Завдання 264 Додавання дробів і віднімання дробів
1) 1/4 + 3/5 = 5/20 + 12/20 = 17/20
2) 9/11 – 2/5 = 45/55 – 22/55 = 23/55
3) 13/16 – 9/32 = 26/32 – 9/32 = 17/32
4) 14/15 – 7/10 = 28/30 – 21/30 = 7/30
5) 3/8 + 1/6 = 9/24 + 4/24 = 13/24
6) 9/25 – 7/20 = 36/100 – 35/100 = 1/100
7) 11/24 – 3/16 = 22/48 – 9/48 = 13/48
8) 1/3 – 1/6 + 1/4 = 4/12 – 2/12 + 3/12 = 5/12
9) 2/5 + 4/15 – 5/9 = 18/45 + 12/45 – 25/45 = 5/45 = 1/9
1) 25/80 + 45/60 = 5/26 + 3/4 = 5/16 + 12/16 = 17/16 = 1 1/16
2) 20/45 + 26/54 = 4/9 + 13/27 = 12/27 + 13/27 = 25/27
3) 36/300 + 12/40 – 350/1000 = 3/25 + 3/10 – 7/20 = 12/100 + 30/100 – 35/100 = 7/100
4) 14/24 – 39/90 + 15/100 = 7/12 – 13/30 + 3/20 = 35/60 – 26/60 + 9/60 = 18/60 = 3/10
5) 42/120 + 20/32 – 28/160 = 7/20 + 5/8 + 7/40 = 14/40 + 25/40 – 7/40 = 32/40 = 4/5
6) 45/72 – 33/144 – 20/64 = 5/8 – 11/48 – 5/10 = 30/48 – 11/48 – 15/48 = 4/48 = 1/12
У першому глечику було 3/10 л сметани, а в другому — 4/15 л. У якому глечику було більше сметани та на скільки літрів?
Розв'язання
3/10 = 9/30, 4/15 = 8/30
9/30 – 8/30 = 1/30 (л) – на стільки більше сметани у першому глечику.
Відповідь: у першому глечику; на 1/30 л.
Оксана впіймала рибу завдовжки 8/25 м, а Семен — 13/40 м. Хто з них упіймав довшу рибу та на скільки метрів?
Розв'язання
8/25 = 64/200, 13/40 = 65/200
65/200 – 64/200 = 1/200 (м) – на стільки довшу рибу упіймаш Щукін.
Відповідь: Щукін; на 1/200 м.
Попелюшка 11/20 год прибирала кімнати, що на 4/15 год більше за час, який вона витратила на миття посуду. Скільки всього часу Попелюшка витратила на прибирання та миття посуду?
Розв'язання
1) 11/20 – 4/15 = 33/60 – 16/60 = 17/60 (год) – час миття посуду;
2) 11/20 + 17/60 = 33/60 + 17/60 = 50/60 = 5/6 (год) – час прибирання і миття посуду.
Відповідь: 5/6 год.
На сніданок ведмедик Паддінгтон з'їв 2/9 горщика джему, що на 2/15 горщика менше, ніж він з’їв на обід. Яку частину горщика джему Паддінгтон з'їв на сніданок і на обід разом?
