19. Ділення з остачею
Розв’язуємо усно.
Завдання 1. Знайдіть числа, яких не вистачає в ланцюжку обчислень.
|
х • 6 = 78 х = 78 : 6 х = (60 + 18) : 6 х = 13 |
78 – х = 42 х = 78 – 42 х = 36
|
42 : х = 14 х = 42 : 14 х = 3
|
х + 19 = 33 х = 33 – 19 х = 14
|
Завдання 2. У числі 72 560 000 закресли нулі. Як змінилося, збільшилося чи зменшилося, це число і в скільки разів?
Число зменшилося в 1000 разів, бо 72 560 000 : 72 560 = 1 000
Завдання 3. Один насос за 1 хв перекачує 120 л води, а другий — 180 л. За який час вони разом можуть наповнити
водою цистерну, місткість якої дорівнює 6000 л?
Розв’язання.
1) 120 + 180 = 300 (л) – води перекачують два насоси за 1 хв.
2) 6000 : 300 = 60 : 3 = 20 (хв) – треба часу.
Відповідь: разом вони наповнять місткість цистерни за 20 хв.
Завдання 4. Зменшуване на 129 більше за від’ємник. Чому дорівнює різниця?
Розв’язання.
х – від’ємник, х + 129 - зменшуване.
х + 129 – х = 129
Завдання 5. Дільник у 48 разів менший від діленого. Чому дорівнює частка?
Розв’язання.
х – дільник, 48х – ділене, тоді 48х : х = 48
Вправи
Вправа 526.° Виконайте ділення з остачею.
|
1) 42 : 5 = = 8 (ост. 2)
|
3) _428 | 37 37 11 (ост.21) 58 37 21
|
5) _1372 | 13 13 105 (ост.7) 7 0 72 65 7 |
7) _3196 | 74 296 43 (ост.14) 236 222 14
|
|
2) _592 | 24 48 24 (ост.16) 112 96 16
|
4) _684 | 30 60 22 (ост.24) 84 60 24
|
6) _5721 | 28 56 204 (ост.9) 12 0 121 112 9 |
8) _6516 | 204 612 31 (ост.192) 396 204 192
|
Вправа 527. Виконайте ділення з остачею.
|
1) _54 | 7 49 7 (ост. 5) 5
|
3) _158 | 12 12 13 (ост. 2) 38 36 2
|
5) _2964 | 18 18 164 (ост. 12) 116 108 84 72 12 |
|
2) _212 | 6 18 35 (ост. 2) 32 30 2 |
4) _534 | 15 45 35 (ост. 9) 84 75 9 |
6) _4848 | 106 424 45 (ост. 78) 608 530 78 |
Вправа 528.° 1) Знайдіть остачу при діленні на 10 числа: 31; 47; 53; 148; 1596; 67 389; 240 750.
2) Знайдіть остачу при діленні на 5 числа: 14; 61; 86; 235; 2658; 54 769; 687 903.
Розв’язання.
|
1) 31 : 10 = 3 (ост. 1) 47 : 10 = 4 (ост. 7) 53 : 10 = 5 (ост. 3) 148 : 10 = 14 (ост 8) 1596 : 10 = 159 (ост. 6) 67389 : 10 = 6738 (ост. 9) 240750 : 10 = 24075 |
2) 14 : 5 = 2 (ост. 4) 61 : 5 = 12 (ост 1) 86 : 5 = 17 (ост. 1) 235 : 5 = 47 (ост. 0) 2658 : 5 = 531 (ост. 3) 54769 : 5 = 10953 (ост. 4) 687903 : 5 = 137580 (ост. 3) |
Вправа 529.' Знайдіть остачу при діленні на 100 числа: 106; 202; 421; 836; 2764; 100 098; 672 305; 1 306 579; 562 400.
Розв’язування.
106 : 100 = 1 (ост. 6)
202 : 100 = 2 (ост. 2)
421 : 100 = 4 (ост. 21)
836 : 100 = 8 (ост. 36)
2764 : 100 = 27 (ост. 64)
100098 : 100 = 1000 (ост. 98)
672305 : 100 = 6723 (ост. 5)
1306579 : 100 = 13065 (ост. 79)
562400 : 100 = 5624 (ост. 0)
Вправа 530.° Запишіть остачі, які можна одержати при діленні на: 1) 7; 2) 13; 3) 24.
Розв’язання.
1) 1, 2, 3, 4, 5, 6
2) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
3) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23
Числа 7, 13 і 24 є дільниками. Остача має бути меншою від дільника.
Вправа 531.° Запишіть остачі, які можна одержати при діленні на: 1) 5; 2) 19.
Розв’язання.
1) 1, 2, 3, 4
2) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18
Числа 5 і 19 є дільниками. Остача має бути меншою від дільника.
