Чи є правильним твердження:
1) якщо a > 0 і b > 0, то ab > 0; Так, бо добуток двох додатних чисел — додатне число
2) якщо a < 0 і b < 0, то ab < 0; Ні, бо добуток двох від'ємних чисел — додатне число
3) якщо ab > 0, то a > 0 і b > 0; Ні, бо добуток є додатниій, якщо два множники є як додатні, так і від'ємні
4) якщо ab < 0, то a > 0 і b < 0? Так, бо добуток додатного і від'ємного чисел — від'ємне число
Вправа 2
(–8 + 12) • (–5 ) = 4 • (–5 ) = –20
Вправа 3
–8 • (–5) + 12 • (–5) = –5 • (–8 + 12) = –5 • 4 = –20
Вправа 4
Василь зловив 49 окунів і карасів, причому кількість окунів відносилася до кількості карасів як 2 : 5. Скільки карасів зловив Василь?
Розв'язання
2х + 5х = 49
7х = 49
х = 49 : 5
х = 7
2 • 7 = 14 (р.) – окунів зловив;
5 • 7 = 35 (р.) – карасів зловив.
Відповідь: 14 окунів і 35 карасів.
Завдання 1054 Розподільна властивість множення
|
1) Так
2) Так
3) Ні, (m – n) • (–2) = –2m + 2n
|
4) Ні, –5(р – k + 9) = –5р + 5k – 45
5) Ні, –(0,2 + с) = –0,2 – с
6) Ні, –(–а – b) = а + b
|
Завдання 1055
1) 2(а + Зb – 1с) = 2а + 6b – 14с
2) 0,4(1,3х – 0,5у – 1,3) = 0,52х – 0,2 – 0,52
3) (а – 4d + Зр) • (–0,8) = –0,8а + 3,2d – 2,4р
4) –0,4а(–4b + 3p – 1,1c) = 1,6ab – 1,2ap + 0,44ac
5) –m(–k + 29n – 38,9) = mk – 29mn + 38,9m
6) (0,1 + 0,3х – 2у) • (–10а) = –а – Зха + 20уа
Завдання 1056
1) –3(4 + 5m – 6n) = –12 – 15m + 18n
2) –0,2(–14t + z – 25у) = 2,8t – 0,2z + 5у
3) (–3,1x + 7,8у – 9,6) • 0,1 = –0,31х + 0,78у – 0,96
4) (0,7х – 0,6у + 0,5z) • (–1,5р) = –1,05хр + 0,9yр – 0,75zр
Завдання 1057 Розкрийте дужки та знайдіть значення виразу:
1) 12,14 – (3,5 + 6,14) = 12,14 – 9,64 = 2,5
2) 3,67 – (8,04 – 7,33) = 3,67 – 0,71 = 2,96
3) 4,3 + (9,2 – 4,3 + 3,8) = 4,3 + 8,7 = 13
4) (3,98 – 7,36) – (5,98 – 10,36) = –3,38 – (–4,38) = 1
Завдання 1058
1) 9,38 – (–10 + 5,38) = 9,38 + 10 – 5,38) = 14
2) –8,76 – (–3,25 – 10,76) = –8,76 + 3,25 + 10,76 = 5,25
3) –6,19 + (–1,5 + 5,19) = –6,19 – 1,5 + 5,19 = –2,5
4) –(–21,4 + 12,7) + (–20,4 + 12,7) = 21,4 – 12,7 – 20,4 + 12,7 = 1
Завдання 1059 Вирази
1) m – (n + m) = m – n – m = –n
2) x + (–х + у) = х – х + у = у
3) (х + 3,2) – (х + 6,4) = х + 3,2 – х – 6,4 = 3,2 – 6,4 = –3,2
4) –(m – 4,7 + n) – (10,3 – m) = –m + 4,7 – n – 10,3 + m = –5,6 – n
