Завдання 725
Обчисліть довжину кола, діаметр якого 3,2 см.
L = πd = 3,14 • 3,2 = 10,048 (cм)
Завдання 726
Обчисліть довжину кола, радіус якого 6 см.
l = 2πr = 2 • 3,14 • 6 = 37,68 (cм)
Завдання 727
Обчисліть площу круга, радіус якого 8 см.
S = πr² = 3,14 • 8² = 3,14 • 64 = 200,96 (cм²)
Завдання 728
Обчисліть площу круга, діаметр якого дорівнює 18 см.
Розв'язання
1) 18 : 2 = 9 (cм) - радіус круга;
2) 3,14 • 9² = 3,14 • 81 = 254,34 (cм²)
Відповідь: 254,34 см².
Завдання 729
Обчисліть радіус кола, довжина якого дорівнює 18,84 см.
Розв'язання
1) 18,84 : 3,14 = 6 (cм) – діаметр круга;
2) 6 : 2 = 3 (cм) – радіус круга.
Відповідь: 3 см.
Завдання 730
Знайдіть радіус круга, площа якого дорівнює 314 см².
Розв'язання
1) r² = S : π = 3,14 : 3,14 = 1 (cм²) – радіус в квадраті;
2) r2 = 1 • 1, тому 1 (cм) - радіус круга.
Відповідь: 1 см.
Завдання 731
Колесо проїхало 400 м, зробивши при цьому 150 обертів. Знайдіть радіус кола в сантиметрах. Відповідь округліть до одиниць.
Розв'язання
1) 400 : 150 = 8/3 (м) = 800/3 (м) ≈ 266,7 (см) – довжина колеса;
2) 266,7 : (2 • 3,14) = 266,7 : 6,28 = 42,46 (см) ≈ 42 (см) – радіус колеса.
Відповідь: 42 см.
Завдання 732
Довжина кола дорівнює 100,48 см. Знайдіть площу круга, обмеженого цим колом.
Розв'язання
1) 100,48 : (2 • 3,14) = 100,48 : 6,28 = 16 (cм) – радіус кола;
2) 3,14 • 16² = 3,14 • 256 = 803,84 (cм²) – площа круга.
Відповідь: 803,84 см².
Завдання 733
Виконайте необхідні вимірювання та обчисліть площу заштрихованого кільця (рис. 45).
Розв'язання
1) 3,14 • 1,6 = 8,0384 (см²) – площа великого круга;
2) 3,14 • 0,6 = 1,1304 (см²) – площа малого круга;
3) 8,0384 – 1,1304 = 6,908 (см²) – площа фігури.
Відповідь: 6,908 см².
Завдання 734
1) Радіус першого кола дорівнює 6 см, а радіус другого — 2 см. У скільки разів довжина першого кола більша за довжину другого? У 3 рази (6 : 2 = 3)
2) Радіус першого кола в 4 рази більший за радіус другого. У скільки разів довжина першого кола більша за довжину другого? У 4 рази (4 : 1 = 4)
Завдання 735
Знайдіть довжину дуги, що становить 0,6 кола, радіус якого дорівнює 3,5 см.
Розв'язання
1) 2 • 3,14 • 3,5 = 21,98 (см) – довжина кола;
2) 21,98 • 0,6 = 13,188 (см) – довжина дуги.
Відповідь: 13,188 см.
Завдання 736
Знайдіть довжину дуги, що становить 5/12 кола, радіус якого дорівнює 36 дм.
Розв'язання
1) 2 • 3,14 • 36 = 226,08 (дм) – довжина кола;
2) 226,08 • 5/12 = 226 8/100 • 5/12 = 22608/100 • 5/12 = 942/10 = 94 2/10 = 94,2 (см) - довжина дуги.
Відповідь: 94,2 см.
Завдання 737
1) Пурпурова лінія складається з довжини кола діаметром 6 см і двох відрізків довжиною 9 см.
Розв'язання
1) 3,14 • 6 = 18,84 (см) – довжина кола;
2) 9 • 2 = 18 (см) – довжина двох відрізків;
3) 18,84 + 18 = 36,84 (см) – довжина пурпурової лінії.
Відповідь: 36,84 см.