|
1) 4 5/9 + 7 1/6 = 4 10/18 + 7 3/18 = 11 13/18 2) 6 11/12 + 8 13/18 = 6 33/36 + 8 26/36 = 14 59/36 = 15 23/36 3) 2 3/16 + 1 7/24 + 3 1/12 = 2 9/48 + 1 14/48 + 3 4/48 = 6 27/48 = 6 9/16 |
|
1) 5 7/8 + 6 3/10 = 5 35/40 + 5 12/40 = 11 47/40 = 12 7/40 2) 6 3/8 + 2 5/9 = 6 27/72 + 2 40/72 = 8 67/72 3) 1 8/21 + 4 3/14 + 2 2/7 = 1 16/42 + 4 9/42 + 2 12/42 = 7 37/42 |
|
1) 8 9/14 – 3 3/7 = 8 9/14 – 3 6/14 = 5 3/14 2) 7 5/12 – 3 7/24 = 7 10/24 – 3 7/24 = 7 3/24 = 4 1/8 3) 12 11/12 – 5 13/18 = 12 33/36 – 5 26/36 = 7 7/36 |
|
1) 3 1/12 – 1/6 = 3 1/12 – 2/12 = 2 13/12 – 2/12 = 2 11/12 2) 8 7/30 – 2 9/20 = 8 14/60 – 2 27/60 = 7 74/60 – 2 27/60 = 5 47/60 3) 7 10/51 – 4 21/34 = 7 20/102 – 4 63/102 = 6 122/102 – 4 63/102 = 2 59/102 4) 5 1/4 – 1 3/8 = 5 2/8 – 1 3/8 = 4 10/8 – 1 3/8 = 3 7/8 |
|
1) 4 3/16 – 5/8 = 4 3/16 – 10/16 = 3 19/16 – 10/16 = 3 9/16 2) 6 4/9 – 3 6/7 = 6 28/63 – 3 54/63 = 5 91/63 – 3 54/63 = 2 37/63 3) 10 11/24 – 8 19/36 = 10 33/72 – 8 38/72 = 9 105/72 – 8 38/72 = 1 67/72 4) 9 1/6 – 5 3/4 = 9 2/12 – 5 9/12 = 8 14/12 – 5 9/12 = 3 5/12 |
|
1) x + 7 4/15 = 9 7/10 х = 9 7/10 – 7 4/15 х = 9 21/30 – 7 3/30 х = 2 13/30 |
2) 8 9/14 – x = 4 3/7 8 9/14 – x = 4 3/7 х = 8 9/14 – 4 3/7 х = 8 18/28 – 4 12/28 х = 4 6/28 х = 4 3/14 |
3) x – 3 8/9 = 5 1/12 x = 5 1/12 + 3 8/9 x = 5 3/36 + 3 32/36 х = 8 35/36 |
|
1) 6 3/11 + x = 10 6/7 х = 10 6/7 – 6 3/11 х = 10 66/77 – 6 21/77 х = 4 45/77 |
2) 9 5/36 – x = 2 4/9 х = 9 5/36 – 2 4/9 х = 9 5/36 – 2 16/36 х = 8 41/36 – 2 16/36 х = 6 25/36 |
3) x – 5 17/60 = 7 9/20 х = 7 9/20 + 5 17/60 х = 7 27/60 + 5 17/60 х = 12 44/60 х = 12 11/15 |
1) 0,8 – 5/7 = 8/10 – 5/7 = 4/5 – 5/7 = 28/35 – 25/35 = 3/35
2) 0,36 + 8/15 = 36/100 + 8/15 = 9/25 + 8/15 = 27/75 + 40/75 = 67/75
3) 7 7/8 – 3,18 = 7 7/8 – 3 18/100 = 7 7/8 – 3 9/50 = 7 175/200 – 3 36/200 = 4 139/200
4) 4,75 – 2 3/16 = 4 75/100 – 2 3/16 = 4 75/100 – 2 3/16 = 4 3/4 – 2 3/16 = 4 12/16 – 2 3/16 = 2 9/16
1) 0,5 + 1/3 = 5/10 + 1/3 = 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6
2) 2/3 – 0,25 = 2/3 – 25/100 = 2/3 – 1/4 = 8/12 – 3/12 = 5/12
3) 0,125 + 5/12 = 125/1000 + 5/12 = 1/8 + 5/12 = 3/24 + 10/24 = 13/24
4) 3,25 – 2 9/14 = 3 25/100 – 2 9/14 = 3 1/4 – 2 9/14 = 3 7/28 – 2 18/28 = 2 35/28 – 2 18/28 = 17/28
Власна швидкість теплохода становить 20 2/7 км/год, а швидкість течії річки дорівнює 2 11/14 км/год. Знайдіть швидкість теплохода за течією річки та його швидкість проти течії.
Розв'язання
1) 20 2/7 + 2 11/14 = 20 4/14 + 2 11/14 = 22 15/14 = 23 1/14 (км/год) – швидкість за течією річки;
2) 20 2/7 – 2 11/14 = 20 4/14 - 2 11/14 = 19 18/14 - 2 11/14 = 17 7/14 = 17 1/2 (км/год) – швидкість проти течії річки.
Відповідь: 23 1/4 км/год; 17 1/2 км/год.