Завдання 1060
1) –(а – b) – b = –а + b – b = –а
2) –с + (с – d) = –с + с – d = –d
3) –(2,7 – а) + (–а + 1,8) = –2,7 + а – а + 1,8 = –0,9
4) –(–6,2 + а + b) – (а – b + 10,9) = 6,2 – а – b – а + b – 10,9 = = –2а – 4,7 = 4,7 – 2а
Завдання 1061 Запишіть суму двох виразів і спростіть її:
1) (–8 – а) + (а + 23) = –8 – а + а + 23 = 15
2) (1,3 + m) + (–4 – m) = 1,3 + – 4 – m = –2,7
3) (р – m + k) + (–р + m + k) = р – m + k – р + m + k = 2k
4) (3,7 – 2,6 + 4,2) + (–12,5 + 2,6 – 4,2) = 3,7 – 2,6 + 4,2 – 12,5 + 2,6 – 4,2 = 3,7 – 12,5 =
= –8,8
Завдання 1062 Запишіть різницю двох виразів і спростіть її:
1) (–8,4 + а) – (а + 14,9) = –8,4 + а – а – 14,9 = –23,3
2) (42 – b) – (–b + 36,4) = 42 – b + b – 36,4 = 5,6
3) (m – n) – (–n + m – р) = m – n + n – m + р = р
4) (–2,2 + 4,9 – с) – (4,9 – с – 1,3) = –2,2 + 4,9 – с – 4,8 + c + 1,3 = –0,9
Завдання 1063 Зведіть подібні доданки:
1) 7x – 18х + 25х – 6х = 8х
2) –0,3b – 1,4b + 3,1b + 0,7b = 2,1b
3) 11а – 16b – 18а + 9b = –7а – 7b
4) –0,8k + 0,9р – 1,7k + 0,5k + 1,4р = –2k + 2,3р
Завдання 1064
1) –4а + 12а + 13а – 27а = 25а – 31а = –6а
2) 4,2х – 4,8х – 6,3х – 2,4х = 4,2х – 13,5х = –9,3х
3) –17х + 19y – 15у + 1Зх = –4х + 4у
4) 0,9n – 0,8m – 0,7m + 3,5n – 1,9n = 2,5n – 1,5m
Завдання 1065 Винесіть за дужки спільний множник:
1) 5а + 5b = 5(а + b)
2) ах – bх = х(а – b)
3) –6а + 6b – 6 = –6(а – 6b+ 1)
4) 12а – 6b + 18с = 6(2а – b + Зс)
5) 0,3аb + 1,3ас – а = 0,1а(3b + 13с – 10)
6) 9m – 6n + 12k – 15 = 3(3m – 2n + 4k – 5)
Завдання 1066
|
1) Зс – Зd = 3(с – d)
2) mх – mу = m(х – у)
|
3) 7а – 7b – 7с = 7(а – b – с)
4) –12x – 8у + 20 = –4(3х + 2у – 5)
|
Завдання 1067
|
1) –(а – 8) = –а + 8
2) –(а + 8) = –а – 8
|
3) –(–а + 8) = a – 8
4) –(–а – 8) = а + 8
|
Завдання 1068 Розкрийте дужки та зведіть подібні доданки:
1) 3(5a + 4) – 11а = 15а + 12 – 11а = 4а + 12
2) –0,2(4b – 7) + 1,4b = –0,8b + 1,4 + 1,4b = 0,6b + 1,4
3) За(7 – b) – 7(b – За) = 21а – Заb – 7b + 21а = 42а – Заb – 7b
4) –4(21 – 9) – 3(6k + 1) = –8k + 36 – 18k – 3 = –26k + 33
5) (Зх– 11) • 0 ,2 – 5(0,4 – 0,3х) = 0,6х – 2,2 – 2 + 1,5x = 2,1х – 4,2
6) 1/6 (18m – 24n) – (5m + 2n) = Зm – 4n – 5m – 2n = –2m – 6n
7) –3,5(3а – 2b) + 2(1,3а – b) = –10,5а + 7b + 2,6а – 2b = –7,9а + 5b
