Інші завдання дивись тут ...

© ГДЗ 8next.com, 2013, 2018, 2022

Питання

1. Порівняйте остачу і дільник. Остача завжди менша від дільника.

2. Сформулюйте правило знаходження діленого при діленні з остачею. Щоб знайти ділене, треба дільник помножити на неповну частку й додати остачу.

3. Як записують у буквеному вигляді правило знаходження діленого при діленні з остачею? а = bq + r, де а – ділене, b – дільник, q – неповна частка, r – остача.

4. У яких випадках говорять, що одне натуральне число ділиться націло на друге? Одне натуральне число ділиться націло на друге, якщо остача дорівнює 0.

 

Розв’язуємо усно

Завдання 1 Знайдіть числа, яких не вистачає в ланцюжку обчислень.

 

Завдання 2 У числі 72 560 000 закресли нулі. Як змінилося, збільшилося чи зменшилося, це число і в скільки разів? Число зменшилося в 1000 разів, бо

72 560 000 : 72 560 = 1 000

 

Завдання 4 Зменшуване на 129 більше за від’ємник. Чому дорівнює різниця?

Розв’язання

х – від’ємник, х + 129 – зменшуване

х + 129 – х = 129

 

Завдання 5 Дільник у 48 разів менший від діленого. Чому дорівнює частка?

Розв’язання

х – дільник, 48х – ділене, тоді 48х : х = 48

 

Вправи

Вправа 543° Виконайте ділення з остачею.

13 : 6 = 2 (ост. 1)

9 : 2 = 4 (ост. 1)

42 : 5 = 8 (ост. 2)

27 : 6 = 4 (ост. 3)

Вправа 544°

1)  _592 | 24    48      24 _112    96    16 (ост.)

2)  _428 | 37     37     11   _58     37     21 (ост.)

3)  _684 | 30     60     22   _84     60     24 (ост.)

4)  _1372 | 13    13        105    _7      0     _72       65        7 (ост.)

Вправа 545°

1)  _54 | 7      49    7    5 (ост.)

2)  _212 | 6      18     35   _32     30       2 (ост.)

3)  _158 | 12      12      13   _38     36       2 (ост.)

4)  _2964 | 18     18       164  _116    108      _84        72        12 (ост.)

Вправа 546° Знайдіть остачу при діленні на 5 числа: 14; 61; 86; 235; 2658; 54 769; 687 903.

Розв’язання

1) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

2) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 

3) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23

^{Числа 7, 13 і 24 є дільниками. Остача має бути меншою від дільника.}

 

Вправа 549° Запишіть остачі, які можна одержати при діленні на: 1) 5; 2) 19.

Розв’язання

1) 0, 1, 2, 3, 4

2) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 

^{Числа 5 і 19 є дільниками. Остача має бути меншою від дільника.}

 

Вправа 550° Цукерка коштує 76 к. Яку найбільшу кількість цукерок можна купити за 4 грн 50 к. (450 к.)?

Розв’язання

450 : 76 = 5 (ост. 70)

Відповідь: можна купити щонайбільше 5 цукерок.

 

Вправа 551° Яку найбільшу кількість букетів, кожний із яких містить 7 троянд, можна скласти, маючи 100 троянд?

Розв’язання

100 : 7 = 14 (ост. 2)

Відповідь: можна скласти найбільше 14 букетів.

 

Вправа 552° На одну вантажівку можна навантажити 5 т піску. Яка найменша кількість таких вантажівок потрібна, щоб перевезти 42 т піску?

Розв’язання

42 : 5 = 8 (ост. 2) 

Відповідь: потрібно щонайменше 9 вантажівок.

 

Вправа 553° В один ящик уміщується 20 кг яблук. Яка найменша кількість таких ящиків потрібна, щоб розкласти в них 176 кг яблук?

Розв’язання

176 : 20 = 8 (ост. 16)

Відповідь: потрібно щонайменше 9 ящиків.

 

Вправа 554° У месенджері1 одне SMS-повідомлення може складатися не більше ніж із 64 символів. На яку кількість SMS месенджер розіб’є текст із 280 символів?

Розв’язання

280 : 64 = 4 (ост. 24)

Відповідь: месенджер розіб’є текст на 4 SMS.

 

Вправа 555° Заповніть таблицю:

Ділене	Дільник	Неповна частка	Остача
22	6	3	4
45	7	6	3
13	5	2	3
29	8	3	5

Вправа 556° Знайдіть ділене, якщо дільник дорівнює 18, неповна частка — 4, а остача — 11.

Розв’язання

4 • 18 + 11 = 72 + 11 = 83

 

Вправа 557°

Знайдіть остачу при діленні на 10 числа: 31; 47; 53; 148; 1596; 67 389; 240 750. Висловіть гіпотезу, чому дорівнює остача при діленні числа на 10, і обговоріть на уроці, чи правильна ваша гіпотеза.