2) Пурпурова лінія складається з довжин двох кіл діаметром 4 см і кола діаметром 8 см.
Розв'язання
1) 3,14 • 4 • 2 = 25,12 (см) – довжина двох малих кіл;
2) 3,14 • 8 = 25,12 (см) – довжина великого кола;
3) 25,12 + 25,12 = 50,24 (см) – довжина пурпурової лінії.
Відповідь: 50,24 см.
Завдання 738
Знайдіть площу круга, якщо 2/3 довжини кола цього круга дорівнюють 24,8 см (число Пі округліть до десятих).
Розв'язання
1) 24,8 : 2/3 = 248/10 • 3/2 = 124/10 • 3/1 = 372/10 = 37,2 (см) – довжина кола;
2) 37,2 : (2 • 3,1) = 37,2 : 6,2 = 6 (см) – радіус круга;
3) 3,1 • 6² = 3,1 • 36 = 111,6 (cм²) – площа круга.
Відповідь: 111,6 см².
Завдання 739
На скільки площа квадрата більша за площу круга (рис. 47), якщо сторона квадрата дорівнює 8 см?
Розв'язання
1) 8 • 8 = 64 (см²) – площа квадрата;
2) 8 : 2 = 4 (см) – радіус круга;
3) 3,14 • 4² = 3,14 • 16 = 50,24 (cм²) – площа круга.
4) 64 – 50,24 = 17,76 (cм²) – на стільки площа квадрата більша.
Відповідь:на 17,76 см².
Завдання 740
Накресліть прямокутник зі сторонами 3 см і 4 см. Проведіть діагоналі прямокутника. Узявши точку перетину діагоналей за центр кола, а половину діагоналі — за радіус, проведіть це коло. Виміряйте лінійкою діаметр утвореного кола (у сантиметрах, з точністю до одиниць). На скільки площа круга, обмеженого цим колом, більша за площу прямокутника? Діаметр кола 5 см.
Розв'язання
1) 3 • 4 = 12 (см²) – площа прямокутника;
2) 5 : 2 = 2,5 (см) – радіус круга;
3) 3,14 • 2,5² = 3,14 • 6,25 = 19,625 (cм²) – площа круга.
4) 19,625 – 12 = 7,625 (cм²) – на стільки площа прямокутника більша.
Відповідь:на 7,625 см².
Завдання 741
Обчисліть площу заштрихованої фігури, зображеної на рисунку.
а) Площа фігури є половиною площі квадрата зі стороною 2 см.
Розв'язання
1) 2 • 2 = 4 (см²) – площа квадрата;
2) 4 : 2 = 2 (см²) – площа фігури.
Відповідь: 2 см².
б) Площа фігури є різницею площі квадрата зі стороною 2 см і площі круга радіусом 1 см.
Розв'язання
1) 2 • 2 = 4 (см²) – площа квадрата;
2) 3,14 • 1² = 3,14 (см²) – площа круга;
3) 4 – 3,14 = 0,86 (см²) – площа фігури.
Відповідь: 0,86 см².
в) Площа фігури є різницею площі половини круга діаметром 16 см і площі круга діаметром 8 см.
Розв'язання
1) 16 : 2 = 8 (см) – радіус більшого круга;
2) 3,14 • 8² = 3,14 • 64 = 200,96 (см²) – площа більшого круга;
3) 200,96 : 2 = 100,48 (см²) – площа половини більшого круга;
4) 8 : 2 = 4 (см) – радіус меншого круга;
5) 3,14 • 4² = 3,14 • 16 = 50,24 (см²) – площа меншого круга;
6) 200,96 – 50,24 = 150,72 (см²) – площа фігури.
Відповідь: 150,72 см².
Завдання 742
Якою є площа заштрихованої фігури на рисунку, якщо довжина сторони клітинки дорівнює 1 см?
а) Площа заштрихованої фігури є різницею площ квадрата зі стороною 8 см і чотирьох кругів радіусом 1 см.
Розв'язання
1) 8 • 8 = 64 (см²) – площа квадрата;
2) 3,14 • 1² • 4 = 12,56 (см²) – площа чотирьох кругів;
3) 64 – 12,56 = 51,44 (см²) – площа заштрихованої фігури.
