Інша завдання дивись тут...

До § 4

Завдання 882

Цілі раціональні вирази:	Дробові раціональні вирази:
1) m – 7; 4) (3 – 9) + 7 • 8 8) a3 – a2 + a	2) (a² – b)/5 3) (7 + 9 • 2)/3 5) –1/6ab 6) 3/(a + c)3 7) 1/x + 1/3

Завдання 883

На склад привезли а мішків цукру, по 50 кг у кожному. Запишіть виразом масу всього завезеного цукру. Знайдіть значення цього виразу, якщо а = 12.

Розв'язання

Вираз: 50а

Якщо а = 12, тоді 50а = 50 • 12 = 600

Відповідь: 50а; 600 кг.

 

Завдання 884 Запишіть у вигляді виразу:

1) двоцифрове число, у якому x десятків і у одиниць; 10x + у

2) двоцифрове число, у якому 5 десятків і а одиниць; 100a + 10b + с

3) трицифрове число, у якому а сотень, b десятків і с одиниць; 50 + а

4) трицифрове число, у якому m сотень, n десятків і 6 одиниць. 100m + 10n + 6

 

Завдання 885

Відомо, що x – y = 2 і p = 3. Знайдіть значення виразу:

1) x + р – у = (x – у) + р

Якщо х – у = 2, р = 3, тоді (х – у) + р = 2 + 3 = 5

2) х – у + 5р = (x – у) + 5р

Якщо х – у = 2, р = 3, тоді (х – у) + 5р = 2 + 5 • 3 = 17

3) (y – х)р = –(х – у)р

Якщо x – у = 2, р = 3, тоді –(x – y)p = –2 • 3 = –6

4) (3(y – x))/(–p + 4(x –y )) = –(3(x – y))/(4(x – y) – p)

Якщо х – у = 2, р = 3, тоді –(3(x – y))/(4(x – y) – p) = (3 • 2)/(4 • 2 – 3) = 6/5 = 1,2

5) 7x – 7у – р = 7(x – у) – р

Якщо х – у = 2, р = 3, тоді 7(x – у) – р = 7 • 2 – 3 = 11

6) 6/p – 4/(5(y – x)) = 6/p + 4/(5(x – y))

Якщо х – у = 2, р = 3, тоді 6/p + 4/5(x – y) = 6/3 + 4/(5 • 2) = 2 + 4/10 = 2,4

 

До § 5

Завдання 886 Спрощення виразу

1) 2 + 3a – 5 = 3a – 3 2) 0,4m + m = 1,4m

3) 3р – 2р + 5 = р + 5 4) –(m – 3) = –m + 3

Завдання 887

Розкрийте дужки та зведіть подібні доданки:

1) 7(5x + 8) – 12x = 35x + 56 – 12x = 23x + 56

2) 9m + 3(15 – 4m) = 9m + 45 – 12m = –Зm + 45

3) 6(х + 1) – 6x – 9 = 6x + 6 – 6x – 9 = –3

4) 12x – 2(3x – 5) = 12x – 6x + 10 = 6х + 10

5) –(2х + 1) – 3(2x – 5) = –2х – 1 – 6x + 15 = –8x + 14

6) 5(x – 2) – 4(2x – 3) = 5x – 10 – 8x + 12 = –3x + 2

 

Завдання 888

Доведіть тотожність:

1) 18(a – 2) = 12a – (20 – (6a – 16));

12a – (20 – (6a – 16)) = 12a – (20 – 6a + 16) = 12a – 20 + 6a – 16 =

= 18a – 36 = 18(a – 2)

2) 2(x – y + t) – 3(x + y – t) – 5(t – y) = –x .

2(x – у + t) – 3(x + у – t) – 5(t – у) = 2x – 2y + 2t – (3x + Зу – Зt) – (5t – 5y) =

= 2x – 2y + 2t – 3x – 3y + 3t – 5t + 5y = –x

 

Завдання 889 Ознаки подільності чисел

Доведіть, що сума будь–яких трьох послідовних цілих чисел ділиться на 3.

Нехай перше натуральне число дорівнює n, тоді друге — (n + 1), а третє — (n + 2), а їх сума: n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1) — ділиться на 3.

 

Завдання 890

Чи є тотожністю рівність:

1) Рівність |a + 5| = a + 5 Ні. Наприклад, якщо a = –7, тоді

|а + 5| = |–7 + 5| = |–2| = 2 і а + 5 = –7 + 5 = –2, 2 ≠ –2;

2) рівність |m² + 1| = m² + 1 Так. m² + 1 > 0 для усіх значень m.

3) рівність |m – n| = |n – m| Так. |m – n| = |–(n – m)| = |n – m|

4) рівність |а| + |b| = |а + b| Ні. Наприклад, якщо а = –7, b = 5, тоді

|a| + |b| = |–7| + |5| = 12; |a + b|= |–7 + 5| = |–2| = 2, а 12 ≠ 2.

 

До § 6

Завдання 891

а) Добуток у вигляді степеня: 1) 0,3 • 0,3 • 0,3 = 0,33 2) –2 • (–2) • (–2) • (–2) = (–2)4 3) аа = (а)² 4) x/y • x/y • x/y • x/y • x/y = (x/y)5

б) Степінь у вигляді добутку 1) m3 = m • m • m 3) (р + 2)² = (р + 2)(р + 2) 2) 174 = 17 • 17 • 17 • 17 4) (a/9)5 = a/9 • a/9 • a/9 • a/9 • a/9

Завдання 892

1) 26 = 64 2) 0,23 = 0,008 3) (–1/8)² = 1/64 4) (–1 1/6)3 = (–7/6)3 = –343/216= –1 127/216

5) –(–2)3 = 23 = 8 6) –(1/4)² = –1/16 7) –(–0,1)² = –0,1² = –0,01 8) –(–1)27 = 127 = 1

