Завдання 572 Пропорція
1) 5 відноситься до 3, як 20 відноситься до 12. Крайні члени 5 і 12, а середні 3 і 20.
4) 16 відноситься до 12, як 68 відноситься до 51. Крайні члени 16 і 51, а середні 12 і 68.
2) 13 відноситься до 4, як 39 відноситься до 12. Крайні члени 13 і 12, а середні 4 і 39.
5) х відноситься до 9, як 2 відноситься до 23. Крайні члени х і 23, а середні 9 і 2.
3) 18 відноситься до 63, як 16 відноситься до 56. Крайні члени 18 і 56, а середні 63 і 16.
6) 8 відноситься до у, як 64 відноситься до 15. Крайні члени 8 і 15, а середні у і 64.
Завдання 573
1 : 3 = 1/3 і 6 : 18 = 6/18 = 1/3, тому рівність 1 : 3 = 6 : 18 є пропорцією.
Крайні члени 1 і 18, а середні 3 і 6.
Завдання 574
12 : 4 = 3 і 20 : 5 = 4, тому з відношень 12 : 4 і 20 : 5 не можна скласти пропорцію.
Завдання 575
1) 10 : 5 = 2 і 34 : 17 = 2, тому можна скласти пропорцію 10 : 5 = 34 : 17
2) 1 : 7 = 1/7 і 9 : 63 = 1/7, тому можна скласти пропорцію; 1 : 7 = 9 : 63
3) 4 : 10 = 0,4 і 15 : 6 = 2,5, тому з відношень не можна скласти пропорцію
4) 28 : 21 = 4/3 і 36 : 30 = 6/5, тому з відношень не можна скласти пропорцію.
Завдання 576
1) 2 відноситься до 7, як 6 відноситься до 21; 2 : 7 = 6 : 21
2) відношення 7,2 до 0,8 дорівнює відношенню 0,09 до 0,01; 7,2 : 0,8 = 0,09 : 0,01
3) 2/3 відноситься до 11/9, як 4/21 відноситься до 20/63. 2/3 : 11/9 = 4/21 : 20/63
Завдання 577
1) 2,8 : 0,7 = 4; 152 : 38 = 4
Отже, можна з відношень скласти пропорцію 2,8 : 0,7 = 152 : 38
2) 6/11 : 3/22 = 6/11 • 22/3 = 4; 12/17 : 5/34 = 12/17 • 34/5 = 24/5 = 4,8
Отже, не можна з відношень скласти пропорцію.
Завдання 578
1) 15 : 1,8 = 15 : 1 8/10 = 15 : 1 4/5 = 15 : 9/5 = 15 • 5/9 = 25/3
15/16 : 3/20 = 15/16 • 20/3 = 25/4
Отже, з відношень не можна скласти пропорцію.
2) 5 1/4 : 3 1/16 = 21/4 : 49/16 = 21/4 • 16/49 = 12/7
1 11/19 : 35/38 = 30/19 : 35/38 = 30/19 • 38/35 = 12/7
Отже, з відношень можна скласти пропорцію: (5 1/4 : 3 1/16) / (1 11/19 : 35/38)
Завдання 579
1) 1,6 • 1,125 = 1,8 і 3,6 • 0,5 = 1,8
Отже, з відношень можна скласти пропорцію 1,6/3,6 = 0,5 : 1,125
2) 2 7/16 • 24/65 = 39/16 • 24/65 = 39/2 • 3/65 = 117/130
5/13 • 1 41/50 = 5/13 • 91/50 = 7/10
Отже, з відношень не можна скласти пропорцію.
Завдання 580
1) 3,8 • 4,6 = 17,48
2,7 • 5,7 = 15,39
Отже, з відношень не можна скласти пропорцію.