Вправа 532.° Булочка коштує 76 к. Яку найбільшу кількість булочок можна купити за 4 грн 50 к. (450 к.)?
Розв’язання.
1) 450 : 76 = 5 (ост. 70)
Відповідь: можна купити щонайбільше 5 булочок.
Вправа 533.° На одну вантажівку можна навантажити 5 т піску. Яка найменша кількість таких вантажівок потрібна, щоб перевезти 42 т піску?
Розв’язання.
1) 42 : 5 = 8 (ост. 2)
Відповідь: потрібно щонайменше 9 вантажівок.
Вправа 534. В один ящик уміщується 20 кг яблук. Яка найменша кількість таких ящиків потрібна, щоб розкласти в них 176 кг яблук?
Розв’язання.
1) 176 : 20 = 8 (ост. 16)
Відповідь: потрібно щонайменше 9 ящиків.
Вправа 535.° Заповніть таблицю:
|
Ділене |
Дільник |
Неповна частка |
Остача |
|
22 |
6 |
3 |
4 |
|
45 |
7 |
6 |
3 |
|
13 |
5 |
2 |
3 |
|
29 |
8 |
3 |
5 |
22 : 6 = 3 (ост. 4)
45 : 7 = 6 (ост. 3)
2 • 5 + 3 = 13
3 • 8 + 5 = 24 + 5 = 29
Вправа 536.° Знайдіть ділене, якщо дільник дорівнює 12, неповна частка — 7, а остача — 9.
Розв’язання.
7 • 12 + 9 = 84 + 9 = 93
Вправа 537.° Знайдіть ділене, якщо дільник дорівнює 18, неповна частка — 4, а остача — 11.
Розв’язання.
4 • 18 + 11 = 72 + 11 = 83
Вправа 538.* Виразіть ділене через неповну частку, дільник і остачу у вигляді рівності а = bq + г, де а — ділене, b — дільник, q — неповна частка, г — остача, якщо а = 82, b = 8.
Розв’язання.
а = bq + г
82 : 8 = 10 (ост. 2)
82 = 10 • 8 + 2
Вправа 539.* Виразіть ділене через неповну частку, дільник і остачу у вигляді рівності а = bq +г, де а — ділене, b — дільник, q — неповна частка, г — остача, якщо а = 45, Ь = 7.
Розв’язання.
а = bq + г
45 : 7 = 6 (ост. 3)
45 = 7 • 6 + 3
Вправа 540.’ При якому найменшому натуральному а значення виразу:
1) 48 + а ділиться націло на 6 ;
2) 65 - а ділиться націло на 8;
3) 96 - а при діленні на 9 дає остачу 4?
Розв’язання.
1) при а = 6, бо 48 + 6 = 54 = 6 • 9
2) при а = 1, бо 65 – 1 = 64 = 8 • 8
3) при а = 2, бо 96 – 2 = 94, а 94 : 9 = 10 (ост. 4)
Вправа 541.* При якому найменшому натуральному а значення виразу:
1) 53 + а ділиться націло на 7;
2) а + 24 при діленні на 5 дає остачу 2?
Розв’язання.
1) при а = 3, бо 53 + 3 = 56 = 7 • 8
2) при а = 3, бо 3 + 24 = 27, а 27 : 5 = 5 (ост. 2)
Вправа 542.** Катруся поділила число 211 на деяке число й одержала остачу 26. На яке число ділила Катруся?
Розв’язання.
211 = bq + 26
bq = 211 – 26
bq = 185
185 = 1 • 185 = 5 • 37
Оскільки остача має бути меншою від дільника, маємо дільники 185 або 37.
Відповідь: на 185 або 37.
Вправа 543.** Михайлик поділив число 111 на деяке число й отримав остачу 7. На яке число ділив Михайлик?
Розв’язання.
111 = bq + 7
bq = 111 – 7
bq = 104
104 = 104 • 1 = 52 • 2 = 26 • 4 = 8 • 13
Оскільки остача має бути меншою від дільника, маємо дільники 104, 52, 26, 8, 13.
Відповідь: на 104, або на 52, або на 26, або на 8, або на 13.
Вправа 544.** Павло поділив число 70 на деяке число й отримав остачу 4. На яке число ділив Павло?
Розв’язання.
70 = bq + 4
bq = 70 – 4
bq = 66
66 = 66 • 1 = 33 • 2 = 22 • 3 = 11 • 6
Оскільки остача має бути меншою від дільника, маємо дільники 66, 33, 22, 11, 6.
Відповідь: на 66, або на 33, або на 22, або на 11, або на 6.
Вправа 545.** Яка найбільша кількість понеділків може бути в році?
Розв’язання.
Оскільки в тижні 7 днів, тоді
для високосного року 366 : 7 = 52 (ост. 2)
для інших років 365 : 7 = 52 (ост. 1)
Відповідь: найбільше можуть бути 53 понеділки.