Завдання 893

Не виконуючи обчислень, порівняйте з нулем значення виразу:

1) (–1,7)15 • (–2,7)2 < 0 3) –3,72 • (–2,8)4 < 0

2) (–2,3)3 : (–5,89) > 0 4) –(–2,6)8 • (–5,7)5 > 0

Завдання 894

Знайдіть останню цифру числа:

1) 2025¹³;

5¹ = 5; 5² = 25 ; 5³ = 125; 5ⁿ = ... 5. Остання цифра дорівнює 5

2) 5011⁷;

1¹ = 1; 1²= 1; 1³ = 1; 1ⁿ = 1. Остання цифра дорівнює 1

3) 1006¹⁷;

6¹ = 6; 6² = 36; 6³ = 216; 6ⁿ = ...6. Остання цифра дорівнює 6

4) 15⁹ + 16⁸ + 101¹⁷.

Остання цифра числа 15¹³ дорівнює 5, 16⁸ — 6, а 101¹⁷ — 1. Остання цифра суми дорівнює 2 (5 + 6 + 1 = 12).

 

Завдання 895 Ознаки подільності числа

1) Чи є число 10¹⁷ + 5 кратним числу 3;

Число 10¹⁷ + 5 у десятковому записі має одну цифру 5, одну цифру 1 і решту цифр— нулі, тоді сума цифр дорівнює 5 + 1 = 6 — ділиться на 3, тому число 10¹⁷ + 5 ділиться націло на 3, отже, є кратним числу 3;

2) Чи є число 10²⁹ + 7 кратним числу 9?

Число 10²⁹ + 7 у десятковому записі має одну цифру 7, одну цифру 1 і решту цифр— нулі, тоді сума цифр дорівнює 1 + 7 = 8 — не ділиться на 9, а значить число 10¹⁷ + 5 не ділиться націло на 9, отже, не є кратним числу 9.

 

До § 7

Завдання 896 Степінь натурального числа

1) b7b3 = b10 5) 198 : 196 = 192

2) а3а = а4 6) 715 : 714 = 7

3) 98 • 97 = 915 7) (a3)4 = a12

4) р10 : р3 = р7 8) (25)3 = 215

Завдання 897 

1) 3⁸ : З⁷ = 3

4) (8⁵ • 8¹⁰)/(8¹¹• 8³) = 8¹⁵/8¹⁴ = 8

2) 2⁵ • 2¹² : 2¹⁵ = 2¹⁷ : 2¹⁵ = 2² = 4

3) (10⁴ • 10⁹)/10¹⁰ = 10¹³/10¹⁰ = 10³ = 1000

 

Завдання 898

1) (47)x = x21     47x = 421     7x = 21     x = 3

2) (32)6 = 33x     312 = 33x     12 = 3x     x = 4

3) (((1/7)x)3)4 = (1/7)24    (1/7)12x = (1/7)24     12x = 24     x = 2

Завдання 899

Запишіть вираз у вигляді степеня (n – натуральне число, n < 7):

1) (a¹⁸ : а²ⁿ) • (a⁷ : аⁿ) = а^18–2n • а^7–n = a^{(18–2n)+(7–n)} = a^25–3n

2) (a⁸ • a²ⁿ)/(aⁿ • a⁵) • a⁴ⁿ = a²ⁿ⁺⁸ : a⁵⁺ⁿ • a⁴ⁿ = a^2n+8–5n • a⁴ⁿ = aⁿ⁺³ • a⁴ⁿ = aⁿ⁺³⁺⁴ⁿ = a⁵ⁿ⁺³

 

Завдання 900

Знайдіть останню цифру числа (n – натуральне число):

1) 8⁴ⁿ = (8⁴)ⁿ = 4096ⁿ Остання цифра числа 6;

2) 7⁴ⁿ⁺¹ = 7⁴ⁿ • 7¹ = (2401)ⁿ • 7. Остання цифра числа 7.

 

До § 8

Завдання 901

Одночлени	Одночлени у стандартному вигляді
1) –а²с 2) 7a • 2b • 4 4) a • ab • 7a 6) 17 7) –р²	1) –а²с 6) 17 7) –р²

Завдання 902

Зведіть одночлен до стандартного вигляду, укажіть його коефіцієнт і степінь:

1) –1/2 а²b • 2ab⁷ = –a³b⁸. Коефіцієнт одночлена дорівнює –1, степінь — 11

2) 3m • (–2m²) • 5m⁷ = –30m¹⁰. Коефіцієнт одночлена дорівнює –30, степінь — 10

3) –7ар² • 0,1a²p⁹ = –0,7a³p¹¹. Коефіцієнт одночлена дорівнює –0,7, степінь — 14

4) 11/8 m² • 8/9 mс² = 9/8 m² • 8/9 mс² = m³с². Коефіцієнт одночлена дорівнює 1, степінь — 5

5) –а • (–b) • (–с) • (–5d) = 5abcd. Коефіцієнт одночлена дорівнює 5, степінь — 4

6) р⁹ • (–2а²) • (5p⁷) • а⁸ = 10а¹⁰р¹⁶. Коефіцієнт одночлена дорівнює 10, степінь — 26

 

Завдання 903 Одночлен стандартного вигляду

1) степінь кожного з них дорівнював 7, а коефіцієнт дорівнював –8; –8ab⁶; –8a³b⁴

2) степінь кожного з них дорівнював 3, а коефіцієнт дорівнював 17. 17ab²; 17а²b

 

До § 9

Завдання 904 Добуток одночленів

1) 3m • 2n = 6mn 3) 8m² • 3n = 24m²n

2) –4р • 2а = –8ар 4) –2а3 • (–b7) = 2а3b7

Завдання 905 Одночлен стандартного вигляду

1) –2,5m² • (–4m3p) = 10m5p 2) 12p2m • (–5/6 p3m7) = –10p5m8 3) 0,6m7a9 • 10m2a7 • 1/2 m3 = 3a16m12

4) (–mn7)3 = –m3n21 5) (–2a5b7)2 = 4a10b14 6) (m3p7a9)5 = m15p35a45

Завдання 906 Знайдіть одночлен А, якщо:

1) A • 14m²n = 42m⁴n², тоді A = 3m²n

2) 3p²q⁷ • A = –21p³q⁷, то A = –7p

 

Завдання 907 Вирази

0,4m • 10nm² = 4nm³.