Розв’язання

а = bq + г

82 : 8 = 10 (ост. 2)

82 = 10 • 8 + 2

 

Вправа 560* Виразіть ділене через неповну частку, дільник і остачу у вигляді рівності а = bq +г, де а — ділене, b — дільник, q — неповна частка, г — остача, якщо а = 45, Ь = 7.

Розв’язання

а = bq + г

45 : 7 = 6 (ост. 3)

45 = 7 • 6 + 3

 

Вправа 561 При якому найменшому натуральному а значення виразу:

1) 48 + а ділиться націло на 6; При а = 6, бо 48 + 6 = 54 = 6 • 9

2) 65 - а ділиться націло на 8; При а = 1, бо 65 – 1 = 64 = 8 • 8

3) 96 - а при діленні на 9 дає остачу 4? При а = 2, бо 96 – 2 = 94, а 94 : 9 = 10 (ост. 4)

 

Вправа 562 При якому найменшому натуральному а значення виразу:

1) 53 + а ділиться націло на 7; 

При а = 3, бо 53 + 3 = 56 = 7 • 8

2) а + 24 при діленні на 5 дає остачу 2? 

При а = 3, бо 3 + 24 = 27, а 27 : 5 = 5 (ост. 2)

 

Вправа 563 Катруся поділила число 211 на деяке число й одержала остачу 26. На яке число ділила Катруся?

211 = bq + 26 

bq = 211 – 26

bq = 185

Запишемо число 66 у вигляді добутку двох множників.

185 = 1 • 185 = 5 • 37 

Оскільки остача має бути меншою  від дільника, маємо дільники 185 або 37.

Відповідь: на 185 або 37.

 

Вправа 564 Михайлик поділив число 111 на деяке число й отримав остачу 7. На яке число ділив Михайлик? 

Розв’язання

111 = bq + 7 

bq = 111 – 7

bq = 104

Запишемо число 66 у вигляді добутку двох множників.

104 = 104 • 1 = 52 • 2 =  26 • 4 = 8 • 13

Оскільки остача має бути меншою від дільника, маємо дільники 104, 52, 26, 8, 13.

Відповідь: на 104, або на 52, або на 26, або на 8, або на 13.

 

Вправа 565 Павло поділив число 70 на деяке число й отримав остачу 4. На яке число ділив Павло?

70 = bq + 4 

bq = 70 – 4

bq = 66

Запишемо число 66 у вигляді добутку двох множників.

66 = 66 • 1 = 33 • 2 = 22 • 3 = 11 • 6  

Оскільки остача має бути меншою від дільника, маємо дільники 66, 33, 22, 11, 6.

Відповідь: на 66, або на 33, або на 22, або на 11, або на 6.

 

Вправа 566 Яка найбільша кількість понеділків може бути в році?

Оскільки в тижні 7 днів, тоді 

для високосного року 366 : 7 = 52 (ост. 2)

для інших років 365 : 7 = 52 (ост. 1)

Відповідь: найбільше можуть бути 53 понеділки. 

 

Вправа 567 В одному осінньому місяці субот і понеділків виявилось більше, ніж п’ятниць. Який це був місяць? Яким днем тижня було дев’ятнадцяте число цього місяця? 

Вересень має 30 днів, жовтень має 31 день, листопад 30 днів.

30 : 7 = 4 (ост. 2)

31 : 7 = 4 (ост. 3)

Маємо 4 повних тижнів, коли субот, неділь, понеділків та п’ятниць однаково (від суботи до п’ятниці) у всіх осінніх місяцях  і 2 додаткових дні (у вересні та листопаді) та 3 додаткових дні (у жовтні) неповних тижнів.

Оскільки субот і понеділків було більше, ніж п'ятниць, тобто 3 додаткових дні (субота, неділя, понеділок), то маємо місяць жовтень, який почався у суботу.

19 : 7 = 2 (ост. 5) 

Маємо два повних тижні від суботи до п’ятниці, та 5 додаткові дні (субота, неділя, понеділок, вівторок, середа). 19 жовтня того місяця було середою.    

Відповідь: місяць жовтень, день середа.

 

Вправа 568 Придумайте буквений вираз, при підстановці в який замість букви будь-якого натурального числа буде отримано числовий вираз, значення якого при діленні на 3 дає в остачі 1.

Розв’язання

3n + 1, де n – натуральне число

 

Вправа 569 Оленка вибрала деяке натуральне число та знайшла його остачі при діленні на 3, на 6 і на 9. Виявилося, що сума остач дорівнює 15. Знайдіть ці остачі.