Відповідь: 51,44 см².
б) Площа заштрихованої фігури є різницею площі круга радіусом 3 см і суми площ п'яти квадратів зі стороною 1 см.
Розв'язання
1) 1 • 1 • 5 = 5 (см²) – площа п'яти квадратів;
2) 3,14 • 3² = 28,26 (см²) – площа круга;
3) 28,26 – 5 = 23,26 (см²) – площа заштрихованої фігури.
Відповідь: 23,26 см².
Завдання 743
Піца, діаметр якої дорівнює 30 см, коштує стільки ж, скільки дві піци, діаметр яких 20 см. У якому випадку Дмитрик з’їсть більше піци: коли придбає одну велику чи дві менші, якщо всі піци мають однакову товщину?
Розв'язання
1) 30 : 2 = 15 (см) – радіус великої піци;
2) 3,14 • 15² = 3,14 • 225 = 706,5 (см²) – площа великої піци;
3) 20 : 2 = 10 (см) – радіус малої піци;
4) 3,14 • 10² = 3,14 • 100 = 314 (см²) – площа малої піци;
5) 314 • 2 = 628 (см²) – площа двох малих піц.
706,5 > 628
Відповідь: одну велику піцу.
Завдання 744
Діаметр колеса автомобіля дорівнює 65 см. Автомобіль їде з такою швидкістю, що колеса роблять 6 обертів щосекунди. Знайдіть швидкість автомобіля в кілометрах за годину. Відповідь округліть до десятих.
Розв'язання
65 см = 0,65 м
1) 3,14 • 0,65 = 2,041 (м) – довжина обода колеса;
2) 2,041 • 6 = 12,246 (об.) – обертів за 1 сек;
3) 12,246 • 3600 : 1000 = 44,0856 (км/год) ≈ 44,1 (км/год) – швидкість.
Відповідь: 44,1 км/год.
Завдання 745
Діаметр колеса вагона метрополітену дорівнює 78 см. За 2,5 хв колесо робить 1000 обертів. Знайдіть швидкість поїзда метро в кілометрах за годину. Відповідь округліть до десятих.
Розв'язання
78 см = 0,78 м
1) 3,14 • 0,78 = 2,4492 (м) – довжина колеса;
2) 1000 • 2,4402 = 2449,2 (м) – проїжджає за 2,5 хв;
3) 60 : 2,5 = 24 (р.) - у стільки разів більше;
4) 2449,2 • 24 = 58780,8 (м) ≈ 58,8 (км) – проїжджає за 1 год.
Відповідь: 58,8 км/год.
Завдання 746
Знайдіть довжину дуги, яку описує годинна стрілка завдовжки 6 см за 1 год.
Розв'язання
За 1 год стрілка пройде 1/12 кола
1) 3,14 • 2 • 6 = 34,68 (см) – довжина кола;
2) 37,68 • 1/12 = 3,14 (см) – довжина дуги.
Відповідь: 3,14 см.
Завдання 747
Знайдіть довжину дуги, яку описує хвилинна стрілка завдовжки 24 см за 40 хв.
Розв'язання
40 хв = 40/60 год = 2/3 год
1) 3,14 • 2 • 24 = 150,72 (см) – довжина кола;
2) 150,72 • 2/3 = 100,48 (см) – довжина дуги.
Відповідь: 100,48 см.
Завдання 748
Обчисліть площу заштрихованої фігури, зображеної на рисунку 50. Площа однієї заштрихованої частини фігури є різницею площі половини круга радіусом 5 см і трикутника з основою 10 см і висотою 5 см. Площа заштрихованої фігури складається з чотирьох площ заштрихованих частин.
Розв'язання
1) 1/2 • 10 • 5 = 25 (см²) – площа трикутника;
2) (3,14 • 5²) : 2 = 78,5 : 2 = 39,25 (см²) – площа половини круга;
3) 39,25 – 25 = 14,25 (см²) – площа одної заштрихованої частини фігури.
4) 14,25 • 4 = 57 (см²) – площа заштрихованої фігури.
Відповідь: 57 см².
Завдання 749
Доведіть, що на рисунку сума довжин червоних дуг дорівнює сумі довжин зелених дуг.
