5 + 5x2 – 2xy
Завдання 482
Знайдіть многочлен стандартного вигляду, підставивши який замість М матимемо тотожність:
1) –M = 5a – b2 + 7;
–(–5a + b2 – 7) = 5a – b2 +
2) M + (3a2 – 2ab) = 5a2 + 3ab – b2;
(2a2 + 5ab – b2) + (3a2 – 2ab) = 5a2 + 3ab – b2
3) M – (3mn – 4n2) = m2 – 4mn + n2;
(m2 – 3n2 + 7mn) – (3mn – 4n2) = m2 – 4mn + n2
4) (7a2 – b2 – 9ba) – M = 0.
(7a2 – b2 – 9ba) – (7a2 – b2 – 9ba) = 0
Завдання 483
Велосипедистка була в дорозі 4 год. За першу годину вона проїхала x км, а за кожну наступну – на 3 км більше, ніж за попередню. Яку відстань проїхала велосипедистка:
1) за другу годину; x + 3 (км)
2) за третю годину; х + 3 + 3 = х + 6 (км)
3) за перші три години; х + (х + 3) + (х + 6) = 3х + 9 (км)
4) за весь час руху? х + (х + 3) + (х + 6) + (х + 9) = 4х + 18 (км)
Завдання 484
Бригада робітників викопала криницю за 5 днів. За перший день вони викопали a метрів, а за кожний наступний – на 2 метри менше, ніж за попередній. Скільки метрів криниці викопала бригада:
1) за другий день; а – 2 (м)
2) за третій день; а – 2 – 2 = а – 4 (м)
3) за перших два дні; а + (а – 2) = 2а – 2 (м)
4) за останніх три дні? (а – 4) + (а – 4 – 2) + (а – 4 – 2 – 2) =
= (а – 4) + (а – 6) + (а – 8) = 3а – 18 (м)
Завдання 485 Тотожність:
1) (x – y) + (y – p)– (x – p) = 0
(x – y) + (y – p)– (x – p) = x – y + y – p – x + p = 0
2) (a2 + b2– c2) – (b2 – a2– c2) – (a2 – b2) = a2 + b2.
(a2 + b2– c2) – (b2 – a2 – c2) – (a2 – b2) = a2 + b2 – c2 – b2 + a2 + c2 – a2 + b2 = а2 + b2
Завдання 486
(a3 + a2 – a) + (2a2 – 5a + 3a3) – (4a3 –6a + 2a2) = a2.
(a3 + a2 – a) + (2a2 – 5a + 3a3) – (4a3 – 6a + 2a2) =
= a3 + a2 – a + 2a2 – 5a + 3a3 – 4a3 + 6a – 2a2 = a2
Завдання 487
Доведіть, що для будь–яких натуральних значень n значення виразу (15 – 7n) – (7 – 11n) є кратним числу 4.
(15 – 7n) – (7 – 11n) = 15 – 7n – 7 + 11n = 4n + 8 = 4(n + 2) кратне числу 4.
Завдання 488
Доведіть, що для будь–яких натуральних значень m значення виразу (m2 – 4m + 1) – (m2 – 9m – 14) ділиться на 5.
(m2 – 4m + 1) – (m2 – 9m – 14) = m2 – 4m + 1 – m2 + 9m + 14 = 5m + 15 = 5(m + 3), отже, ділиться на 5.
Завдання 489
((1/8)a2b + (3/5)ab – ((7/10)ab – (3/4)ba2) – ((7/8)a2b – (1/10)ab – 2) =
= ((1/8)a2b + (3/5)ab – (7/10)ab + (3/4)ba2 – (7/8)a2b + (1/10)ab + 2 = 2, тому значення виразу не залежить від значення змінної.
Завдання 490
(7x5 – 4x4 + x3 – 8) – (3x5 – 4x4 + 4x3) – (4x5 – 3x3 + 7) =
= 7x5 – 4x4 + x3 – 8 – 3x5 + 4x4 – 4x3 – 4x5 + 3x3 – 7 = –15, тому значення виразу не залежить від значення змінної.
Завдання 491 Значення виразу
1) (b2 + 3b – 8) – (7b2 – 5b + 7) + (5b2 – 8b + 10) =
= b2 + 3b – 8 – 7b2 + 5b – 7 + 5b2 – 8b + 10 = b2 – 5
Якщо b = –2 тоді –b2 – 5 = –(–2)2 – 5 = –4 – 5 = –9
2) 17x2 – (3x2 – 2xy + 3y2) – (14x2 + 3xy – 4y2) =
= 17x2 – 3x2 + 2xy – 3y2 – 14x2 – 3xy + 4y2 = –xy + y2
Якщо x = –0,1, y = 10, тоді –xy + y2 = –(–0,1) • 10 + 102 = 1 + 100 = 101
Завдання 492
1) (m2 – 2m – 8) – (0,1m2 – 5m + 9) + (4m – 0,9m2 + 5) =
= m2 – 2m – 8 – 0,1m2 + 5m – 9 + 4m – 0,9m2 + 5 = 7m – 12
Якщо m = 1/7, тоді 7m – 12 = 7 • (1/7) – 12 = –11
2) 7a2 – (3ab – 2a2) + (4ab – 9a2) = 7a2 – 3ab + 2a2 + 4ab – 9a2 = ab
Якщо a = –1/8 , b = –32 тоді ab = (–1/8) • (–32) = 4
Завдання 493
Подайте многочлен 3m2n – 5mn + 4n2 – 9n – 7 у вигляді різниці двох многочленів так, щоб усі члени обох многочленів мали додатні коефіцієнти.