2) 3 • 5/12 = 5/4
1 7/8 • 2/3 = 15/8 • 2/3 = 5/4
Отже, з відношень можна скласти пропорцію 3 : 1 7/8 = 2/3 : 5/12
Завдання 581 Рівняння
|
1) 6 : x = 36 : 30
36х = 30 • 6
36х = 180
х = 180 : 36
х = 5
|
3) x/16 = 3/8
8х = 3 • 16
8х = 48
х = 48 : 8
х = 6
|
5) x/21 = 9/14
14х = 9 • 21
14х = 189
х = 189 : 14
х = 13,5
|
|
2) 12 : 7 = 3 : x
12х = 7 • 3
12х = 21
х = 21 : 12
х = 1,75
|
4) 4,9 : 0,35 = x : 35
0,35х = 35 • 4,9
0,35х = 171,5
х = 171,5 : 0,35
х = 490
|
6) 108/90 = 42/b
108b = 90 • 42
108b = 3780
b = 3780 : 108
b = 35
|
Завдання 582
|
1) x : 5 = 21 : 15
15x = 21 • 5
15x = 105
х = 105 : 15
х = 7
|
2) 12/х = 8/18
8x = 18 • 12
8х = 216
х = 216 : 8
х = 27
|
3) 4,5 : 0,6 = x : 2,4
0,6х = 4,5 • 2,4
0,6х = 10,8
х = 10,8 : 0,6
х = 18
|
4) 3,4/5,1 = 1,4/х
3,4х = 1,4 • 5,1
3,4х = 7,14
х = 7,14 : 3,4
х = 2,1
|
Завдання 583
1) Для виготовлення 8 однакових приладів потрібно 18 кг металу. Скільки таких приладів можна виготовити з 27 кг металу?
Короткий запис
8 пр. — 18 кг
х пр. — 27 кг
Розв'язання
8/х = 18/27; 18х = 27 • 8; 18х = 216; х = 216 : 18; х = 12 (пр.)
Відповідь: 12 приладів можна виготовити з 27 кг металу.
2) За 5 год турист пройшов 24 км. Яку відстань він пройде за 8 год з тією самою швидкістю?
Короткий запис
5 год — 24 км
8 год — х км
Розв'язання
5/8 = 24/х; 5х = 24 • 8; 5х = 192, х = 192 : 5; х = 38,4 (км)
Відповідь: турист пройде 38,4 км.
3) Із 140 кг свіжих вишень отримують 21 кг сушених. Скільки кілограмів сушених вишень отримають із 160 кг свіжих? Скільки кілограмів свіжих вишень потрібно, щоб отримати 31,5 кг сушених?
Короткий запис
21 кг — 140 кг
х кг — 160 кг
Розв'язання
21/х = 140/160; 140х = 160 • 21; 140х = 3360, х = 3360 : 140; х = 24 (кг)
Відповідь: потрібно 24 кг свіжих вишень, щоб отримати 31,5 кг сушених.
4) Об’єм бруска, виготовленого з деревини вишні, дорівнює 800 см3, а його маса — 528 г. Яка маса бруска, виготовленого із цього самого матеріалу, якщо його об’єм дорівнює 1500 см3?
Короткий запис
800 см3 — 528 г
1500 см3 — х г
Розв'язання
800/1500 = 528/х; 800х = 528 • 1500; 800х = 792000, х = 792000 : 800; х = 990 (г)
Відповідь: маса бруска 990 г.
5) Із 45 т залізної руди виплавляють 25 т заліза. Скільки тонн руди потрібно, щоб виплавити 10 т заліза?
Короткий запис
45 т — 25 т
х т — 10 т
Розв'язання
45/х = 25/10; 25х = 45 • 10; 25х = 450, х = 450 : 25; х = 18 (т)
Відповідь: потрібно 18 тонн руди.
6) Площа поля дорівнює 480 га. Пшеницею засіяли 24 % площі поля. Скільки гектарів землі засіяли пшеницею?
Короткий запис
480 га — 100%
х га — 24%
Розв'язання
480/х = 100/24; 100х = 480 • 24; 100х = 11520, х = 11520 : 100; х = 115,2 (га)
Відповідь: пшеницею засіяли 115,2 га.
7) За першу годину автомобіль проїхав 70 км, що становило 14 % всього шляху. Скільки кілометрів становить увесь шлях?
Короткий запис
70 км — 14%
х км — 100%
Розв'язання
70/х = 14/100; 14х = 70 • 100; 14х = 7000, х = 7000 : 14; х = 500 (км)
Відповідь: увесь шлях 500 км.
8) Сплав містить 12 % цинку. Скільки кілограмів цинку міститься у 80 кг сплаву?
Короткий запис
80 кг — 100%
х кг — 12%
Розв'язання
80/х = 100/12; 100х = 80 • 12; 100х = 960, х = 960 : 100; х = 9,6 (кг)
Відповідь: у 80 кг сплаву міститься 9,6 кг цинку.
Завдання 584
1) На пошиття 14 однакових костюмів витратили 49 м тканини. Скільки таких костюмів можна пошити з 84 м цієї тканини?
Короткий запис
14 к. — 49 м
х к. — 84 м
Розв'язання
14/х = 49/84; 49х = 14 • 84; 49х = 1176, х = 1176 : 49; х = 24 (к.)