8) –(8а – 13) + 3 (4 – За) = –8а + 13 + 12 – 9а = 25 – 17а
Завдання 1069
1) –4х – 8(9 – 2х) = –4х – 72 + 16х = 12х – 72
2) 1/3(12 – 2,1у) + 0,3y = 4 – 0,7у + 0,3у = 4 – 0,4у
3) 6(3х – 2) + 4(5х – 1) = 18х – 12 + 20х – 4 = 38х – 16
4) –7(3 – 4с) + 14(0,5 + 2с) = –21 + 28с + 7 + 28с = 56с – 14
5) 3(2,1х – у) – 2,8(2х – 3у) = 6,3х – 3у – 5,6х + 8,4y = 0,7х + 5,4у
6) 0,4(8t + 7) – 1,6(2t – 3) = 3,2t + 2,8 – 3,2t + 4,8 = 7,6
Завдання 1070
1) –12 (5/6a – 1/4b + 7/24c – 1/12) = –60/6 а + 12/4 b – 84/24 c + 12/12 =
= –10a + 3b – 7/2c + 1 = –10a + 3b – 3 1/2 c + 1
2) (16a + 8b – 5/9c – 4/9d) • (–9/32n) = –9/2an – 9/4bn + 5/32cn + 1/8dn =
= –4 1/2 an – 2 1/4 bn + 5/32 cn + 1/8 dn
3) –4/15bc • (–45a – 30d + 3 3/4 m – 3/8) =
= (45 • 4)/15abc + (30 • 4)/15bcd – (15 • 4)/(4 • 15)bcm + (3 • 4)/(8 • 15)bc =
= 12abc + 8bcd – bcm + 1/10 bc
4) (–3,6аb + 20а – b – 100) • (–5ху) = 18аbху – 100аху + 5bху + 500ху
Завдання 1071
1) 3/7b(14t – 7/9y + 2 1/3c) = – (3 • 14)/7bt – (3 • 7)/(7 • 9)by + (3 • 7)/(7 • 3)bc =
= –6bt – 1/3 by + bc
2) –1,2xy (5m – 6c + 1/6t – 5/6) = –6ym + 7,2xyc – 1/5 xyt + xy
3) 0,3nm(1,5 – 6bс + 7b – 10с) = 0,45mn – 1,8bnmbc + 2,1 mnb – Зmnc
Завдання 1072
1) 6,72 • (–2 1/3) + 3,72 • 2 1/3 = 2 1/3 • (–6,72 + 3,72) = 7/3 • (–3) = –7
2) –7,2 • 2 2/15 – 7,2 • 3 7/15 – 7,2 • (–4 4/15) = 7,2 • (–2 2/15 – 3 7/15 + 4 4/15) =
= 7,2 (–1 5/15) = 72/10 • (–20/15) = –9,6
3) –3 9/14 • 0,3 – 0,3 • (–1 10/21) + 0,3 • 1 1/6 = 0,3 • (–3 9/14 + 1 10/21 + 1 1/6) =
= 0,3 • (–3 27/42 + 1 7/42) = 0,3 • (–1) = –0,3
Завдання 1073
1) –32,3 • 7 10/13 + 2 3/13 • (–32,3) = –32,3 • (7 10/13 + 2 3/13) = –32,3 • 10 = –323
2) 1,6 • (–5,3) – 2,4 • (–5,3) –4 4/5 • 5,3 = (–5,3) • (1,6 – 2,4 + 4,8) = = (–5,3) • 4 = –21,2
Завдання 1074
1) –1/6x + 1/4y + 1/9x – 1/2y = (–1/6 + 1/9) x + (1/4 – 1/2)y =
= (–3/18 + 2/18)x + (– 1/4)y = –1/18x – 1/4y
2) –15/16m + 7/12n + 5/12m – 3/8p – 5/8n – 1/4p =
= (5/12 – 15/16)m + (7/12 – 5/8)n + (–3/8 – 1/4)p =
= (20/48 – 45/48)m + (14/24 – 15/24)n + (–3/8 – 2/8)p = –25/48m – 1/24n – 5/8p
Завдання 1075
1) 3/7a – 2/15b – 5/14a + 7/30b = (3/7 – 5/14)a + (7/30 – 2/15)b =
= (6/14 – 5/14)a + (7/30 – 4/30)b = 1/14a + 3/30b = 1/14a + 1/10b