Нехай радіуси півкіл червоних дуг дорівнюють r1, r2, r3, а зелених дуг — r4, r5, r6, r7.
Сума довжин червоних дуг: 2π(r1 + r2 + r3)/2, а зелених — 2π(r4 + r5 + r6 + r7)/2
За малюнком r1+r2+r3 = r4+r5+r6+r7, тому 2π(r1 + r2 + r3)/2 = 2π(r4 + r5 + r6 + r7)/2
Завдання 750
Задача Гіппократа. Доведіть, що на рисунку сума площ зафарбованих фігур («серпиків») дорівнює площі прямокутника.
Розв'язання
1) 3 • 4 = 12 (см²) – площа прямокутника;
2) 5 : 2 = 2,5 (см) – радіус білого круга;
3) 3,14 • 2,5² – 12 = 7,625 (см²) – площа білих серпиків;
4) 4 : 2 = 2 (см) – радіус більшого круга, що містить серпики;
5) 3 : 2 = 1,5 (см) – радіус меншого круга, що містить серпики;
6) (3,14 • 2²) + (3,14 • 1,5²) = 12,56 + 7,065 = 19,625 (см²) – площа білих і рожевих серпиків;
7) 19,625 – 7,625 = 12 (см²) – площа рожевих серпиків.
Відповідь: площа рожевих серпиків і прямокутника однакова, що й треба було довести.
Завдання 751
Два квадрати зі стороною 1 см мають спільний центр. Доведіть, що площа їхньої спільної частини більша за π/4
Розв'язання
Спільна частина містить круг, радіус якого 1/2 см, тоді площа круга S = π(1/2)² = π/4 cм². Отже, площа спільної частини більша за π/4.
Завдання 752
На рисунку 54 проілюстровано старовинний спосіб обчислення площі круга. Поясніть, чому добуток rl наближено дорівнює площі круга.
Прямокутник складається майже з таких самих трикутників, що й круг. У прямокутника жовтих і синіх трикутників по 12, як є у круга. Площа фігури дорівнює сумі площ його частин, тому rl ≈ πr²
Вправи для повторення
Завдання 753
Маса сплаву міді й срібла дорівнює 7,2 кг. Маса срібла становить 80 % маси міді. Скільки кілограмів міді міститься в сплаві?
Розв'язання
Нехай маса міді х кг, тоді маса срібла 0,8х кг. Складаємо рівняння:
х + 0,8 = 7,2
1,8х = 7,2
х = 7,2 : 1,8
х = 4
Відповідь: 4 кг
Завдання 754 Рівняння
|
1) 1/3х + 1/5х + 1/6х = 21/40
10/30х + 6/30х + 5/30х = 21/40
21/30 х = 21/40
х = 21/40 : 21/30
х = 21/40 * 30/21
х = 30/40
х = 3/4
|
2) 1/4х + 1/6х + 1/8х = 39 /56
6/24х + 4/24х + 3/24х = 39/56
13/24х = 39/56
х = 39/56 : 13/24
х = 39/56 * 24/13
х = 9/7
х = 1 2/7
|
Завдання 755
Ціну товару двічі підвищували, кожного разу на 50 %. Якою стала ціна товару, якщо спочатку вона становила 16 грн?
Розв'язання
16 грн — 100%
х грн — 150%
16/х = 100/150, х = 16 • 150 : 100 = 24 (грн) – ціна після першого підвищення;
24 грн — 100%
х грн — 150%
24/х = 100/150, х = 24 • 150 : 100 = 36 (грн) – ціна після другого підвищення.
Відповідь: 36 грн.
Задача від Мудрої Сови
Завдання 756
У кожну клітинку таблиці розміром 3 × 3 клітинки записують деяке число. Таблицю, у якій усі записані числа є різними, а суми чисел у всіх рядках, стовпчиках і по діагоналях є однаковими, називають магічним квадратом. Чи існує магічний квадрат, заповнений числами на рисунку, оберненими до натуральних? Не існує. Загальна сума усіх чисел магічного квадрата дорівнює 45, тому суми чисел у всіх рядках, стовпчиках і по діагоналях дорівнюють 45 : 3 = 15. Загальна сума усіх чисел, обернених до натуральних, від 1 до 9, не ділиться на 3.