Якщо m = –2, n = 0,5 то 4nm³ = 4 • 0,5 • (–2)³ = 2 • (–8) = –16

 

Завдання 908 Квадрат одночлена

1) 49m8n12 = (7m4n6)2 2) –25a4b8 = –(5a2b4)2

3) –0,2m4n2 • (–5m2n4) = m6n6 = (m3n3)2 4) –(–3а4)3 • За12 = 27а12 • 3а12 = 81а24 = (9а12)2

Завдання 909

Для якого натурального значення n рівність (2,5a⁸c)ⁿ • 0,16c⁵ = 2,5a²⁴c⁸ є тотожністю?

(2,5а⁸с)ⁿ • 0,16с⁵ = 2,5a²⁴c⁸

(2,5а⁸с)ⁿ = 2,5а²⁴с⁸ : 0,16с⁵

(2,5а⁸с)ⁿ = 128/8a²⁴c³

(2,5а⁸с)ⁿ = (2,5a⁸с)³

n = 3

Відповідь: n = 3.

 

До § 10

Завдання 910

З даних одночленів складіть многочлен та вкажіть його степінь:

1) 5a² + 4b. Степінь многочлена дорівнює 2

2) –a² – ab + m. Степінь многочлена дорівнює 2

3) 5c³ – 8. Степінь многочлена дорівнює 3

4) 3mn² + 4mn – 5m²n – 7. Степінь многочлена дорівнює 3

 

Завдання 911 Подібні члени многочлена

1) 8a²b – 7ab² + 5a²b + 4b²a = 13а²b – 3аb²

2) 5mn – 2mn – 8 – 3mn = –8

3) 7m³ + m² – 8 – m³ + 3m² = 6m³ + 4m² – 8

4) 2x²у – 7xy² – 5xy + 3ух² + 7y²x = 5х²у – 5ху

 

Завдання 912

–1/4 ab • (–8ab²) + 8a² • (–1,5аb) + 20ab • (–0,1ab²) + a²ab + 2а • 6а²b =

= 2a²b³ – 12а³b – 2а²b³ + а³b + 12а³b = а³b

Якщо а = 5, b = –1/25, то a³b = 5³ • (–1/2) = 125 • (–1/25) = –5

 

Завдання 913

Чи існують такі натуральні значення змінної а, для яких значення многочлена 2a² + 6a + 7 є парним числом?

2а² + 6а + 7 = 2а² + 6а + 6 + 1 = 2(а² + За + 3) + 1 — непарне число.

Отже, не існує таких значень а, при яких значення многочлена є парним числом.

 

До § 11

Завдання 914 Спрощення виразів

1) (3m + 5n) + (9m – 7n) – (–2n + 5m) = Зm + 5n + 9m – 7n + 2n – 5m = 7m

2) (12ab – b²) – (5ab + b²) + (ab + 2b²) = 12ab – b² – 5ab – b² + ab + 2b² = 8ab

3) (3х² + 2х) + (2x² – 3х – 4) – (17 – x²) = 3х² + 2х + 2х² – Зх – 4 – 17 + х² = 6х² – х – 21

4) (m – n +р) + (m – р) – (m – n – р) = m – n + р + m – р – m + n + р = m + р

 

Завдання 915

1) Подайте многочлен 4x³ – 4x² + 5x – 7 у вигляді суми двочленів.

4x³ – 4x² + 5x – 7 = (4х³ – 7) + (5х – 4x²)

2) Подайте многочлен x³ – 5x + 7x² – 9 у вигляді різниці одночлена і тричлена.

 х³ – 5х + 7х² – 9 = х³ – (5х – 7x² + 9)

 

Завдання 916

Який многочлен у сумі з многочленом 2x² – 3x + 7 дає:

1) (2х² – Зх + 7) + (Зх – 2х² – 7) = 0

2) (2х² – Зх + 7) + (Зх – 2х² – 2) = 5

3) (2х² – Зх + 7) + (–2х² – 6) = –Зх + 1

4) (2х² – Зх + 7) + (–х² – 2х) = х² – 5х + 7

 

Завдання 917

Доведіть, що сума двох послідовних непарних цілих чисел ділиться на 4.

Нехай перше непарне число дорівнює (2n + 1), тоді друге — (2n + 3), а сума:

2n + 1 + 2n + 3 = 4n + 4 = 4(n + 1) — ділиться на 4.