2) 7/18b – 13/28c – 15/14c – 23/36b + 4/7c + 4/9b =
= (7/18 – 23/36 + 4/9)b – (13/28 + 5/14 – 4/7)c =
= (14/36 – 23/36 + 16/36)b – (13/28 + 10/28 – 16/28)c = 7/36b – 7/28c = 7/36b – 1/4c
Завдання 1076
1) Якщо у = –1,8, то 0,8у + 0,5у – 0,9y – 0,7у = –0,3у = –0,3 • (–1,8) = 0,54
2) якщо a = –0,3, b = 0,7, то 20а – 15b – 10а + 6b = 10а – 9b =
= 10 • (–0,3) – 9 • 0,7 = – 3 – 6,3 = –9,3
3) якщо а = –0,2, то а • (–2,4) + 3,2а – (–4,8) = 0,8а + 4,8 =
= 0,8 • (0,2) + 4,8 = –0,16 + 4,8 = 4,64
4) якщо b = –1,4, то 6,2b – b • (–7,3) – (–4,5) • (–b) = 9b = 9 • (–1,4) = –12,6
Завдання 1077
1) Якщо x = 3,5, то –0,6x – 1,2c + 3,2x – 5,6x = –4,2c = –4,2 • 3,5 = –14,7
2) якщо c = –11/9, y = –4/11, то –2,7x + 3,6y + 4,5x – 5,8y = 1,8x – 2,2y =
= 18 • (–11/9) – 2,2 • (–4/11) = 9/5 • (–10/9) + 11/5 • 4/11 = –2 + 4/5 = –11/5
Завдання 1078
1) –6(2а – 7) + 4 (5а – 6) = –12а + 42 + 20а – 24 = 8а + 18
Якщо а = –2,5; 8а + 18 = 8 • (–2,5) + 18 = –20 + 18 = –2
2) –1,1 (2m – 4) – (2 – 3m) – 0,4 (1 – m) = –2,2 + 4,4 – 2 + 3m – 0,4 + 0,4 m = 1,2m + 2
Якщо m = –4; 1,2m + 2 = 1,2 • (–4) + 2 = –4,8 + 2 = –2,8
3) 11/9 – (3y – 9) – 81/3(y – 6) = 10/9 • 3y – 10/99 – 25/3 • y + 25/3 • 6 =
= 10/3y – 10 – 25/3y + 50 = –15/3y + 40 = –5у + 40
Якщо у = 3,6; –5у + 40 = –5 • 3,6 + 40 = –18 + 40 = 22
Завдання 1079
1) 7(3 – 4b) – 5(3b + 4) = 21 – 28b – 15b – 20 = –43b + 1
Якщо b = –0,2; –43b + 1 = –43 • (–0,2) + 1 = 8,6 + 1 = 9,6
2) –214/13(13 – p) + 11/13(26 – p) = –30/13(13 – p) + 14/13(26 – p) =
= –30 + 30/13p + 28 – 14/13p = 16/13p – 2
Якщо p = 31/4p; 16/13p – 2 = 16/13 • 13/4 – 2 = 4 – 2 = 2
Завдання 1080
1) 6ах – 12а + 9ау = За(2х – 4 + 3у)
2) 7аb + 14aс – 28а = 7а(b + 2с – 4)
3) –8mn – 6mk – 10m = –2m(4n +3k + 5)
4) 8аbс – 24аbd – 6аb = 2аb(4с – 12сd – 3)
Завдання 1081
1) –1,2рс – 0,2mс + с = 0,2с(–6р – m + 5)
2) –35ас – 15bс + 20аbс = 5с(–7а – 3b + 4аb)
3) –6ах – 30ау – 42аz = –6а(х + 5у + 7z)
4) 9mnр + 45mnk – 27mn = 9mn(р + 5k – 3)
Завдання 1082
Доведіть, що значення виразу не залежить від значення змінної:
1) 4(а – 3) – 3(6 – а) + (20 – 7а) = 4а – 12 – 18 + За + 20 – 7а = –10
2) (Зm – 7) • 0,6 – 0,8 (4m – 5) – (–1,7 – 1,4m) = 1,8m – 4,2 – 3,2m + 4 + 1,7 + 1,4m = 1,5
Завдання 1083