Відповідь: можна пошити 24 костюми.
2) За 7 год у басейн налилося 224 л води. За який час у нього наллється 288 л води?
Короткий запис
7 год — 224 л
х год — 288 л
Розв'язання
7/х = 224/288; 224х = 7 • 288; 224х = 2016, х = 2016 : 224; х = 9 (год)
Відповідь: за 9 годин наллється вода у басейн.
3) Із 150 кг картоплі отримують 27 кг крохмалю. Скільки кілограмів крохмалю отримають із 420 кг картоплі? Скільки кілограмів картоплі потрібно, щоб отримати 30,6 кг крохмалю?
Короткий запис
27 кг — 150 кг
х кг — 420 кг
Розв'язання
27/х = 150/420; 150х = 27 • 420; 150х = 11340, х = 75,6 (кг) - крохмалю отримають.
Короткий запис
27 кг — 150 кг
30,6 кг — х кг
Розв'язання
27/30,6 = 150/х; 27х = 150 • 30,6; 27х = 4590, х = 170 (кг) - картоплі потрібно.
Відповідь: отримають 75,6 кг крохмалю; потрібно 170 кг картоплі.
4) У саду ростуть 320 дерев, з яких 40 % становлять яблуні. Скільки яблунь росте в саду?
Короткий запис
320 д. — 100%
х д. — 40%
Розв'язання
320/х = 100/40; 100х = 320 • 40; 100х = 12800, х = 12800 : 100; х = 128 (д.)
Відповідь: у саду росте 128 яблунь.
5) Маса солі становить 24 % маси розчину. Скільки кілограмів розчину треба взяти, щоб
він містив 96 кг солі?
Короткий запис
96 кг — 24%
х кг — 100%
Розв'язання
96/х = 24/100; 24х = 96 • 100; 24х = 9600, х = 9600 : 24; х = 400 (кг)
Відповідь: треба взяти 400 кг розчину.
Завдання 585
Відстань між селищами Прирічне та Приозерне на місцевості становить 288 км, а на карті — 9,6 см. Яка відстань між селищами Кленове та Калинове на цій самій карті, якщо відстань на місцевості між ними дорівнює 324 км?
Короткий запис
9,6 см — 288 км
х см — 324 км
Розв'язання
9,6/х = 288/324; 288х = 9,6 • 324; 288х = 3110,4, х = 3110,4 : 288; х = 10,8 (см)
Відповідь: між селищами Кленове та Калинове на цій самій карті 10,8 см.
Завдання 586
Відстань між селами Калинівка та Вільшанка на місцевості дорівнює 98 км, а на карті — 4,9 см. Відстань між селами Кропивня й Очеретяне на цій самій карті дорівнює 7,6 см. Яка відстань між селами Кропивня й Очеретяне на місцевості?
Короткий запис
4,9 см — 98 км
7,6 см — х км
Розв'язання
4,9/7,6 = 98/х; 4,9х = 98 • 7,6; 4,9х = 744,8, х = 744,8 : 4,9; х = 152 (км)
Відповідь:між селами Кропивня й Очеретяне на місцевості 152 км.
Завдання 587
1) 6 : 5 = 66 : 55; 55 : 5 = 66 : 6.
2) 25/45 = 40/72. 72/45 = 40/25
Отримані рівності є пропорціями. Крайні члени пропорції можна міняти місцями.
Завдання 588
1) 13/78 = 14/84; 13/14 = 78/84
2) 24 : 16 = 27 : 18. 24 : 27 = 16 : 18
Отримані рівності є пропорціями. Середні члени пропорції можна міняти місцями.