 

Завдання 918 Вирази

5xy – 8х²y – (3ху –(4 1/4ху² + 8х²у) – 2,75xy²) =

= 5ху – 8х²у – (3ху – 4 1/4ху² – 8х²у – 2,75xу²) =

= 5xy – 8х²у – Зху + 41/4ху² + 8x²y + 2,75ху² = 2xy + 7ху² = ху(2 + 7у)

Якщо х = –1, у = 3, тоді ху(2 + 7у) = –1 • 3 • (2 + 7 • 3) = –3 • 23 = –69

 

До § 12

Завдання 919

1) a(b + 7) = аb + 7а 2) с(2 – х) = 2с – сх

3) –a(m – 3) = –am + 3а 4) –b(а – х + у) = –ba + bх – by

Завдання 920

1) 2ха(а² – 3ах) = 2а³х – 6а²x²

2) –3mр(2m³ – 5mр) = –6m⁴р + 15m²р²

3) 4ab²(a² – 2аb – b²) = 4а³b² – 8a²b³ – 4ab⁴

4) (4m³ – 2mn² – n²)mn² = 4m⁴n² – 2m²n⁴ – mn⁴

5) (–0,1x³y + 0,2x²y – y³)(–5x²y) = 0,5x⁵y² – x⁴y² + 5х²y⁴

6) –10n³х(5nх² – 2n²х + x⁵) = –50n⁴x³ + 20n⁵х² – 10n³x⁶

 

Завдання 921 Вирази

1) 2х(х + у) – у(2х – у) –у(y + 1) = 2х² + 2ху – 2ху + у² – у2 – у = 2х² – у

Якщо х = –5, у = –10, тоді 2x² – у = 2(–5)² – (–10) = 50 + 10 = 60

2) m²(m² – 5m + 1) – 2m(m³ – 4m² + m) + m⁴ – 3m³ + 2 =

= m⁴ – 5m³ + m² – 2m⁴ + 8m³ – 2m² + m⁴ – 3m³ + 2 = –m² + 2

Якщо х = –3, тоді –m² + 2 = –(–3)² + 2 = –7

 

Завдання 922

Для якого значення змінної значення виразу 2x(6x – 5) на 5 менше від відповідного значення виразу 3(4x² – 5)?

2х(6х– 5) + 5 = 3(4х² – 5)

12х² – 10х + 5 = 12х² – 15

12х² – 10x – 12x² = –15 – 5

–10х = –20

х = 2

 

Завдання 923

Спростіть вираз, де n > 3, n – натуральне число.

1/8хⁿ – 5/8х²(1 + х^n–2) + 1/2х³(х^n–3 + 2) = 1/8хⁿ – 5/8х² – 5/8хⁿ + 1/2хⁿ + х³ = –5/8х² + х³

 

Завдання 924

За перший день з овочесховища продали на 3 ц більше овочів, ніж за другий, а за третій – 4/9 від того, що продали за перші два дні разом. По скільки центнерів овочів продавали кожного із цих днів, якщо разом за ці дні продали 65 ц овочів?

Розв'язання

Нехай другого дня магазин продав х ц овочів, тоді першого — (х + 3) ц овочів, а третього— 4/9(х + х + 3) ц овочів. Складаємо рівняння:

х + х + 3 + 4/9(х + х + 3) = 65     |• 9

9х + 9х + 27 + 4х + 4х + 12 = 585

26х = 585 – 27 – 12

26х = 546

х = 21 (ц.) – продав другого дня;

21 + 3 = 24 (ц) – продав першого дня;

4/9(21 + 21 + 3) = 4/9 • 45 = 20 (ц) – продав третього дня.

Відповідь: 24 ц, 21 ц, 20 ц.

 

Завдання 925

(1 – 3x/2)/4 + (2 – x/4)/3 = х – 2   |• 12

3(1 – 3x/2) + 4(2 – x/4) = 12x – 24

З – 4,5х + 8 – х = 12x – 24

–4,5х – х – 12x = –24 – 3 – 8

–17,5x = –35

x = 2

 

До § 13

Завдання 926 Винесення за дужки спільного множника

1) 5х – 5у = 5(х – у) 3) ар + ас = а(р + с)

2) 7m + 7n = 7(m + n) 4) bm – bk = b(m – k)

Завдання 927 Розклад на множники

1) 7ax – 7bx = 7х(а – b) 2) 8a + 24aс = 8а(1 + Зс) 3) 18р – 24p² = 6р(3 – 4р)

4) 5m3 – 10m2 = 5m2(m – 2) 5) –15a2 – 20а3 = –5а2(3 + 4a) 6) а7 – а2 + а5 = а2(а5 – 1 + а3)

Завдання 928 

1) 6ху – 12х²у + 15ху² = Зху(2 – 4x + 5у)

2) 7mn⁵ + 28m²n³ – 7m³n² = 7mn²(n³ + 4mn – m²)

3) а(х – 2) + 3b(х – 2) – 2(2 – х) = а(х – 2) + 3b(х – 2) + 2(х – 2) = (х – 2)(а + 3b + 2)

4) 8(m – 1)² – n(1 – m) = 8(m – 1)² + n(m – 1) = (m – 1)(8(m – 1) + n) = (m – 1)(8m – 8 + n)

 

Завдання 929 Рівняння

1) x|x – 3| – 5 |x – 3| =0    |х – 3|(х – 5) = 0    |х – 3| = 0 або х – 5 = 0    х – 3 = 0 або х – 5 = 0    х = 3             х – 5

2) |х| • |х – 2|– 7|x – 2| = 0    |х – 2|(|x| – 7) = 0    |x – 2| = 0 або |x| – 7 = 0    х – 2 = 0 або |х| = 7    х = 2            х = 7 або х = –7

Завдання 930

1) 2х² – 6х – 26 = 2(х² – Зх – 13)

Якщо x² – Зх – 13 = –1, тоді 2(х² – Зх – 13) = 2 • (–1) = –2

2) х²(х² – Зх – 13) – Зх(х² – Зх – 13) = (х² – Зх – 13)(х² – Зх) = (х² – Зх – 13)((х² – Зх – 13)

Якщо x² – 3х – 13 = – 1, тоді (х² – 3х – 13)(х² – 3х – 13 + 13) = –1 • (–1 + 13) = –12

3) 3х² – 9х – 8 = Зх² – 9х – 39 + 31 = 3(х² – Зх – 13) + 31

Якщо x² – Зх – 13 = –1, тоді 3(х² – Зх – 13) + 31 = 3 • (–1) + 31 = 28

4) 5/12х² – 5/4х + 3 = 1/12(5х² – 15х + 36) = 1/12((5х²– 15х – 65) + 101) =

= 1/12(5(x² – 3x – 13) + 101)