Швидкість катера за течією річки становить 27 1/3 км/год, а швидкість течії дорівнює 1 4/9 км/год. Знайдіть власну швидкість катера та швидкість катера проти течії річки.
Розв'язання
1) 27 1/3 – 1 4/9 = 27 3/9 – 1 4/9 = 26 12/9 – 1 4/9 = 25 8/9 (км/год) – власна швидкість човна;
2) 25 8/9 – 1 4/9 = 24 4/9 (км/год) – швидкість проти течії річки.
Відповідь: 25 8/9 км/год; 24 4/9 км/год.
1) 2/9 + 5/6 = 4/18 + 15/18 = 19/18 = 1 1/18
2) 1 – 5/17 = 17/17 – 5/17 = 2/17
3) 6 – 1 4/9 = 5 9/9 – 1 4/9 = 4 5/9
4) 2 1/3 – 1 1/2 = 2 2/6 – 1 3/6 = 1 8/6 – 1 3/6 = 5/6
5) 1 1/7 + 2 3/28 = 1 4/28 + 2 3/28 = 3 7/28 = 3 1/4
6) 5 1/6 – 4 1/4 = 5 2/12 – 4 3/12 = 4 14/12 – 4 3/12 = 11/12
7) 1/4 + 1/12 + 2/3 = 3/12 + 1/12 + 8/12 = 12/12 = 1
Прізвище відомого українського математика: ВОРОНИЙ
1) 5/18 + 4/81 + 7/18 + 5/81 = (5/18 + 7/18) + (4/81 + 5/81) = 12/18 + 9/81 =
= 2/3 + 1/9 = 6/9 + 1/9 = 7/9
2) 9/40 + 13/50 + 12/50 + 11/40 = (9/40 + 11/40) + (13/50 + 12/50) = 20/40 + 25/50 =
= 1/2 + 1/2 = 2/2 = 1
3) 7/16 + 11/42 + 9/16 + 17/42 = (7/16 + 9/16) + (11/42 + 17/42) = 16/16 + 28/42 =
= 1 + 2/3 = 1 2/3
4) 1 17/24 + 3 1/36 + 5 4/24 + 2 8/36 = (1 17/24 + 5 4/24) + (3 1/36 + 2 8/36) = 6 21/24 + 5 9/36 =
= 6 7/8 + 5 1/4 = 6 7/8 + 5 2/8 = 11 9/8 = 12 1/8
|
1) (x + 5/12) – 9/20 = 11/15 х + 5/12 = 11/15 + 9/20 х + 5/12 = 44/60 + 27/60 х + 5/12 = 71/60 х + 5/12 = 1 11/60 х = 1 11/60 – 5/12 х = 1 11/60 – 25/60 х = 71/60 – 25/60 х = 46/60 х = 23/30 |
2) 4 3/4 – (x – 2 5/8) = 3 5/6 х – 2 5/8 = 4 3/4 – 3 5/6 х – 2 5/8 = 4 9/12 – 3 10/12 х – 2 5/8 = 3 21/12 – 3 10/12 х – 2 5/8 = 11/12 х = 11/12 + 2 5/8 х = 22/24 + 2 15/24 х = 2 37/24 х = 3 13/24 |
|
1) (x – 8/9) + 3/8 = 19/36
x – 8/9 = 19/36 – 3/8
x – 8/9 = 38/72 – 27/72
x – 8/9 = 11/72
х = 11/72 + 8/9
х = 11/72 + 64/72
х = 75/72
х = 1 3/72
х = 1 1/24
|
2) 3 5/36 – (1 4/9 – x) = 1 17/18
1 4/9 – х = 3 5/36 – 1 17/18
1 4/9 – х = 3 5/36 – 1 34/36
1 4/9 – х = 2 41/36 – 1 34/36
1 4/9 – х = 1 7/36
х = 1 4/9 – 1 7/36
х = 1 16/36 – 1 7/36
х = 9/36
х = 1/4
|
1) 17 2/3 – 6 1/36 + 4 3/8 = 17 48/72 – 6 2/72 + 4 27/72 = 15 73/72 = 16 1/72
2) 10 9/16 – (3 11/12 + 4 4/9) = 10 9/16 – (3 32/36 + 4 16/36) = 10 9/16 – 7 49/36 =
= 10 9/16 – 8 13/36 = 10 81/144 – 8 52/144 = 2 29/144
1) 5 5/9 + 3 1/6 – 6 4/27 = 5 30/54 + 3 9/54 – 6 8/54 = 2 31/54
2) 12 13/48 – (9 17/32 – 4 5/24) = 12 13/48 – (9 51/96 – 4 20/96) = 12 13/14 – 5 31/96 =
= 12 26/96 – 5 31/96 = 12 122/96 – 5 31/96 = 6 91/96
У трьох ящиках було 36 9/16 кг груш. У першому та другому ящиках було 28 7/8 кг груш, а в першому та третьому — 24 3/4 кг. Скільки кілограмів груш було в кожному ящику?