Завдання 589
|
1) 12 : 2 = 42 : 7
|
2) 1,6 : 0,2 = 0,72 : 0,09
|
Завдання 590 Чотири пропорції
|
4 : 18 = 2 : 9
|
9 : 18 = 2 : 4
|
4 : 2 = 18 : 9
|
9 : 2 = 84 : 4
|
Завдання 591 Три пропорції
|
35 : 14 = 5 : 2
|
2 : 5 = 14 : 35
|
14 : 2 = 35 : 5
|
Завдання 592, 593 Знайдіть відношення a до b, якщо:
|
1) b/a = 3/7, 3а = 7b, a/b = 7/3
2) 16/b = 9/a, 16a = 9b, a/b = 9/16
|
1) a/39 = b/8, 8a = 39b, a/b = 39/8
2) 7/a = 8/b, 8a = 7b, a/b = 7/8
|
Завдання 594
|
1) 3/4 : х = 1 1/5 : 1 1/3
1 1/5 • x = 3/4 • 1 1/3
6/5 • x = 3/4 • 4/3
6/5 • x = 1
x = 5/6
|
3) (2х − 1)/3 = 1/2
2(2x − 1) = 3
4x − 2 = 3
4x = 3 + 2
4x = 5
x = 5 : 4
x = 1,25
|
|
2) 2/(х − 0,4) = 1/0,4
х − 0,4 = 2 • 0,4
х − 0,4 = 0,8
х = 0,8 + 0,4
х = 1,2
|
4) 3/4 = (х − 1)/3,2
4(х − 1) = 3,2 • 3
4х − 4 = 9,6
4х = 9,6 + 4
4х = 13,6
х = 13,6 : 4
х = 3,4
|
Завдання 595
|
1) 24/(х + 2) = 1/5
х + 2 = 120
х = 120 − 2
х = 118
|
2) (y − 5)/6 = 4/3
3(у − 5) = 24
3у − 15 = 24
3у = 24 + 15
3у = 39
у = 39 : 3
у = 13
|
3) 2/5 = 6(х+3)
2 • (х + 3) = 5 • 6
2х + 6 = 30
2х = 30 − 6
2х = 24
х = 24 : 2
х = 12
|
Завдання 596
Цукровий буряк, який є найсолодшою коренеплідною рослиною в Україні, накопичує до 25 % цукру, тоді як цукрова тростина — лише 18 %. Скільки тонн цукрової тростини треба переробити, щоб отримати стільки ж цукру, як із 3600 т цукрових буряків?
Короткий запис
3600 т — 100%
х т — 25%
Розв'язання
3600/х = 100/25; 100х = 3600 • 25; 100х = 90000, х = 90000 : 100; х = 900 (т)
Короткий запис
900 т — 18%
х т — 100%
Розв'язання
900/х = 18/100; 18х = 900 • 100; 18х = 90000, х = 90000 : 18; х = 5000 (т)
Відповідь: треба переробити 5000 тонн тростини.
Завдання 597
Щоб зварити 4 порції манної каші, узяли 220 г манних крупів, 960 г молока та 50 г цукру. Скільки грамів кожного із цих продуктів потрібно взяти, щоб зварити 18 порцій каші?
Розв'язання
1) 18 : 4 = 4,5 (р.) – у стільки разів більше порцій;
2) 220 • 4,5 = 990 (г) – потрібно взяти манних крупів;
3) 960 • 4,5 = 4320 (г) – потрібно взяти молока;
4) 50 • 4,5 = 225 (г) – потрібно взяти цукру.
Відповідь:треба взяти 990 г манної крупи, .4320 г молока і 225 г цукру.
Завдання 598
Щоб отримати 120 кг мельхіору, треба сплавити 18 кг нікелю, 24 кг цинку, а решту — міді. Скільки кілограмів кожного металу треба взяти, щоб отримати 164 кг мельхіору?
Розв'язання
Короткий запис
120 кг — 18 кг
164 кг — х кг
Розв'язання
120/164 = 18/х; 120х = 18 • 164; 120х = 2952, х = 2952 : 120; х = 24,6 (кг)
Короткий запис
120 кг — 24 кг
164 кг — х кг
Розв'язання
120/164 = 24/х; 120х = 24 • 164; 120х = 3936, х = 3936 : 120; х = 32,8 (кг)
120 – (18 + 24) = 120 – 42 = 78 (кг) – маса міді.
Короткий запис
120 кг — 78 кг
164 кг — х кг
Розв'язання
120/164 = 78/х; 120х = 78 • 164; 120х = 12792, х = 12792 : 120; х = 106,6 (кг)
Відповідь: треба взяти 24,6 кг нікелю, 32,8 кг цинку і 106,6 кг міді.
Завдання 599
Чи порушиться пропорція, якщо:
1) обидва члени одного з відношень помножити на 8; Ні
2) обидва члени одного з відношень поділити на 2, а обидва члени другого відношення помножити на 5; Ні
3) обидва середніх члени поділити на 3,6? Так
Завдання 600
Чи порушиться пропорція, якщо:
1) обидва члени одного з відношень поділити на 4; Ні
2) обидва крайніх члени помножити на 10; Так
3) один з її крайніх членів і один із середніх членів помножити на 6? Ні
Завдання 601
Доведіть, що коли a/b = c/d, то:
|
1) (a − b)/b = (c − d)/d
d (a – b) = b(c – d)
ad – bd = bc – bd
ad = bc – bd + bd
ad = bc
a/b = c/d, що й треба було довести.
|
2) a/(a+b) = c/(c+d)
a (c + d) = c (a + b)
ac + ad = ac + bc
ad = bc + ac – ac
ad = bc
a/b = c/d, що й треба було довести.
|
Завдання 602
Дев’ять кокосів коштують стільки дублонів, скільки кокосів можна купити за один дублон. Скільки дублонів коштують 15 кокосів?