Якщо x² – Зх – 13 = –1, тоді 1/12(5(х² – Зх – 13) + 101) = 1/12 • (5 • (–1) + 101) = 96/12 = 8

 

До § 14

Завдання 931

1) (m – р)(а + х) = аm + mх – ар – рх 3) (a + b)(2 + с) = 2а + ас + 2b + bc

2) (2 + t)(a – 3) = 2а – 6 + at – 3t 4) (а – 2)(b – 3) = ab – 3a – 2b + 6

Завдання 932

1) (2m – 3р)(3m + 2р) = 6m² + 4mр – 9mр – 6р² = 6m² – 5mр – 6р²

2) (2а² + b)(3b – 5а²) = 6а²b – 10a⁴ + Зb² – 5а²b = a²b – 10a⁴ +Зb²

3) (7х² – 2х)(3х + 1) = 21х³ + 7x² – 6х² – 2х = 21х³ + х² – 2х

4) (5a³ – 4a²)(9a² + 8а) = 45а⁵ + 40а⁴ – 36а⁴ – З2а³ = 45а⁵ + 4а⁴ – З2а³

5) (3а² + 5ba)(3b – 4а) = 9а²b – 12а³ + 15ab² – 20а²b = –11a²b – 12а³ + 15аb²

6) (mn – n²)(4n³ + 2n²m) = 4mn⁴ + 2m²n³ – 4n⁵ – 2n⁴m = 2mn⁴ + 2m²n³ – 4n⁵

 

Завдання 933

1) (а – 8)(2а – 2) – (а + 9)(а – 3) = 2а² – 2а – 16а + 16 – (а² – За + 9а – 27) =

= 2а² – 2а – 16а + 16 – a² + За – 9а + 27 = а² – 24а + 43

2) (х – у)(х + 3) – (х + у)(х – 3) = x² + Зх – ху – Зу – (х² – Зх + ху – 3у) =

= x² + 3х – ху – 3у – х² + 3х – ху + Зу = 6х – 2ху

3) (3а – 5b)(5a + 3b) – (5а – 3b)(3a + 5b) =

= 15а² + 9аb – 25ab – 15b² – (15а² + 25ab – 9ab – 15b² =

= 15а² + 9ab – 25ab – 15b² –15а² – 25ab + 9ab + 15b² = –32аb

4) (а³ + 4m)(а² – 4m) – (а² + 4m)(а³ – 4m) =

= а⁵ – 4а³m + 4а²m – 16m² – (а⁵ – 4а²m + 4а³m – 16m²) =

= а⁵ – 4а³m + 4а²m – 16m² – а⁵ + 4а²m – 4а³m + 16m² = –8a³m + 8a²m

 

Завдання 934 Рівняння

1) (3х – 1)(2x + 6) – (2х – 2)(3х + 1) = –24     6х² + 18х – 2х – 6 – (6х² + 2х – 6х – 2) = –24     6х² + 18х – 2х – 6 – 6х² – 2х + 6х + 2 = –24     6х² + 18х – 2х – 6х² – 2х + 6х = –24 + 6 – 2     20х = –20     х = –1

2) (3х + 9)(х – 5) – (х – 7)(3х – 1) = 12 + 8х     Зх² – 15х + 9х – 45 – (Зх² – х – 21х + 7) = 12 + 8х     Зх² – 15х + 9х – 45 – Зх² + х + 21х – 7 = 12 + 8х     Зх² – 15х + 9х – 3х² + х + 21х – 8х = 12 + 45 + 7     8x = 64     х = 8

Завдання 935

Доведіть, що значення виразу 2(10x – 5)(x + 0,6) + (4x² – 1)(2x – 5) – (2x – 1)(4x² + 2x + 1) не залежить від значення змінної.

2(10x – 5)(x + 0,6) + (4x² – 1)(2x – 5) – (2x – 1)(4x² + 2x + 1) =

= (20x – 10)(x + 0,6) + 8x³ – 20x² – 2x + 5 – (8x³ + 4x² + 2x – 4x² – 2x – 1) =

= 20x² + 12x – 10x – 6 + 8x³ – 20x² – 2x + 5 – 8x³ – 4x² – 2x + 4x² + 2x + 1 = 0 — не залежить від значення х.

 

Завдання 936

Доведіть, що (x + 1)(y + 1) – (x – 1)(y – 1) = 8, якщо x + y = 4.

(х + 1)(y + 1) – (х – 1)(y – 1) = ху + х + у + 1 – ху + х + у – 1 = 2х + 2у = 2(х + у);

Якщо х + у = 4, тоді 2(х + у) = 2 • 4 = 8, що і треба було довести.

 

Завдання 937

Два акваріуми мають форму прямокутного паралелепіпеда. Довжина першого – на 10 см більша за його ширину. Довжина другого акваріума на 20 см більша за довжину першого, а ширина – на 10 см більша за ширину першого. Якщо обидва акваріуми заповнити водою на висоту 25 см, то води в другому буде на 37,5 л більше, ніж у першому. Знайдіть довжину і ширину першого акваріума.

Розв'язання

Нехай ширина першого акваріума дорівнює х см, тоді його довжина — (х + 10) см. Ширина другого акваріума дорівнює (х + 10) см, а довжина — (х + 10 + 20) = (х + 30) см. Об’єм води у першому акваріумі дорівнює х(х + 10) • 25 = (25x² + 250х) см³, а в другому — (х + 10)(х + 30) • 25 = (х² + 30х + 10x + 300) • 25 = (25х² + 1000x + 7500) см³. 37,5 л = 37500 см³. Складаємо рівняння:

25х² + 1000х + 7500 – (25х² + 250х) = 37500

25x² + 1000х + 7500 – 25х² – 250х = 37500

25х² + 1000x – 25х² – 250х = 37500 – 7500

750х = 30000

х = 40 (см) – ширина першого акваріума;

40 + 10 = 50 (см) – довжина першого акваріума.