Розв'язання
1) 36 9/16 – 28 7/8 = 36 9/16 – 28 14/16 = 35 25/16 – 28 14/16 = 7 11/16 (кг) – у третьому ящику;
2) 24 3/4 – 7 11/16 = 24 12/16 – 7 11/16 = 17 1/16 (кг) – у першому ящику;
3) 28 7/8 – 17 1/6 = 28 14/16 – 17 1/16 = 11 13/16 (кг) – у другому ящику;
Відповідь: 17 1/16 кг; 17 13/16 кг; 7 11/16 кг.
На комп'ютері опрацьовували три задачі впродовж 30 хв. На першу та другу задачі було витрачено 24 14/15 хв, а на другу та третю — 18 19/45 хв. Скільки часу було витрачено на опрацювання кожної задачі?
Розв'язання
1) 30 – 24 14/15 = 29 60/60 – 24 56/60 = 5 4/60 = 5 1/15 (хв) – на третю задачу;
2) 18 19/45 – 5 1/15 = 18 19/45 – 5 3/45 = 13 16/45 (хв) – на другу задачу;
3) 24 14/15 – 13 16/45 = 24 42/45 – 13 16/45 = 11 26/45 (хв) – на першу задачу.
Відповідь: 11 26/45 хв; 13 16/45 хв; 5 1/15 хв.
Оксана витратила 1/2 своїх грошей на придбання книги «Цікава математика», 1/4 — на книгу «цікава Фізика», 1/12 — на олівці , а решту — на цукерки. Яку частину своїх грошей Оксана витратила на цукерки?
Розв'язання
1) 1/2 + 1/4 + 1/12 = 6/12 + 3/12 + 1/12 = 10/12 = 5/6 (ч.) – грошей витратила на книги і олівці;
2) 1 – 5/6 = 6/6 – 5/6 = 1/6 (ч.) – грошей втьраьтла на цукерки.
Відповідь: 1/6 грошей.
Золотько, Срібняк, Платинюк і Діамантов знайшли скарб. Золотьку дісталася 1/6 скарбу, Срібняку — 2/9, Платинюку — 5/18, а решта — Діамантову. Яку частину скарбу отримав Діамантов?
Розв'язання
1) 1/6 + 2/9 + 5/18 = 3/18 + 4/18 + 5/18 = 12/18 = 2/3 (ч.) – скарбу, яку отримали усі, крім Діамантова;
2) 1 – 2/3 = 3/3 – 2/3 = 1/3 (ч.) – скарбу, яку отримав Діамантов.
Відповідь: 1/3 скарбу.
Івасик-Телесик може зорати поле за 6 год, а Котигорошко — за 4 год. Яку частину поля вони можуть зорати, працюючи разом, за 1 год? за 2 год?
Розв'язання
Івасик-Телесик за 1 год може зорати 1/6 частину поля, а Котигорошко — 1/4 частину, тоді
1) 1/6 + 1/4 = 2/12 + 3/12 = 5/12 – частину поля можуть зорати разом за 1 год;
2) 5/12 • 2 = 10/12 = 5/6 – частину поля можуть зорати разом за 2 год.
Відповідь: 5/12 поля; 5/6 поля.
Перша малярка може пофарбувати паркан за 15 год, друга — за 12 год, а третя — за 10 год. Яку частину паркану вони пофарбують разом за 1 год? за 2 год? за 4 год?