Розв'язання
Нехай за 1 дублон можна купити х кокосів, тоді один кокос коштує 1/х дублонів. Дев'ять кокосів коштують х дублонів, тому один кокос коштує х/9 дублонів. Маємо:
1/х = х/9, х2 = 9, х = 3 (д.) - коштують 9 кокосів.
Короткий запис
9 к. — 3 д.
15 к. — х д.
9/15 = 3/х; 9х = 15 • 3; 9х = 45, х = 45 : 9; х = 5 (д.)
Відповідь: 5 дублонів.
Вправи для повторення
Завдання 603 Обернене число
1) до 1/6 обернене число 6, тому 1/6 : 6 = 1/6 • 1/6 = 1/36, тобто менше в 1/36 разів.
2) до 3/5 обернене число 5/3, тому 3/5 : 5/3 = 3/5 • 3/5 = 9/25, тобто менше в 9/25 разів.
3) до 0,6 = 6/10 обернене число 10/6, тому 6/10 : 10/6 = 6/10 • 6/10 = 36/100 = 9/25, тобто менше в 9/25 разів.
Завдання 604
Із сіл Каштанівка та Калинівка одночасно назустріч один одному вийшли два хлопчики і зустрілися через 10 хв після початку руху. Потім хлопчики продовжили рух у тих самих напрямках, і один із них прийшов у Калинівку через 8 хв після зустрічі. Через скільки хвилин після свого виходу із Калинівки другий хлопчик прийде в Каштанівку?
Розв'язання
Весь шлях становить 1, тоді за 1 хв перший хлопець подолав 1/10 частину дороги, а другий 1/18 частину дороги.
1) 1/10 – 1/18 = 9/90 – 5/90 = 4/90 = 2/45 (ч.) – дороги залишилося пройти другому хлопчику;
2) 1 : 2/45 = 1 • 45/2 = 22,5 (хв) – часу потрібно другому хлопчику.
Відповідь: 22,5 хвилин.
Завдання 605 Порядок дій
1) (3 1/3 + 2,5) • (4,6 − 2 1/3) = 13 2/9
1) 3 1/3 + 2,5 = 3 1/3 + 2 1/2 = 3 2/6 + 2 3/6 = 5 5/6
2) 4,6 − 2 1/3 = 4 3/5 − 2 1/3 = 4 9/15 − 2 5/15 = 2 4/15 = 34/15
3) 5 5/6 • 34/15 = 35/6 • 34/15 = 119/9 = 13 2/9
2) (4,5 • 1 2/3 - 6,75) • (1 1/3)2 = 1 7/9
1) 4,5 • 1 2/3 = 4 1/2 • 1 2/3 = 9/2 • 5/3 = 15/2 = 7 1/2
2) 7 1/2 − 6,75 = 7 1/2 − 6 3/4 = 7 2/4 − 6 3/4 = 3/4
3) (1 1/3)3 = 4/3 • 4/3 • 4/3 = 64/27
4) 3/4 • 64/27 = 16/9 = 1 7/9
Завдання 606
У саду ростуть 56 дерев, із них 14 дерев — яблуні. Яку частину дерев саду становлять яблуні? 14/56 = 1/4
Завдання 607
У саду ростуть 56 дерев, із них 14 дерев — яблуні, а решта — груші. Яку частину від кількості груш становить кількість яблунь?
Розв'язання
1) 56 – 14 = 42 (д.) – груші;
2) 14/42 = 1/3 (ч.) – становлять яблуні.
Відповідь: 1/3 частина.
Завдання 608
На столі лежать чотири чорні палички різної довжини, причому сума їхніх довжин дорівнює 40 см, і п’ять білих паличок, сума довжин яких також дорівнює 40 см. Чи можна розрізати ті й інші палички так, щоб потім розташувати їх парами, у кожній з яких довжини паличок будуть однаковими, а кольори — різними? Можна. Треба розташовувати ряди білих і чорних паличок один під іншим і розрізати ряд з чорних паличок навпроти стиків білих паличок і навпаки.