Вправа 546.* В одному осінньому місяці субот і понеділків виявилось більше, ніж п’ятниць. Який це був місяць? Яким днем тижня було дев’ятнадцяте число цього місяця?
Розв’язання.
Вересень має 30 днів, жовтень має 31 день, листопад 30 днів.
30 : 7 = 4 (ост. 2)
31 : 7 = 4 (ост. 3)
Маємо 4 повних тижнів, коли субот, неділь, понеділків та п’ятниць однаково (від суботи до п’ятниці) у всіх осінніх місяцях і 2 додаткових дні (у вересні та листопаді) та 3 додаткових дні (у жовтні) неповних тижнів.
Оскільки субот і понеділків було більше, ніж п'ятниць, тобто 3 додаткових дні (субота, неділя, понеділок), то маємо місяць жовтень, який почався у суботу.
19 : 7 = 2 (ост. 5)
Маємо два повних тижні від суботи до п’ятниці, та 5 додаткові дні (субота, неділя, понеділок, вівторок, середа). 19 жовтня того місяця було середою.
Відповідь: місяць жовтень, день середа.
Вправа 547.* Відомо, що число а — ділене, число b — дільник, причому а < b. Знайдіть неповну частку й остачу при діленні числа а на число b.
Розв’язання.
Якщо а < b, тоді ділене дорівнює 0.
0 : b = 0
0 : b = 0 + (ост. 0)
Відповідь: неповна частка q = 0, остача r = 0
Вправа 548.* Доведіть, що остання цифра числа а дорівнює остачі при діленні цього числа на 10.
Розв’язання.
Запишемо частку при діленні на 10
а = 10q + r
Число q вказує кількість десятків у числі, г = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – кількість одиниць.
Вправа 549.* Придумайте буквений вираз, при підстановці в який замість букви будь-якого натурального числа буде отримано числовий вираз, значення якого при діленні на 3 дає в остачі 1.
Розв’язання.
3n + 1, де n – натуральне число.
Вправи для повторення
Вправа 550. Спростіть вираз і знайдіть його значення:
1) 14а • 6Ь, якщо а = 2, b = 3;
2 ) 25т • 3п, якщо т = 8 , п = 1 ;
3) 5х + 8х – Зх, якщо х = 17;
4) 16у – у + 5у, якщо у = 23.
Розв’язання.
1) 14а • 6b = (14 • 6) • аb = 84аb
Якщо а = 2, b = 3, тоді 84аb = 84 • 2 • 3 = 84 • 6 = 504
2) 25m • 3n = (25 • 3) • mn = 75 mn
Якщо m = 8 , n = 1, тоді 75 mn = 75 • 1 • 8 = 75 • 8 = 600
3) 5х + 8х – Зх = 10х
Якщо х = 17, тоді 10х = 10 • 17 = 170
4) 16у – у + 5у = 20у
Якщо у = 23, 20у = 20 • 23 = 460
Вправа 551. Периметр прямокутника дорівнює 54 см, а його ширина на 3 см менша від довжини. Знайдіть сторони прямокутника.
Розв’язання.
Нехай х (см) – ширина прямокутника, х + 3 (см) – довжина прямокутника. Складемо рівняння
(х + х + 3) • 2 = 54
2х + 2х + 6 = 54
4х + 6 = 54
4х = 54 – 6
4х = 48
х = 48 : 4
х = 12 (см) – ширина прямокутника.
х + 3 = 12 + 3 = 15 (см) – довжина прямокутника.
Відповідь: сторони прямокутника 12 см і 15 см.
Задача від Мудрої Сови
Задача 552. Відомо, що мотузка згорає за 4 хв і горить при цьому нерівномірно. Як з допомогою: 1) однієї мотузки відміряти 2 хв; 2) двох таких мотузок відміряти 3 хв?
1) запалити мотузку одночасно з двох кінців.
2) одночасно запалити першу мотузку з двох кінців та другу мотузку з одного кінця (будуть горіти 2 хв). Коли догорить перша мотузка, запалити другу мотузку з іншого кінця (буде горіти ще 1 хв, бо почне горіти з обох кінців половина другої мотузки).
Питання.
1. Яку властивість має неповна частка при діленні з остачею? Неповна частка – це найбільше число, добуток якого на дільник менший від діленого.
2. Порівняйте остачу і дільник. Остача завжди менша від дільника.
3. Сформулюйте правило знаходження діленого при діленні з остачею. Щоб знайти ділене, треба дільник помножити на неповну частку й додати остачу.
4. Як записують у буквеному вигляді правило знаходження діленого при діленні з остачею? а = bq + r, де а – ділене, b – дільник, q – неповна частка, r – остача.
5. У яких випадках говорять, що одне натуральне число ділиться націло на друге? Одне натуральне число ділиться націло на друге, якщо остача дорівнює 0.