Розв'язання
Перша малярка за 1 год може пофарбувати 1/15 частину паркану, друга — 1/12 частину, а третя — 1/10 частину, тоді
1) 1/15 + 1/12 + 6/60 = 4/60 + 5/60 + 6/60 = 15/60 = 1/4 – частину паркану пофарбують разом за 1 год;
2) 1/4 • 2 = 1/2 – частину паркану пофарбують разом за 2 год;
3) 1/4 • 4 = 1 – частину паркану пофарбують разом за 4 год;
Відповідь: 1/4 паркана; 1/2 паркана; увесь паркан.
Марічка може з'їсти кавун за 12 хв, а Наталка — за 16 хв. Яка частина кавуна залишиться через 1 хв, якщо дівчатка почнуть їсти його одночасно?
Розв'язання
Марічка за 1 хв може з'їсти 1/12 частину кавуна, а Наталка — 1/16 частину, тоді
1) 1/12 + 1/16 = 4/48 + 3/48 = 7/48 – частини кавуна можуть з'їсти дівчатка разом;
2) 1 – 7/48 = 48/48 – 7/48 = 41/48 – частина кавуна залишиться.
Відповідь: 41/48 кавуна.
Басейн можна наповнити водою за 6 год через одну трубу і спорожнити за 10 год через другу. Басейн був порожнім, коли Ольга Забудько відкрила крани одночасно на обох трубах. Яка частина басейну залишиться незаповненою водою через 1 год після того, як Ольга відкрила крани?
Розв'язання
Через одну трубу за 1 год наповниться 1/6 частина басейна, а через другу — 1/10 частина, тоді
1) 1/6 – 1/10 = 5/30 – 3/30 = 2/30 = 1/15 – частина басейну наповниться за 1 год двома трубами;
2) 1 – 1/15 = 15/15 – 1/15 = 14/15 – частина басейну залишиться незаповненою через 1 год.
Відповідь: 14/15 басейну.
Петро Ледащенко може пофарбувати стіну за 24 год, а Іван Працелюб — за 8 год. Яка частина стіни залишиться непофарбованою після 1 год спільної роботи Ледащенка та Працелюба?
Розв'язання
Петро Лещенко за 1 год може пофарбувати 1/24 частини стіни, а Іван Працелюб — 1/8 частини, тоді
1) 1/24 + 1/8 = 1/6 – частини стіни пофарбують разом за 1 год;
2) 1 – 1/6 = 6/6 – 1/6 = 5/6 – частини стіни залишиться непофарбованою за 1 год.
Відповідь: 5/6 стіни.
Олена та Марія можуть разом набрати на комп'ютері деякий текст за 6 год. Як у частину тексту набере Олена за 1 год, якщо Марія може набрати весь текст за 9 год?
Розв'язання
За 1 год дівчата, працюючи разом, набирають 1/6 частину тексту, а Марія, працюючи самостійно, — 1/9 частину, тоді
1/6 – 1/9 = 3/18 – 2/18 = 1/18 – частини тексту набере Олена за 1 год.
Відповідь: 1/18 тексту.
Через дві труби басейн можна наповнити водою за З год. Яку частину басейну можна наповнити за 1 год через одну з цих труб, якщо через ДРУГУ трубу його можна наповнити за 5 год?
Розв'язання
За 1 год через дві труби можна наповнити 1/3 частину басейну, а через одну з них — 1/5 частину , тоді
1/3 – 1/5 = 5/15 – 3/15 = 2/15 – частини басейну можна наповнити через другу трубу за 1 год.
Відповідь: 2/15 басейну.