Відповідь: 50 см і 40 см.

 

До § 15

Завдання 938

ab – 7b + За – 21 = (ab – 7b) + (За – 21) = b(а – 7) + 3(а – 7) = (а – 7)(b + 3)

 

Завдання 939 Розклад на множники

1) m(а – b) + За – Зb = m(а – b) + 3(а – b) = (а – b)(m + 3)

2) a(b + с) + b + c = (b + с)(а + 1)

3) За – Зс + ха – хс = (За – Зс) + (ха – хс) = 3(а – с)+ х(а – с) = (а – с)(3 + х)

4) ab – ас – 4b + 4c = (ab – ас) – (4b – 4c) = а(b – с) – 4(b – с) = (b – с)(а – 4)

 

Завдання 940

1) 12х²с – 8х²у – 9сy³ + 6y⁴ = (12х²с – 8х²у) – (9сy³ – 6y⁴) = 4х²(3с – 2у) – 3y³(3с – 2у)=

= (Зс – 2у)(4х² – 3у³)

2) 1,6mn² – 2,4mp² – n³ + 1,5nр² = 0,8m(2n² – Зр²) – 0,5n(2n² – Зр²) =

= (2n² – Зр²)(0,8m – 0,5n)

 

Завдання 941

Розв'яжіть рівняння x² + 5x – 6 = 0, застосувавши розкладання многочлена на множники.

x² + 5х – 6 = 0

x² + 6х – х – 6 = 0

х(х + 6) – (х + 6) = 0

(х + 6)(х – 1) = 0

х + 6 = 0 або х – 1 = 0

х = –6             х = 1

 

До § 16

Завдання 942 Піднесення двочлена до степеня

1) (х – р)² = x² – 2хр + р² 3) (b – k)² = b² – 2bk + k²

2) (m + а)² = m² + 2mа + а² 4) (у + с)² = у² + 2ус + с²

Завдання 943

1) (За – 7)² = 9а² – 42а + 49 3) (10m – 5k)² = 100m² – 100mk + 25k² 5) (0,1m – 5р)² = 0,01m² – mр + 25р²

2) (2b + 5)² = 4b² + 20b + 25 4) (4р + 9q)² = 16р² + 72pq + 81q² 6) (1/6 a + 6b)² = 1/36 а² + 2аb + 36b²

Завдання 944 Вирази

1) (а – 1)² – (а – 2)² = а² – 2а + 1 – (а² – 4а + 4) = а² – 2а + 1 – а² + 4а – 4 = 2а – 3

Якщо а = 1 1/2, тоді 2а – 3 = 2 • 1 1/2 – 3 = 2 • 3/2 – 3 = 0

2) (3b + 2)² + (3b – 2)² = 9b² + 12b + 4 + 9b² – 12b + 4 = 18b² + 8

Якщо b = –1/3, тоді 18b² + 8 = 18 • (–1/3)² + 8 = 18 • 1 + 8 = 10

 

Завдання 945

Знайдіть число, квадрат якого після збільшення цього числа на 3 збільшується на 159.

Нехай шукане число дорівнює х, тоді квадрат цього числа — х². При збільшенні цього числа на 3, воно дорівнюватиме х + 3, а його квадрат — (х + З)². Складаємо рівняння:

(х + З)² – x² = 159

x² + 6х + 9 – x² = 159

х² + 6х – х² = 159 – 9

6x = 150

х = 25

Відповідь: 25.

 

Завдання 946

Чи є рівність (а – b)² = |а – b|² тотожністю?

Нехай а – b ≥ 0, тоді |a – b| = a – b i |a – b|² = (а – b)².

Нехай а – b < 0, тоді |а – b| = –(а – b), |а – b|² = (–(а – b))² = (а – b)².

Отже, рівність (а – b)² = |a – b|² є тотожністю.

 

Завдання 947

1) ((x + у) + а)² = (х + у)² + 2(х + y) • а + а² = x² + 2ху + у² + 2ах + 2ау + а²

2) ((b – c ) – d)² = (b – c)² – 2(b – c) • d + d² = b² – 2bс + с² – 2bd + 2сd + d²

3) (m + n + 2)² = ((m + n) + 2)² = (m + n)² + 4 (m + n) + 4 = m² + 2mn + n² + 4m + 4n + 4

4) (а + 3 – с)(а + 3 – с) = (а + 3 – с)² = ((а + 3) – с)² = (а + З)² – 2(а + 3)c + c² =

= а² + 6а + 9 – 2ас – 6с + с²

 

До § 17

Завдання 948 Квадрат двочлена

1) m² – 2mр + р²=(m – р)²

2) b² + 2bу + у²=(b + у)²

3) а² – 2 • а • 4 + 4²=(а – 4)²

Завдання 949

1) m² + 20m + 100 = (m + 10)² 3) 0,09x² + 0,6x + 1= (0,3x+ 1)² 5) 4х² + 20x + 25 = (2х + 5)²

2) 49 – 14b + b² = (7 – b)² 4) 1/36 – 1/3p + p² = (1/6 – p)² 6) 4m² –12mр + 9р² = (2m –Зр)²

Завдання 950

1) –100m² + 20m – 1 = –(100m² – 20m + 1)) = –(10m – 1)²

Якщо m = 0,1, тоді –(10m – 1)² = –(10 • 0,1 – 1)² = 0

Якщо m = –0,9, тоді –(10m – 1)² = –(10 •(–0,9) – 1)² = –100

2) –4х² – 12ху – 9у² = –(4x² + 12xу + 9у²) = –(2х + Зу)²

Якщо x = 0,03, у = –0,02 тоді –(2x + Зу)² = –(2 • 0,03 + 3 • (–0,02))² = 0

 