3m2n – 5mn + 4n2 – 9n – 7 = 3m2n + 4n2 – (5mn + 9n + 7)
Завдання 494
Нехай a = 7m2 + 5mn – n2, b = –6m2 + 2mn + 3n2, c = m2 – 2n2. Підставте ці многочлени замість a, b, c у вираз і спростіть його:
1) a + b + c;
7m2 + 5mn – n2 + (–6m2 + 2mn + 3n2) + (m2 – 2n2) =
= 7m2 + 5mn – n2 – 6m2 + 2mn + 3n2 + m2 – 2n2 = 2m2 + 7mn
2) a – b – c.
7m2 + 5mn – n2 – (–6m2 + 2mn + 3n2) – (m2 – 2n2) =
= 7m2 + 5mn – n2 + 6m2 – 2mn – 3n2 – m2 + 2n2 = 12m2 + 3mn – 2n2
Завдання 495
Доведіть, що для будь–якого значення x різниця многочленів 0,5x4 + x3 – 0,2x2 – 5 і 0,3x4 + x3 – 0,7x2 – 9 набуває додатного значення. Якого найменшого значення набуває ця різниця і для якого значення x?
0,5x4 + x3 – 0,2x2 – 5 – (0,3x4 + x3 – 0,7x2 – 9) =
= 0,5x4 + x3 – 0,2x2 – 5 – 0,3x4 – x3 + 0,7x2 + 9 = 0,2x4 + 0,5x2 + 4. Найменше значення 4, якщо х = 0
Завдання 496
Доведіть, що сума:
1) трьох послідовних натуральних чисел ділиться на 3;
Три послідовні натуральні числа: n, n + 1, n + 2, тоді їх сума:
n + (n + 1) + (n + 2) = n + n + 1 + n + 2 = 3n + 3 = 3(n + 1), отже, ділиться на 3.
2) чотирьох послідовних натуральних чисел при діленні на 4 дає в остачі 2.
Чотири послідовні натуральні числа: n, n + 1, n + 2, n + 3, тоді їх сума:
n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = n + n + 1 + n + 2 + n + 3 = 4n + 6 = 4(n + 1) + 2, отже, при діленні на 4 в остачі отримаємо 2.
Завдання 497
Запис ху означає натуральне число, у якому x десятків і y одиниць. Доведіть, що:
1) сума чисел ху і ух кратна числу 11;
ху + ух = 10х + y + 10y + x = 11x + 11y = 11(x + y), отже, сума кратна числу 11.
2) різниця чисел ху і ух, де x > y, кратна числу 9.
ху – ух = 10х + y – (10y + x) = 10х + y – 10y – x = 9x – 9y = 9(x – y), отже, різниця кратна числу 9.
Завдання 498
Запис хуz означає натуральне число, у якому x сотень, y десятків і z одиниць. Подайте у вигляді многочлена:
1) хуz = 100x + 10y + z
2) zух = 100z + 10y + x
3) хуz + zу = 100x + 10y + z + 10z + y = 100x + 11y + 11z
4) ухz – ух = 100y + 10x + z – (10y + x) = 100y + 10x + z – 10y + – x = 90y + 9x + z
Завдання 499 Вирази
(0,018 + 0,982) : (4 • 0,5 – 0,2) = 5/9
1) 0,018 + 0,982 = 1
2) 4 • 0,5 = 2
3) 2 – 0,2 = 1,8
4) 1 : 1,8 = 1 : 1 8/10 = 1 : 18/10 = 1 • 10/18 = 10/18 = 5/9
Завдання 500
1) –8x • 1,5y = –12xy
Якщо х = 4/7, у = –1 3/4, тоді –12xy = –12 • 4/7 • (–1 3/4) = –12 • 4/7 • (–7/4) = 12
2) –2a • (–3,5b) • 5c = 35abc
Якщо a = –1, b = —2/5, c = 3/7, тоді 35abc = 35 • (–1) • (–2/5) • 3/7 = 6
Завдання 501
Подайте вираз 260 у вигляді степеня з основою:
|
1) 4; 260 = (22)30 = 430 2) 8; 260 = (23)20 = 820 |
3) 16; 260 = (24)15 = 1615 4) 32. 260 = (25)12 = 3212 |
Завдання 502
1) Для 13–річного підлітка мінімальна потреба в молочних продуктах (молоко, кефір, ряжанка) становить 15 % від норми рідини на день. Скільки рідких молочних продуктів має вживати підліток згаданого віку щоденно, якщо потреба його організму в рідині становить 2 літри на день?
2 • 0,15 = 0,3 (л) – рідких молочних продуктів має вживати підліток щоденно.
2) Практична діяльність. Проаналізуйте свій раціон харчування. Чи виконуєте ви зазначені рекомендації?
Завдання 503 Розкриття дужок
1) –0,6d(–5b + 4p – 0,3x) = 3db – 2,4dp – 0,18dx
2) 10(0,9x – 2,3y + 0,1z) = 9x – 23y + z
3) (–0,3а + 5b – 2c) • (–20) = 6а – 100b + 40c
4) ((–1/6)n + (1/2)m – (1 1/3)x) • 12 = ((–1/6)n + (1/2)m – (4/3)x) • 12 = –2n + 6m – 16x
Завдання 504 Ознаки подільності числа
Знайдіть цифри a і b, якщо число 9a6b2 кратне числу 36. Укажіть усі можливі розв'язки.
Число 9a6b2 кратне числу 36, тоді і тільки тоді, коли ділиться на 4 і 9. Використовуючи ознаки подільності на 4 і 9, одержимо такі числа: 90612; 97632; 93672, 91692