Розв’язання

 

2 + 5 + 8 = 15

Відповідь: ці остачі 2, 5 і 8.

 

Вправи для повторення

Вправа 570 Спростіть вираз і знайдіть його значення:

1) 14а • 6Ь, якщо а = 2, b = 3;

2 ) 25т • 3п, якщо т = 8 , п = 1;

3) 5х + 8х – Зх, якщо х = 17;

4) 16у – у + 5у, якщо у = 23.

Розв’язання

1) 14а • 6b = (14 • 6) • аb = 84аb

Якщо а = 2, b = 3, тоді  84аb = 84 • 2 • 3 = 84 • 6 = 504 

2) 25m • 3n = (25 • 3) • mn = 75 mn

Якщо m = 8 , n = 1, тоді   75 mn = 75 • 1 • 8 = 75 • 8 = 600

3) 5х + 8х – Зх = 10х

Якщо х = 17, тоді 10х = 10 • 17 = 170 

4) 16у – у + 5у = 20у

Якщо у = 23, 20у = 20 • 23 = 460 

 

Вправа 571 Периметр прямокутника дорівнює 54 см, а його ширина на 3 см менша від довжини. Знайдіть сторони прямокутника.

Розв’язання

Нехай х (см) – ширина прямокутника, х + 3 (см) – довжина прямокутника. Складемо рівняння

(х + х + 3) • 2 = 54

2х + 2х + 6 = 54 

4х + 6 = 54

4х = 54 – 6

4х = 48

х = 48 : 4

х = 12 (см) – ширина прямокутника.

х + 3 = 12 + 3 = 15 (см) – довжина прямокутника.

Відповідь: сторони прямокутника 12 см і 15 см.

 

Завдання 572 Розв'яжіть рівняння. Зверніть увагу, що корінь цього рівняння дорівнює віку, з якого дозволяється їздити велосипедом по вулицях міст і шосейних дорогах.

8 (3x – 16) = 208

24 х – 128 = 208

24 х = 208 + 128

24 х = 336

х = 336 : 24

х = 14

 

Задача від Мудрої Сови

Задача 573 Відомо, що мотузка згорає за 4 хв і горить при цьому нерівномірно. Як з допомогою: 1) однієї мотузки відміряти 2 хв; 2) двох таких мотузок відміряти 3 хв?

Розв'язання

1) запалити мотузку одночасно з двох кінців.

2) одночасно запалити першу мотузку з двох кінців та другу мотузку з одного кінця (будуть горіти 2 хв). Коли догорить перша мотузка, запалити другу мотузку з іншого кінця (буде горіти ще 1 хв, бо почне горіти з обох кінців половина другої мотузки).   

 

-------------------------- у підручниках 2013, 2018 років ----------------------

Питання

1. Яку властивість має неповна частка при діленні з остачею? Неповна частка – це найбільше число, добуток якого на дільник менший від діленого.

 

Завдання 1 Знайдіть числа, яких не вистачає в ланцюжку обчислень.

 

Завдання 3 Один насос за 1 хв перекачує 120 л води, а другий — 180 л. За який час вони разом можуть наповнити водою цистерну, місткість якої дорівнює 6000 л?

Розв’язання

1) 120 + 180 = 300 (л) –два насоси за 1 хв. 

2) 6000 : 300 = 20 (хв)

Відповідь: разом вони наповнять місткість цистерни за 20 хв.

 

Вправа 528° Виконайте ділення з остачею.

1) 42 : 5 = = 8 (ост. 2)

6)  _5721 | 28  56     204 (ост.9)   12    0   121   112      9

8)  _6516 | 204  612     31 (ост.192)    396     204     192

7)  _3196 | 74   296    43 (ост.14)     236      222        14

Вправа 529 Виконайте ділення з остачею.

4)  _534 | 15     45      35 (ост. 9)    84    75     9

6)  _4848 | 106     424       45 (ост. 78)    608    530     78

Вправа 538° Знайдіть ділене, якщо дільник дорівнює 12, неповна частка — 7, а остача — 9.

Розв’язання

7 • 12 + 9 = 84 + 9 = 93

 

Вправа 549* Відомо, що число а — ділене, число b — дільник, причому а < b. Знайдіть неповну частку й остачу при діленні числа а на число b.

Розв’язання

Якщо а < b, тоді ділене дорівнює 0.

0 : b = 0

0 : b = 0 + (ост. 0)

Відповідь: неповна частка q = 0, остача r = 0

 

Вправа 550* Доведіть, що остання цифра числа а дорівнює остачі при діленні цього числа на 10.

Розв’язання

Запишемо частку при діленні на 10

а = 10q + r 

Число q вказує кількість десятків у числі, г = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – кількість одиниць

Інші завдання дивись тут ...