Завдання 951 Рівняння

1) 3x² – 2x + 1/3 = 0│• 3    9x² – 6x + 1 = 0    (3x – 1)² = 0    3x – 1 = 0    3х = 1    x = 1/3

2) 5y² + 2y + 1/5 = 0│• 5    25y² + 10y + 1 = 0    (5y + 1)² = 0    5y + 1 = 0    5у = –1    y = –1/5

Завдання 952

Змініть один з коефіцієнтів многочлена так, щоб одержаний тричлен можна було подати у вигляді квадрата двочлена (знайдіть три різних розв'язки):

1) 100m² + 20mn + n² = (10m + n)²     100m² + 40mn + 4n² = (10m + 2n)²     400m² + 40mn + n² = (20m + n)²

2) 25a² – 30ab + 9b² = (5a – 3b)²    1/36a² – ab + 9b² = (1/6a – 3b)²    25a² – ab + 1/100b² = (5a – 1/10b)²

Завдання 953

Доведіть, що для будь–яких значень змінних вираз набуває лише невід'ємних значень:

1) 4x(4x – 10) + 25 = 16x² – 40x + 25 = (4x – 5)² — набуває лише невід’ємних значень;

2) (а – 2)((а – 2) + 2m) + m² = (а – 2)² + 2(а – 2)m + m² = ((а – 2) + m)² — набуває лише невід’ємних значень;

3) (а + b)(a + b + 8) + 16 = (а + b)² + 2 • 4(а + b) + 16 = (а + b + 4)² — набуває лише невід’ємних значень. 

 

До § 18

Завдання 954 Тотожність

 

2) (c – d)(c + d) = c² – d²

4) (p + q)(p – q) = p² – q²

Завдання 955

1) (c + 7)(7 – c) = (7 + c)(7 – c) = 49 – c²

2) (0,5m – 3)(0,5m + 3) = 0,25m² – 9

3) (3k + 7)(3k – 7) = 9k² – 49

4) (2р – 9q)(9q + 2p) = (2p – 9q)(2p + 9q) = 4p² – 81q²

5) (10m + 9n)(9n – 10m) = (9n + 10m)(9n – 10m) = 81n² – 100m²

6) (2/3c – 4/5d)(2/3c + 4/5d) = (2/3c)² – (4/5d)² = 4/9c² – 16/25d²

 

Завдання 956

Подайте у вигляді многочлена:

1) 4(a – 1)(a + 1) = 4(a² – 1) = 4a² – 4

2) b(b – 2)(b + 2) = b(b² – 4) = b³ – 4b

3) 7p(p + 3)(p – 3) = 7p(p² – 9) = 7p³ – 63p

4) –3x(x + 4)(x – 3) = (–3x² – 12x)(x – 3) = –Зх³ + 9x² – 12x² + 36x = –3x³ – 3x² + 36x

 

Завдання 957

1) (1,9 x – 3)(3 + 1,9x) + 0,39x² = (1,9x)² – 3² + 0,39x² = 3,61x² – 9 + 0,39x² = 4x² – 9

Якщо x = 2, тoді 4x² – 9 = 4 • 22 – 9 = 7

2) 9,99 – (5y – 0,1)(5y + 0,1) = 9,99 – (25y² – 0,12) = 9,99 – 25y² + 0,01 = 10 – 25y²

Якщо у = 1/5, тoді 10 – 25y² = 10 – 25 • 1/25 = 10 – 1 = 9

3) (2х – Зу)(2х + 3у) + (Зх + 2у)(3х – 2у) = 4х² – 9у² + 9х²– 4у² = 13х² – 13у² = 13(х²– y²)

Якщо х= 1,8; у = –1,8, тоді 13х² – 13у² = 13(1,82 – (–1,8)²) = 13 • 0 = 0

4) (ab + 1)(ab – 1)(а²b² + 1) = (a²b² – 1)(a²b² + 1) = а⁴b⁴ – 1

Якщо а = 5, у = 1/5 то а⁴b⁴ – 1 = 5⁴ • (1/5)⁴ –1 = 1 – 1 = 0

 

Завдання 958

7⁴⁰ • З⁴⁰ – (21²⁰ – 1)(21²⁰ + 1) = (7 • З)⁴⁰ – ((21²⁰)² – 1) = 21⁴⁰ – 21⁴⁰ + 1 = 1

 

До § 19

Завдання 959 Тотожність

1) m² – p² = (m + p)(m – p)

2) a² – 7² = (a – 7)(a + 7)

3) c² – d² = (c – d)(c + d)

 

Завдання 960

1) x² – 49 = (х – 7)(х + 7)

2) 100 – p² = (10 – р)(10 + р)

3) 0,04m² – n² = (0,2m – n)(0,2m + n)

4) 25х² – 36у² = (5х – 6у)(5х + 6у)

5) 16а² – b2с² = (4а – bc)(4a + bс)

6) 121m²а² – 1/9b² = (11mа – 1/3b)(11mа + 1/3b)

 

Завдання 961 Рівняння

1) а²х² – b² = 0    (ах – b)(ах + b) = 0     ах – b = 0 або ах + b = 0     ах = b або ах = –b     х = b/a        х = –b/a

2) x² – 0,09а² = 0    (х – 0,3а)(x + 0,3а) = 0     х – 0,3а = 0 або х + 0,3а = 0     х = 0,3а             х = –0,3а

Завдання 962 Ознаки подільності числа

1) чи ділиться 138² – 136² на 4;

138² – 136² = (138 – 136)(138+ 136) = 2 • 274 = 4 • 137 — ділиться без остачі на 4

2) чи ділиться 349² – 347² на 6?