1) ( 9 3/7 + 2 9/16) – 5 3/7 = (9 3/7 – 5 3/7) + 2 9/16 = 4 + 2 9/16 = 6 9/16
2) (4 5/8 + 1 6/11) – 6/11 = (1 6/11 – 6/11) + 4 5/8 = 1 + 4 5/8 = 5 5/8
3) 10 5/14 – (3 5/14 + 2 9/34) = (10 5/14 – 3 5/14) – 2 9/34) = 7 – 2 9/34 = 6 25/34
4) 7 1/7 – (2 6/13 + 3 1/7) = (7 1/7 – 3 1/7) – 2 6/13 = 4 – 2 6/13 = 1 7/13
1) (12 19/24 + 5 19/28) – 3 19/24 = (12 19/24 – 3 19/24) + 5 19/28 = 9 + 5 19/28 = 14 19/28
2) 6 4/9 – (1 7/24 + 4 4/9) = (6 4/9 – 4 4/9) – 1 7/24= 2 – 1 7/24 = 17/24
1) 61/62 < 62/63
61/62 = 1 – 1/62, а 62/63 = 1 – 1/63. Оскільки 1/62 > 1/63, то 1 – 1/62 < 1 – 1/63, а 61/62 < 62/63
2) 1003/1007 > 103/107
1003/1007 = 1 – 4/1007? a 103/107 = 1 – 4/107. Оскільки 4/1007 < 4/107, то 1 – 4/1007 > 1 – 4/107, a 1003/1007 > 103/107
|
1) a + 1/a = 7 1/7 а + 1/a = 7 + 1/7 а = 7 |
2) b – 1/b = 14 14/15 b – 1/b = 15 – 1/15 b = 15 |
|
1) 1/(2•3) = a/2 – b/3 1/2 – 1/3 = a/2 – b/3 a = 1; b = 1 |
2) 4/(3•5) = a/3 – b/5 4/(3•5) = (5a–3b)/(3•5) a = 2; b = 2 |
Збільшиться чи зменшиться значення дробу та на скільки, якщо його чисельник збільшити на знаменник?
Запишемо дріб у вигляді х/у. Після збільшення отримаємо дріб:
(х+у)/у = х/у + у/у = х/у + 1, отже, значення дробу збільшиться на 1.
Запишемо кожен доданок у вигляді:
Доведіть, що 1/10 + 1/11 + 1/12 + … + 1/18 > 1/2.
Доведіть, що 1/31 + 1/32 + 1/33 + … + 1/39 + 1/40 > 1/4.
Завдання 309
Укажіть п'ять чисел, кожне з яких має лише три різних дільники.
Не виконуючи обчислень, установіть, простим чи складеним числом є значення виразу 11 + 222 + 333. Складеним числом.
Відстань між двома пристанями по річці дорівнює 36,6 км. Від пристані, яка розташована вище за течією, відплив пліт. Через 0,8 год після початку руху плота назустріч йому від другої пристані вирушив катер, власна швидкість якого дорівнює 25 км/год. Через скільки годин після початку руху плота вони зустрінуться, якщо швидкість течії річки становить 2 км/год?
Розв'язання
1) 0,8 • 2 = 1,6 (км) — проплив пліт до початку руху катера;
2) 36,6 – 1,6 = 35 (км) — відстань між плотом і катером;
3) 25 – 2 = 23 (км/год) — швидкість катера проти течії;
4) 35 : (23 + 2) = 1,4 (год) — час зустрічі під час руху;
5) 0,8 + 1,4 = 2,2 (год) — час зустрічі від початку руху.
Відповідь: зустріч плота і катера відбулася через 2,2 год від початку руху.
Яку частину площі прямокутника ABCD становить площа зафарбованого прямокутника (рис. 6)?
Розв'язання
1) 11 • 8 = 88 – площа прямокутника;
2) 5 • 3 = 15 – площа зафарбованого прямокутника.
Відповідь: площа зафарбованого прямокутника становить 15/88 площі всього прямокутника.
Знайдіть добуток дробів 3/5 і 3/4, попередньо перетворивши їх у десяткові. Результат запишіть у вигляді звичайного дробу.
3/5 • 3/4 = 0,6 • 0,75 = 0,45 = 45/100 = 9/20
|
1) 12 • 3a = 36а |
2) 0,6a • 7b = 4,2ab |
3) 0,8m • 0,5n • 4p = 1,6mnp |
|
1) 2(x + 7) = 2х + 14 2) 7(5 – a) = 35 – 7а 3) (c – 0,4) • 1,2 = 1,2с – 0,48 |
1) 2,7c – c = 1,7с 2) 3x + 17x – 5x = 15х 3) 5,6a + 0,4a – 2 = 6а – 2 |
Задача від Мудрої Сови
Завдання 317
Сергій і Сашко грають у таку гру: по черзі беруть камінці з купи, у якій лежить 100 камінців. За один хід кожному дозволяється взяти або 1 камінець, або 3. Хто з них візьме останній камінець, якщо гру починає Сергій? Останній камінець візьме Сашко, адже після кожного ходу Сергія залишається непарна кількість камінців, а після ходу Сашка — парна, тому саме після ходу Сашка не залишиться камінців.