Доведіть, що при будь-якому значенні змінної:
1) вираз 3(5,1k – 2,5) – 0,9(17k + 5) набуває від’ємного значення;
3(5,1k – 2,5) – 0,9 (17k + 5) = 15,3k –7,5 – 15,3k – 4,5 = –12, –12 < 0
2) вираз –0,2(36x + 15) + 0,6(12x + 7) набуває додатного значення.
–0,2(36х + 15) + 0,6 (12х + 7) = –7,2х – 3 + 7,2х + 4,2 = 1,2, 1,2 > 0
Завдання 1084
Доведіть, що при будь-якому натуральному значенні n значення виразу:
1) 5(4n – 4,2) – 7(2n – 3) = 20n – 21 – 14n + 21 = 6n, тому кратне 6
2) 9(Зn – 8) + 2(36 – 11n) = 27n – 72 + 72 – 22n = 5n, тому кратне 5
Завдання 1085
Доведіть, що при будь-якому натуральному значенні n значення виразу кратне 7.
8(4n + 5) – 5(5n + 8) = 32n + 40 – 25n – 40 = 7n, тому кратне 7
Завдання 1086
1) Якщо k – n = –7, тоді n – k = 7, і тоді –4(n – k) = –4 • 7 = –28
2) 4m – (m + Зn) = 4m – m – Зn = 3(m – n)
Якщо m – n = –0,8, тоді 3(m – n) = 3 • (–0,8) = –2,4.
3) –За – (8b – 15а) = –За – 8b + 15а = 12а – 8b
Якщо За – 2b = –0,25, тоді 12а – 8b = 4(3а – 2b) = 4 • (–0,25) = –1
4) 6(2х – Зу) – 2 (х + у) = 12х – 18у – 2х – 2у = 10х – 20y = –10 (2у – х)
Якщо 2у – х = 17,8, тоді –10(2у – х) = –10 • 17,8 = –178
5) 7а(3b + 4с) – 3а(b + 1/3c) = 21ab + 28ас – Заb – ас = 18аb + 27ас = 9а (2b + Зс)
Якщо а = –З 1/3, 3c + 2b = –1,6, тоді 9а (2b + Зс) = 9 • (–10/3) • (–8/5) = 48
Завдання 1087
1) 5а – (За – 10b) = 5а – За + 10b) = 2а + 10b
Якщо а + 5b = 1,7, тоді 2а + 10b = 2(а + 5b) = 2 • 1,7 = 3,4
2) –0,9х – (0,6х + 0,5у) = –0,9х – 0,6х – 0,5у = –1,5х – 0,5y = –0,5(Зх + у)
Якщо Зх + y = –0,2, тоді –0,5(Зх + у) = –0,5 • (–0,2) = 0,1
3) 2m(n – 4р) + 5mp = 2mn – 8рm + 5mp = 2mn – Зmp = –m(Зр – 2n)
Якщо m = 4, Зр – 2n = –0,4, тоді –m(Зр – 2n) = –4 • (–0,4) = 1,6
Завдання 1088
|
1) |π – 3,14| = π – 3,14
2) |3 – π| = π – 3
|
3) |3,142 – π| = 3,142 – π
4) |π – 3,15| = 3,15 – π
|
Вправи для повторення
Завдання 1089
Знак якої арифметичної дії треба поставити замість зірочки:
|
1) 6/7 • 1 1/6 = 6/7 • 7/6 = 1
2) 2/9 : 5/9 = 2/9 • 9/5 = 2/5
|
3) 3 – 2 2/11 = 2 11/11 – 2 2/11 = 9/11
4) 1,2 • 5/6 = 1 2/10 • 5/6 = 6/5 • 5/6 = 1
|
Завдання 1090
Подайте у вигляді різниці двох дробів із чисельником 1 дріб:
1) 1/12 = 1/6 – 1/12
2) 2/63 = 1/7 – 1/9
3) 1/4 = 1/2 – 1/4
4) 3/28 = 1/4 – 1/7