349² – 347² = (349 – 347)(349 + 347) = 2 • 696 — ділиться без остачі на 6

 

Завдання 963 Розклад на множники

1) 9 – (2х – 8)(3х + 2) – 2х(5х + 10) = 9 – (6х² + 4х – 24х – 16) – (10x² + 20х) =

= 9 – 6х² – 4х + 24х + 16 – 10x² – 20х = 25 – 16х² = (5 – 4х)(5 + 4х)

2) (Зх + 5)(4х – 5) – 2х(2,5 + 1,5x) = 12х² – 15х + 20х – 25 – 5х – Зх² = 9x² – 25 =

= (Зх – 5)(3х + 5)

 

До § 20

Завдання 964

2) m² + mn + n² — неповний квадрат суми виразів m і n

4) m² – mn + n² — неповний квадрат різниці виразів m і n

 

Завдання 965

1) x³ – у³ = (х – у)(х² + ху + у²)

2) р³ + k³ = (р + k)(р² – рk + k²)

3) а³ – 64 = (а – 4)(а² + 4а + 16)

4) 1/125 + b³ = (1/5 + b)(1/25 – 1/5b + b²)

5) 0,001m³ – 1 = (0,1m – 1)(0,01m² + 0,1m + 1)

6) 8x³ + 27p³ = (2x + 3p)(4x² – 6xp + 9p²)

 

Завдання 966

Доведіть, що значення виразу 37³ + 13³ ділиться на 50.

37³ + 13³ = (37 + 13)(37² – 37 • 13 + 13³) = 50(37² – 37 • 13 + 13³) — ділиться на 50

 

Завдання 967 Тотожність

x⁶ – y⁶ = (x – y)(x + y)(x² + xy + y²)(x² – xy + y²)

x⁶ – у⁶ = (x³)² – (y)² = (х³ – у³)(х³ + у³) = (х – у)(x² + ху + у²)(х + у)(х² – ху + у²) =

= (х – у)(х + у)((х² + ху + у²)(х² – ху + у²). Тотожність доведена.

 

До § 21

Завдання 968

1) уm² – 4y = у(m² – 4) = у(m² – 2²) = у(m – 2)(m + 2)

2) ca² + 2ас + с = c(a² + 2а + 1) = с(а + 1)²

 

Завдання 969 Розклад на множники многочлен

1) mр² – mq² = m(р² – q²) = m(р – q)(p + q)

2) 20а² – 5 = 5(4а² – 1) = 5(2а – 1)(2а + 1)

3) с – с³ = с(1 – с²) = с(1 – с)(1 + с)

4) 64а² – а⁴ = а²(64 – а²) = а²(8 – а)(8 + а)

5) 5х² – 10xy + 5у² = 5(х² – 2ху + у²) = 5(х – у)²

6) 2b + 4bn + 2bn² = 2b(1 + 2n + n²) = 2b(n + 1)²

 

Завдання 970

1) 9а³ – 9b³ = 9(а³ – b³) = 9(а – b)(а² + аb + b²)

2) 2mn – 26bn + 6bn – 6b = 2(mn – bn + 3bn – 3b)

3) 1/81p^4 – 1 = (1/9p² – 1)(1/9p² + 1) = (1/3p – 1)(1/3p + 1)(1/9p² + 1)

4) m² – 4mn + 4n² – 25 = (m² – 4mn + 4n²) – 25 = (m – 2n)² – 5² = (m – 2n + 5)(m – 2n – 5)

5) b² – 36 + b – 6 = (b² – 36) + (b – 6) = (b – 6)(b + 6) + (b – 6) = (b – 6)(b + 6 + 1) = (b – 6) (b + 7)

6) m³ – 4m – m²n + 4n = (m³ – m²n) – (4m – 4n) = m²(m – n) – 4(m – n) = (m – n)(m² – 4) =

= (m – n)(m – 2)(m + 2)

 

Завдання 971

1) аm⁴ – m⁴ – аm² + m² = (аm⁴ – m⁴) – (аm² – m²) = m⁴(а – 1) – m²(а – 1) =

= (a – 1)(m⁴ – m²) = m²(m² – 1)(а – 1) = m²(m – 1) • (m + 1)(а – 1)

2) a³b – a³ – ab + a = а³(b – 1) – а(b – 1) = (b – 1)(а³ – а) = а(b – 1) • (а² – 1) =

= а(а – 1)(а + 1)(b – 1)

3) b³ + 1 – b² – b = (b³ + 1) – (b² + b) = (b + 1)(b² – b + 1) – b(b + 1) =

= (b + 1)(b² – b + 1 – b) = (b + 1)(b² – 2b + 1) = (b + 1) • (b – 1)²

4) x³ – 27 + x⁴ – 9х² = (х³ – 27) + (х⁴ – 9х²) = (х – 3)(х2 + Зх + 9) + х²(х² – 9) =

= (х – 3)(х² + Зх + 9) + х²(х – 3)(х + 3) = (х – 3)((х² + 3х + 9) + х²(х + 3)) =

= (х – 3)(х² + Зх + 9 + x³ + Зх²) = (х – З) • (х³ + 4х² + Зх + 9)

 

Завдання 972

1) (a + 1)³ – 4(a + 1) = (a + 1)(a – 1)(a + 3);

(а + 1)³ – 4(а + 1) = (а + 1)((а+ 1)² – 4) = (а + 1)(а + 1 – 2)(а + 1 + 2) = (а + 1)(а – 1)(а + 3). Тотожність доведена.

2) (m² + 9)² – 36m² = (m – 3)²(m + 3)².

(m² + 9)² – 36m² = (m² + 9 – 6m)(m² + 9 + 6m) = (m – 3)²(m + 3)². Тотожність доведена.

Інша завдання дивись тут...