5) 1/24 = 1/12 – 1/24
Завдання 1091
Коли Дарина прочитала 1/3 книги, їй залишилося прочитати ще 40 сторінок, щоб прочитаною виявилася половина книги. Скільки сторінок у книзі?
Розв'язання
Третина книжки 1/3, а половина книжки 1/2.
1) 1/2 – 1/3 = 3/6 – 2/6 = 1/6 – припадає на 40 сторінок всієї книжки;
2) 40 : 1/6 = 40 • 6 = 240 (с.)
Відповідь: у книзі 240 сторінок.
Завдання 1092
Коли Дарина прочитала 1/3 книги, їй залишилося прочитати на 40 сторінок більше, ніж уже було прочитано. Скільки сторінок у книзі?
Розв'язання
1) 1 – 1/3 = 2/3 – залишилося прочитати;
2) 2/3 – 1/3 = 1/3 – припадає на 40 сторінок всієї книжки;
3) 40 : 1/3 = 40 • 3 = 120 (с.)
Відповідь: у книзі 120 сторінок.
Завдання 1093
До зниження ціни стілець коштував 400 грн. Якою стала ціна стільця після двох послідовних знижень ціни — спершу на 5 %, а потім на 10 %?
Розв'язання
1) 400 – 400 • 0,05 = 400 – 20 = 380 (грн) – ціна після першої знижки;
2) 380 – 380 • 0,1 = 380 – 38 = 342 (грн) – ціна після другої знижки.
Відповідь: 342 грн.
Завдання 1094
Однією дорогою в протилежних напрямках рухаються вершник зі швидкістю 14 км/год і пішохід зі швидкістю 4 км/год. Якою буде відстань між ними через 15 хв, якщо зараз вона становить 3 км? Скільки розв’язків має задача?
Розв'язання
15 хв = 1/4 год
1) 14 + 4 = 18 (км/год) – швидкість віддалення;
2) 18 • 1/4 = 4,5 (км) – пройшли вони разом за 15 хв;
3) 4,5 – 3 = 1,5 (км) – відстань, якщо вони зустрічалися по дорозі;
4) 4,5 + 3 = 7,5 (км) – відстань, якщо вони не зустрічалися по дорозі.
Відповідь: 7,5 км або 1,5 км.
Задача від Мудрої Сови
Завдання 1095
У вершинах куба записано 8 різних чисел. Доведіть, що хоча б одне з них менше від середнього арифметичного трьох сусідніх чисел (сусідніми називають числа, записані на кінцях одного ребра).
Припустимо, що кожне з чисел більше від середнього арифметичяного трьох сусідніх чисел, тоді:
a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 > 3(a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8)/3,
a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 > a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8, що неможливо. Отже, хоча б одне з чисел менше від середнього арифметичного трьох сусідніх чисел.